Quantum Mechanics, Concepts and Applications N. Zettili; Wiley 2001 Quantum mechanics. Second...

Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001

Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000

Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007

Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922

Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908

Quantum physicsS. Gasiorowicz

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

(0) (1)

(1) (0) (0)

donde

| |

n n n

n

E E

n V n

0 0 00

ˆnH n E n

0

ˆ

ˆ ˆ

nH n E n

H H V

2ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ;

2p

H V r L r pm

2

2

, 0

, 0

, 0

z

z

H L

H L

L L

2 2

ˆ

ˆ 1

ˆ

z nlm nlm

nlm nlm

nlm n nlm

L m

L l l

H E

4 2

2 2 1, 2,3...

2R

n

m e ZE n

n

, , ,

1, 2,3...; 1;

mnlm nl lr R r Y

n l n m l

Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:

1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida

2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita

3. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón

4. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano

Energía de Bohr

Estructura fina

Corrimiento Lamb

Estructura hiperfina

4 2mc5 2mc

2 2mc

4 2

p

mmc

m

Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno

2Constante de estructura fina: / 1 / 137e c

2

2 2 2 4 2

Energía cinética clásica: 2

Energía cinética relativista:

pT

m

T p c m c mc

2

2 2 2 4 2

Energía cinética clásica: 2

Energía cinética relativista:

pT

m

T p c m c mc

22 2 2 4 2 2

2 42

2 4

3 2

1 1

1 11 ... 1

2 8

...2 8

pT p c m c mc mc

mc

p pmc

mc mc

p p

m m c

2 4 2

3 2

0

2 2 4

0 3 2

Por tanto el hamiltoniano relativista será,

en primera aproximación,

ˆ2 8

Escrito de otra manera

ˆ ˆ

donde

ˆ 2 8

p p ZeH

m m c r

H H V

p Ze pH y V

m r m c

22

3 2

Usamos ahora teoría de perturbaciones

independientes del tiempo para resolver

el problema con el potencial de perturbación

ˆ1

8 R

pV

m c

222 2

0 3 2

ˆ1ˆ ; 2 8R R

pp ZeH V

m r m c

2 22 2

3 2 2

2 2

0 02

Lo escribimos como

ˆ ˆ1 1

8 2 2

1

2

R R R

R

p pV

m c m c m

Ze ZeH H

m c r r

22

3 2

ˆ1

8 R

pV

m c

2 2

0 02

2 2

2

2 2 42

2 2

1

2

1

2

12

2

R

n nR

n nR

Ze Zenlm V nlm nlm H H nlm

m c r r

Ze Zenlm E E nlm

m c r r

Ze Z enlm E E nlm

m c r r

2 2 42

2 2R

2 2 2 42 2

R

1 2 2 2 42 2

R

12

2

1 1 12

2

Por tanto,

1 1 12

2

n n

n n

nlm n n

Ze Z enlm E E nlm

m c r r

E Ze nlm nlm E Z e nlm nlmm c r r

E E Ze nlm nlm E Z e nlm nlmm c r r

2

2 2 3

2

2

Tenemos

1 1 1

y

1 1 1

1/ 2

donde

R

nlm nlmr a n

nlm nlmr a n l

am Ze

1 2 2 2 42 2

R

2 2 2 3

1 1 12

2

1 1 1 1 1 1 y

1/ 2

nlm n nE E Ze nlm nlm E Z e nlm nlmm c r r

nlm nlm nlm nlmr a n r a n l

1 2 2 2 4

2 2 2 3R

1 1 1 1 12

2 1/ 2nlm n nE E Ze E Z em c a n a n l

1 2 2 2 4

2 2 2 3R

1 1 1 1 12

2 1/ 2nlm n nE E Ze E Z em c a n a n l

2

22 2

1 2Como

2

se tiene

n n

e ZE n E

a n a Ze

21 2 2 2 2 4 2

2 2 2 2 3R

222 2 2 4 2

2 2 2 2 3R

2 2

2 2R R

1 2 2 12

2 1/ 2

2 1 2 11 2

2 1/ 2

4 41 4 3

2 1/ 2 2 1/ 2

nnlm n n n

n

n n

EE E Ze n E Z e n E

m c Ze n Ze n l

EZe n Z e n

m c Ze n Ze n l

E En n

m c l m c l

6 2R

52 6

R

Tenemos que

13.6 eV ; 5.11 10 eV /

así que

13.6 eV10

5.11 10 eV

n

n

E m c

E

m c

1

2R

1 43

2 1/ 2n

nlm n

E nE E

m c l

2

rel 2R

43

2 1/ 2nE n

Em c l

rel

Destruye la degeneración accidental del caso coulombiano.

0 para todo y

Dado , cuanto menor es el valor de mayor es la corrección relativista

La corrección es más importante para los nivel

E n l

n l

25

rel 2

es 1s y 2s

110

40.001%, pero detectable

vE E E

c

Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:

1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida

2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita

3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano

4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón

Cuando se aplica un campo magnético externo al átomo de hidrógeno (y a todos los átomos), líneas espectrales bien definidas se desdoblan en múltiples líneas cercanamente espaciadas.

Se debe a la interacción del campo magnético externo con el momento dipolar magnético asociado con el momento angular orbital.

Quantum Mechanics I. A. Galindo y P Pascual

Si tenemos una distribución de

corrientes , se define el

momento magnético

12

J

r JdVc

Jackson. Classical electrodynamics. Primera edicion Wiley 1962, capítulo 5

1 12 2

1 1 12 2 2

i i ii

i i i i i ii i

i ii i i i i i

i ii i i

J v q r r v

r q r r v dV q r r r v dVc c

q qq r v r p L

c c m c m

12

r JdVc

B

B B

En el caso del electrón

2donde hemos introducido el magnetón de Bohr

2 2

y

1

l

l

e LL gmc

e emc m

g

12

ii

ii

qL

c m

B

B

Dado que la energía de interacción

está dada como (Jackson)

tenemos

ˆy si entonces

l

z

lz

U B

gU L B

B B k

gU BL

B B B 2 2 2l

e L e eL gmc mc m

(0) (1)

(1) (0) (0)

donde

| |

n n n

n

E E

n V n

0 0 00

ˆnH n E n

0

ˆ

ˆ ˆ

nH n E n

H H V

B

B

BB

ln z

lz

ll

gE nlm BL nlm

gB nlm L nlm

gBm g mB

Blz

gV BL

BnE m B

L

Introduciendo la frecuencia de Larmor

2 R

eBm c

LnE m

BB B ; l

l n z

gV g mB E nlm BL nlm m B

4 14

1 0

EE B J

c c t

BE B

c t

qF qE v B

c

E B A

2

y

1

2

qU q r A r v

c

qL T U mv A v q

c

4 14

1 0

EE B J

c c t

BE B

c t

qF qE v B

c

E B A

qU q r A r v

c

xx

x x x x x x xx y z

x x xx x y z

dAq qF q v A

c dt x c xdA A A A A A Adx dy dz

v v vdt x dt y dt z dt x y z

A A Aq qF v v v q v A

c x y z x c x

q qF v A q v A

c c

q

v A

F

v

v

A

qc

v A

A

qF qE v B

c

jj j

d U UF

dt q q

qF qE v B

c

E B A

4 14

1 0

EE B J

c c t

BE B

c t

21

2

qL T U mv A v q

c

2

En el caso del campo electromagnético

el hamiltoniano que se obtiene haciendo

la transformación de Legendre

2

qp A

cH q

m

2

1 ˆˆ ,2

eH p A r t e r

m c

2

2La fuerza de Lorentz: , ,

d r vm e E r t B r t

dt c

Las ecuaciones de Hamilton: k kk k

H Hq p

p q

2

0

ˆ

2

p

mH

ˆˆ ˆ ( , )e

p p A r tc

22

0

ˆ 1 ˆˆ ,2 2

p ep A r t e r

m m c

H H

2

1 ˆˆ ,2 R

eH p A r t e r

m c

2

2 22 2

2

1 ˆ ˆ ˆˆ ,2

ˆ ˆ ˆ2 2 2

R

R R R R

e e ep A r t i A i A

m c c c

ie ie eA A A

m m c m c m c

2 22 2

2

ˆ2

ˆ ˆ2 2R R RR

ieieA

eA A

m m cm c m c

2

2

´

´

´ 0

B A

A A

A A

A A

2 22 2

2

ˆ2

ˆ ˆ2 2R R RR

ieieA

eA A

m m cm c m c

0A

2 22 2

2

ˆ ˆ2 2R R R

ie eH A A

m m c m c

Si tenemos un campo magnético

uniforme, entonces podemos poner

12

A B r

12

A B r

Como

tenemos

12

C D C D D C D C C D

A B r B r r B r B B r

12

A B r

A B r r B r B B r

0 0 3 B r Br B r B

, , , ,

3

r x y zx y z

yx zx y z

12

A B r

A B r r B r B B r

0 3 0 r B B r BBr

Ecuaciones de Maxwell.

No hay monopolos magnéticos.

12

A B r

A B r r B r B B r

3 0 0 r B B r Br B

El campo es uniforme

12

A B r

A B r r B r B B r

3 0 0 r B r B B r B

, ,x y z

x y z x

B r B B B x y zx y z

B B B x Bx y z

12

A B r

A B r r B r B B r

3 0 0 r B r B B r B

1 32

A B B B

2 22 2

2

ˆ ˆ2 2RR R

eH

ieA A

c m cmm

12

ˆ ˆ2R R

A B r

ie ieA r Bm c m c

ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ

A B C B C A C A B

i r B r B p B r p

r p B L B B L

Así que el segundo término del Hamiltoniano es

ˆ ˆ2R R

ie ieA r B

m c m c

ˆ ˆ ˆ ˆ2 2R R R

ie ie eA r B B L

m c m c m c

2 22 2

2

ˆ2 2

ˆ ˆ ˆ2

ˆ

R R

R R

R

eH A

ieA

m m c

ie eA B L

m c

m

m

c

c

2 22 2

2

ˆˆ ˆ2 2 2R R R

e eH B L A

m m c m c

2 2 22

2 2

El tercer término del hamiltoniano

( es a lo largo de ) se puede

poner como:

ˆ ˆ2 8R R

B Z

e eA r B

m c m c

2 22

22 ˆ ˆ

2ˆ

22 RR R

eH B L

m cc

eA

m m

2

2 2 2

ˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ , ,0

0 0 1

ˆ

r B r Bk

i j k

x y z yi xj y x

r B B x y

2ˆr B

2 2 2 22

2 2 22 2 2

El tercer término del hamiltoniano

( es a lo largo de )

se puede poner como:

ˆ ˆ2 8 8R R R

B Z

e e e BA r B x y

m c m c m c

2 22

22 ˆ ˆ

2ˆ

22 RR R

eH B L

m cc

eA

m m

2 22 2

2

2 2 20

2 22 2 2 2 2 2

02

ˆ ˆComparemos los términos y :2 8

ˆTenemos que y que , así que

ˆ ˆ / 2 y 2

/ 88

R R

RR

RR

e e BB L x y

m c m c

L x y a

eB L e m c B

m c

e Bx y e m c a B

m c

2 2 2

2 2 22

ˆ ˆ2 2 8R R R

e e BH B L x y

m m c m c

2 2 2 2 203

2 2 92 0 0

Así que

/ 8 1 1

/ 2 4 / 548 / 9 10 Gaussr

r

e m c a BT e B B B

T e m c B c e a e a

2 2 2

2 2 22

ˆ ˆ2 2 8R R R

e e BH B L x y

m m c m c

4

53

2

Como normalmente 10 Gauss,

10

B

T

T

2 2 2 2 203

2 2 92 0 0

Así que

/ 8 1 1

/ 2 4 / 548 / 9 10 Gaussr

r

e m c a BT e B B B

T e m c B c e a e a

2 2 2

2 2 22

ˆ ˆ2 2 8R R R

e e BH B L x y

m m c m c

12

En las estrellas de neutrones, donde

10 Gauss

este término puede ser muy importante

B

22 9

0

Habiendo despreciado el tercer término, debemos ver

si el segundo puede ser tratado como una perturbación.

Tenemos

/ 2

Energia del potencial de Coulomb / 5 10 gauss

que en las condiciones nor

re m c BT B

e a

males es muy pequeño.

22 ˆ ˆ

2 2R R

eH B L

m m c

2

22

1 ˆˆ ,2

ˆ ˆ2 2R R

eH p A r t e r

m c

eH e r B L

m m c

Potencial perturbativo: 2 z

R

eV BL

m c

L

LIntroduciendo la frecuencia de Larmor 2

Escribimos el potencial perturbativo c ˆomo z

R

eB

m c

V L

LˆPotencial perturbativo: zV L

L

L

4 2

2 2 L

ˆTenemos que ,

ˆpor tanto,

y

2

nlm nlm

Rnm

V r m r

nlm V nlm m

m e ZE

nm

2

1

1,0,1

n

l

m

2,1, 1

2,1,0

2,1, 1

Cuando se aplica un campo magnético externo al átomo de hidrógeno (y a todos los átomos), líneas espectrales bien definidas se desdoblan en múltiples líneas cercanamente espaciadas.

Se debe a la interacción del campo magnético externo con el momento dipolar magnético asociado con el momento angular orbital.

2l

1l

0 02 L 1 L2 2

2 1

0 0L 2 1 0 L2 2 2 2

1 2 1 2

1 1

E EE m m

n n

E EE m m E m

n n n n

¿Por qué hay solo 3 líneas y no 15?

Por las reglas de selección:

1

0, 1

l

m

1

0, 1

l

m

2l

1l

0 L2 21 2

1 1E E m

n n

2

6. (El principio de la medición) Si el estado

de un sistema es

, ,

entonces la probabilidad que una medición

encuentre al sistema en el estado es

.

n nn

j

j j j

x t c x t

c c c

2 22

Por lo tanto,

,j j j jw c

Atomo con momento dipolar eléctrico:

Regla de selección para el átomo hidrogenoide:

0

si entero arbitrario, 1, 0, 1

i id e r

n l m r nlm

n l m

Quantum Mechanics I. A. Galindo y P Pascual

1

2

2 1

5890 A

5896 A

p s

Bbar

0

2 2e

Nj L L Nj

e eN Ng j g L g L

mc mc

Energía de interacción:

Torca:

Fuerza:

U B

B

F U B

( · ) ( · ) ( · ) ( ) ( ) AB A B B A A B B A

U B F U B B

( · ) ( · ) ( ) ( )

y por t

ˆˆ ˆ

, ,0 0

0 0

y

0,0,

ˆ0,0

anto

( · ) ( )

Tenemos

(

,

· )

x y z y z x z

z

x x y y z z z

x x z y y z z z z z z z

F B B B B B

F B B B

i j k

B B B

B

B B

B B B B k

U B F U B

B

Si el campo es homogéneo

y en la dirección ,

ˆz z z

Z

F B k

1

1,0, 1

l

m

ˆ ,1,1 ,1,1

ˆ ,1,0 0

ˆ ,1, 1 ,1, 1

z

z

z

L n n

L n

L n n