On choosability of graphs with limited number of...

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On choosability of graphs with limited number of colours

M.  Demange,  RMIT  University,  Melbourne,  Vic  -­‐  Australia  Marc.demange@rmit.edu.au  

In  collabora?on  with  D.  De  Werra,  Ecole  Polytechnique  Fédérale  de  Lausanne,  Switzerland  dominique.dewerra@epfl.ch  

2/06/2015  12:57  

Discrete  Maths  Research  Group  mee?ng  –  Monash  University  –  May  25,  2015  

Outline  

•   A  star?ng  example  

•   Choosability:  defini?ons  and  first  examples    •   Some  classes  of  choosable  graphs  

•   Complexity  of  choosability  

•   Choosability  with  few  colors    

2/06/2015  12:57  

Outline  

•   A  star-ng  example  

•   Choosability:  defini?ons  and  first  examples    •   Some  classes  of  choosable  graphs  

•   Complexity  of  choosability  

•   Choosability  with  few  colors    

2/06/2015  12:57  

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

?

3 rooms 5 requirements

Booking system: coloring interval graphs

Pink   Green  Blue  

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 6 to 9

5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

Booking system

Pink   Green  Blue  

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 6 to 9

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 6 to 9

Pink   Green  Blue  

Booking system

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

Pink   Green  Blue  

Booking system

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Interval graph

Chromatic number = 3

M. Demange - RMIT

Polynomial  

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

3 rooms 5 requirements

Each traveler can propose choices: list-coloring

Pink   Green  Blue  

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

M. Demange - RMIT

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

M. Demange - RMIT

1 to 6 5 to 8 3 to 7 2 to 4 7 to 9

M. Demange - RMIT

Outline  

•   A  star?ng  example  

•   Choosability:  defini-ons  and  first  examples    •   Some  classes  of  choosable  graphs  

•   Complexity  of  choosability  

•   Choosability  with  few  colors  

2/06/2015  12:57  

Considered problems: list coloring

2/06/2015  12:57  

Choosability

2/06/2015  12:57  

Choosability: first remarks

2/06/2015  12:57  

First examples in grid graphs

2/06/2015  12:57  

First examples in grid graphs

2/06/2015  12:57  

1,3   2,3  

1,2  1,2  

1,3  2,3  

First examples in grid graphs

2/06/2015  13:27  

1,3   2,3  

1,2  1,2  

1,3  2,3  

First examples in grid graphs

2/06/2015  13:27  

1,3   2,3  

1,2  1,2  

1,3  2,3  

First examples in grid graphs

2/06/2015  13:00  

1,3   2,3  

1,2  1,2  

1,3  2,3  

First examples in grid graphs

2/06/2015  12:58  

1,3   2,3  

1,2  1,2  

1,3  2,3  

First examples in grid graphs

2/06/2015  12:58  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  12:57  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:28  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:19  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:03  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:11  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:10  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:13  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:20  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:21  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:01  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:22  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:01  

(MD, de Werra, 2013)

X  

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:25  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:26  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Grids are not (2,3)-choosable

2/06/2015  13:30  

(MD, de Werra, 2013)

?     Find  an  example  with  less  than  41  ver?ces  

1  

4  

2  

5  

3  

6  

10  

7  

11  

8  

12  

9  

13  

16  

14  

17  

15  

18  

22  

19  

23  

20  

24  

21  

25  

28  

26  

29  

27  

30  

34  

31  

35  

32  

36  

33  

37  

40  

38  

41  

39  

42  

Grids are (2,4)-choosable

2/06/2015  12:57  

Acyclic  orienta?on  s.t.  

2

1

,3)(

,1)(

VxxdVxxd

∈≤

∈≤+

+

Number  ver?ces  by  elimina?ng    Ver?ces  s.t.     0)( =+ xd

(MD, de Werra, 2013)

2/06/2015  12:58  

Grids are 3-choosable

Choosability of bipartite graphs

Theorem (Alon, Tarsi, Combinatorica 12, 1992) A bipartite graph of maximum degree is -choosable Δ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎥⎢⎣

⎢Δ+⎥⎥

⎤⎢⎢

⎡Δ 12

,12

2/06/2015  12:58  

Outline  

•   A  star?ng  example  

•   Choosability:  defini?ons  and  first  examples    •   Some  classes  of  choosable  graphs  

•   Complexity  of  choosability  

•   Choosability  with  few  colors    

2/06/2015  12:58  

Characterization of 2-choosability

2/06/2015  12:58  

Characterization of 2-choosability

2/06/2015  12:58  

Path  with  an  even  

 number  of  ver?ces  

Path  with  an  odd  

 number  of  ver?ces  

Characterization of 2-choosability

2/06/2015  12:58  

Sketch  of  proof:  

1  

Characterization of 2-choosability

2/06/2015  12:58  

Sketch  of  proof  (cont.):  

2  

Characterization of 2-choosability

2/06/2015  12:58  

Sketch  of  proof  (cont.):  

3  

Characterization of 2-choosability

2/06/2015  12:58  

Sketch  of  proof  (cont.):  

3  

2/06/2015  12:58  

Choosability of planar graphs

Planar + no 3- and 4-cycles:3-choosable

Planar+triangle free:4-choosable

Planar: 4-colorable (four colors theorem, Appel and Haken 1977)

Triangle-free planar: 3-colorable (Grotzsch’s theorem, 1959)

Planar: 5-choosable

Planar+bipartite:3-choosable

Outline  

•   A  star?ng  example  

•   Choosability:  defini?ons  and  first  examples    •   Some  classes  of  choosable  graphs  

•   Complexity  of  choosability  

•   Choosability  with  few  colors    

2/06/2015  12:58  

Complexity of choosability Which relevant complexity class?

2/06/2015  12:58  

Complexity of choosability Main known results

2/06/2015  12:58  

Outline  

•   A  star?ng  example  

•   Choosability:  defini?ons  and  first  examples    •   Some  classes  of  choosable  graphs  

•   Complexity  of  choosability  

•   Choosability  with  few  colors    

2/06/2015  12:58  

Choosability with fixed number of colors

2/06/2015  12:58  

(MD., D. de Werra, 2015)

Grids are not [(2,3),4]-choosable

2/06/2015  12:58  

(MD, de Werra, 2013)

1,2   1,2,3  

2,3  1,2,3  

1,2,4  4,3  

4,2  

1,3,4  

1,3  

2,1  1,2,4  

2,3,4  1,3  

1,2,3  

1,4  

1,2,4  

1,2  

2,3,4  

1,3  

1,2,3  

1,4  

Bipartite graphs are [(2,3),3]- choosable

2-choosability revisited

2/06/2015  12:58  

Characterization of 2-choosability (remind …)

2/06/2015  12:58  

2-choosability revisited

2/06/2015  12:58  

2-choosability revisited

2/06/2015  13:33  

k-choosability vs (k+1)-choosability

2/06/2015  12:58  

k-choosability vs (k+1)-choosability

2/06/2015  13:33  

Complexity with few colors

2/06/2015  12:58  

Complexity with few colors

2/06/2015  13:34  

Complexity with few colors

2/06/2015  13:34  

Complexity with few colors: [3,k]-choosability

No list coloring

Complexity with few colors: [3,k]-choosability

No list coloring

Complexity with few colors: [3,k]-choosability ,  3  

3,  

,  3  

3,  

3  will  never  be  used    

No list coloring

Complexity with few colors: [3,k]-choosability ,  3  

3,  

,  3  

3,  

3  will  never  be  used    

No list coloring

Complexity with few colors: triangle-free planar graphs

No list coloring

Complexity with few colors: triangle-free planar graphs

Color 3 forbidden for A

Last remark

An exercise: is this graph 2-choosable?

12:58  

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