Ray Theory: Travel Time

Bayu RagelCahaya NingsihRavide Lubis

Winda Styani Yuliawati

RAY THEORY : TRAVEL TIME

KELOMPOK 4

JURUSAN TEKNIK GEOFISIKAFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS LAMPUNG 2015

Pembahasan Materi

Hukum Snell Jalur Gelombang untuk Model Homogen LateralKurva Travel Time dan Delay TimeZona Kecepatan RendahRingkasan Persamaan Ray TracingSpherical-Earth Ray TracingThe Earth-flattening TransformationRay Nomenclature

4.1 Hukum Snell

Gelombang bidang yang menyebar pada suatu mediumdengan kecepatan v, yang memotong bidang horizontal,Muka gelombang saat t=t1 dan t=t1+∆t dipisahkan oleh ∆spanjang lintasannya. Sudut gelombang dari arah vertikaldisebut incidence angel. Sudut ini berelasi dengan ∆sterhadap jarak muka geombang di permukaan, ∆x, oleh

Karena ∆s=v ∆t, maka

Gambar 4.1 Sebuah gelombang bidang pada permukaan horizontal. Sudutsinar dari arah vertikal disebut incidence angel θ

atau

dimana u adalah slowness (u=1/v dimana v adalah kecepatan)dan p disebut parameter sinar. Dengan mengetahui waktukedatangan gelombang di dua stasiun yang berbeda , kitalangsung bisa mengukur p, p merupakan parameter slownessgelombang yang pertama muncul dalam arah horizontal, itulahsebabnya mengapa p kadang-kadang disebut horizontalslowness.

Jika gelombang bidang mengarah kebawah menujam permukaanhorizontal antar dua lapisan homogen, dengan kecepatan yangberbeda. Lapisan atas mempunyai kecepatan yang lebih rendah(v1 < v2) dan (u1 > u2) maka nilai p adalah

Gambar 4.2 Sebuah gelombang bidang melintasi lapisan horizontal antaradua lapisan homogen. Kecepatan yang lebih tinggi di lapisan bawahmenyebabkan jarak muka gelombang lebih jauh.

4.2 Jalur gelombang untuk model homogen lateral

Umumnya kecepatan kompresi dan kecepatan geser meningkatsebagai fungsi dari kedalaman di bumi. Parameter gelombang ptetap konstan, dimana:

Jika kecepatan terus naik, makaθ suatu saat akan = 90◦ dangelombang akan menjalarsecara horizontal.

Gambar 4.3

Hal ini juga berlaku untuk gradien kecepatan yang berubahsecara kontiniu (Gambar 4.3). Jika slowness di permukaanmenjadi u0 dan sudut takeoff menjadi θ0, maka:

Ketika θ=90◦ gelombang berada pada turning point (titik balik),

dan p = utp, di mana utp adalah slowness pada titik balik.

Gambar 4.3 Jalur dengan peningkatan kecepatan yang terus-menerus sesuai

kedalaman, kurva akan kembali menuju permukaan jika sudut datang 90◦.

Gambar 4.4 Kurva travel time untuk model dengan peningkatan kecepatanterhadap kedalaman. masing-masing titik pada kurva dihasilkan dari jalursinar yang berbeda, kemiringan kurva waktu tempuh, dT/dX, merupakanparameter gelombang.

Slowness vektor s tidak hanya diselesaikan pada arah horizontaltapi juga pada arah vertikal atau yang sering disebut slownessvertikal. Besarnya adalah

Pada titik balik, p=u dan η=0

Menghitung travel time danjarak glombang tertentudipemukaan dapat dilakukandengan mempertimbangkansegmen panjang ds sepanjangjalur gelombang.

Karena p = u sin θ dan η = u cos θ , kita dapat menulis:

Dari aturan rantai

Hal ini dapat diintegrasikan untuk memperoleh x:

Jika z1 dipermukaan (z1 = 0) dan z2 menjadi titik balik zp, jarak xdari sumber dipermukaan ke titik balik adalah

Karena gelombang simetris dititik balik, total jarak x(p) darisumber di permukaan dan receiver dipermukaan hanya 2 kalipersamaan diatas, jadi

Dalam cara yang sama, persamaan untuk travel time t(p) adalah:

sehingga

Persamaan diatas adalah travel time dari sumber ke titik balik,sehingga total travel time nya T(p) adalah :

Model kecepatan sederhana ini ditetapkan dalam susunan lapisanhomogen. Dalam hal ini integral untuk X dan T menjadipenjumlahan

dan

4.3 kurva travel time dan delay time

Umumnya di Bumi, X(p) akan meningkat seiring penurunan p,

Ingat !

Dalam hal ini turunan dX/dp negatif. Ketika dX/dp <0, cabangdari kurva waktu tempuh ini adalah prograde. karena adanyaperubahan kecepatan didalam Bumi, dX/dp>0, gelombangakan kembali pada diri mereka sendiri:

Ketika dX/dp>0, kurva waktu tempuh disebut retrograde.Transisi dari prograde ke retrograde dan kembali ke progrademenghasilkan triplikasi di kurva waktu tempuh. Titik akhirpada triplikasi disebut caustic di mana dX / dp = 0 .

jika nilai p besar gelombang akan kembali pada kedalamandangkal dan perjalanannya hanya jarak pendek. Denganpenurunan parameter gelombang, kedalaman titik balikmeningkat dan jangkauan X meningkat . Ketika ada gradienkecepatan , X mulai menurun dengan penurunan p.

4.3.1 Pengurangan kecepatan

Kurva perjalanan waktu sering dapat dilihat secara lebih rincijika diplot menggunakan pengurangan kecepatan yang didapatdari perjalanan waktu (Gambar 4.6). Dalam hal ini skala waktudigeser dengan rentang yang sama dibagi denganpengurangan kecepatan. Kecepatan yang sama denganpenurunan kecepatan akan dplot sebagai gars horisontal.

Gambar 4.6 Sebuah reduksi kecepatan dapat digunakan untuk memperluasskala waktu untuk menunjukkan kurva perjalanan waktu lebih rinci.

4.3.2 fungsi τ (p)

Fungsi X(p) berperilaku lebih baik daripada T(X) karena tidakmemotong dirinya sendiri (ada nilai tunggal X untuk setiapnilai p), tapi fungsi invers p(X) multivalued.

di mana τ disebut waktu tunda.

Hal ini dapat dihitung dengan sangat sederhana dari (4.13) dan (4.17):

Untuk media berlapis sederhana, merupakan penjumahan

Jika sebuah titik pada kurva travel time t(x) pada jarak X danwaktu T (Gambar 4.7). persamaan garis singgung ke kurvatravel tme adalah t = T + p(x - X). Pada x=0, t=T-pX = τ (p),sehingga intercept garis adalah τ (p) sedangkan slopenyaadalah p. Kemiringan τ terhadap kurva p adalah

Gambar 4.7 Waktu tunda, τ (p) = T - pX, diberikan oleh garis singgung dengan kurva perjalanan waktu.

dengan demikian

Kemiringan kurva τ(p) adalah -X. Karena X ≥ 0, kurva τ(p)selalu menurun. Turunan kedua τ adalah

Gambar 4.8 fungsi τ (p). cabang prograd berbentuk cekung keatas; cabang retrograde memiliki cekung kebawah.

4.4 zona kecepatan rendah

Biasanya kecepatan akan meningkat dengan meningkatnyakedalaman, tapi terkadang kecepatan akan turun denganmeningkatnya kedalaman menciptakan LVZ. Contonya di intibumi gelombang p akan menurun sekitar 14 km/s, dari mantelke inti luar 8 km/s. di astenosfer terjadi perubahan kecepatan(80-200)km

Akibat LVZ terdapat gap yang disebut shadow zone

4.5 Ringkasan persamaan Ray Tracing

Perlambatan horizontal gelombang

Perlambatan vertikal gelombang

Waktu dan jarak X dipermukaan

Waktu tunda

Dimana zp adalah titik balik

4.6 Spherical-Earth ray tracing

Persamaan ray tracing yang dijelaskan di atas adalah untuklapisan bumi horizontal. Yang digunakan pada kerak (kurang dari30 km atau lebih). Untuk kedalaman yang lebh dalam, makaperlu memperhitungkan bentuk speris bumi. Ada dua cara yangdapat dilakukan:

1. mengubah definisi parameter gelombang untuk untukgeometri spheris

2. menerapkan transformasi (the Earth flattening transformasi)ke model spheris untuk penggunaan langsung daripersamaan Ray tracing Bumi.

Dari gambar dapat dillihat bahwa θ2 (r1)≠ θ2(r2).

Dari hukum snell didapat

Jadi hubungan θ2(r1) dengan θ2(r2) adalah

r1 sin θ2(r1) = r2 sin θ2(r2)

atau

Mensubstitusi ke (4.36), kita peroleh generalisasi hukum Snelluntuk bentuk spheris yang simetris:

Sehingga parameter gelombang p menjadi

Ingat bahwa dalam flat-earth p adalah perlambatan horizontal

Dalam bentuk spheris , dX = d∆r, di mana ∆ adalah sudutdalam radian. sehingga

Perhatikan bahwa parameter psph spheric-earth memilikisatuan (s/radian), sedangkan parameter pf flat-earthmemiliki satuan (s/jarak). ekspresi untuk waktu tempuh danjarak sebagai fungsi psph sangat mirip dengan yang kita tulissebelumnya

dan

4.7 The Earth-flattening transformation

Turunan untuk T(p), X(p), dan τ(p) semua diasumsikangelombang merambat dalam bumi yang datar, lapisan homogen,kurva travel time berbentuk garis lurus dan tidak ada gelombangyang meninggalkan sumber dengan sudut lebih dari 90ο karenaakan kembali ke permukaan. Meskipun dalam bentuk bumispheris yang homogen, setiap gelombang akan kembali kepermukaan dan kurva travel time tidak lurus. Kurva di bumispheris dapat disimulasikan dalam bumi datar jika gradienkecepatan dikenalkan dalam half-space. Variable kedalamanbaru, zf didefinisikan:

Dimana r adalah jarak dari pusat bumi dan a adalah jari-jari

bumi=6.371 km. catat bahwa r=a-zs dimana zs adalah

kedalaman di spheris-earth. Jari-jari r=a (di permukaan) sesuaidengan kedalaman di flat-earth z=-a ln(a/a)=0, ketika jari-jarir=0, dengan kedalaman yang tak terbatas. Perubahankecepatannya adalah

Kita dapat menggunakan ray tracing equation tanpa perubahan.Jarak X km yang dihitung dalam flat-earth dapat dikonversi kedegree, ∆deg dalam spheriss-earth dengan menggunakan

∆deg=Xkm *360 / (2πa)+

dimana 2πa adalah keliling bumi dalam km.

4.8 Ray Nomenclature

Perbedaan lapisan di bumi (misalnya, kerak, mantel, inti luar, daninti), dikombinasikan dengan dua jenis body wave yang berbeda(P dan S), menghasilkan sejumlah besar geometri gelombangyang mungkin, disebut fase seismik.

4.8.1 fase kerak

Tebal kerak bumi sekitar 6 km di samudra dan sekitar (30-50)km di benua. Kecepatan gelombang seismik meningkattajam di lapisan MOHO diskontinuiti antara kerak dan mantel.Gelombang P yang memantul di kerak disebut Pg, yangmemantul di moho disebut PmP. m di PmP menunjukkanpemantulan oleh moho dan menganggap moho sebagaidiskontinuitas tingkat pertama. Meskipun moho juga bisahanya sebagai gradien kecepatan besar yang menyebabkantriplikasi. Gelombang yang merambat dimantel paling atasdibawah moho disebut Pn.

Titik crossover adalah dimana terjadi perubahan pertamasecara tiba-tiba dari Pg ke Pn. Titik crossover biasanyaterjadi pada sekitar X = 30 km untuk kerak samudera dan disekitar X = 150 km untuk kerak benua . Nama yang miripjuga digunakan untuk fase gelombang S ( SmS , Sn , dll )dan perubahan fase seperti SmP .

4.8.2 Whole Earth phases

Berikut ini lapisan utama adalah mantel, inti luar, dan intidalam. Kaki gelombang P dan S di dalam mantel dan intidiberi label sebagai berikut:• P – P wave in the mantle• K – P wave in the outer core• I – P wave in the inner core• S – S wave in the mantle• J – S wave in the inner core• c – reflection off the core–mantle boundary (CMB)• i – reflection off the inner-core boundary (ICB)