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La Trasformata di Fourier:
basi matematiche ed applicazioni
Parte III
Metodi di Calcolo per la Chimica
A.A. 2016-2017
Marco Ruzzi
“Showing a Fourier transform to a physics student
generally produces the same reaction as showing a crucifix to Count Dracula”
A Student’s Guide to Fourier Transformswith Applications in Physics and Engineering
J. F. JamesSecond Edition
Il Sia x (t) : una funzione a valori complessi. Se l’integrale:
La Trasformata di Fourier [1]
Definizione.
esiste finito per ogni , allora x (t) è detta trasformabile secondo Fourier ela funzione:
viene chiamata trasformata di Fourier di x (t).
Una classe importante di funzioni continue a tratti trasformabili secondo Fourier ècostituita dalle funzioni assolutamente integrabili, ossia dalle funzioni in .
Sia x (t) : una funzione continua a tratti. Diciamo che x (t) è assolutamenteintegrabile se l'integrale:
esiste finito.
La Trasformata di Fourier [2]
Condizione sufficiente per l’esistenza della trasformata.
Supponiamo che x (t) sia continua a tratti e assolutamente integrabile. Allora x (t) ètrasformabile secondo Fourier.
Vale:
e quindi vale anche:
Trasformata di Fourier di funzioni reali.
La trasformata di Fourier F(ω) di un segnale reale f (t) è in generale complessa.
e la trasformata di Fourier si può scrivere come:
Vale:
La Trasformata di Fourier [3]
Per visualizzare graficamente X (ω) è allora necessario considerare separatamente ilmodulo |X (ω)| e la fase arg(X (ω)) della trasformata:
arg
La parte reale Re {F(ω)} e la parte immaginaria Im{F(ω)} sono rispettivamente:
Poiché la funzione coseno è pari e la funzione seno è dispari, si ha che:
Vale di conseguenza:
,
arg arg
-
La Trasformata di Fourier [4]
si vede che talvolta (quando x(t) è reale e simmetrica) è possibile semplificare ilcalcolo della trasformata di Fourier:
se la funzione x (t) è reale e pari, valgono:
se invece la funzione x(t) è reale e dispari, valgono:
Dall’equazione trovata:
e la trasformata X (ω ) è reale e pari;
e la trasformata X (ω ) è immaginaria pura e dispari.
•
•
1
1/2-1/2
La Trasformata di Fourier [5]
Esempio1. Segnale impulso rettangolare unitario di durata 1.
Consideriamo la funzione porta unitaria, definita da:
È immediato verificare che e che quindi la trasformata di Fourieresiste finita e il suo calcolo appare immediato:
il calcolo è ancora più semplice:
Per :
Per ω = 0 :
;
.
La Trasformata di Fourier [6]
in virtù del limite notevole
Il risultato trovato:
può essere scritto in termini di funzione seno cardinale (sinc):
1
dove la funzione al secondo membro si intende estesa per continuità nell'origine.
2π−2π
La Trasformata di Fourier [7]
dove a > 0 è un parametro reale positivo.
Esempio 2. Segnale Funzione decadimento esponenziale.
Siccome x (t) è una funzione pari, vale:
Consideriamo la funzione decadimento esponenziale, definita come:
e si ottiene:
La funzione e dunque esiste la sua trasformata.
L’aver considerato in x (t) il modulo dell’esponente ha permesso di considerare lafunzione x (t) una funzione pari e dunque di considerare nel calcolo della trasformatasolo il termine cosinusoidale.
Il risultato ottenuto qui, ponendo t in modulo, è un caso particolare del risultato piùgenerale ottenuto in precedenza con t esteso sull’intero asse dei tempi, ossia:
La Trasformata di Fourier [8]
Alcune proprietà della trasformata
Se , allora la sua trasformata di Fourier X (ω ) è una funzione limitata.
Vale infatti:
e l'ultimo integrale esiste finito dato che .
1. Convergenza.
2. Linearità.
La linearità è una diretta conseguenza della definizione di trasformata di Fourier, edella linearità dell'integrale.
Se x (t) e y (t) sono funzioni trasformabili secondo Fourier con trasformate X (ω ) eY (ω ), allora è trasformabile anche ogni loro combinazione lineare, e vale:
.
3. Scalatura
Se a ≠ 0 è un parametro reale, vale:
La relazione si dimostra facilmente risolvendo l’integrale per sostituzione con ilcambio di variabile at = T :
In ogni caso vale:
La Trasformata di Fourier [9]
−
La Trasformata di Fourier [10]
4. Modulazione.
Per ogni , vale:
5. Traslazione.
Per ogni , si ha:
È sufficiente eseguire il cambiamento di variabile T = t − a nell'integrale:
La verifica è semplice:
6. Coniugio.
La Trasformata di Fourier [11]
Indicando con il complesso coniugato di x, si ha:
La verifica è immediata:
Dalla proprietà di coniugio segue facilmente la seguente uguaglianza di Parseval.
Supponiamo che x (t) sia trasformabile secondo Fourier, e che l'integrale:
7. Uguaglianza di Parseval
sia finito. Allora vale la seguente relazione:
La Trasformata di Fourier [12]
La relazione segue dalla diretta applicazione della definizione di trasformata diFourier. Infatti:
Invertendo l’ordine di integrazione si ha:
Il termine tra parentesi quadre è la trasformata di Fourier di x (t), quindi:
.
La Trasformata di Fourier [13]
L’energia del segnale può essere scritta:
La relazione di Parsifal dunque fornisce l’energia di un segnale in termini della suatrasformata di Fourier:
Il quadrato del modulo della trasformata di Fourier è il contributo all’energia delsegnale offerto dalle sue componenti con frequenza compresa tra ω e ω + dω :
Dato un segnale x (t), in generale complesso, si definisce potenza istantanea (insenso lato) la funzione:
da cui deriva la definizione di potenza media:
7. Senso fisico della trasformata di un segnale
La Trasformata di Fourier [14]
Proprietà importanti…
Di seguito viene proposta la giustificazione di alcune proprietà delle trasformate e neviene mostrato l’impiego in alcuni esempi, rimandando a una letteratura piùspecializzata le dimostrazioni matematiche formali.
La Trasformata di Fourier [15]
Si calcoli la trasformata di Fourier della funzione porta centrata con:
Si tratta di una funzione porta di ampiezza 1, durata T e centrata nell'origine.
e applicando sulla trasformata la proprietà di riscalamento con si ottiene:
ovvero:
1. Porta centrata
La porta pT (t) può essere riscritta in termini di porta unitaria:
La Trasformata di Fourier [16]
Si calcoli la trasformata di Fourier della funzione porta decentrata:
Si tratta di una funzione porta di ampiezza 1, durata 4 e centrata nel punto a = 8.
Dalla proprietà di traslazione e dall'esempio della porta centrata si ottiene alla fine:
2. Porta decentrata
Per il calcolo della trasformata conviene eseguire una traslazione e ricondursi allaporta centrata:
106
1
La Trasformata di Fourier [17]
3. Delta di Dirac
La funzione impulso di durata infinitesima (o delta di Dirac) δ (t) non èmatematicamente descrivibile mediante una funzione e necessita del concetto di“distribuzione” per essere definita.
Sia ( )tf una funzione complessa di variabile reale, continua nel punto t0
del suo dominio ( ) ⊆tfD ..
valga la seguente relazione:
Vale ovviamente, con t0 = 0 :
:
( )[ ] =tfδ0t
( )[ ]=tfδ0
•[ ] =•0tδ •
Si definisce delta di Dirac la distribuzione δ tale che, definito il funzionale lineare e continuo:
con la proprietà:
.
La Trasformata di Fourier [18]
La funzione δ (t) non è una funzione nel senso di Dirichelet e deve essere pensatacome una funzione generalizzata:
Ricordando la definizione di impulso rettangolare di durata ∆ e ampiezza V :
vale:
con la proprietà:
.
→ +∞ → → +∞
Il calcolo della trasformata della funzione delta di Dirac è immediato. Ricordandoche, se f (t) è una funzione continua in t0, allora vale:
si può concludere che:
da cui i ricava la nota coppia di trasformate:
La Trasformata di Fourier [19]
La trasformata di Fourier della funzione delta centrata su t0=0 (nel dominio deitempi) è una funzione costante e unitaria (nel dominio delle frequenze)!
Questo risultato indica che una funzione δ (t) (ad esempio un impulso di duratainfinitamente breve nel tempo) ha un contenuto spettrale che include tutte lefrequenze in modo uguale.
4. Segnale costante
Si osservi che in questo caso l’ultima condizione di Dirichlet non è verificata.
Per il calcolo della trasformata della funzione costante si può partire considerando lafunzione impulso nel dominio delle frequenze δ (ω − ω0). Antitrasformando siricava:
La Trasformata di Fourier [20]
e trasformando su entrambi i membri (vale F−1 F = �) si ottiene la coppia:
Di conseguenza per ω0 = 0 vale:
La trasformata di Fourier di una funzione costante nel tempo è la funzione Delta diDirac centrata alla frequenza ω0 = 0 .
Il risultato mostra come un segnale continuo e costante nel tempo è costituito da unasola componente in frequenza, e precisamente la frequenza zero (periodo illimitato).
La relazione trovata dimostra che la trasformata dell’esponenziale complesso eiω0t èun impulso δ traslato in ω0 .
La Trasformata di Fourier [21]
Il calcolo della trasformata di Fourier di un segnale cosinusoidale è eseguitosfruttando la proprietà di linearità della trasformata:
3. Funzione cosinusoidale
Usando la relazione di Eulero possiamo riscrivere l’espressione per f (t) come:
Sapendo che la trasformata dell’esponenziale complesso eiω0 è un impulso traslato in ω0, ossia:
per la linearità vale:
La trasformata di Fourier della funzione coseno è la somma di due funzioni delta diDirac centrate rispettivamente sui valori +ω0 e –ω0 con ω0 frequenza del coseno.
Questo risultato indica che la funzione coseno definita sull’intero asse dei tempi haun contenuto spettrale che include una sola frequenza.
t t t t
t
t t
Nell’ambito di un esperimento NMR, considerando un campione di spin conun’unica frequenza di risonanza ωL la componente y della magnetizzazione variasecondo la legge:
( ) ( ) 20
T
t
L etcosItI−
ω=
La trasformata di Fourier della funzione I (t) risulta una riga di forma Lorentzianacentrata sulla frequenza di risonanza ωL = 2π νL e con larghezza W ∼ 1 /T2
(Free Induction Decay) .
corrispondentecomponente spettrale
FID
tempo
T2
νLνLfrequenza
W ∼ 1/T2
Traformata
di FourierI(t) I(ν)
La Trasformata di Fourier [22]
4. FID
La Trasformata di Fourier [23]
Per il calcolo della trasformata di Fourier del FID conviene esprimere la funzionetramite un esponenziale, eseguire l’integrazione e considerare alla fine solo la partereale del risultato:
( ) ( ) ( ) ( )
=
πν=
−πν
−
tueeItuet2ItIT
t
tL2iT
t
L2
02
0 Recos
( )( )
( )
ν−νπ−−
==
ν−νπ−−
ν−νπ−−∞+
∫L
LiT
t
LiT
t
iT
eIdteI
21
2
22
1
0
22
1
00
0
+∞
( ) ( ) dteeeIdtetIItiT
t
tLiti πν−∞+ −
πνπν−∞+
∞−
∫∫
==ν 2
0
220
2
( )
ν−νπ−
=
LiT
I
21
1
2
0
con u (t) gradino unitario (u (t) = 0 se t < 0 e u (t) = 1 se t > 0 ).
t=0
I (t)FID
t
La trasformata è una funzione complessa perché la I (t) è reale e asimmetrica.Razionalizzando…
( )( )
ν−νπ−
=ν
LiT
II
21
1
2
0
( )
( )
( )
( )
( )
ν−νπ+
ν−νπ+
=
ν−νπ+
ν−νπ+
⋅
ν−νπ−
=22
22
20
2
2
2
0
41
21
21
21
21
1
L
L
L
L
LT
iT
I
iT
iT
iT
I
( )
( )[ ]
( )
ν−νπ+
ν−νπ+
ν−νπ+
=22
22
022
22
20
41
2
41
1
L
L
LT
Ii
T
TI
( )[ ]νIRe ( )[ ]νIIm
componente in assorbimento componente in dispersione
La Trasformata di Fourier [24]
La Trasformata di Fourier [25]
Lorentziana centrata su νL
e di larghezza W∼1 /T2
( )[ ]( )
ν−νπ+
=ν22
22
20
41
1
Re
LT
TII
La riga in assorbimento dello spettro NMR è la parte reale della trasformata:
La trasformata di Fourier della funzione I (t) che descrive il FID risulta una riga diforma Lorentziana centrata alla frequenza di risonanza νL di Larmor e con larghezzadi riga W ∼ 1 /T2 .
( )222
22
041 ν−νπ+
=LT
TI
νL
W ~ 1/T2
ν
MatLab e Trasformate di Fourier [1]
V V
La figura riporta il grafico della coppia trasformata e antitrasformata nel casodell’impulso rettangolare.
Il seguente programma in MatLab mette in evidenza il comportamento duale che esiste tratempo e frequenza: a fronte di una maggiore “concentrazione” nel tempo si ha una maggiore“dilatazione” nelle frequenze e viceversa, maggiore è la “concentrazione” nelle frequenze,maggiore è la “dilatazione” nel tempo. Per illustrare questa attitudine il programma confrontagli spettri relativi a due impulsi con durata temporale T1 e T2 con T2 = 10 T1.
MatLab e Trasformate di Fourier [2]
Confronto tra spettri relativi adue impulsi aventi duratatemporale, rispettivamente diT1=10 sec e T2=100 sec.
MatLab e Trasformate di Fourier [3]
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