View
56
Download
5
Category
Preview:
DESCRIPTION
Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki MetodiKniga Numerichki Metodi v Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki MetodiKniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi v Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki MetodiKniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi Kniga Numerichki Metodi
Citation preview
Voved 1
NUMERI^KI METODI
1. VOVED
Va`nost na numeri~kite metodi vo in`enerstvoto Pove}eto problemi vo in`enerskata analiza vklu~uvaat, (1) razvivawe matemati~ki model koj }e gi pretstavuva site va`ni karakteristiki na fizi~kiot sistem; (2) izveduvawe na ravenkite koi go opi{uvaat odnesuvaweto na modelot, so primena na fizi~kite zakoni kako {to se ravenkite za ramnote`a, Wutnovite zakoni za dvi`eweto, zakonite za odr`uvawe na masata i energijata; (3) re{avawe na ravenkite na problemot; (4) interpretacija na re{enieto. Vo zavisnost od sistemot {to se analizira i od koristeniot matemati~ki model, ravenkite na problemot mo`e da bidat pretstaveni vo vid na sistem od linearni ili nelinearni algebarski ravenki, set od transcendentni ravenki, sistem od obi~ni ili parcijalni diferencijalni ravenki, sistem od homogeni ravenki so koi se opi{uva problemot na sopstveni vrednosti, ili ravenki koi vklu~uvaat integrali ili izvodi. Ako re{enieto mo`e da se pretstavi so matemati~ki izraz vo zatvorena forma, toa se narekuva analiti~ko re{enie. Analiti~ko re{enie e to~no re{enie, koe mo`e da se koristi za da se analizira odnesuvaweto na sistemot so promenlivi parametri. Nie mo`eme ili ne mo`eme da najdeme analiti~ko re{enie na ravenkite na problemot. Za `al, mnogu malku od prakti~nite sistemi imaat analiti~ko re{enie. Vo tie slu~ai se primenuvaat numeri~ki metodi. Numeri~kite re{enija ne mo`e da se pretstavat so matemati~ki izraz. Tie mo`e da se opredelat so soodveten tip iterativna presmetuva~ka postapka. Bidej}i numeri~kite metodi vklu~uvaat golem broj aritmeti~ki presmetuvawa, nivnata upotreba i popularnost se zgolemuva so razvitokot i dostapnosta na mo}nite i ne tolku skapi kompjuteri. Numeri~kite metodi mo`e da se koristat za nao|awe re{enija, duri, i na kompleksni in`enerski problemi. Dodeka analiti~kite re{enija voobi~aeno baraat pove}e uprosteni pretpostavki za fizi~kiot sistem, za numeri~kite re{enija, tie ne se potrebni. Iako ovie metodi ne obezbeduvaat direkten prikaz na odnesuvaweto na simplificiraniot fizi~ki sistem, tie mo`e da se koristat za analiza na odnesuvaweto na realnite fizi~ki sistemi. Vo su{tina, numeri~kata analiza pretstavuva most pome|u aproksimativnite matemati~ki teorii i neposrednata primena na matematikata. Vo numeri~kite metodi, re{enieto na eden problem
2 Voved
NUMERI^KI METODI
koj e zadaden preku kone~ni brojni vrednosti se dobiva, isto taka, vo kone~ni brojni vrednosti, a ne vo op{ti vrednosti, kako {to e voobi~aeno vo klasi~nite metodi. Razvojot i primenata na ovie metodi se povrzani so potrebata od re{avawe slo`eni problemi za koi re{enieto ne mo`e da se dobie eksplicitno. Toa se glavno dvodimenzionalnite i trodimenzionalnite problemi. Vo ponovo vreme, so pojavata i razvitokot na kompjuterite, numeri~kite metodi se primenuvaat i kaj poednostavnite, ednodimenzionalni problemi. Primena na numeri~kite metodi Primenata na numeri~kite metodi i na kompjuterite e dosta {iroka vo site oblasti od in`enerstvoto: grade`ni{tvoто, arhitekturata, еlektrotehnikata, brodogradbata, vo avioindustrijata. Mnogu zna~aen pridones vo razvojot na ovie metodi imaat dadeno tokmu grade`nite in`eneri. Vo grade`ni{tvoto, primenata na ovie metodi e pri proektiraweto na in`enerskite objekti: brani, mostovi, soobra}ajnici, zgradi i dr. Na primer, za proektirawe na brani se primenuva metodot na kone~ni elementi, pri {to konstrukcijata na branata mo`e da se tretira ramninski, zaedno so podlogata i so okolnata karpesta masa. Vo dene{no vreme, so koristeweto na mo}ni kompjuteri, analizita se vr{i na prostoren model. Sli~no e i pri proektiraweto na tunelite, kade {to se zema vo predvid i vlijanieto na celata okolna sredina. Vo ponovo vreme sé pove}e se gradat mostovi so golemi rasponi i so slo`en napre~en i nadol`en presek i za nivno proektirawe e neizbe`na primenata na numeri~kite metodi i na kompjuterite. Osobeno e va`na primenata na kompjuterskite metodi pri proektiraweto na soobra}ajnicite so site nivni pridru`ni objekti, koi pretstavuvaat in`enerski dela vo koi se vlo`uvaat golemi finasiski sredstva. Pritoa, izborot na najpovolnata varijanta i ekonomi~noto proektirawe e od golema va`nost. Vo objektite od visokogradbata, primenata na kompjuterite i kaj nas pretstavuva standarden na~in na analiza i proektirawe. Goleminata na objektite, odnosno brojot na ravenkite {to treba da se re{avaat pri nivnata analiza, ne pretstavuva problem nitu ograni~uvawe. Nivnata analiza za kakvi i da bilo vlijanija, kako {to se na primer zemjotresite, so primena na kompjuterite, pretstavuva ednostavna i sekojdnevna rabota. So voveduvaweто na grafikata i на grafi~kite stanici vo kompjuterskata tehnika, se otvoraat {iroki mo`nosti za proektirawe na sekakvi in`enerski i arhitektonski objekti. Celoto proektirawe i grafi~koto pretstavuvawe mo`e da se odvivaat so kompjuterska tehnika, bazirana na numeri~ki metodi i kompjuterski programi.
Voved 3
NUMERI^KI METODI
Zo{to gi izu~uvame numeri~kite metodi?
Numeri~kite metodi se ekstremno mo}ni alatki za re{avawe na razli~ni problemi. Tie se vo sostojba da se spravat so:
golemi sistemi ravenki, nelinearnosti, komplicirani geometrii, problemi koi e nevozmo`no da se re{at analiti~ki a ne se
retki vo in`enerskata praktika. Kako takvi, numeri~kite metodi zna~itelno gi zajaknuvaat na{ite sposobnosti za re{avawe na problemite. Vo in`enerskata praktika, ~esto se koristat dostapni komercijalni paketi, t.n. “zatvoreni kutii”, kompjuterski programi vo koi se vgradeni postapki bazirani na numeri~kite metodi. Inteligentnoto koristewe na ovie programi e bazirano vrz poznavaweto na bazi~nata teorija {to stoi zad numeri~kite metodi. Mnogu problemi ne mo`at da se re{at so koristewe na vakvi gotovi programi, no ako gi poznavate i gi koristite numeri~kite metodi i ako ste ve{ti vo kompjuterskoto programirawe, }e bidete vo sostojba da izrabotite va{i sopstveni programi za re{avawe na nekoi problemi. Numeri~kite metodi se efikasni sredstva da nau~ite kako da gi koristite kompjuterite. Efekten na~in da nau~ite programirawe e da napravite (napi{ete) programa. Poradi toa {to numeri~kite metodi vo najgolem broj slu~ai se razvieni za primena na kompjuter, tie se idealni za taa cel. Osobeno se sposobni da gi ilustriraat mo}nosta i ograni~uvawata na kompjuterite. Koga uspe{no }e ja implementirate numeri~kata metoda na komjuter a potoa }e ja primenite i za re{avawe na drug nere{en problem, vo isto vreme, }e nau~ite da gi prepoznaete i da gi kontrolirate gre{kite pri aproksimaciite, koi se del od golemiot broj numeri~ki operacii. Numeri~kite metodi obezbeduvaat sredstva {to }e vi pomognat da go podobrite va{eto razbirawe na matematikata. Vo niv kompliciranite matemati~ki operacii se reducirani na osnovni matemati~ki operacii. Numeri~ka analiza e granka od primenetata matematka koja gi izu~uva metodite i algoritmite za opredeluvawe na aproksimativni (numeri~ki) re{enija na razli~ni matemati~ki problemi so koristewe na kone~na serija od aritmeti~ki i logi~ki operacii. Najgolem broj re{enija na numeri~kite problemi se bazirani vrz teorijata na linearnata algebra. Dobar numeri~ki metod gi poseduva slednive tri karakteristiki: • to~nost - numeri~kata aproksimacija treba da bide {to e mo`no
poto~na,
4 Voved
NUMERI^KI METODI
• robustnost - algoritamot treba dobro da re{ava mnogu problemi, • konvergentnost - re{enieto da se pribli`uva kon to~noto
re{enie, • stabilnost- mala promena vo re{enieto pri mala promena na
podatocite, • brzina - kolku {to presmetuvaweto e pobrzo tolku e podobar
metodot. ^esto se slu~uva eden metod da bide pobrz dodeka drug e poto~en. Toa zna~i deka nitu eden metod ne e univerzalen i najdobar za site slu~ai. Uslovenost i stabilnost, doverba vo podatocite i gre{ki Dobro usloven matemati~ki problem e onoj pri koj re{enieto se menuva nezna~itelno pri mala promena na podatocite na problemot. Analogno na toa, za numeri~kiot algoritam postoi konceptot na numeri~ka stabilnost. Algoritamot za re{avawe na dobrousloven problem e numeri~ki stabilen, ako re{enieto se menuva za mala vrednost koga podatocite se menuvaat za mala vrednost. Toa zna~i deka gre{kite napraveni vo po~etokot, ponatamu, nema nekontrolirano da rastat i da se natrupuvaat. Va`en del od numeri~kata analiza e i analizata na generiraweto i propagiraweto na gre{kite od zaokru`uvawe pri presmetuvaweto. Vadeweto na dva pribli`no isti broja e lo{o uslovena operacija koja producira katastrofalni gre{ki. Doverba vo vleznite podatoci Koga nekoj podatok se koristi vo presmetuvaweto, mora da sme
sigurni deka toj mo`e da se upotrebi so doverba. Pri vizuelen pregled mo`e da procenime deka nekoja vrednost se
dvi`i vo odredeni granici (na pr. 58-59 km/h) ili pak }e ka`eme deka vrednosta iznesuva aproksimativno 59 km/h.
Zna~ajni cifri vo eden broj se onie koi mo`e da se koristat so doverba.
Brojot na zna~ajni cifri e ednakov na brojot na dadenite cifri plus edna proceneta cifra.
Na primer, sekoj od slednive broevi ima 3 zna~ajni cifri: 2,410; 2.41; 0.00241.
Zabunata mo`e da se izbegne pri koristewe na nau~na oznaka (scientific notation), na pr: 2.41h103 zna~i deka brojot ima tri zna~ajni cifri.
Sekoja matemati~ka operacija vo koja se koristi neprecizna cifra e neprecizna.
Voved 5
NUMERI^KI METODI
Tipovi gre[ki Kako gre{ka, pri procena ili pri opredeluvawe na nekoja vrednost od interes, mo`e da se definira otstapuvaweto od nejzinata nepoznata to~na vrednost. Gre{kite mo`e da se klasificiraat kako:
o nenumeri~ki gre{ki o numeri~ki gre{ki
Nenumeri~ki gre{ki mo`e da bidat:
gre{ki pri modeliraweto pome{uvaweto, pogre{en ~ekor neizvesnosti vo odnos na informaciite i podatocite.
Numeri~ki gre{ki se:
gre{ki od zaokru`uvawe gre{ki od prekinuvawe na iterativniot proces gre{ki pri matemati~ki aproksimacii
Gre{ka ozna~ena so e mo`e da se definira kako:
e=xc-xt kade {to, xc e presmetana, a xt e to~na vrednost. Relativnata gre{ka se opredeluva kako:
er=(xc-xt)/xt= e/xt Relativnata gre{ka mo`e da se izrazi vo procenti:
%100x
xxet
tcr ⋅
−=
ili %100x
xxabset
tcr ⋅
−=
Merewa i gre[ki Primer 1. Dol`inata na eden most e merena i iznesuva 9999cm, a dol`inata na eden bolt e izmerena i iznesuva 9cm. Ako to~nite vrednosti se 10000cm i 10cm, soodvetno, da se presmeta apsolutnata gre{ka i apsolutnata vrednost na relativnata gre{ka vo %, za sekoj slu~aj.
a) Apsolutna gre{ka:
Most: cm1100009999xxe tc =−=−=
6 Voved
NUMERI^KI METODI
Bolt: cm1109xxe tc =−=−=
b) Apsolutna vrednost na relativnata gre{ka vo %:
Most: %01,010010000
100009999100x
xxet
tc =⋅−
=⋅−
=
Bolt: %1010010
109100x
xxet
tc =−
=−
=
Vo realni situacii, to~noto re{enie ne e poznato. Vo toj slu~aj, za da se presmeta gre{kata, se koristi najdobrata procena na re{enieto koe, isto taka, e presmetano.
tii xxe −= kade {to ei e gre{ka vo x, pri iteracijata i, a xi e presmetanata vrednost na x vo iteracijata i. Sli~no, gre{kata vo iteracijata i+1 e:
t1i1i xxe −= ++
Promenata vo gre{kata ie∆ mo`e da se presmeta kako:
i1itit1ii1ii xx)xx()xx(eee −=−−−=−=∆ +++
Iteracijata prodol`uva sé dodeka ie∆ ne stane pomalo od dadena tolerancija, vo koj slu~aj xi+1 }e bide dovolno blisku do xi. Analiti~ki vo sporedba so numeri~kite metodi Analiti~kite i numeri~kite pristapi se razlikuvaat spored algoritamot:
analiti~koto presmetuvawe se primenuva pri re{avawe na analiti~ki problemi
aritmetikata so kone~ni razliki e osnova za numeri~kite metodi.
Prednosti i nedostatoci na analiti~kite metodi :
analiti~kite tehniki obezbeduvaat direktno re{enie i rezultiraat vo egzaktno re{enie, ako takvo postoi;
Voved 7
NUMERI^KI METODI
analiti~kite metodi voobi~aeno baraat pomalku vreme za pronao|awe na re{enieto; procedurata na analiti~koto re{enie stanuva zna~itelno pokompleksna koga }e se vovedat ograni~uvawa na vrednostite na nepoznatite vo problemot.
Prednosti i nedostatoci na numeri~kite metodi :
numeri~kite tehniki mo`e da se primenat za funkcii koi imaat kompleksna struktura; za numeri~kite metodi e potreben golem broj iteracii za da se pribli`at kon to~noto re{enie; re{enieto voobi~aeno ne e to~no i potrebno e da se obezbedi po~etna procena na vrednostite na nepoznatite.
Primer 2. Da se opredeli minimumot na dadenata funkcija, analiti~ki i numeri~ki:
2x3xy 2 +−= Analiti~ko re[enie
03x2dxdy
=−= ⇒ 5.123x ==
spored toa, 25.02)5.1(3)5.1(y 2min −=+−=
Numeri~ko re[enie Eden na~in na numeri~ko re{enie e funkcijata da se tabelira vo intervalot na vrednostite na x, so konstanten inkrement ∆x, i na toj na~in da se opredeli vrednosta na x za koja y ima najmala vrednost. Na primer, ako e definiran intervalot od 1 do 2 i ako se odbere inkrement ∆x=0.2, narednata tabela i grafikot poka`uvaat deka minimalnata vrednost na y se nao|a vo podintervalot 1.4< x < 1.6.
x y=x2-3x+2 1 0
1.2 -0.16
1.4 -0.24 1.6 -0.24 1.8 -0.16 2 0
}
8 Voved
NUMERI^KI METODI
Za da se podobri to~nosta na re{enieto, mo`e da se prebaruva vo intervalot 1.4 < x < 1.6, a inkrementot da se namali na 0.02 i da se povtori postapkata.
x y=x2-3x+2 1.4 -0.24 1.42 -0.2436 1.44 -0.2464 1.46 -0.2484 1.48 -0.2496 1.5 -0.25 ymin 1.52 -0.2496 1.54 -0.2484 1.56 -0.2464 1.58 -0.2436 1.6 -0.24
Karakteristiki na numeri~kite metodi Numeri~kite metodi gi imaat slednive karakteristiki: 1. procedurata na presmetuvaweto e iterativna, to~nosta na
procenetoto re{enie se podobruva so sekoja iteracija, 2. procedurata na presmetuvaweto obezbeduva samo aproksimacija
na to~noto (egzaktno), no nepoznato re{enie, 3. mo`e da bide potrebna po~etna procena na re{enieto, 4. presmetuvaweto e ednostavno, a algoritmite na procedurata
mo`e lesno da se programiraat, 5. vo nekoi slu~ai re{enieto mo`e da divergira od to~noto
re{enie. Primer 3. Kvadraten koren Ovoj primer ilustrira kako, so koristewe numeri~ki metodi, da se opredeli kvadraten koren od eden proizvolen realen broj.
y)y(f =
Pri koristewe na kalkulator samo se vnesuva brojot y, a potoa se
pritiska kop~eto . Vo Excel, se koristi funkcijata SQRT. Numeri~ka postapka
Voved 9
NUMERI^KI METODI
Da pretpostavime po~etna vrednost xo za kvadratniot koren. Ovaa vrednost }e se razlikuva od to~nata vrednost na korenot za nekoe
x∆ . Ako go znaeme x∆ , toga{ mo`e da napi{eme:
yxxo =∆+
So kvadrirawe od dvete strani, dobivame:
y)xx( 2o =∆+ ili,
y)x(xx2x 2o
2o =∆+∆+
Ako pretpostavime deka 2)x(∆ e mnogu pomalo od x∆ , toj ~len mo`eme da go zanemarime, pa imame:
yxx2x o2o =∆+
o
2o
x2xyx −
=∆
Ovaa vrednost mo`e da se dodade na xo za da se dobie novo podobreno re{enie x. Zna~i, novata procena na to~noto re{enie e dadena so:
xxx o1 ∆+=
ili vo op{ta forma:
ii1i xxx ∆+=+ i
2i
i x2xyx −
=∆
Za ilustracija, da pretpostavime: y=150, ?y = Po~etna procena, xo=12 Prva iteracija:
0o1 xxx ∆+=
25,012212150
x2xyx
2
0
20
0 =⋅−
=−
=∆
25,1225,012x1 =+=
Vtora iteracija:
112 xxx ∆+=
00255,025,12225,12150
x2xyx
2
1
21
1 −=⋅−
=−
=∆
24745,1200255,025,12x 2 =−=
10 Voved
NUMERI^KI METODI
Treta iteracija:
223 xxx ∆+=
62
2
22
2 28598,124745,12224745,12150
x2xyx −−=
⋅−
=−
=∆
24744871,1228598,124745,12x 63 =−= −
To~no re{enie: 24744871,12y = , zna~i so 7 cifri, dovolni se 3
iteracii za da se dojde do to~noto re{enie. Primer 4. Koren na polinom Primerot ilustrira kako da se pristapi kon re{avaweto, pri nao|awe na eden koren na polinom so primena na numeri~kiot metod:
08x6x3x 23 =+⋅−⋅− Delej}i gi dvete strani na ravenkata so x, dobivame:
0x86x3x 2 =+−⋅−
Koristej}i go ~lenot x2, re{avame po x:
x86x3x −+⋅=
Prethodnata ravenka mo`e da se re{ava iterativno:
i
i1i x86x3x −+⋅=+
Ako se pretpostavi po~etno re{enie xo=2, toga{:
828427,2286)2(3
x86x3x
o
o1 =−+⋅=−+⋅=
x1=2,828427, a vtorata iteracija dava:
414213,3828427,2
86828427,23x2 =−+⋅=
Po tretata iteracija dobivame:
728202,3414213,3
86414213,33x 3 =−+⋅=
Voved 11
NUMERI^KI METODI
Rezultatite od drugite iteracii (vkupno 20) se prika`ani vo narednata tabela Evidentno e deka re{enieto konvergira kon to~noto re{enie 4.0, po 20 -tata iteracija:
i xi aps. gre{ka i xi aps. gre{ka 0 2 2.000000000000 1 2.828427125 1.171572875254 11 3.999618138 0.00038186232 2 3.414213562 0.585786437627 12 3.999832929 0.00016707053 3 3.728202642 0.271797358430 13 3.999926906 0.00007309446 4 3.877989404 0.122010596101 14 3.999968021 0.00003197904 5 3.946016161 0.053983838780 15 3.999986009 0.00001399087 6 3.976265497 0.023734503479 16 3.999993879 0.00000612101 7 3.989593764 0.010406236009 17 3.999997322 0.00000267794 8 3.995442980 0.004557020499 18 3.999998828 0.00000117160 9 3.998005481 0.001994518577 19 3.999999487 0.00000051258 10 3.999127241 0.000872759280 20 3.999999776 0.00000022425
Primena na Taylor-ovi redovi vo numeri~kite presmetuvawa Karakteristiki na Taylor-ovite redovi • Razvivaweto na Tajlorovite redovi (Taylor series expansions) ima
golemo zna~ewe pri izu~uvaweto na numeri~kite metodi. • Vo osnova, so Tajlorovite redovi se predviduva vrednosta na
funkcijata vo nekoja to~ka vo zavisnost od vrednosta na funkcijata i izvodite na funkcijata vo druga bliska to~ka.
• Tajlorovite redovi voobi~aeno se koristat vo in`enerskata analiza, za aproksimacija na funkcii koi nemaat zatvoreno re{enie.
• Za nekoja funkcija f(x) koja zavisi samo od edna nezavisno promenliva x, vrednosta na funkcijata vo to~kata x0+h mo`e da se aproksimira so Tajlorovi redovi.
• Tajlorovite redovi se izrazeni kako:
1n0)n(
n
0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00 R)x(f!n
h.....)x(f!3
h)x(f!2
h)x(hf)x(f)hx(f)x(f +++++++=+=
kade {to se: x0 - osnovna ili po~etna vrednost x - to~ka za koja se bara vrednosta na funkcijata h=x-x0 - rastojanija pome|u x0 i x, ili ~ekor n! - faktoriel od n; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……1 f(x0) - vrednost na funkcijata vo po~etnata to~ka f(n)(x0) - vrednost na n-tiot izvod na funkcijata vo po~etnata to~ka
12 Voved
NUMERI^KI METODI
Ekspanzijata na Tajlorovite redovi mo`e da se izrazi vo kompaktna forma kako:
)x(f!k
h)hx(f 0k
n
0k
k
0 ∑=+=
pritoa, 0! =1 po konvencija.
Gornata ravenka e bazirana na pretpostavkata deka postojat kontinuirani izvodi na funkcijata vo intervalot koj gi vklu~uva to~kite od x0 do x. Red na aproksimacijata
Redot na aproksimacijata e definiran so redot na najvisokiot izvod koj e vklu~en vo aproksimacijata na funkcijata.
• Aproksimacija od prv red (dva ~lena)
)x(hf)x(f)hx(f 0)1(
00 +=+
• Aproksimacija od vtor red (tri ~lena)
)x(f!2
h)x(hf)x(f)hx(f 0)2(
2
0)1(
00 ++=+
• Aproksimacija od treti red (~etiri ~lena)
)x(f!3
h)x(f!2
h)x(hf)x(f)hx(f 0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00 +++=+
Primer 5. Da se poka`e razvivaweto na dadenata funkcija vo Tajlorov red:
f(x)= x5 - 3x3 + 8
x x
f(x)
h
x0
Voved 13
NUMERI^KI METODI
Po~etna vrednost x0=3. Da se razvijat serii za h=0.2; 0.4; 0.6 … do 4.0. Pritoa, da se zemat 2,3,4,5 i 6 ~lena od Tajlorovata formula. Rezultatite da se sporedat so to~nite re{enija za sekoj poseben slu~aj.
f(x0)=f(3)= 35 - 3*33 + 8 = 170 Funkcijata gi ima slednive izvodi i vrednosti na izvodite vo po~etnata to~ka x0=3:
0)3(f0)x(f120)3(f120)x(f360)3(fx120)x(f522)3(f18x60)x(f486)3(fx18x20)x(f324)3(fx9x5)x(f
)6()6(
)5()5(
)4()4(
)3(2)3(
)2(3)2(
)1(24)1(
=⇒=
=⇒=
=⇒=
=⇒−=
=⇒−=
=⇒−=
)x(f!6
h)x(f!5
h)x(f!4
h)x(f!3
h)x(f!2
h)x(hf)x(f)hx(f 0)6(
6
0)5(
5
0)4(
4
0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00 ++++++=+
!5h120
!4h360
!3h522
!2h486h324170)hx(f)x(f
5432
0 +++++=+=
Vo narednata tabela se dadeni vrednostite na funkcijata f(x0+h), za razli~ni vrednosti na h, a so zemawe razli~en broj ~lenovi od formulata:
14 Voved
NUMERI^KI METODI
Ekspanzija na Tajlorovi serii za polinom od V red
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
3 4 5 6 7
2 ~lena
3 ~lena
4 ~lena
5 ~lena
6 ~lena
to~navredn
x h f(x0+h)
2 ~lena 3 ~lena 4 ~lena 5 ~lena 6 ~lena to~no
3.2 0.2 234.8 244.52 245.216 245.240 245.24032 245.240323.4 0.4 299.6 338.48 344.048 344.432 344.44224 344.442243.6 0.6 364.4 451.88 470.672 472.616 472.69376 472.693763.8 0.8 429.2 584.72 629.264 635.408 635.73568 635.735684 1 494 737 824.000 839.000 840.00000 840.00000
4.2 1.2 558.8 908.72 1059.056 1090.160 1092.64832 1092.648324.4 1.4 623.6 1099.88 1338.608 1396.232 1401.61024 1401.610244.6 1.6 688.4 1310.48 1666.832 1765.136 1775.62176 1775.621764.8 1.8 753.2 1540.52 2047.904 2205.368 2224.26368 2224.263685 2 818 1790 2486.000 2726.000 2758.00000 2758.00000
5.2 2.2 882.8 2058.92 2985.296 3336.680 3388.21632 3388.216325.4 2.4 947.6 2347.28 3549.968 4047.632 4127.25824 4127.258245.6 2.6 1012.4 2655.08 4184.192 4869.656 4988.46976 4988.469765.8 2.8 1077.2 2982.32 4892.144 5814.128 5986.23168 5986.231686 3 1142 3329 5678.000 6893.000 7136.00000 7136.00000
6.2 3.2 1206.8 3695.12 6545.936 8118.800 8454.34432 8454.344326.4 3.4 1271.6 4080.68 7500.128 9504.632 9958.98624 9958.986246.6 3.6 1336.4 4485.68 8544.752 11064.176 11668.83776 11668.837766.8 3.8 1401.2 4910.12 9683.984 12811.688 13604.03968 13604.039687 4 1466 5354 10922.000 14762.000 15786.00000 15786.00000
Voved 15
NUMERI^KI METODI
Slednive serii, mo`e da se koristat za procena na soodvetnite funkcii vo sekoja to~ka x, koristej}i ja po~etnata vrednost x0=0 i ~ekor h:
∑=++++=−
∑ −=−+−=
∑+
−=−+−=
∑=+++++=
∝
=
∝
=
∝
=
+
∝
=
0k
k32
0k
k2k
42
0k
1k2k
53
0k
kk32x
x....xxx1x1
1
)!k2(x)1(.......
!4x
!2x1)xcos(
)!1k2(x)1(.......
!5x
!3xx)xsin(
!kx
!kx.......
!3x
!2xx1e
Primer 6. Da se poka`e deka razvivaweto na eksponencijalnata funkcija ex, vo Tajlorov red e:
!kx.......
!3x
!2xx1e
k32x +++++=
koga x=x0=0 kako po~etna to~ka i h kako inkrement. Da se razvijat seriite za h=0.1; 0.2; 0.3,.... do 1.0. Da se nacrtaat rezultatite i da se sporedat so to~nata vrednost za sekoj poseben slu~aj.
100)n(
n
0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00 R)x(f!n
h.....)x(f!3
h)x(f!2
h)x(hf)x(f)hx(f +++++++=+
f(x)=ex
1ee)x(f
.......1ee)x(f
1ee)x(f
0x0
)n(
0x0
)2(
0x0
)1(
0
0
0
===
===
===
x0 = 0 ⇒ x = x0+h = 0+h = h Po definicija, h=x-x0 = x-0 = x ⇒ h=x f(0)=e0=1
Spored toa, !n
h....!2
hh1)h(f)x(fn2
++++==
ili !n
x....!2
xx1)h(f)x(fn2
++++==
16 Voved
NUMERI^KI METODI
x h f(x0+h)
1 ~len 2 ~lena 3 ~lena to~na vredn.
0.1 0.1 1.00000 1.1000 1.105 1.105171 0.2 0.2 1.00000 1.2000 1.220 1.221403 0.3 0.3 1.00000 1.3000 1.345 1.349859 0.4 0.4 1.00000 1.4000 1.480 1.491825 0.5 0.5 1.00000 1.5000 1.625 1.648721 0.6 0.6 1.00000 1.6000 1.780 1.822119 0.7 0.7 1.00000 1.7000 1.945 2.013753 0.8 0.8 1.00000 1.8000 2.120 2.225541 0.9 0.9 1.00000 1.9000 2.305 2.459603
1 1 1.00000 2.0000 2.500 2.718282 Primer 7 Prosta greda e natovarena so ramnomerno raspredelen tovar q. Uklonot na gredata, ili vertikalnoto pomestuvawe od dejstvoto na tovarot vo sekoja to~ka po dol`inata na gredata, mo`e da se presmeta spored izrazot:
)xLLx2x(EI24
qy 334 +−−=
Da se razvie vo Tajlorov red funkcijata y(x), so zemawe tri ~lena, ako e zadadeno: q=20 kN/m; L=8,0 m; E=3.16*107 kN/m2; I=0.0054 m4; x0=2.0 m; h=1.0; h=2; h=3; h=4; Da se tabeliraat, da se nacrtaat rezultatite i da se sporedat so to~noto re{enie.
)x(y!2
h)x('hy)x(y)hx(y 0''
2
000 ++=+
Funkcijata gi ima slednive izvodi i vrednosti na izvodite vo po~etnata to~ka x0=2:
y(x0) =y(2)= -20*(x4-16*x3+64*8*x)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.004454
q
L x
Voved 17
NUMERI^KI METODI
y’(x0) =y'(2)= -20*(4x3-16*3*x2+64*8)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.0017
y’’(x0)=y''(2)= -20*(12x2-16*6*x)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.0007
2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y
2
+−−=+
h=1.0; y(2+h)=y(2+1)=y(3)=-0.004454 - 0.0017*1.0 + 0.0007*(1.0)2/2= -0.0058
h=2.0; y(2+h)=y(2+2)=y(4)=-0.004454 - 0.0017*2.0 + 0.0007*(2.0)2/2= -0.00645
h=3.0; y(2+h)=y(2+3)=y(5)=-0.004454 - 0.0017*3.0 + 0.0007*(3.0)2/2= -0.0064
h=4.0; y(2+h)=y(2+4)=y(6)=-0.004454 - 0.0017*4.0 + 0.0007*(4.0)2/2= -0.00565
x h y yto~no aps.
Gre{ka 2 0 -0.00445 -0.00445 0.00000 3 1 -0.0058 -0.00579 -0.00002 4 2 -0.00645 -0.00625 -0.00020 5 3 -0.0064 -0.00579 -0.00062 6 4 -0.00565 -0.00445 -0.00120
Sporedba na to~no i aproksimativno re{enie
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
00 2 4 6 8
Primer 8. Za prethodniot primer na prosta greda tovarena so tovar q, da se izvr{i aproksimacija od treti i ~etvrti red, na vrednosta na funkcijata na vertikalnoto pomestuvawe y, za x0=2m, so razvivawe na Tajlorovi redovi i so zemawe 4 i 5 ~lena od formulata. Re{enijata da se sporedat so to~noto re{enie dadeno so formulata:
yT
18 Voved
NUMERI^KI METODI
)xLLx2x(EI24
qy 334 +−−=
Tajlorov red so 5 ~lena:
)x(y!4
h)x(y!3
h)x(y!2
h)x(hy)x(y)hx(y 0)4(
4
0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00 ++++=+
y(x0) =y(2)= -20*(x4-16*x3+64*8*x)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.004454
y’(x0) =y'(2)= -20*(4x3-16*3*x2+64*8)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.0017
y’’(x0)=y''(2)= -20*(12x2-16*6*x)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.0007
y’’’(x0)=y''’(2)= -20*(24x-16*6)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.00023
yIV(x0)= yIV (2)= -20*(24)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.00012
Aproksimacija od treti red (4 ~lena od redot):
!6h00023.0
2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y
)x(y!3
h)x(y!2
h)x(hy)x(y)hx(y
32
0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00
++−−=+
+++=+
Aproksimacija od ~etvrti red (5 ~lena od redot):
24h00012.0
!6h00023.0
2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y
)x(y!4
h)x(y!3
h)x(y!2
h)x(hy)x(y)hx(y
432
0)4(
4
0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00
−++−−=+
++++=+
x h y4 y5 yto~no aps. e4 aps. e5
2 0 -0.004454 -0.004454 -0.004454 0.000000 0.000000 3 1 -0.005782 -0.005787 -0.005787 -0.000005 0.000000 4 2 -0.006173 -0.006251 -0.006251 -0.000078 0.000000 5 3 -0.005392 -0.005787 -0.005787 -0.000395 0.000000 6 4 -0.003204 -0.004454 -0.004454 -0.001250 0.000000
q
L x
Voved 19
NUMERI^KI METODI
Aproksimacija od treti i ~etvrti red
-0.007000
-0.006000
-0.005000
-0.004000
-0.003000
-0.002000
-0.001000
0.0000000 1 2 3 4 5 6 7
x (m)
y(m
) y4y5yto~no
Aproksimacija od vtori, treti i ~etvrti red
-0.007000
-0.006000
-0.005000
-0.004000
-0.003000
-0.002000
-0.001000
0.0000000 1 2 3 4 5 6 7
x (m)
y(m
)
y4y5yto~noy3
Od grafikot se gleda deka aproksimacijata od IV red se poklopuva so to~noto re{enie a to go poka`uvaat i gre{kite vo poslednata kolona od prethodnata tabela.
20 Interpolacija
NUMERI^KI METODI
2. INTERPOLACIJA Neka e dadena tabela na vrednostite na funcijata f(x) za argumenti x koi mo`at da bidat na ednakvi ili na proizvolni rastojanija. Vo in`enerskata praktika, pri problemite povrzani so eksperimentalni ispituvawa, vakviot tabelaren na~in na pretstavuvawe na podatocite e redovna pojava. ^esto pati se bara da se opredeli vrednosta na funkcijata f(x) za argumentot x koj ne se nao|a vo tabelata ili, pak, da se opredeli vrednosta na argumentot za dadena vrednost na f(x). Vo slu~aite koga funkcijata f(x) e dadena so analiti~ki izraz (duri i koga e taa dosta ednostavna), kako i pri dadeni podatoci od eksperimentite, za re{avawe na gorespomenatata zada~a, naj~esto se koristat tabeliranite vrednosti. Toa zna~i deka niz tabeliranite vrednosti se provlekuva nekoja funkcija koja e ednostavna za presmetuvawe. Ako vrednosta na argumentot za koj se bara vrednosta na funkcijata e vo oblasta na tabeliranite argumenti, metodot se vika interpolacija, a ako e nadvor od taa oblast, toga{ se raboti za ekstrapolacija. Naj~esto se koristat dva tipa interpolacii, grafi~ka i polinomna. Grafi~ka interpolacija Pri upotrebata na ovoj metod, tabeliranite podatoci se crtaat na milimetarska hartija i niz niv se provlekuva kriva koja minuva niz site to~ki. Za opredelena vrednost na argumentot se ot~ituva soodvetnata vrednost na krivata koja ja pretstavuva baranata vrednost na funkcijata. Ovoj metod ima nedostatoci vo smisla na ograni~ena to~nost pri nanesuvaweto i ~itaweto na podatocite (obi~no 0,1 %), kako i pri povlekuvaweto na krivata niz tabeliranite vrednosti. Grafi~kiot metod e pogoden ako podatocite se dobieni od grafici, dodeka vo drugite slu~ai se koristi polinomnata interpolacija koja e mnogu pogodna pri koristeweto na kompjuterite. Polinomna interpolacija Ovde problemot mo`e da se podeli na dva dela: − nao|awe pribli`en izraz na funkcijata f(x) koja e zadadena samo
so tablica od vrednosti
Interpolacija 21
NUMERI^KI METODI
− presmetuvawe na pribli`nata vrednost na funkcijata f(x) za baraniot argument koj ne se nao|a vo tabelata.
Najednostavna formulacija na prviot del od problemot e slednava: vo opredelen interval dadeni se n+1 to~ki, x0,x1,.....xn (koi se vikaat jazli na interpolacijata), kako i vrednostite na nekoja fukcija f(x) vo tie to~ki, taka {to:
f(x0)=y0; f(x1)=y1 f(x2)=y2; ....... f(xn)=yn Treba da se opredeli funkcijata Φ(x) koja se sovpa|a so funkcijata f(x) vo dadenite to~ki, odnosno minuva niz to~kite (x0,y0), (x1,y1),....... (xn,yn). Niz ovie to~ki mo`e da se provle~at bezbroj krivi. Za da bide zada~ata ednozna~na namesto proizvolna funkcija Φ(x) se bara polinom P(x), so stepen ne pogolem od n taka {to: P(x0)=y0; P(x1)=y1 P(x2)=y2; ....... P(xn)=yn. To~kite so apscisi x0,x1,.....xn se vikaat jazli na interpolacijata, rastojanieto pome|u dva sosedni jazli se vika ~ekor na interpolacijata, a P(x) e interpolacionen polinom. Ako interpolacijata se vr{i so polinom od prv stepen, se raboti za linearna interpolacija, a ako polinomot e od vtor stepen, za kvadratna interpolacija, it.n.
x y f(x) 0 -3 -3 1 0.7 0.7 2 3.8 3.8 3 6.3 6.3 4 8.2 8.2 5 9.5 9.5 -3 xarg= 0.55 -0.89075
xarg= 3.25 6.83125
Linearna interpolacija Pri interpolacijata mo`e da se postavi zada~a, da se opredeli vrednosta na f (x) za argument x koj ne se nao|a vo tabelata, a le`i pome|u argumentite xk i xk+1. Geometriski, linearnata interpolacija zna~i deka funkcijata f(x) treba da se zameni so pravata {to minuva niz to~kite (xk,yk) i (xk+1,yk+1).
Interpolacija
-0.89075
6.83125
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
x
y
f(x)
22 Interpolacija
NUMERI^KI METODI
Sl. 1 Linearna interpolacija Vrednosta na f(x)=y koja odgovara na argumentot x lesno se dobiva od sli~nosta na triagolnicite CC’A i BB’A na slika 1:
k1k
k1k
k
kxxyy
xxyy
−−
=−−
+
+
od kade {to sledi:
)yy(xx
xxyy k1kk1k
kk −
−−
+= ++
Lagran`ova interpolacija Vo mnogu slu~ai linearnata interpolacija ne mo`e da ja dade baranata to~nost, poradi {to e potrebno da se koristi interpolacionen polinom od povisok red. Ako se dadeni n+1 to~ki (x0,y0), (x1,y1),....... (xn,yn), postaveni na razli~ni me|usebni rastojanija, toga{, za da go dobieme polinomot P(x)=a0+a1x+ +a1x2......anxn koj minuva niz niv, vo nego treba da gi zamenime posledovatelno site to~ki, pri {to }e dobieme sistem linearni ravenki po nepoznatite koeficienti a0,a1......an.
nnnn10n
n1n1101
n0n0100
xa............xaay..
xa.............xaayxa.............xaay
++=
++=++=
Ovoj sistem ima edinstveno re{enie so koe se opredeluvaat baranite koeficienti na polinomot P(x). So ogled na toa deka ovoj na~in bara obemni matemati~ki operacii, polinomot P(x) }e go opredelime na drug na~in.
C
A
B
Φ(x) f(x)
xk xk+1
yk
y
yk+1
x
y
C’ B’ kxx −
x
kyy −k1k yy −+
k1k xx −+
Interpolacija 23
NUMERI^KI METODI
Najprvo }e opredelime polinom Lk(x), takov {to: Lk(xm)=0 za k≠m i Lk(xm)=1 za k=m Ovie uslovi mo`at da se napi{at vo oblik:
⎩⎨⎧
δ=01
)x(L kmmk
kade {to δkm e Kronekerov simbol. Bidej}i baraniot polinom ima vrednosti nuli vo to~kite so argumenti x0,x1, x2.... xk-1, xk+1....xn, toj ima oblik:
)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(C)x(L n1k1k10kk −−−−−= +−
kade {to Ck pretstavuva koeficient. Ako vo ovaa formula stavime x=xk , vrednosta na polinomot Lk(x) treba da bide ednakva na edinica.
1)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(C nk1kk1kk1k0kk =−−−−− +− od kade {to dobivame:
)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(1C
nk1kk1kk1k0kk −−−−−=
+−
Ako ovaa ravenka ja zamenime vo izrazot za Lk(x), }e dobieme:
)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx()xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(
)x(Lnk1kk1kk1k0k
n1k1k10k −−−−−
−−−−−=
+−
+−
kade {to k=1,2,.......n Izrazot za Lk(x) pretstavuva n krivi koi za x=xk imaat vrednost 1, a vo drugite jazolni to~ki imaat vrednost nula. Koga se ve}e opredeleni ovie polinomi Lk(x), koi se vikaat Lagran`ovi polinomi, baraniot interpolacionen polinom go dobiva sledniov oblik:
∑=+++==
n
1kkknn221100 )x(Ly)x(Ly).......x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P
Ova e interpolaciona formula na Lagran`. Taa lesno mo`e da se interpretira so pomo{ na narednata slika, na koja e ilustriran
za k=m za k≠m
24 Interpolacija
NUMERI^KI METODI
slu~ajot za n=4. Sekoj polinom Lk(x) mo`e da se razgleduva kako “influentna linija”, so ordinati edinica vo to~kite x=xk i nula vo to~kite x=xm za m≠k. Sumata na influentnite linii, pomno`eni so soodvetnite ordinati yk, go dava Lagran`oviot interpolacionen polinom pretstaven so poslednata ravenka.
Sl. 2 Lagran`ovi polinomi za n=4 (prika`ani se samo polinomite
L0(x), L1(x) i L2(x)) Ovoj polinom za ilustracijata na slika 2, se dobiva vo oblik:
)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P 4433221100 ++++= Za slu~aj n=1, Lagran`oviot interpolacionen polinom minuva niz dve to~ki i pretstavuva linearna interpolacija.
)x(Ly)x(Ly)x(P 1100 += Polinomite L0(x) i L1(x) se:
01
01 xx
xx)x(L
−−
= ; 10
10 xx
xx)x(L−−
=
01
01
10
10 xx
xxyxxxxy)x(P
−−
+−−
=
Ako ovaa ravenka se sredi, se dobiva:
y0 y1 y2 y3 yn
x0 x1 x2 x3 xn
1
1
L0(x)
L1(x)
1 L2(x)
Interpolacija 25
NUMERI^KI METODI
)yy(xxxx
y
xxxx
yxxxx
yyxxxx
yxx
xxxxyy
xxxx
y)1xx
xx(yyyy
xxxx
yxx
xxy)x(P
0101
00
01
01
01
000
01
01
10
10100
01
01
10
10000
01
01
10
10
−−−
+=
=−−
+−−
−=−−
+−
+−−+=
=−−
+−−−
+=−+−−
+−−
=
{to e identi~no so prethodno dobienata ravenka za linearna interpolacija. Za n=2 (zemame 3 to~ki od tabelata) imame kvadratna interpolacija i polinomot e:
)xx)(xx()xx)(xx(y
)xx)(xx()xx)(xx(y
)xx)(xx()xx)(xx(y)x(P
1202
102
2101
201
2010
210 −−
−−+
−−−−
+−−−−
=
Primer 1. Tabli~no e zadadena nekoja funkcija. Koristej}i ja formulata za linearna interpolacija, da se interpolira vrednosta na funkcijata za x=2.2.
Primer 2. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz dadenite to~ki:
k 0 1 2 3 xk 0,0 1,0 2,0 4,0 yk 1,0 1,0 2,0 5,0
x 2 2,3 2,5 y 5,848 6,127 6,3 034,6y
)0,22,2(0,23,2848,5127,6848,5y
)yy(xx
xxyy k1kk1k
kk
=
−−−
+=
−−
−+= +
+
k k+1
2,2x =
26 Interpolacija
NUMERI^KI METODI
5y;)24)(14)(04()2x)(1x)(0x(
)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx()x(L
2y;)42)(12)(02()4x)(1x)(0x(
)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(
)x(L
1y;)41)(21)(01()4x)(2x)(0x(
)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx()x(L
1y;)40)(20)(10()4x)(2x)(1x(
)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(
)x(L
3231303
2103
2321202
3102
1312101
3201
0302010
3210
=−−−−−−
=−−−
−−−=
=−−−−−−
=−−−
−−−=
=−−−−−−
=−−−
−−−=
=−−−−−−
=−−−
−−−=
So zamena na ovie izrazi vo Lagran`oviot interpolacionen polinom od III red, se dobiva funkcijata so koja e aproksimirana tabli~no zadadenata funkcija: Primer 3. Dadena e slednava tabela:
k 0 1 2 3 xk 1,0 2,0 5,0 9,0 yk 1,0 3,0 6,0 10,0
Da se interpolira vrednosta na funkcijata so polinom od treti red za x=6,0.
625,656510
456)
75(3
831)0,6(P
10y;565)0,6(L;
)59)(29)(19()56)(26)(16()x(L
6y;45)0,6(L;
)95)(25)(15()96)(26)(16()x(L
3y;75)0,6(L;
)92)(52)(12()96)(56)(16()x(L
1y;83)0,6(L;
)91)(51)(21()96)(56)(26()x(L
333
222
111
000
=⋅+⋅+−⋅+⋅=
==−−−−−−
=
==−−−−−−
=
=−=−−−−−−
=
==−−−−−−
=
)12x8x9x(121)x(P
)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P
23
33221100
+−+−=
+++=
Interpolacija 27
NUMERI^KI METODI
Obratna interpolacija Se postavuva obratna zada~a: dadeni se vrednostite za f(x), f(xk)=yk, vo to~kite x0,x1,.....,xn. Za dadeno y* se bara x*, za koja e zadovoleno f(x*)=y* (obi~no y*≠yk kade {to k=0,1,....,n). Zada~ata se sveduva na opredeluvawe interpolacionen polinom P(y) za inverznata funkcija Φ(y) na f(x). t.e. se odreduva P(y) taka {to P(yk)=xk; k=0,1,....,n. (zabele{ka: koga xk se na ekvidistantni rastojanija, soodvetnite vrednosti yk, obi~no, ne se rasporedeni na isti rastojanija, pa zatoa se koristi interpolacionata formula na Lagran`). Primer 4. Zadadena e funkcijata y=f(x) so tabela 1. Da se najde za koja vrednost na x se dobiva y=3,7 . Tabela 1
k 0 1 2 x 1,1 1,4 1,6 y 3,0 4,06 5,0
Se formira nova tabela (tabela 2) vo koja x i y si gi menuvaat mestata. Koristej}i ja ovaa tabela, barame kolku e yn(xn=3,7). Se smeta deka funkcijata f(x) e strogo monotona vo razgleduvaniot interval, pa zada~ata }e ima edinstveno re{enie. Za da ne gi menuvame oznakite vo interpolacionata formula, xn i yn gi razgleduvame kako x i y na nekoja nova funcija. Se primenuva Lagran`ovata interpolaciona formula za kvadratna interpolacija (bidej}i se dadeni 3 to~ki vo tabelata), zna~i za n=2, vo koja zamenuvame x=3,7.
Zna~i, za x*=1,3051 f(x*)=3,7. Mo`e da se postavi zada~a za opredeluvawe koren na nekoja tabli~no zadadena funkcija. Pritoa mo`e da se primeni obratnata Lagran`ova interpolacija i da se opredeli za koja vrednost na argumentot funkcijata ima vrednost ednakva na nula.
y=0, x=?
x
y f(x)
Tabela 2 k 0 1 2 xn 3,0 4,06 5,0 yn 1,1 1,4 1,6
3051,1y
6,1)06,45)(35(
)06,47,3)(37,3(4,1)506,4)(306,4(
)57,3)(37,3(1,1)53)(06,43(
)57,3)(06,47,3(y
)7,3(Ly)7,3(Ly)7,3(Ly)x(Py 221100
=
=−−−−
+−−−−
+−−−−
=
++==
28 Interpolacija
NUMERI^KI METODI
Kone~ni razliki Neka e dadena diskretna funkcija, odnosno kone~no mno`estvo na argumenti xk i soodvetnite vrednosti na funkcijata f(xk)=yk, pri {to argumentite se na ednakvi me|usebni rastojanija xk+1-xk=h. Razlikite na vrednostite yk se ozna~uvaat so ∆yk=yk+1-yk i se vikaat prvi razliki ili kone~ni razliki od I red. Razlikite pak od prvite kone~ni razliki se obele`uvaat so: ∆2yk= ∆ (∆yk)= ∆yk+1- ∆yk= (yk+2-yk+1)- (yk+1-yk)= yk+2-yk+1- yk+1+yk= yk+2-2yk+1+yk ∆2yk= yk+2-2yk+1+yk i se vikaat kone~ni razliki od II red. Voop{to, kone~nite razliki od n-ti red se definiraat so: ∆nyk= ∆n−1
yk+1- ∆ n−1 yk
Koristej}i razli~ni mno`estva na to~ki, kone~nite razliki vo to~ka mo`e da se izrazat na tri na~ina: kone~ni razliki nazad, kone~ni razliki napred i centralni kone~ni razliki. Kone~ni razliki nazad To~kite {to se koristat za izrazuvawe na kone~nite razliki se vo red koj se namaluva vo odnos na to~kata {to se razgleduva. Na primer, za 5 to~ki:
prva razlika ∆yn=yn-yn-1
∆yn-1=yn-1-yn-2 ∆yn-2=yn-2-yn-3 ∆yn-3=yn-3-yn-4 ∆yn-4=yn-4-yn-5
vtora razlika ∆2yn= ∆yn- ∆yn-1= (yn-yn-1)– (yn-1-yn-2)= yn-2yn-1+yn-2 ∆2yn-1= ∆yn-1- ∆yn-2= (yn-1-yn-2)– (yn-2-yn-3)= yn-1-2yn-2+yn-3
x0 x1 x2 xn
y0 y1 y2 yn
Interpolacija 29
NUMERI^KI METODI
∆2yn-2= ∆yn-2- ∆yn-3= (yn-2-yn-3)– (yn-3-yn-4)= yn-2-2yn-3+yn-4 ∆2yn-3= ∆yn-3- ∆yn-4= (yn-3-yn-4)– (yn-4-yn-5)= yn-3-2yn-4+yn-5
treta razlika: ∆3yn= ∆2yn- ∆2yn-1= (yn-2yn-1+yn-2)-(yn-1-2yn-2+yn-3)= yn-3yn-1+3yn-2 -yn-3 ∆3yn-1= ∆2yn-1- ∆2yn-2= (yn-1-2yn-2+yn-3)-(yn-2-2yn-3+yn-4)= yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4
∆3yn-2= ∆2yn-2- ∆2yn-3= (yn-2-2yn-3+yn-4)-(yn-3-2yn-4+yn-5)= yn-2-3yn-3+3yn-4 -yn-5
~etvrta razlika:
∆4yn= ∆3yn-∆3yn-1=(yn-3yn-1+3yn-2 -yn-3)-(yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4)= =yn-4yn-1+6yn-2 -4yn-3+yn-4 ∆4yn-1= ∆3yn-1- ∆3yn-2= (yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4)-(yn-2-3yn-3+3yn-4 -yn-5)= =yn-1-4yn-2+6yn-3 -4yn-4+yn-5
petta razlika: ∆5yn = ∆4yn-∆4yn-1=(yn-4yn-1+6yn-2 -4yn-3+yn-4)-( yn-1-4yn-2+6yn-3 -4yn-4+yn-5) = yn-5yn-1+10yn-2 -10yn-3+5yn-4 -yn-5 Op{tiot izraz za razlikite e daden vo narednata tabela. Na levata strana na tabelata se dadeni kone~nite razliki, a na desnata strana koeficientite so koi se mno`at soodvetnite kone~ni razliki. Razlikite ∆yn,.....,∆5yn se dobivaat so sumirawe na proizvodite na koeficientite po ovie razliki ili na soodvetnite ordinati yn, yn-
1.....,yn-5.
∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y ∆yn ∆2yn ∆3yn ∆4yn ∆5yn yn-5 -1
∆yn-4 yn-4 ∆2yn-3 1 5
∆yn-3 ∆3yn-2 yn-3 ∆2yn-2 ∆4yn-1 -1 -4 -10
∆yn-2 ∆3yn-1 ∆5yn yn-2 ∆2yn-1 ∆4yn 1 3 6 10
∆yn-1 ∆3yn yn-1 ∆2yn -1 -2 -3 -4 -5
∆yn yn 1 1 1 1 1
30 Interpolacija
NUMERI^KI METODI
Kone~ni razliki napred To~kite {to se koristat za izrazuvawe na kone~nite razliki se vo red koj se zgolemuva vo odnos na to~kata {to se razgleduva. Tabelarnata forma na ovie razliki e dadena na slednata slika. ∆y ∆2y ∆3y ∆4y ∆5y ∆yn ∆2yn ∆3yn ∆4yn ∆5yn yn -1 1 -1 1 -1
∆yn yn+1 ∆2yn 1 -2 3 -4 5 ∆yn+1 ∆3yn yn+2 ∆2yn+1 ∆4yn 1 -3 6 -10 ∆yn+2 ∆3yn+1 ∆5yn yn+3 ∆2yn+2 ∆4yn+1 1 -4 10 ∆yn+3 ∆3yn+2 yn+4 ∆2yn+3 1 -5 ∆yn+4 yn+5 1 Centralni razliki Koga to~kite se simetri~no postaveni vo odnos na to~kata n, imame centralni razliki. Neka se poznati vrednostite na funkcijata f(x) vo to~kite n-5, n-4, n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, koi se na ednakvi me|usebni rastojanija h, kako i vrednostite na ovaa funkcija vo sredinite na intervalite h:
h h h h h h h h h h
n-5 n-4 n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n-9/2 n-7/2 n-5/2 n-3/2 n-1/2 n +1/2 n+3/2 n+5/2 n+7/2 n+9/2
Interpolacija 31
NUMERI^KI METODI
Centralnite kone~ni razliki se izveduvaat od razlikite na to~kite n+1 i n-1. Na primer: − prva razlika ∆yn=( yn+1- yn-1)/2=-0.5 yn-1+0.5 yn+1 − vtora razlika ∆yn+1/2= yn+1- yn ∆yn-1/2 = yn- yn-1 ∆2yn = ∆yn+1/2- ∆yn-1/2=(yn+1- yn)- (yn- yn-1)= yn-1-2yn+yn+1 − treta razlika ∆2yn+1= yn-2yn+1+yn+2 ∆2yn-1 = yn-2-2yn-1+yn ∆3yn =(∆2yn+1- ∆2yn-1)/2=((yn-2yn+1+yn+2)- (yn-2-2yn+1+yn))/2=(-yn-2+2yn-1- -2yn+1+ yn+2)/2 = - 0.5 yn-2+ yn-1- yn+1+0.5 yn+2 Kone~nite razliki koi se prethodno izvedeni, mnogu ~esto se koristat za interpolacionite formuli na Wutn, za interpolacija vo intervalot desno od to~kata x0 i levo od to~kata xn. Wutnovi interpolacioni polinomi Wutnov polinom za interpolacija napred
Ili so zamenata u=(x-x0)/h odnosno x=x0+hu ovoj polinom dobiva forma:
Primer 1. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz ~etiri dadeni to~ki.
k 0 1 2 3 xk 4 6 8 10 yk 1 3 8 20
)xx)......(xx()xx(h!ny
.......)xx()xx(h!2y
)xx(h!1
yy)x(P
1n10n0
n
1020
2
00
0
−−−⋅−⋅
∆+
++−⋅−⋅
∆+−
⋅∆
+=
)1nu)....(2u()1u(u!ny
....)2u()1u(u!3y
)1u(u!2y
u!1y
y)x(P
0n
03
02
00
−−−⋅−⋅
∆+
++−⋅−⋅
∆+−
⋅∆
+⋅
∆+=
32 Interpolacija
NUMERI^KI METODI
Za da go opredelime polinomot prethodno ja formirame tabelata na kone~ni razliki napred.
y0 ∆y0
y1 ∆2y0 ∆y1 ∆3y0
y2 ∆2y1 ∆y2
y3 Zaokru`enite brojki gi zamenuvame vo Wutnoviot polinom:
Po sreduvawe na izrazot, se dobiva;
Wutnov interpolacionen polinom za interpolacija nazad
Ili vo druga forma:
Primer 2. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz dadeni to~ki.
k -3 -2 -1 0 xk 4 6 8 10 yk 1 3 8 20
Tabelata na kone~nite razliki nazad e:
k x y ∆y ∆2y ∆3y0 0 4 1
2 1 6 3 3 5 4 2 8 8 7 12 3 10 20
)8x)(6x()4x(2123
4)6x()4x(212
3)4x(21
21)x(P 32 −−⋅−⋅⋅⋅
+−⋅−⋅⋅
+−⋅
+=
458.9x197.5x125.1x0833.0)240x142x27x2(241)x(P 2323 −+−=−+−=
)xx)......(xx()xx(h!ny
.......)xx()xx(h!2y
)xx(hy
y)x(P
1n10n0
n
1020
2
00
0
−−−
−
−−⋅−⋅
∆+
++−⋅−⋅
∆+−
∆+=
)1nu)......(2u)(1u(uh!ny
.......)2u)(1u(u!3y
)1u(u!2y
u!1y
y)x(P
n0
n
03
02
00
−+++⋅
∆+
++++⋅
∆++
⋅∆
+∆
+=
Interpolacija 33
NUMERI^KI METODI
So sreduvawe se dobiva istiot polinom od treti red kako i so Wutnovata interpolaciona formula napred.
P(x)=0.0833 x3 - 1.125x2 + 5.917x - 9.458
y-3 ∆y-2
y-2 ∆2y-1 ∆y-1 ∆3y0
y-1 ∆2y0 ∆y0
y0
k x y ∆y ∆2y ∆3y0
-3 4 1 2
-2 6 3 3 5 4
-1 8 8 7 12 0 10 20
)6x)(8x()10x(2123
4)8x()10x(212
7)10x(2
1220)x(P 32 −−⋅−⋅⋅⋅
+−⋅−⋅⋅
+−+=
y = 0.0833x3 - 1.125x2 + 5.9167x - 10
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
34 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
3. PRIBLI@NO DIFERENCIRAWE Pri re{avaweto na prakti~ni zada~i od in`enerstvoto, ~esto se postavuva zada~a da se opredelat izvodi na funkcijata f(x) koja e zadadena grafi~ki ili so tabela na vrednosti vo nekolku to~ki. Isto taka, vo slu~ai koga funkcijata e zadadena vo matemati~ka forma so slo`en analiti~ki izraz, poradi toa {to neposrednoto diferencirawe e slo`eno, se pristapuva kon numeri~ko diferencirawe. Osnovnata definicija za diferenciraweto e:
i od nea podocna }e se dobijat nekolku formuli za numeri~ko diferencirawe. Grafi~ko diferencirawe
Poznato e deka izvodot na nekoja funkcija vo nekoja to~ka x , koja e grafi~ki pretstavena, mo`e da se interpretira kako naklon na tangentata na funkcijata vo taa to~ka.
y'( x )=[(x2)-y(x1)]/(x2- x1)
y'( x )=tgϕ Postapkata za grafi~ko diferencirawe e sledna: se crta grafik na
funkcijata i vo to~kata so abscisa x se povlekuva tangenta na krivata. Paralelno so tangentata se povlekuva prava koja ja se~e krivata vo to~kite (x1,y1) i (x2,y2), preku koi se opredeluva tangensot na agolot {to tangentata go zaklopuva so oskata x.
To~nosta na grafi~koto diferencirawe e ograni~ena so to~nosta so koja mo`e da se ~ita grafikot i so to~nosta na povlekuvaweto na tangentata.
12
12
12
12'
xxyy
xx)x(y)x(y)x(y
−−
=−−
=
h)x(y)hx(ylim)x(y
0h
' −+=
→
x
ϕ
x x1 x2
Pribli`no diferencirawe 35
NUMERI^KI METODI
Diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki Pri re{avawe na in`enerski problemi, ~esto e potrebno numeri~ki da se procenat vrednostite na izvodite na nekoja funkcija. Pritoa postojat dva pristapa: • funkcijata e poznata no izvodite ne mo`e da bidat presmetani
analiti~ki • funkcijata e zadadena tabli~no, a izvodite se presmetuvaat
analiti~ki, so diferencirawe na interpoliranata funkcija koja pribli`no ja pretstavuva stvarnata funkcija.
Vo prviot pristap, ako funkcijata e poznata a izvodot ne mo`e da
se presmeta analiti~ki, istiot mo`e da se proceni kako:
x)x(f)xx(f
x)x(f
dxdy
∆−∆+
=∆
∆≈
Zna~i, za da ja presmetame vrednosta na prviot izvod vo to~ka x, f’(x), potrebno e da ja presmetame vrednosta na funkcijata vo dve to~ki, x i x+∆x, i nivnata razlika da se podeli so ~ekorot ∆x. Ovoj pristap e poznat kako diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki napred. Izvodot mo`e da se presmeta i so kone~ni razliki nazad:
x)xx(f)x(f
x)x(f
dxdy
∆∆−−
=∆
∆≈
Isto taka, izvodot mo`e da se presmeta i so kone~ni razliki na vrednostite vo to~kite koi se na rastojanie 2∆x.
x2)xx(f)xx(f
x2)x(f
dxdy
∆∆−−∆+
=∆
∆≈
Za mnogu funkcii so pove}e promenlivi, metodot so dvoen ~ekor mo`e da se dobijat poto~ni rezultati otkolku so kone~nite razliki napred ili nazad. Primer 1. Podatocite dadeni vo narednata tabela pretstavuvaat vrednosti na tretiot stepen od brojot x. Da se aproksimira vrednosta na prviot izvod za x=2, koristej}i kone~ni razliki napred, nazad i {ema na kone~ni razliki so dvoen ~ekor. Rezultatot da se sporedi so to~noto re{enie.
x 0 1 2 3 4 f(x)=x3 0 1 8 27 64
36 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
- Kone~ni razliki napred
191
1923827
x)x(f)xx(f
x)2(f
==−−
=∆
−∆+=
∆∆
- Kone~ni razliki nazad:
717
1218
x)xx(f)x(f
x)2(f
==−−
=∆
∆−−=
∆∆
- Metod so dvoen ~ekor:
132
2613127
x2)xx(f)xx(f
x2)2(f
==−−
=∆
∆−−∆+=
∆∆
- To~na vrednost:
1223dx
)2(df
x3dx
)x(df)x('f
x)x(f
2
2
3
=⋅=
==
=
- Sporedba na rezultatite so to~noto re{enie:
x k. r.
napredk. r.
nazaddvoen ~ekor
to~no
f(2) 19 7 13 12
%gre{ka 58.33 41.67 8 /
Primer 2. Da se opredeli polinom od vtor red koj pominuva niz dadenite to~ki, a potoa, koristej}i go toj polinom, da se aproksimira prviot izvod na tabli~no zadadenata funkcija za x=2. Re{enieto da se sporedi so rezultatite od primer 1 i so to~noto re{enie.
x 1 2 3 f(x) 1 8 27
Polinom od II red vo forma:
2210 xaxaa)x(P ++=
Nepoznati se tri koeficienti na polinomot, zna~i potrebno e da sostavime i da re{ime sistem od 3 ravenki so 3 nepoznati. Sistemot
Pribli`no diferencirawe 37
NUMERI^KI METODI
}e go sostavime od uslovot polinomot da pominuva niz dadenite to~ki, odnosno:
2i2i10i xaxaa)x(P ++=
210
2210
2020100
aaa1
1a1aa1
xaxaa)x(P
++=
⋅+⋅+=
++=
210
2210
2121101
a4a2a8
2a2aa8
xaxaa)x(P
++=
⋅+⋅+=
++=
210
2210
2222102
a9a3a27
3a3aa27
xaxaa)x(P
++=
⋅+⋅+=
++=
Sistemot ravenki od koj }e gi opredelime nepoznatite koeficienti na polinomot a1, a2 i a3, e:
27a9a3a8a4a2a
1aaa
210
210
210
=++=++
=++
Vo matri~na forma mo`e da se napi{e:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2781
aaa
931421111
2
1
0
Re{enie so inverzna matrica na sistemot ravenki:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
2781
931421111
aaa 1
2
1
0
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
6116
2781
5.015.05.145.2
133
aaa
2
1
0
Polinomot od II red koj pominuva niz dadenite tri to~ki e: 2
2 x6x116)x(P +−= Prviot izvod za x=2 }e go opredelime so direktno diferencirawe na polinomot P2(x).
13112421211)2('Px1211)x('P
=−=⋅+−=+−=
38 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
- Sporedba na rezultatite so to~noto re{enie:
Tabelata na kone~ni razliki, isto taka, mo`e da se koristi za opredeluvawe vrednosti na izvodi na tabli~no zadadena funkcija. • Na primer, vo narednata tabela na kone~ni razliki, kolonata ∆f
mo`e da se koristi za procena na vrednosta na prviot izvod vo nekoja to~ka,
• Isto taka, vrednostite vo kolonata ∆2f mo`e da se koristat za opredeluvawe na vtoriot izvod na tabli~no zadadenata funkcija vo nekoja to~ka, itn.
Tabela na kone~ni razliki
x f(x) ∆f ∆2f … x f(x) ∆f(x)= f(x+∆x)- f(x)
x+∆x f(x+∆x) ∆2f(x)= ∆f(x+∆x)- ∆f(x) ∆f(x+∆x)= f(x+2∆x)-
f(x+∆x)
x+2∆x f(x+2∆x) ∆2f(x+∆x)= ∆f(x+2∆x)- ∆f(x+∆x)
∆f(x+2∆x)= f(x+3∆x)- f(x+2∆x)
x+3∆x f(x+3∆x) ∆2f(x+2∆x)= ∆f(x+3∆x)- ∆f(x+2∆x)
∆f(x+3∆x)= f(x+4∆x)- f(x+3∆x)
x+4∆x f(x+4∆x) ∆2f(x+3∆x)= ∆f(x+4∆x)- ∆f(x+3∆x)
∆f(x+4∆x)= f(x+5∆x)- f(x+4∆x)
x+5∆x f(x+5∆x) …. …. …. ….
• Za da se opredeli prviot izvod vo to~kata x, se koristi kone~nata razlika ∆f(x); toa e kone~na razlika od I red, a se nao|a vo redot pod dadenata vrednost za x. Na toj na~in se opredeluva izvodot so kone~ni razliki napred.
x k. r. napred
k. r. nazad
dvoen ~ekor
polinom od II red
to~no
f(2) 19 7 13 13 12
%gre{ka 58.33 41.67 8.33 8.33 /
Pribli`no diferencirawe 39
NUMERI^KI METODI
• So koristewe na kone~nite razliki koi se nao|aat vo redot nad dadenata vrednost na x, se opredeluva izvodot so kone~ni razliki nazad.
• Prose~nata vrednost od ovie dve kone~ni razliki se koristi za opredeluvawe na prviot izvod po metodot so dvoen ~ekor.
• Na sli~en na~in se opredluvaat vrednostite za vtoriot izvod, pri {to se koristat vrednostite od kolonata ∆2f.
Primer 3. Za dadeniot set na podatoci, da se proceni vrednsta na prviot izvod za x=11, so koristewe tabela na kone~ni razliki po metodite napred, nazad i so dvoen ~ekor. Isto taka, da se opredeli vrednosta na vtoriot izvod za x=11 so kone~ni razliki napred.
x 10 11 12 12 14 f(x) 1000 1331 1728 2197 2744
Tabela na kone~ni razliki: • So kone~ni razliki napred, za x=11 se zema kone~nata razlika
∆f=397 koja se nao|a vo redot pod redot x=11. Spored toa, vrednsta na prviot izvod }e bide:
3971011
397x
fx
)11(f 1i =−
=∆
∆=
∆∆ +
• So kone~ni razliki nazad, za x=11 se zema kone~nata razlika
∆f=331 koja se nao|a vo redot nad redot x=11. Vrednosta na prviot izvod }e bide:
x f(x) ∆f ∆2f ∆3f ∆4f
10 1000 331 11 1331 66 397 6 12 1728 72 0 469 6 13 2197 78 547 14 2744
40 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
3311011
331xf
x)11(f i =
−=
∆∆
=∆
∆
• So kone~ni razliki so dvoen ~ekor, za x=11 se zema srednata
vrednost od prethodnite dve kone~ni razliki, pa izvodot }e bide:
3642
397331x2
ffx2
)11(f 1ii =+
=∆
∆+∆=
∆∆ +
• Vrednosta na vtoriot izvod za x=11 po metodot kone~ni razliki
napred }e go procenime so kone~nata razlika od II red ∆2fi+1
66166
)1011(66
)x(f
x)11(f
2221i
2
2
2
==−
=∆
∆=
∆∆ +
• To~no re{enie Ako gi pogledneme vrednostite od tabelata, }e zabele`ime deka toa e funkcijata f(x)=x3. Spored toa, vtoriot izvod }e bide:
66116)11(''fx6)x(''f;x3)x('f
x)x(f2
3
=⋅===
=
So kone~ni razliki e dobieno to~no re{enie. Numeri~ko diferencirawe so koristewe na Tajlorovi redovi Osnovnite ravenki za diferencirawe so kone~ni razliki napred i nazad proizleguvaat od ekspanzijata na Tajlorovi serii:
1n0)n(
n
0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00
R)x(f!n
h
.....)x(f!3
h)x(f!2
h)x(hf)x(f)hx(f
+++
+++++=+
kade {to: x=x0+h; h=x-x0=∆x Vo toj slu~aj, Tajlorovata serija mo`e da se zapi{e kako:
.......!3)x(
x)x(f
!2)x(
x)x(fx
x)x(f)x(f)xx(f
3
3
32
2
2 ∆∆
∆+
∆∆
∆+∆
∆∆
+=∆+
Pribli`no diferencirawe 41
NUMERI^KI METODI
Ako Tajlorovata serijata ja prekineme po vtoriot ~len, }e ja dobiveme formulata za diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki:
x)x(f)xx(f
x)x(f
)x(f)xx(fxx
)x(f
xx
)x(f)x(f)xx(f
∆−∆+
=∆
∆
−∆+=∆∆
∆
∆∆
∆+=∆+
Poslednata ravenka dobiena preku Tajlorovata serija e navistina aproksimacija od prv red na formulata za opredeluvawe prv izvod so pomo{ na kone~ni razliki napred. Ako ja prekineme Tajlorovata serija po tretiot ~len (~lenot so vtor izvod), }e dobieme:
!2)x(
x)x(fx
x)x(f)x(f)xx(f
2
2
2 ∆∆
∆+∆
∆∆
+=∆+
Ovaa ravenka mo`e da se zapi{e kako:
!2)x(
x)x(f)x(f)xx(fx
x)x(f 2
2
2 ∆∆
∆−−∆+=∆
∆∆
ili:
x!2)x(
x)x(f
x)x(f)xx(f
x)x(f 2
2
2
∆⋅∆
∆∆
−∆
−∆+=
∆∆
2x
x)x(f
x)x(f)xx(f
x)x(f
2
2 ∆∆
∆−
∆−∆+
=∆
∆.........1
Poslednata ravenka e aproksimacija od vtor red na formulata za opredeluvawe na prviot izvod vo to~ka x. Kako {to gledame, za ovaa aproksimacija e potrebno poznavawe na vrednosta na vtoriot izvod na funkcijata vo to~ka x. Potreben ni e izraz za opredeluvawe na vtoriot izvod. Ako f’(x) e prviot izvod na f(x) vo to~kata x, toga{ aproksimacijata za vtoriot izvod so kone~ni razliki napred e dadena so:
x)x('f)xx('f
x)x(f
2
2
∆−∆+
=∆
∆
42 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
x)x(f)xx(f)x('f
x)xx(f)x2x(f)xx('f
∆−∆+
=
∆∆+−∆+
=∆+
Aproksimacija od I red na vtoriot izvod }e bide:
xx
)x(f)xx(fx
)xx(f)x2x(f
x)x('f)xx('f
x)x(f
2
2
∆∆
−∆+−
∆∆+−∆+
=∆
−∆+=
∆∆
22
2
22
2
)x()x(f)xx(f2)x2x(f
x)x(f
)x()x(f)xx(f)xx(f)x2x(f
x)x(f
∆+∆+−∆+
=∆
∆
∆+∆+−∆+−∆+
=∆
∆
Poslednata ravenka ja zamenuvame vo ravenkata 1 i ja dobivame aproksimacijata od II red na prviot izvod:
x2)x(f3)xx(f4)x2x(f
x)x(f
x2)x(f)xx(f2)x2x(f)x(f2)xx(f2
x)x(f
2x
)x()x(f)xx(f2)x2x(f
x)x(f)xx(f
x)x(f
2x
x)x(f
x)x(f)xx(f
x)x(f
2
2
2
2
∆−∆++∆+−
=∆
∆
∆−∆++∆+−−∆+
=∆
∆
∆⋅
∆+∆+−∆+
−∆
−∆+=
∆∆
=∆
∆∆
−∆
−∆+=
∆∆
Zna~i, vtora aproksimacija na prviot izvod so kone~ni razliki napred, dobiena so Tajlorovata serija e slednava formula:
x2)x(f3)xx(f4)x2x(f
x)x(f
∆−∆++∆+−
=∆
∆
Pribli`no diferencirawe 43
NUMERI^KI METODI
Na sli~en na~in mo`e da se dobie i formula za aproksimacija od vtor red na vtoriot izvod, izvedena od ekspanzijata na Tajlorovata serija. Ponatamu se dadeni i drugi formuli izvedeni od Tajlorovata serija, za prva i za aproksimacija od vtor red na prviot i na vtoriot izvod, so kone~ni razliki napred, nazad i so dvoen ~ekor. Aproksimacija na vrednosti za prviot izvod vo to~ka x • Kone~ni razliki napred:
- aproksimacija od prv red
x)x(f)xx(f
x)x(f
∆−∆+
=∆
∆
- aproksimacija od vtor red
x2)x(f3)xx(f4)x2x(f
x)x(f
∆−∆++∆+−
=∆
∆
• Kone~ni razliki nazad:
- aproksimacija od prv red
x)xx(f)x(f
x)x(f
∆∆−−
=∆
∆
- aproksimacija od vtor red
x2)x2x(f)xx(f4)x(f3
x)x(f
∆∆−+∆−−
=∆
∆
• So dvoen ~ekor:
- aproksimacija od prv red
x2)xx(f)xx(f
x)x(f
∆∆−−∆+
=∆
∆
- aproksimacija od vtor red
x12)x2x(f)xx(f8)xx(f8)x2x(f
x)x(f
∆∆−+∆−−∆++∆+−
=∆
∆
44 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
Aproksimacija na vrednosti za vtoriot izvod vo to~ka x • Kone~ni razliki napred:
- aproksimacija od prv red
22
2
)x()x(f)xx(f2)x2x(f
x)x(f
∆+∆+−∆+
=∆
∆
- aproksimacija od vtor red
22
2
)x()x(f2)xx(f5)x2x(f4)x3x(f
x)x(f
∆+∆+−∆++∆+−
=∆
∆
• Kone~ni razliki nazad:
- aproksimacija od prv red
22
2
)x()x2x(f)xx(f2)x(f
x)x(f
∆∆−+∆−−
=∆
∆
- aproksimacija od vtor red
22
2
)x()x3x(f)x2x(4)xx(f5)x(f2
x)x(f
∆∆−−∆−+∆−−
=∆
∆
• So dvoen ~ekor:
- aproksimacija od prv red
22
2
)x()xx(f)x(f2)xx(f
x)x(f
∆∆−+−∆+
=∆
∆
- aproksimacija od vtor red
22
2
)x(12)x2x(f)xx(f16)x(f30)xx(f16)x2x(f
x)x(f
∆∆−−∆−−−∆++∆+−
=∆
∆
Pribli`no diferencirawe 45
NUMERI^KI METODI
Primer 4. Dadeni se podatoci za temperaturata na vozduhot T i pritisokot na zasitenata parea es. Koristej}i aproksimacija od II red na prviot izvod, so kone~ni razliki napred, nazad i so dvoen ~ekor, da se proceni vrednosta na gradientot na funkcijata es , pri T=22 C0. • So kone~ni razliki napred:
0S
SSSS
C/Hgmm185.12
)82.19(3)05.21(437.22x
)22(e)1(2
)22(e3)23(e4)24(ex
)22(ex2
)x(f3)xx(f4)x2x(fx
)x(f
=−+−
=∆
∆
−+−=
∆∆
∆−∆++∆+−
=∆
∆
• So kone~ni razliki nazad:
0S
SSSS
C/Hgmm195.12
)53.17()65.18(4)82.19(3x
)22(e)1(2
)20(e)21(e4)22(e3x
)22(ex2
)x2x(f)xx(f4)x(f3x
)x(f
=+−
=∆
∆
+−=
∆∆
∆∆−+∆−−
=∆
∆
• So kone~ni razliki so dvoen ~ekor:
0S
SSSSS
C/Hgmm1966.1)1(12
)53.17()65.18(8)05.21(8)37.22(x
)22(e)1(12
)20(e)21(e8)23(e8)24(ex
)22(ex12
)x2x(f)xx(f8)xx(f8)x2x(fx
)x(f
=+−+−
=∆
∆
+−+−=
∆∆
∆∆−+∆−−∆++∆+−
=∆
∆
Zna~i, pri T na vozduhot 22C0 , gradientot na krivata na pritisokot na zasitenata parea iznesuva 1.1966 mm Hg/C0.
to~ka T(C0) eS(mm Hg) x-2∆x 20 17.53 x-∆x 21 18.65
x 22 19.82 x+∆x 23 21.05
x+2∆x 24 22.37 x+3∆x 25 23.75
46 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
Numeri~ko diferencirawe po metodot na sekanta Prethodno dadenite aproksimacii na prviot izvod dobieni so ekspanzija na Tajlorovi serii, poznati se i kako formuli za diferencirawe po metodot na sekanta:
Prvata formula e aproksimacija od I red na prviot izvod so kone~ni razliki napred, vtorata e dobiena so kone~ni razliki nazad, a tretata so centralni kone~ni razliki ili so kone~ni razliki so dvoen ~ekor. Interpretacija na ovie formuli e dadena na slednava slika:
Ravenkata 1) koristi to~ka koja se nao|a desno od dadenata to~ka kade {to se bara izvodot na funkcijata, i naklonot e definiran so linijata AC. Ravenkata 2) koristi to~ka koja se nao|a levo od dadenata to~ka kade {to se bara izvodot na funkcijata, i naklonot e definiran so linijata AB. Kako {to mo`e da se vidi od prethodnata slika, i za dvete aproksimacii ne mo`e da se ka`e deka se zadovolitelno to~ni, odnosno postoi golema razlika pome|u naklonot na tangentata (linijata t), i liniite AC i AB. Podobra aproksimacija se dobiva primenuvaj}i ja ravenkata 3), pri koja naklonot e definiran so linijata BC (sekanta) i e najpribli`en so naklonot na tangentata t, {to mo`e da se zabele`i od slikata. Izrazite za kone~nite razliki mo`e da se opredelat: 1) geometriski, pri {to naklonot na tangentata se zamenuva so
naklonot na tetivata 2) so pomo{ na interpolacionite polinomi.
h2)hx(y)hx(y)x(y)3
h)hx(y)x(y)x(y)2
h)x(y)hx(y)x(y)1
'
'
'
−−+≈
−−≈
−+≈
h h
xhx − hx +
C
B A
t
Pribli`no diferencirawe 47
NUMERI^KI METODI
Pri ramnomerno raspredeleni jazli na interpolacijata mo`e da se primenuvaat slednive izrazi za numeri~ko diferencirawe.
Koga h→0, to~kite se zgusnuvaat i aproksimaciite se stremat kon izvodite na funkcijata vo jazlite, i to~nosta se zgolemuva so namaluvawe na ~ekorot. Primer 5. Dadena e funkcijata y=sinx. Da se aproksimira vrednosta y’ i y’’ za x=π/8, koristej}i gi kone~nite razliki od prv i od vtor red, so ~ekor h=π/16.
i i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 x 0 π/16 2π/16 3π/16 4π/16 5π/16 y 0 0.195090 0.382683 0.555570 0.707106 0.831469
To~no re{enie: y=sinx; y’=cosx ; y’(π/8)=cos(π/8)=0.9238795
tangenta
tetiva
h h i-1 i i+1
∆x ∆y
11i1i'
i h2yy
xyu ∆≡
−=
∆∆
≈ −+
hyy'y
hyy'y
h'y'y
u
1ii2/)1i(
i1i2/)1i(
2/)1i(2/)1i(''i
−−
++
−+
−=
−=
−≈
332i1i1i2i
i h2yy2y2y'''y ∆≡
+−+−= ++−−
0.91795450.1950903)5555702.0(
162
1h2
yyy 1i1i1
'i =−
π⋅
=−
≈∆≡ −+
442i1ii1i2i
iIV
hyy4y6y4yy ∆≡
+−+−= ++−−
221ii1i
1iii1i
i hyy2y
hhyy
hyy
''y ∆≡+−
=
−−
−
= −+
−+
48 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
To~no re{enie: y=sinx; y’=cosx ; y’’=-sinx ; y’’(π/8)=-sin(π/8)=-0.3826834 Numeri~ko diferencirawe so pomo{ na Wutnoviot interpolacionen polinom Za opredeluvawe na izvodite na edna funkcija, koja e opredelena so vrednostite f(x0)=y0; f(x1)=y1 f(x2)=y2; ....... f(xn)=yn, vo to~kite xn , (n=1,2,...,n) mo`e da se koristi Wutnoviot interpolacionen polinom P(x). Ovde treba da se naglasi deka, pri opredeluvawe na vrednostite na f’(x), treba da se koristat jazolni to~ki na dovolno mali rastojanija za f(x) pome|u niv da nema golem broj ekstremi. Vo sprotivno, mo`e da se slu~i razlikata pome|u P(x) i f(x) da bide mala, a razlikata pome|u nivnite izvodi da e mnogu golema.
odnosno:
kade {to u=(x-xo)/h. ; du/dx=1/h
P(x)
f(x)
x0 x1 x2 xn
)1nu)....(2u()1u(u!ny
......)2u()1u(u!3y
)1u(u!2y
u!1y
y)x(P
0n
03
02
00
−−−⋅−⋅
∆+
++−⋅−⋅
∆+−
⋅∆
+⋅
∆+=
)u6u11u6u(24y
)u2u3u(6y
)uu(2y
uyy)x(y 23404
2303
202
00 −+−∆
++−∆
+−∆
+∆+=
3814552.0-0.1950903)0.3826834*25555702.0()
16(
1h
yy2yy
2
21ii1i
2''i
=+−π
=
=+−
≈∆≡ −+
Pribli`no diferencirawe 49
NUMERI^KI METODI
Imaj}i predvid deka:
Ako funkcijata f(x) e diferencijabilna vo razgleduvaniot interval i se menuva nezna~itelno, a polinomot P(x) dobro ja aproksimira funkcijata f(x), toga{ mo`e da se smeta deka i P’(x) dobro ja aproksimira f ’(x). Pri nao|awe na vrednosta na izvodot na nekoja funkcija vo to~ka x*, za x0 treba da se odbere to~ka vo tablicata koja e najbliska i se nao|a pred x*. Vo slu~aj koga treba da se presmeta izvodot vo nekoj od jazlite na interpolacijata, toga{ formulite se uprostuvaat. Bidej}i sekoja tabli~na vrednost mo`e da se izbere za po~etna, mo`e da stavime deka x=x0, pa imame:
u=(x-x0)/h=(x0-x0)/h=0 a od toa:
Primer 6. tabli~no e zadadena nekoja funkcija so ~ekor h=0.1. Znaej}i deka taa e diferencijabilna vo dadeniot interval, da se presmetaat vrednostite na prviot izvod za x=3.5 i za x=3.57.
i x y(x)=log(x) ∆y ∆2y 0 3.5 0.5441 0.0122 -0.0003 1 3.6 0.5563 0.0119 -0.0003 2 3.7 0.5682 0.0116 -0.0003 3 3.8 0.5798 0.0113
dudy
h1
dxdu
dudy
dxdy
⋅=⋅=
......]y[h1)x(y
.....]2
)3u2(yy[h1)x('''y
.....]12
)11u18u6(y)1u(yy[h1)x(''y
.....]12
)3u11u9u2(y6
)2u6u3(y)21u(yy[
h1)x('y
04
4IV
04
03
3
2
04
03
02
2
23
04
2
03
02
0
+∆=
+−
∆+∆=
++−
∆+−∆+∆=
+−+−
∆++−
∆+−∆+∆=
.....]y61y
21y[
h1)x('y
....]y65y
1211yy[
h1)x(''y
....]y51y
41y
31y
21y[
h1)x('y
03
02
01
05
04
03
02
20
05
04
03
02
00
+∆−∆+∆=
+∆−∆+∆−∆=
+∆+∆−∆+∆−∆=
50 Pribli`no diferencirawe
NUMERI^KI METODI
4 3.9 0.5911 Za f ’(3.57) ja koristime formulata:
Koga se bara izvod na nekoja funkcija za vrednost na argumentot {to se nao|a nazad vo dadenata tabela, toga{ se primenuva interpolacionata formula na Wutn za interpolacija nazad. Primer 7. Tabelarno se dadeni vrednostite na funkcijata
y(x)= x za 7 argumenti so ~ekor h=0.05.
i x y(x)= x ∆y ∆2y ∆3y 0 1.00 1.00000 0.02470 -0.00059 0.00005 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00054 0.00004 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00050 0.00002 3 1.15 1.07238 0.02307 -0.00048 0.00003 4 1.20 1.09544 0.02259 -0.00045 5 1.25 1.11803 0.02214 6 1.30 1.14017
Da se opredelat izvodite vo to~ka k=0, odnosno x0=1.0, so pomo{ na formulite za diferencirawe dobieni od Wutnoviot interpolacionen polinom napred:
4.0]00005.0[05.01)0.1('''y
256.0]00005.000059.0[05.01)0.1(''y
50024.0]000017.0000295.002470.0[05.01)0.1('y
3
2
==
−=−−=
=++=
1235.0)]0003.0(210122.0[
1.01)5.3('y
]y21y[
h1)5.3('f 0
20
=−−=
∆−∆=
1214.0)]0003.0(2
17.020122.0[1.0
1)57.3('y
7.01.0/)5.357.3(u
....]y6
2u6u3y2
1u2y[h1)x('f 0
32
02
0
=−−⋅
−=
=−=
+∆+−
+∆−
+∆=
Pribli`no diferencirawe 51
NUMERI^KI METODI
To~nite rezultati se :
Od primerot se zaklu~uva deka gre{kite se zna~itelni. Metodite za numeri~ko diferencirawe se zasnovani vrz zamena na izvodite na nekoja funkcija so koli~nici na kone~ni razliki. Vsu{nost, se pravi matemati~ka aproksimacija, odnosno zamena na izvodite du/dx, koi pretstavuvaat odnos na beskrajno mali golemini so odnos na dve kone~ni golemini ∆y/∆x (ova se vsu{nost podeleni razliki, bidej}i prirastot na ordinatite na funkcijata se podeleni so prirastot na abscisite).
375.0)0.1('''y25.0)0.1(''y
5.0)0.1('yx)x(y
=−=
==
52 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
4. NUMERI^KA INTEGRACIJA Za razlika od numeri~koto diferencirawe, pri koe ne sekoga{ mo`e da se dobijat rezultati so prifatliva to~nost, numeri~kata integracija mo`e da se sprovede do sekakva barana to~nost. Toa e i pri~ina za golemata primena na ovaa postapka vo site oblasti na mehanikata, posebno koga algoritmot se izveduva kompjuterski. Ovde podetalno }e se zadr`ime na numeri~kite formuli za integracija, dobieni so koristewe na interpolacionite polinomi, kako i na Gausovata integracija. Pri sproveduvaweto na postapkata treba da se ima predvid fizikalnata smisla na opredeleniot liniski i povr{inski integral, a toa e deka tie pretstavuvaat povr{ina, odnosno volumen pod krivata vo dadeni granici.
Re{avaweto na opredeleniot integral ∫b
adx)x(f so formalnite
metodi ~esto e te{ko i nevozmo`no, duri i koga f(x) e funkcija so relativno ednostavna analiti~ka forma. Za vakvi slu~ai, kako i za nekoi poop{ti slu~ai na integracija pri koi se dostapni samo nekolku slu~ajni vrednosti na f(x) za vrednosti na argumentot xi, i=0,1,....n, potrebni se drugi metodi. O~igledna alternativa e da se najde funkcija g(x) koja e ednostavna i pogodna aproksimacija na f(x) i ednostavna za integrirawe. Vo toj slu~aj mo`e da se napi{e:
∫b
adx)x(f ≈ ∫
b
adx)x(g
Za sre}a, prethodno dadenite interpolacioni polinomi davaat adekvatni aproksimacii i se lesno integrabilni. Vakvite karakteristiki se glavna pri~ina za golemata primena na interpolacionite polinomi vo numeri~kata matematika.
P4(x) f(x)
x
y
x0 x1 x2 x3 x4
δx
Numeri~ka integracija 53
NUMERI^KI METODI
Gornata slika ja ilustrira aproksimacijata na funkcijata f(x) so polinom P4(x), koj to~no gi pretstavuva vrednostite na f(x) vo jazlite
x0,x1,x2,x3,x4. To~nata vrednost na ∫4
0
x
xdx)x(f e dadena so povr{inata pod
krivata, pretstavena so polna linija f(x), a bidej}i aproksimacijata
∫4
0
x
x4 dx)x(P e dadena so povr{inata pod isprekinatata linija P4(x),
zabele`uvame deka, ako razlikata pome|u ovie dve funkcii: δx= f(x) - P4(x) se razlikuva po znak vo razli~nite segmenti od intervalot x0 do x4 vo koj se integrira ({to e voobi~aen slu~aj), toga{ vkupnata gre{ka pri integracijata mo`e da bide mala, odnosno:
∫−∫∫ =δ4
0
4
0
4
0
x
x4
x
x
x
xdx)x(Pdx)x(fdx)x( ,
duri i vo slu~aj koga P4(x), vo site to~ki dovolno dobro ne ja aproksimira f(x). Pozitivnite gre{ki vo eden segment se poni{tuvaat so negativnite gre{ki vo drugite segmenti. Metodite za integracija {to voobi~aeno se koristat mo`e da se podelat na dve grupi: − Wutn-Kotesovi formuli za integracija so ekvidistantni jazolni
to~ki − Gausovi kvadraturni formuli za jazli na neednakvi rastojanija. Integracionite formuli so ednakvi intervali mo`e da se generiraat so integrirawe na eden od op{tite interpolacioni polinomi. Bidej}i f(x) e poznata samo so vrednostite vo jazolnite to~ki ednakvo raspredeleni so ~ekor h, logi~en izbor za polinomna prezentacija e onoj dobien so forma na kone~ni razliki (napred, nazad ili centralni) Formuli dobieni od Wutnoviot interpolacionen polinom So integrirawe na Wutnoviot interpolacionen polinom za interpolacija napred vo granicite od x0 do xn, se dobivaat pove}e formuli za numeri~ka integracija.
Ovde }e bidat izvedeni samo tri, a za drugite }e bidat dadeni potrebnite koeficienti.
)1nu)....(2u()1u(u!ny
......)2u()1u(u!3y
)1u(u!2y
u!1y
y)x(P
0n
03
02
00
−−−⋅−⋅
∆+
++−⋅−⋅
∆+−
⋅∆
+⋅
∆+=
54 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
a) ∫1
0
x
x1 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na linearna
funkcija od x0 do x1. P1(x)=y0+∆y0.u x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x1 u=1 Poslednata formula e osnovna formula na trapeznoto pravilo za numeri~ka integracija.
b) ∫2
0
x
x2 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na kvadratna
funkcija od x0 do x2. P1(x)=y0+∆y0.u+∆2y0.u(u-1)/2 x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x2 u=2 Ovaa formula e poznata kako osnovna formula na Simpsonovoto pravilo za numeri~ka integracija.
)yy(2h
2yyy2h)
2yyy(hdx)x(P
yyy
)2yy(h)
2uyuy(h
du)uyy(hdu)u(Phdx)x(P
0101001
0
x
x
010
00
2
00
1
000
1
0
x
x
1
0
1
0
+=−+
=−
+=⋅
−=∆
∆+=∆+=
=⋅⋅∆+=⋅=⋅
∫
∫∫∫1 0
2 0
)yy4y(3h
)3
yy4y(h
3y
3y2
3y
y2y2y2[hdx)x(P
yy2yy;yyy
)3y
y2y2(h)]2
u3
u(2y
2uyuy[h
du)]1u(u2y
uyy[hdu)u(Phdx)x(P
210
210210010
x
x
21002
010
02
00
230
22
00
2
0
02
00
2
0
x
x
2
0
2
0
++=
=++
=+−+−+=⋅
+−=∆−=∆
∆+∆+=−
∆+∆+=
=⋅−⋅∆
+⋅∆+=⋅=⋅
∫
∫∫∫
Numeri~ka integracija 55
NUMERI^KI METODI
v) ∫3
0
x
x3 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na kubna funkcija
od x0 do x3. P3(x)=y0+∆y0.u+∆2y0.u(u-1)/2+∆3y0.u(u-1)(u-2)/6 x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x3 u=3 Integracijata spored ovie tri formuli e ilustrirana na slednava slika: a) b) v) Rezultatite od integracijata za polinomi od povisok red se vo
forma: Koeficientite vo integracionata formula za n=1 do n=8 se dadeni vo slednava tabela.
3 0
)yy3y3y(8h3dx)x(P
)8y3
4y9
y29y3(h
)]2
u3
u34
u(6y
)2
u3
u(2y
2uyuy[h
du)]2u)(1u(u23
y)1u(u
2y
uyy[h
du)u(Phdx)x(P
3210
x
x
03
02
00
2340
3230
22
00
3
0
03
02
00
3
0
x
x
3
0
3
0
+++=⋅
∆+
∆+∆+=
+−∆
+−∆
+∆+=
=⋅−−⋅⋅
∆+−⋅
∆+⋅∆+=
=⋅=⋅
∫
∫
∫∫
itn
x0 x1 h
x0 x1 x2 h h
x0 x1 x2 x3 h h h
)yc..........ycyc(Chdx)x(P nn110
x
x0
n
0
⋅+⋅+⋅∫ =
56 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
Trapezno pravilo Ako osnovnata ravenka dobiena so integrirawe na linearna funkcija ja primenime na site intervali na funkcijata, }e ja dobieme formulata za numeri~ka integracija so pomo{ na trapeznoto pravilo. So pove}ekratno koristewe na osnovnate formula na trapeznoto pravilo ja dobivame formulata za numeri~ka integracija na funkcijata P(x) vo grancite x∈[x0,xn], so pomo{ na trapeznoto pravilo.
Simpsonovo pravilo Ova e naj~esto upotrebuvana formula za numeri~ka integracija. Taa se dobiva primenuvaj}i ja formulata dobiena pod b) so integrirawe na kvadratna funkcija vo intrevalite [x0- x2], [x2- x4] itn.
n C c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 1 1/2 1 1 2 1/3 1 4 1 3 3/8 1 3 3 1 4 2/45 7 32 12 32 7 6 1/140 41 216 27 272 27 216 41 8 4/14175 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 989
x0 x1 x2 x3 h h h
y0 y1 y2 y3 yn-1 yn
xn-1 xn x
y
h
)yy2.........y2y2y(2hdx)x(P
)yy(2h.........)yy(
2h)yy(
2h)yy(
2hdx)x(P
n1n210
x
x
n1n322101
x
x
n
0
n
0
+++++=⋅
++++++++=⋅
−
−
∫
∫
Numeri~ka integracija 57
NUMERI^KI METODI
Treba da se naglasi deka intervalite se ednakvi i nivniot broj e paren, a brojot na to~kite e neparen.
Primer 1. Da se presmeta integralot ∫1
4.0
x
dxxe
so pomo{ na trapeznoto
pravilo, so ~ekor h=0.1.
k xk exk yk=exk/xk 0 0.4 1.4918 3.7295 1 0.5 1.6487 3.2954 2 0.6 1.8221 3.0368 3 0.7 2.0138 2.8734 4 0.8 2.2255 2.7819 5 0.9 2.4596 2.7288 6 1.0 2.7183 2.7183
7163.14y5
1k =∑
x
y
x0 x1 x2 x3 x4 xn-2 xn-1 xn
y0 y1 y2 y3 y4 yn-2 yn-1 yn
)yy4y2.........y4y2y4y(3hdx)x(P
)yy4y(3h.....)yy4y(
3h)yy4y(
3hdx)x(P
nn2n3210
x
x
n1n2n432210
x
x
n
0
n
0
+++++++=⋅
+++++++++=⋅
−
−−
∫
∫
58 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
79402.1)7183.27163.1427295.3(1.021)yy2y(1.0
21
]y)yyyyy(2y[h21dx
xe
6
5
1k0
6543210
1
4.0
x
=+⋅+=+∑+=
=++++++=∫
Primer 2. Integralot od primer 1 da se presmeta so Simpsonovata formula.
78919.1]7183.28178.528976.847295.3[31.0
]y)yy(2)yyy(4y[31.0
]yy4y2y4y2y4y[3hdx
xe
6425310
6543210
1
4.0
x
=+⋅+⋅+=
=++++++=
=++++++=∫
Primer 3. Da se presmeta ∫π 2/
0dx)xsin( , koristej}i gi vrednostite na
funkcijata dadeni vo tabelata. Pritoa da se koristi: a) op{tata integraciona formula dobiena od Wutnoviot
interpolacionen polinom b) trapeznoto pravilo v) Simpsonovoto pravilo
x 0 π/12 2π/12 3π/12 4π/12 5π/12 6π/12 Sin(x) 0 0.25882 0.5 0.70711 0.86603 0.96593 1.00 Dobienite rezultati da se sporedat so to~noto re{enie koe iznesuva 1.00. a) So primena na ravenkata dobiena od Wutnoviot interpolacionen
polinom za n=6:
1.0000041.0)410.965932160.8660327
0.707112720.5270.25882
=⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅π
=∫π
2160.041(12140
1dx)xsin(2/
0
Numeri~ka integracija 59
NUMERI^KI METODI
b) Primena na trapeznoto pravilo:
994285.059578.71309.0
]0.1)96593.086603.070711.05.025882.0(20[122
1dx)xsin(2/
0
=⋅=
=+++++⋅+π
=∫π
v) So primena na Simpsonovata formula
00003.14595.11087266.0
]0.1)86603.05.0(2)96593.070711.025882.0(40[123
1dx)xsin(2/
0
=⋅=
=+++++⋅+π
=∫π
Od rezultatite se gleda deka najto~na e integracijata sprovedena so ravenkata pod a). Gausova formula za numeri~ka integracija (Gausova kvadratura) Metodite za numeri~ka integracija {to bea prethodno dadeni (trapezno i Simpsonovo pravilo) se bazirani na vrednostite na funkcijata vo to~ki koi se na ednakvo rastojanie. Konsekventno na toa, lokacijata na krajnite to~ki koi se koristat vo ovie ravenki e fiksna. Na primer, trapeznoto pravilo e bazirano na opredeluvawe na povr{inata pod pravata linija koja gi povrzuva vrednostite na funkcijata vo krajnite to~ki na intervalot na integracijata. Trapeznoto pravilo mo`e da se izrazi:
∫+
−≈=b
a 2)a(f)b(f)ab(dx)x(fI
a b x
f(x)
f(b) f(a)
Povr{ina=2
)a(f)b(f)ab( +−
60 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
Trapeznoto pravilo bara linijata da pominuva niz krajnite to~ki (takanare~eni pivotni to~ki); ima slu~ai koga formulata rezultira vo golema gre{ka, {to mo`e da se vidi i od gornata slika. Ako go otstranime ograni~uvaweto za fiksni krajni to~ki, toga{ mo`eme da ja procenime povr{inata pod pravata linija koja povrzuva koi i da bilo dve to~ki od krivata. So pravilen izbor na ovie dve to~ki mo`e da se postigne poni{tuvawe na pozitivnite i negativnite gre{ki na integracijata, odnosno mo`e da se dobie poto~na procena na vrednosta na integralot (povr{inata pod funkcijata). Ovoj koncept e osnova na Gausovata kvadratura, ili na Gausovata formula, za numeri~ka integracija. Izveduvaweto na Gausovata formula }e bide pojasno ako prethodno ja izvedeme trapeznata formula, koristej}i go metodot na neopredeleni koeficienti.
∫+
−≈=b
a 2)a(f)b(f)ab(dx)x(fI ......................1)
Ravenkata 1) mo`e da se izrazi:
∫ ⋅+⋅≈=b
a21 )b(fC)a(fCdx)x(fI ......................2)
kade {to C1 i C2 se konstanti koi treba da bidat opredeleni. Treba da zabele`ime deka trapeznoto pravilo }e dade to~no re{enie ako funkcijata {to se integrira e konstanta ili prava linija. Najednostavni dve ravenki koi gi pretstavuvaat ovie dva slu~aja se:
1)x(f = i x)x(f =
x
f(x)
a b
Numeri~ka integracija 61
NUMERI^KI METODI
Granicite na integracijata se menuvaat: namesto [a,b] tie se
[2
)ab( −−,
2)ab( −
]. Ako f(x)=1, f(a)=f(b)=1 i ako gi zamenime vo
ravenkata 2), }e dobieme:
ab2
)ab(2
)ab(CC
)2
)ab((2
)ab(xdx1dx)x(fCC
CC)1(C)1(C)b(fC)a(fCdx)x(fI
21
2)ab(
2)ab(
2)ab(
2)ab(
2)ab(
2)ab(
21
2121
2)ab(
2)ab(
21
−=−
+−
=+
=−
−−−
====+
+=⋅+⋅=⋅+⋅==
−
−−
−
−−
−
−−
−
−−
∫∫
∫
abCC 21 −=+ ......................3)
Ako x)x(f = , toga{: 2
)ab()a(f −−= i
2)ab()b(f −
= vo ravenkata 2).
Po menuvaweto na granicite, dobivame:
08
)ab(8
)ab(2
xxdxdx)x(f2
)ab(C2
)ab(C
)2
)ab((C2
)ab(C)b(fC)a(fCdx)x(f
222)ab(
2)ab(
22)ab(
2)ab(
2)ab(
2)ab(
21
21
2)ab(
2)ab(
21
=−
−−
====−
+−
−
−⋅+
−−⋅=⋅+⋅=
−
−−
−
−−
−
−−
−
−−
∫∫
∫
x
f(x)
2)ab( −−
f(x)=1
2)ab( −
x
f(x)
2)ab( −−
f(x)=x
2)ab( −
62 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
02
)ab(C2
)ab(C 21 =−
+−
− ......................4)
Ravenkite 3) i 4) mo`e da se re{at simultano i da se opredelat konstantite C1 i C2:
02
)ab(C2
)ab(C
abCC
21
21
=−
+−
−
−=+
0)CC)(ab( 21 =+−−
Bidej}i (b-a) ne mo`e da bide nula, od vtorata ravenka imame:
12
21
CC0)CC(
==+−
Ako zamenime vo prvata ravenka, }e dobieme:
abC2abCCabCC
1
11
21
−=−=+−=+
2abC
2abC
2
1
−=
−=
..............5)
Ako gi zamenime ovie dve vrednosti vo ravenkata 2), }e ja dobieme formulata na trapeznoto pravilo:
2)b(f)a(f)ab(I
)b(f2
ab)a(f2
abI
)b(fC)a(fCI 21
+−=
−+
−=
⋅+⋅=
Numeri~ka integracija 63
NUMERI^KI METODI
Opredeluvawe na Gausovata kvadraturna formula so dve to~ki Ovaa formula mo`e da se izvede na sli~en na~in kako i prethodno izvedenata trapezna formula, koristej}i ja slednava forma:
∫ ⋅+⋅≈=b
a2211 )x(fC)x(fCdx)x(fI ..............6)
Sprotivno na trapeznoto pravilo koe koristi fiksni krajni to~ki a i b, vo ovoj slu~aj argumentite x1 i x2 ne se poznati i fiksni (ne se krajni to~ki), taka {to vo gorniot izraz imame vkupno 4 nepoznati. Isto taka se menuvaat i granicite na integracijata, od granici [a,b] vo granici [-1,+1]
Granicite se menuvaat za da se uprostat matemati~kite operacii i za da se napravi {to e mo`no pogeneralna formulacija. Za da gi opredelime nepoznatite, C1, C2, x1 i x2, potrebno e da definirame ~etiri uslovi, kako {to sledi. Ravenkata 6) mo`e da se primeni za integracija na: konstantna, linearna, paraboli~na i kubna funkcija:
konstantna linearna kvadratna kubna f(x) 1 x x2 x3
Vo vrska so ravenkata 6) i tabela 1, treba da se re{at slednive 4 ravenki (rav. 7):
∫−
==⋅+⋅1
12211 2dx)1()x(fC)x(fC
∫−
==⋅+⋅1
12211 0xdx)x(fC)x(fC
x
f(x)
-1 +1
f(x1) f(x2)
x1 x2
64 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
∫−
==⋅+⋅1
1
22211 3
2dxx)x(fC)x(fC
∫−
==⋅+⋅1
1
32211 0dxx)x(fC)x(fC ...............................7)
0)x(C)x(C32)x(C)x(C
0)x(C)x(C2)1(C)1(C
32
31
22
21
2211
21
21
21
=⋅+⋅
=⋅+⋅
=⋅+⋅=⋅+⋅
....................8)
Od prvata ravenka na sistemot se dobiva C2=2- C1. So zamena na ovaa vrednost vo vtorata ravenka od sistemot 8), se dobiva:
1
21
1
211
2111
Cx)2C(
Cx)C2(
x
0x)C2(xC⋅−
=⋅−−
=
=⋅−+⋅
Re{enijata za C2 i x1 gi zamenuvame vo tretata ravenka od sistemot 8):
32x)C2()
Cx)2C(
(C
32xCxC
212
221
1
22
21
21
2
21
=⋅−+⋅−
⋅
=⋅+⋅
Poslednata ravenka ja re{avame po 2
2x :
)C36
C(x1
212
−=
Zamenuvaj}i go re{enieto za x1 vo poslednata ravenka od sistemot 8), dobivame:
0x)C2(C
x)2C(C
0)x(C)x(C
313
1
331
1
32
31
22
21
=−+−
⋅
=⋅+⋅
{to e ekvivalentno na:
0]C)2C)[(2C(x 2211
312 =−−−
Numeri~ka integracija 65
NUMERI^KI METODI
Poradi toa {to x2 ne mo`e da bide nula i C2 ne mo`e da bide ednakvo na 2, od poslednata ravenka imame:
4C4
0C4C4C
0]C)2C[(
1
21
2
221
11
1
−=−
=−+−
=−−
Spored toa, C1=1, a drugite nepoznati se: C2=1
5773503.03
1)1(36
1C36
Cx
1
12 ==
−=
−=
5773503.03
1xx 21 −=−=−=
Spored toa, Gausovata kvadraturna formula so 2 Gausovi to~ki e:
∫
∫
+
−
+
−
⋅+−⋅≈=
⋅+⋅≈=
1
1
1
12211
)3
1(f1)3
1(f1dx)x(fI
)x(fC)x(fCdx)x(fI
Gausovi kvadraturni formuli od povisok red - Drugi Gausovi formuli, so pove}e Gausovi to~ki, mo`e da se
izvedat na sli~en na~in. - Kako {to i se o~ekuva, kolku e pogolem brojot na Gausovite to~ki
tolku e povisoka preciznosta {to mo`e da bide postignata. - Ravenkite potrebni za opredeluvawe na koeficientite, vo
kompaktna forma, se dadeni kako:
∫−
==⋅+⋅⋅+⋅1
1
0nn
022
01 2dx)1(xC.....xCxC 1
∫−
==⋅+⋅⋅+⋅1
1
1nn
122
11 0dx)x(xC.....xCxC 1
∫−
==⋅+⋅⋅+⋅1
1
22nn
222
21 0dx)x(xC.....xCxC 1 ......................9)
.........
66 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
=+
−−+=⋅+⋅⋅+⋅
++
brojneparenekako
brojparenekako
1k2
01k
)1()1(xC.....xCxC1k1k
2nn
222
21 1
0n2
)1()1(xC.....xCxCn2n2
1n2nn
1n222
1n21 1 =
−−+=⋅+⋅⋅+⋅ −−−
Gausovite formuli od povisok red mo`e da se razvijat vo op{ta forma kako:
)z(fC......)z(fC)z(fCdx)x(fI nn
b
a2211 ⋅++⋅+⋅== ∫
Te`ini i apscisi na Gausovata kvadratura so 6 Gausovi to~ki
to~ka apscisa te`ina 1 2 3 4 5 6
z1=-0.932469514 z2=-0.661209386 z3=-0.238619186 z4=0.238619186 z5=0.661209386 z6=0.932469514
C1=0.171324492 C2=0.360761573 C3=0.467913935 C4=0.467913935 C5=0.360761573 C6=0.171324492
Primena na Gausovata kvadratura • Transformacija na promenlivite
Vidovme deka granicite na integracijata se promeneti vo novi granici [-1 , +1]. Promenata na granicite e napravena so pretpostavkata deka novata promenliva z e vo linearna zavisnost so starata promenliva x:
BzAx += Ako dolnata granica e x=a, ova odgovara na: z= -1. Ako zamenime vo gornata ravenka, }e dobieme:
)1(BAaBzAx
−+=+=
Numeri~ka integracija 67
NUMERI^KI METODI
Sli~no, ako gornata granica e x=b, toga{ z=+1. Zamenuvame vo ravenkata:
)1(BAbBzAx
+=+=
Konstantite A i B }e se dobijat so re{avawe na sistemot ravenki:
)1(BAb)1(BAa
+=−+=
Re{enijata se:
2abB;
2abA −
=+
=
Ako ovie re{enija se zamenat vo izrazot: BzAx += , }e dobieme:
z2
ab2
abx −+
+=
odnosno:
2)ab()ab(zx ++−
= od kade {to dobivame: dz2
)ab(dx −= .
Ako te`inite gi ozna~ime so W (kako {to se sre}ava vo literaturata), Gausovata formula za numeri~ka integracija mo`e da se zapi{e vo forma:
)x(fWdx)x(f k
n
1kk
b
a⋅∑≈∫
=
kade {to Wk se te`ini, a xk se apscisi na jazlite na integracijata. Smislata na ovie te`ini mo`e da se ilustrira i so prethodno dadenite formuli za numeri~ka integracija. Taka, na primer, kaj trapeznoto pravilo:
te`inite se pretstaveni so izrazite pred vrednostite na funkcijata: h/2,h,h,h, ,h,h/2. Toa se te`ini koi odgovaraat na
n1n210
b
ay
2hhy.........hyhyy
2hdx)x(f +++++≈∫ ⋅ −
68 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
to~kite, x0,x1,x2,......, xn-1,xn. Sli~no i kaj Simpsonovoto pravilo, napi{ano vo forma,
goleminite h/3, 4h/3, 2h/3, 4h/3, 2h/3,......,2h/3, 4h/3, h/3 gi pretstavuvaat te`inite za jazlite x0,x1,x2, x3, x4,......, xn-2, xn-1,xn. Pri Gausovata integracija, brojot na to~kite n se smeta za fiksiran i za nego se izbiraat Wk i xk koi se zadadeni vo tablica. Pritoa, kako {to be{e prethodno poka`ano, se vr{i transformacija na funkcijata f(x), a ≤ x ≤ b, vo intervalot -1 ≤ z ≤ +1, koja se postignuva so zamenata:
2)ab()ab(zx ++−
=
Ottuka:
)ab()ab(x2z;dz
2)ab(dx
−+−
=−
=
Pri ovaa transformacija, kako {to vidovme prethodno, se menuvaat i granicite na integracijata:
za x= a z = -1 za x= b z = +1
So toa levata strana na ravenkata za Gausovata integracija stanuva:
dz)2
)ab()ab(z(f2
abdx)x(f1
1
b
a
++−⋅∫
−≈∫
+
−
Bidej}i standardnata formula za Gausova integracija e dadena so izrazot:
)z(fWdz)z(f k
n
1kk
1
1⋅∑≈∫
=
+
−,
toga{ integralot ∫b
adx)x(f mo`e da se aproksimira so:
)2
ab)ab(z(fW2
abdx)x(f kn
1kk
b
a
++−⋅∑
−≈∫
=
Vo narednata tabela se dadeni parametrite na Gausovata integracija so 2, 3, 4 i 5 Gausovi to~ki, a prethodno bea dadeni vrednostite i za 6 to~ki.
n1n2n3210
b
ay
3hy
3h4y
3h2.........y
3h4y
3h2y
3h4y
3hdx)x(f ++++++≈∫ ⋅ −−
Numeri~ka integracija 69
NUMERI^KI METODI
n
br. na to~ki
k to~ka
zk (apscisi) Wk (te`ini)
2 1 -0.577 350 27 1.0 2 0.577 350 27 1.0
3 1 -0.774 596 67 0.555 555 56 2 0 0.888 888 89 3 0.774 596 67 0.555 555 56
4 1 -0.861 136 31 0.347 854 85 2 -0.339 981 04 0.652 145 15 3 0.339 981 04 0.652 145 15 4 0.861 136 31 0.347 854 85
5 1 -0.906 179 85 0.236 926 89 2 -0.538 469 31 0.478 628 67 3 0. 0.568 888 89 4 0.538 469 31 0.478 628 67 5 0.906 179 85 0.236 926 89
Primer 4. So Gausovata integraciona formula za dve Gausovi to~ki, da se opredeli vrednosta na integralot.
∫ ⋅+++=∫+
−
+
−
1
1
231
1dz)1zzz(dz)z(f
Od prethodnata tabela za 2 Gausovi to~ki se ot~ituvaat vrednostite za zk i Wk.
69133103.2)57735027.0(f97532563.0)57735027.0(f
)57735027.0(f0.1)57735027.0(f0.1)z(fWdz)z(f2
1kkk
1
1
=−=
−⋅+⋅=∑ ⋅=∫=
+
−
66666666.2dz)1zzz(1
1
23 =∫ ⋅++++
−
{to se poklopuva so to~noto re{enie. Primer 5. Da se primeni Gausovata integraciona formula so pet to~ki za presmetuvawe na integralot:
∫=2
1 xdxI ; to~no te{enie: ln(x)⏐ =0.693 147 18
2
1
70 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
Vr{ime transformacija na promenlivata 1≤ x ≤ 2 vo promenliva -1≤ z ≤ 1.
2dzdx;dx2dz;3x2
1212x2
)ab()ab(x2z ==−=
−−−
=−
+−=
Potoa ja transformirame funkcijata f(x) vo F(z):
Presmetuvaweto po Gausovata formula so 5 Gausovi to~ki e dadeno vo slednava tabela:
k zk Wk F(zk)=1/(zk+3) Wk.f(zk)
1 -0.906 179 85 0.236 926 89 0.477 595 93 0.113 155 29 2 -0.538 469 31 0.478 628 67 0.406 251 28 0.194 443 51 3 0. 0.568 888 89 0.333 333 33 0.189 629 62 4 0.538 469 31 0.478 628 67 0.282 608 08 0.135 264 33 5 0.906 179 85 0.236 926 89 0.256 004 60 0.060 654 37
∑ ⋅=
2
1kkk )z(fW
0.693 147 12
Dobienoto re{enie so 5 Gausovi to~ki e to~no do 6-tiot decimal. Primer 6. Koristej}i ja Gausovata formula za integracija so 2 i so 3 Gausovi to~ki, da se proceni vrednosta na integralot za koj to~noto re{enie iznesuva:
2)11()0cos(cos)xcos(dx)xsin(F0
0=−−−=−π−=−=∫= ππ
Pritoa, da se koristi formata na Gausovata formula vo koja ne se vr{i transformacija na funkcijata f(x) vo F(z). So dve Gausovi to~ki:
9358.1261619.02
)]2
)0()0(57735.0sin(0.1)2
)0()0(57735.0sin(0.1[2
0F
)2
ab)ab(z(fW
2abdx)x(f k
n
1kk
b
a
=⋅π
=
=+π+−π
⋅++π+−π−
⋅−π
≈
++−⋅∑
−≈∫
=
dz3z
12dz
3z2
xdx
3z2
12)12(z2
2ab)ab(z
1)z(F;x1)x(f
1
1
1
1
2
1∫
+=∫
+=∫
+=
++−=
++−==
+
−
+
−
Numeri~ka integracija 71
NUMERI^KI METODI
So tri Gausovi to~ki:
001389.2)]2
774596.0sin(55555.0
)0sin(88888.0)2
774596.0sin(55555.0[2
F
==π+π
⋅+
+⋅+π+π−
⋅π
≈
Primer 7. So pomo{ na trapeznoto pravilo, da se proceni
integralot ∫ +2
0dx1x . Funkcijata da se tabelira vo dadeniot
interval so ~ekor h=0.5.
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 y 1 1.22 1.414 1.58 1.73
7895.2]73.1)58.1414.122.1(21[25.0dx1x
2
0=++++≈∫ +
Primer 8. Da se interpolira polinom koj minuva niz dadenite to~ki. Pritoa da se koristi Wutnoviot interpolacionen polinom napred.
x -1 1 3 5 y 3 3 27 75
Potoa da se opredeli povr{inata zafatena od interpoliraniot polinom vo granicite od -1,0 do 5,0 i apscisnata oska, a so pomo{ na Simpsonovot pravilo za 6 intervali i so Gausovata formula so 3 Gausovi to~ki. Rezultatot da se sporedi so to~noto re{enie dobieno so direktna integracija.
i x y ∆y ∆2y ∆3y 0 -1 3 0 24 0 1 1 3 24 24 2 3 27 48 3 5 75
22
21030
3
1020
2
00
0
x3)1x()1x(22
2403)x(P
....)xx()xx()xx(h!3y
)xx()xx(h!2y
)xx(h!1
yy)x(P
=−⋅+⋅
++=
+−⋅−⋅−⋅
∆+−⋅−
⋅∆
+−⋅
∆+=
72 Numeri~ka integracija
NUMERI^KI METODI
- Direktna integracija: 1263x3dxx3 5
1
35
1
2 =≈∫ −−
,to~no re{enie.
- So pomo{ na Simpsonovata formula so 6 intervali. Funkcijata (polinomot) se tabelira vo granicite od -1.0 do 5.0, so ~ekor h=[5-(-1)]/6, h=6/6=1,0:
i 0 1 2 3 4 5 6 x -1 0 1 2 3 4 5 y 3 0 3 12 27 48 75
126]75)273(2)48120(43[31
]y)yy(2)yyy(4y[3hdxx3 6425310
5
1
2
=++++++=
=++++++≈∫−
- So Gausovata formula za integracija za 3 Gausovi to~ki:
)x(fWdx)x(f k
n
1kk
b
a⋅∑≈∫
=
∫ ⋅++=∫
++=+==
==−
=
+=+
=
−=
+−−
=−
+−=
−−
1
1
21
1
222
dz3)4z12z9(3dz)z(F
)4z12z9(3)2z3(3x3)x(P
dz3dz26dz
2)ab(dx
2z32
4z6x
64x2
)15()15(x2
)ab()ab(x2z
n k zk wk F(zk) F(z).wk 3 1 -0.774 596 67 0.555 555 56 0.9435585 0.5291991 2 0 0.888 888 89 36 31.99999 3 0.774 596 67 0.555 555 56 168.25642 93.475782 Σ 126
Sistemi linearni algebarski ravenki 73
NUMERI^KI METODI
5. SISTEMI LINEARNI ALGEBARSKI RAVENKI Op{to za sistemite linearni algebarski ravenki Simultanite linearni algebarski ravenki (SLAR) se javuvaat vo skoro sekoja granka na primenetata matematika, ponekoga{ u{te vo po~etokot na formuliraweto na problemot, a nekoga{ i kako edna od fazite na re{avaweto. Mnogu problemi od mehanikata, fizikata, ekonomijata itn, kako matemati~ki model, se sveduvaat na sistem od linearni algebarski ravenki. Ova poglavje ima golemo zna~ewe bidej}i golem broj problemi se izrzuvaat vo forma na linearni diferencijalni ravenki. So soodvetni transformacii, re{avaweto na sistem od linearni diferencijalni ravenki so konstantni koeficienti mo`e da se svede na re{avawe na sistem od linearni algebarski ravenki. Za daden sistem ravenki, bez ispituvawe, ne mo`e da se ka`e dali ima re{enie i, ako ima, dali e toa edinstveno. Postojat tri i samo tri mo`nosti: 1. sistemot ima edinstveno re{enie (najinteresen za nas)
x1-x2 = -1
2x1+x2 = 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5
x1
x2
2x1+x2 = 4 x1- x2 = -1 __________
x1 =1 x2 =2
74 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
2. sistemot nema re{enie
4x1+ 6x2=10
2x1 + 3x2=6
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
22.5
3
-2 -1 0 1 2 3 4
3. sistemot ima beskrajno mnogu re{anija
4x1+ 6x2=12
2x1 + 3x2=6
-2-1.5
-1-0.5
00.5
11.5
22.5
3
-2 -1 0 1 2 3 4
Sistemite od tipot 2 i 3 se vikaat singularni sistemi. Vo op{t slu~aj postojat dva tipa numeri~ki tehniki za re{avawe na simultanite ravenki: 1. derektni, koi se kone~ni 2. indirektni, koi se beskone~ni ili iterativni Direktnite metodi doa|aat do to~noto re{enie, ako toa postoi (zanemaruvaj}i gi gre{kite od zaokru`uvaweto), po kone~en broj aritmeti~ki operacii. Od druga strana, indirektnite metodi, vo princip, rabotat so beskone~en broj aritmeti~ki operacii. Ova prakti~no ne mo`e da se
4x1+6x2 = 10 2x1+3x2 = 6 __________ paralelni pravi
4x1+6x2 = 12 2x1+3x2 = 6 __________ pravite se poklopuvaat
Sistemi linearni algebarski ravenki 75
NUMERI^KI METODI
ostvari, pa iteraciite mora nekade da se prekinat. Poradi toa indirektnite metodi sodr`at i t.n. gre{ki od zanemaruvawe. Sepak, za golemi i za lo{o usloveni sistemi, gre{kite na zaokru`uvaweto mo`e da bidat mnogu golemi, a dobienoto re{enie da nema nikakva smisla. Sistem od n linearni ravenki so n nepoznati mo`e da se napi{e vo forma:
Ili vo matri~na forma: { } { }bx]A[ =⋅ Ovde [A]=[aij] e nxn matrica na koeficientite, {x}T={x1,x2,....,xn} i {b}T={b1,b2,....,bn}. Pred da pristapime kon metodite za re{avawe na sistemi linearni algebarski ravenki, }e go definirame poimot “rang“ na matrica. Rang na matrica e ednakov na redot na najgolemata determinanta razli~na od nula, koja se sodr`i vo matricata na sistemot ravenki. Taka, na primer, rangot na slednive matrici e:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
221432201
;300020001
;112
011;
000000000
;1001
2 0 2 3 2 Kako {to se gleda konceptot na rang, ne e povrzan so kvadratni matrici. Neka so [Ab] ja ozna~ime matricata nx(n+1), koja se dobiva od [A] so dodavawe na vektorot {b} kako (n+1)-vi stolb. Rangot na matricata [A] }e go obele`ime so r(A) a na [Ab] so r(Ab). Osnovnata teorema za postoewe re{enie na sistemot { } { }bx]A[ =⋅ mo`e da se definira vo tri dela i taa glasi: 1. sistemot ima re{enie ako i samo ako r(A)= r(Ab); 2. ako r(A)= r(Ab)=k<n i ako xi1,xi2,....,xik se k promenlivi, ~ii stolbovi
se linearno nezavisni vo [A], drugite n-k promenlivi mo`at da se zadavaat proizvolno;
3. ako e r(A)= r(Ab)=n, postoi edinstveno re{enie. Od 3. sleduva deka, vo slu~aj na homogen sistem ravenki ({b}={0}), netrivijalno re{enie postoi samo i edinstveno toga{ koga r(A)<n.
n,.....2,1i;bxan
1iijij =∑ =⋅
=
76 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
Efikasnosta na eden algoritam mo`e da se proceni spored dva kriteriuma:
1) kolku e brz (kolku operacii se vklu~eni vo algoritamot) 2) kolku e to~no presmetanoto re{enie.
Ovie dva kriteriuma treba da se zemat predvid pri izborot na algoritamot za re{avawe na sistemi od visok red, pri koristewe na ESM. So ogled na ogromniot broj operacii pri golemi sistemi, potrebata za odgovor na prvoto pra{awe e sosema jasna, dodeka potrebata za odgovor na vtoroto pra{awe se nametnuva od faktot {to mali gre{ki pri zaokru`uvaweto mo`at da imaat golemo vlijanie na dobienite rezultati. Vidovi sistemi ravenki a) Polni so sredna golemina. Pod polni podrazbirame deka
matricata na sistemot ima malku nenulti elementi, a pod sredna golemina redot na matricata da e do 30x30. Vakvi matrici se sre}avaat pri problemite od statistikata, matemati~kata fizika, in`enerskite nauki.
b) Nepolni sistemi so lentesti matrici i eventualno golemi. Za razlika od polnite, lentestite matrici imaat mal broj nenulti elementi blisku do glavnata dijagonala. Za golemi se smetaat onie ~ii matrici se od red 100 i pove}e.
Pri re{avaweto na sistemite od ovie dve kategorii, obi~no se koristat razli~ni pristapi. Pri re{avaweto na sistemite so polni matrici skoro redovno se koristat direktni metodi, dodeka pri re{avaweto sistemi od vtorata grupa ~esto se koristat iterativnite metodi. Vo ponovo vreme, so pojavata na kompjuteri so golem kapacitet, direktnite metodi se koristat i za re{avawe na sistemite od vtorata kategorija. Lo[a uslovenost ili nestabilnost na sistemite ravenki Ponekoga{, u{te od formulacijata na problemot se znae deka sistemot ne mo`e da bide singularen, (K*U=P). Ako vakva informacija nedostasuva, mora da se odbere takov metod na re{avawe koj }e go otkrie toa, ili treba da se napravi ekspliciten test za vakva mo`nost (preku rangot na matricata na sistemot). Podocna }e bide poka`ano deka Gausovata eliminaciona postapka dava brza informacija za singularnosta na sistemot.
Sistemi linearni algebarski ravenki 77
NUMERI^KI METODI
I 4x+6y = 10 :2 II 2x+3y = 6
__________________________ I 2x+3y = 5 *(-1) II 2x+3y = 6 (-1)*I+ II = II ’ __________________________ I ‘ 2x+3y = 5 II ‘ 0 +0y = 1 ⇒ y=1/0 ⇒ ??!! ________________________________________ Direkten test za singularnosta e da se opredeli vrednosta na determinantata na matricata na sistemot ravenki. Vrednosta nula uka`uva na singularnost na sistemot ravenki. Sepak, opredeluvaweto na determinantata bara re~isi isto tolku rabota kolku i za re{avawe na sistemot ravenki. Od gledna to~ka na aritmetikata so beskone~na preciznost, eden sistem e ili ne e singularen. Od gledna to~ka na prakti~nata numerika, eden sistem mo`e da bide skoro singularen {to vodi kon re{enie so mala doverlivost. Eden sistem ravenki se vika stabilen ako relativno mali promeni vo koeficientite predizvikuvaat mali promeni vo vektorot na re{enieto. Vo sprotivno, sistemot se vika lo{o usloven ili nestabilen. Toa }e bide ilustrirano so narednite primeri. Da gi sporedime re{enijata na slednive dva sistema ravenki: Od dobienite rezultati se gleda deka tie enormno se razlikuvaat, i pokraj toa {to imaat skoro identi~ni koeficienti. Sekoj od ovie dva sistema ravenki pretstavuva presek na dve skoro paralelni pravi, pa sosema mal otklon predizvikuva promena na mestopolo`bata na prese~nata to~ka. Vakvi problemi ~esto se sre}avaat pri astronomskite problemi, no i vo drugite oblasti na fizikata, i, ako ne se otkrijat, mo`e da dovedat do sosema pogre{ni reultati. Da go razgledame sledniov sistem ravenki: 35 x + 49 y = 84 :7 -35x – 50y =-85 :(-5) ____________________________________
x – y = 1 x-1.00001 y = 0 ________________ x=100 001 y=100 000
x – y = 1 x-0.999999 y = 0 ________________ x= - 99 999 y= -100 000
78 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
5x + 7y = 12 7x +10y = 17 sistemot ima edinstveno re{enie x=1; y=1 Ako vo ovoj sistem ravenki se obideme da gi zamenime vrednostite x=2.415 i y=0, dobivame: 5*(2.415) + 7*0 = 12,075 7*(2.415) +10*0 = 16.905 Ako desnite strani se zaokru`at na dva decimala, toga{ i pogre{noto re{enie izgleda isto tolku dobro kako i korektnoto. Pri~ina za ova e {to dadeniot sistem ravenki pretstavuva ravenki na dve pravi koi se skoro paralelni, odnosno se se~at pod mnogu mal agol. Nekorektnoto re{enie, iako ne le`i na niedna od niv, sepak e blisku i do dvete pravi.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5
7x+10y=17
5x+7y=12
(1,1)(2.415 , 0)
Vakvi sistemi ravenki se vikaat lo{o usloveni. Sekoga{ koga dve pravi (ili ramnini, odnosno hiperramnini vo pove}edimenzionalen prostor) se re~isi paralelni, ravenkite }e bidat lo{o usloveni. Vo takov slu~aj, te{ko e da se najde numeri~ko re{enie ili, ako se najde, toa e so somnitelna to~nost. Kaj sistemite so 3 i so pove}e nepoznati, mo`no e sistemot da bide singularen ili skoro singularen, bez pritoa ramninite da se paralelni ili skoro paralelni. Izvori na gre[ki-Postojat tri pri~ini za gre{ki vo re{enieto na sistem algebarski ravenki. 1. Prvata se dol`i na gre{kite vo koeficientite na vektorot {b}.
Koga ovie koeficienti se dobieni empiriski, mo`eme da se pomirime i da gi prifatime kako takvi. Pritoa, ako e poznata gornata granica na empiriskata gre{ka vo {b},toa mo`eme da go
Sistemi linearni algebarski ravenki 79
NUMERI^KI METODI
iskoristime za ocenka na gornata granica na gre{kata vo re{enieto {x}. Koga koeficientite vo vektorot {b} se to~no poznati, no pri kompjuterskite presmetki treba da se zaokru`at, ovoj izvor na gre{ki mo`e da se kontrolira so primena na aritmetika so dvojna preciznost (double precision).
2. Vtor izvor na gre{ki e gre{kata od zaokru`uvawe pri izveduvaweto na presmetkovni operacii
3. Tret izvor na gre{ki e gre{kata od prekinuvawe na iterativniot proces {to se javuva kaj indirektnite odnosno na iterativnite metodi, vo koi konvergencijata na re{enieto e bavna, odnosno brojot na iterativnite ~ekori raste neograni~eno, pa procesot nekade mora da go prekineme.
Re{avawe na sistemi ravenki so pomo{ na inverzna matrica
Primer 1. So pomo{ na inverznata matrica na matricata na sistemot, da se najdat re{enijata na sledniov sistem od 3 ravenki so 3 nepoznati:
____________________________________
Inverzija na matricata na sistemot ravenki po Gausoviot metod:
[ ]{ } { }
{ } [ ] { }bAx
bxA
1−=
=
7z2y2x6zy2x25zy2x
=++=++=++
[ ] { } { }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
765
b;zyx
x;221122121
A
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100221010122001121 (2) - (1)
-
80 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
Kontrola :
Re{enie:
Metod na Gausova eliminacija Ovoj metod se sostoi vo postapna eliminacija na nepoznatite golemini, sé dodeka ne se dobie edna ravenka so edna nepoznata. Metodot dava mo`nost za neprekinata kontrola i site presmetki mo`e da se sprovedat tabelarno. Razgleduvame sistem od 4 ravenki so 4 nepoznati:
)4(bxaxaxaxa)3(bxaxaxaxa)2(bxaxaxaxa
)I(bxaxaxaxa
4444343242141
3434333232131
2424323222121
1414313212111
=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
101100012120001121
: (-2)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
1011005.05.05.1010
011001
(0.5) -
[ ][ ] [ ]IAA 1 =−
{ } [ ] { }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== −
211
bAx 1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
10110005.015.010001121
(2) -
Sistemi linearni algebarski ravenki 81
NUMERI^KI METODI
Pretpostavuvame deka ravenkite se taka podredeni {to a11≠0. Prvata ravenka ostanuva kako takva i se vika glavna ravenka, a ozna~ena e so I. Se definiraat (n-1) mno`iteli vo forma mi=ai1/a11, kade i=2,3,.....,n, odnosno:
;aa
m;aa
m;aa
m11
413
11
313
11
212 ===
Ravenkata I se mno`i so soodvetniot koeficient:
311
41414
11
41313
11
41212
11
41111
11
414
211
31414
11
31313
11
31212
11
31111
11
313
111
21414
11
21313
11
21212
11
21111
11
212
baaxa
aaxa
aaxa
aaxa
aam)I(
baa
xaaa
xaaa
xaaa
xaaa
m)I(
baa
xaaa
xaaa
xaaa
xaaa
m)I(
=⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅+⋅⋅
Potoa, od site drugi ravenki se odzema prvata ravenka pomno`ena so soodvetniot koeficient.
)II(m)I()4()II(m)I()3(
)II(m)I()2(
34
23
2
=⋅−=⋅−=⋅−
4434421
4434421
4434421
0
144144244134433124422114411
0
133143244133333123322113311
0
122142244132233122222112211
1414313212111
bmb)ama(x)ama(x)ama(x)ama(x
bmb)ama(x)ama(x)ama(x)ama(x
bmb)ama(x)ama(x)ama(x)ama(x
bxaxaxaxa
=
=
=
−=−+−+⋅−+⋅−
−=−+−+⋅−+⋅−
−=−+−+⋅−+⋅−
=⋅+⋅+⋅+⋅
Koeficientite na novodobieniot sistem ravenki na ovoj na~in vo skratena forma mo`e da se napi{at:
1iii
j1iijij
11
1ii
bmb'b
n,....,3,2j;ama'a
n,....,3,2i;aam
⋅−=
=⋅−=
==
O~igledno e deka ai1
’=0.
82 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
Na takov na~in sistemot se sveduva na ekvivalenten sistem ravenki vo koj e eliminirana nepoznatata x1 od 2-rata do n-tata ravenka.
)4('bx'ax'ax'a0)3('bx'ax'ax'a0)2('bx'ax'ax'a0)I(bxaxaxaxa
4444343242
3434333232
2424323222
1414313212111
=⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅
Procesot prodol`uva na ist na~in, so eliminacija na nepoznatata x2 od tretata do poslednata ravenka, pa potoa nepoznatata x3 od ~etvrtata ravenka do poslednata ravenka itn. Kone~no se dobiva triagolen sistem ravenki vo koj poslednata ravenka e so edna nepoznata, a toa vo slu~ajot e nepoznatata x4:
)4('''bx'''a)3(''bx''ax''a)2('bx'ax'ax'a)I(bxaxaxaxa
4444
3434333
2424323222
1414313212111
=⋅=⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅
Minimizirawe na gre{kite od zaokru`uvaweto mo`e da se izvr{i so soodvetna izmena na mestata na redovite. Ovoj proces na eliminacija na nepoznatite ne ja menuva vrednosta na determinantata na matricata na sistemot ravenki, iako sekoja izmena na redovite ú go menuva znakot. Po zavr{uvaweto na eliminacijata, vrednosta na determinantata e ednakva na proizvodot na koeficientite od glavnata dijagonala na triagolniot sistem ravenki. Pritoa, znakot se menuva ako brojot na promenite vo redovite e neparen. Vo slu~aite koga treba da se opredeli vrednosta na determinantata na sistemot, eliminacijata e mnogu dobar na~in za toa. Potoa, od poslednata ravenka se opredeluva poslednata nepoznata, pa so zamena nanazad se opredeluvaat drugite nepoznati. Primer 2. Dadeniot sistem ravenki da se re{i so pomo{ na Gausovata eliminaciona postapka. _________________________________
_________________________________________
2zyx9zy3x24zyx
−=−−=++=++ (2/1) - (1/1)
-
6z2y201zy04zyx
−=−−=−+=++
(-2/1) -
Sistemi linearni algebarski ravenki 83
NUMERI^KI METODI
_________________________________________
Primer 3. Sistem bez re{enie (singularen sistem)
______________________________________
______________________________________ y = 1/0 ⇒ singularitet ? Primer 4. Sistemot ravenki od zada~a 1, da se re{i so pomo{ na Gausovata eliminacija.
___________________________________________
4z401zy04zyx
−=−=−+=++
Triagolen sistem
134zy4x2z1y
1z
=−=−−==+=
= Zamena nazad
6y3x210y6x4
=+=+ (2/4) -
1y0x010y6x4
=+=+
7z2y2x16z1y2x25z1y2x1
=++=++=++ (2) - (1)
-
I
II
III 2z1004z1y205z1y2x1
−=−+=++=++
III z=2 II 2 .y + 1.2 = 4; y=1 I 1 .x + 2.1 +1.2= 5; x=1
Kontrola: 1.1+2.1+1.2= 5 0 = 0 2.1+2.1+1.2 = 6 0 = 0 1.1+2.1+2.2 = 7 0 = 0
84 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
Primer 5. Koristej}i ja Gausovata eliminacija, da se opredelat re{enijata na dadeniot sistem ravenki. Pritoa da se re{ava tabli~no i so kontrola na koeficientite.
red. br
x y z b S zabele{ka
[1] 6 13 35 18 72 rav. 1
[2] 13 35 109 47 204 rav. 2
[3] 35 109 371 143 658 rav. 3
[4] 1 2.1666 5.8333 3 12 [1]/6
[5] 0 6.8342 33.167 8 48 [2] - 13*[4]
[6] 0 33.169 166.83 38 238 [3] - 35*[4]
[7] / 1 4.8531 1.1706 7.0235 [5]/6.8342
[8] / 0 5.862 -0.828 5.0375 [6] - 33.169*[7]
[9] / / 1 -0.1412 0.8593 [8]/5.862
[9] z = -0.1412
[7] y + 4.8531z = 1.1706 y = 1.8559
[4] x + 2.1666y + 5.8333z = 3.0000 x = -0.1985
Sistemi linearni algebarski ravenki 85
NUMERI^KI METODI
METOD-LU dekompozicija Osnovna ideja Vo Gausoviot metod na eliminacija site desni strani, odnosno site vektori b koi se od interes za daden problem, mora da se poznati pred da zapo~ne procesot na eliminacija. Metodot na LU- dekompozicija ja ima taa prednost {to ~ekorot na modifikacija na matricata (ili dekompozicijata) mo`e da se vr{i nezavisno od vektorot na desnata strana. Ovaa karakteristika e prili~no korisna vo praktikata poradi {to, vo najgolem broj slu~ai, izborot na metodot za re{avawe na sistemot ravenki pa|a na metodot na dekompozicija. Za da se razvie osnovniot metod, matricata na koeficienti pred nepoznatite vo sistemot ravenki ja razbivame na produkt od dve matrici:
[ ] [ ] [ ]ULA ⋅=
kade {to [L] e dolna triagolna matrica, a [U] e gorna triagolna matrica. Sega, originalniot sistem ravenki
[ ] { } { }bxA =⋅ stanuva:
[ ] [ ]{ } { }bxUL =⋅ Dadeniot sistem ravenki se razbiva na dva oddelni sistema ravenki koi se ednostavni za re{avawe:
[ ] { } { }byL =⋅ i [ ] { } { }yxU =⋅ Spored toa, klu~ot na ovoj metod e da se najdat dvete matrici, [L] i [U], koi ja zadovoluvaat ravenkata [ ] [ ] [ ]ULA ⋅= . Postapkata e poznata kako LU dekompozicija, a postojat pove}e algoritmi za toa. Naj~esto se koristat narednite tri pristapi za dekompozicija. Dekompozicija na Doolittle:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
44434241
34333231
24232221
14131211
44
3233
242322
14131211
434241
3231
21
aaaaaaaaaaaaaaaa
u000uu00uuu0uuuu
1lll01ll001l0001
Poradi specifi~nata struktura na matricite, re{avaweto rezultira vo set od sistematski formuli.
86 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
Dekompozicija na Crout:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
44434241
34333231
24232221
14131211
32
2423
141312
44434241
333231
2221
11
aaaaaaaaaaaaaaaa
1000u100uu10uuu1
llll0lll00ll000l
Opredluvaweto na [L] i [U] se vr{i na sli~en na~in kako i vo prethodniot metod. Faktorizacija na Cholesky: Koga matricata [A] e pozitivno definitna i simetri~na, toga{ va`i :
[ ] [ ]TAA = i { } [ ]{ } 0xAx T > za site {x}≠0 Ako matricata [A] e realna, postoi edinstveno opredelena dolna triagolna matrica [L], koja e isto taka realna:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
44434241
333231
2221
11
llll0lll00ll000l
L pri {to n.......,2,1i,0lii =>
Matricata [L] e takva {to:
[ ] [ ]TLU = i [ ] [ ] [ ]TLLA ⋅= Od poslednata relacija se dobivaat vrskite pome|u elementite na matricite [A] i [L]. Toa se ednostavni izrazi za opredeluvawe na elementite od matricata [L]:
n,....,2,1i,ij,ll.....lllla
l.......lla
jjij2j2i1j1iij
2ii
22i
21iii
=<⋅++⋅+⋅=
+++=…….1
Spored toa, elementite na matricata [L] se presmetuvaat spored formulite:
nij1),lla(l1l,lal
lal,al
jk
1j
1kikij
jjij
1i
1k
2
ikiiii
11
1i1i1111
≤<<⋅−=−=
==
∑∑−
=
−
=
……2
Poradi pozitivnata definiranost na matricata [A], potkorenovite golemini vo gornite formuli se pozitivni.
Sistemi linearni algebarski ravenki 87
NUMERI^KI METODI
Bidej}i od ravenkata 1 sledi deka: ,al iiij ≤
elementite na matricata [L] ne mo`e da bidat mnogu golemi i metodot e stabilen. Otkako }e se opredelat elementite na matricata [L], re{enieto na dadeniot sistem ravenki se opredeluva so re{avawe na dva triagolni sistema ravenki:
[ ]{ } { } [ ] { } { }yxL,byL T == Determinantata na matricata [A] mo`e da se opredeli kako:
2nn2211
T
)l.........ll(])Adet([])Ldet([])Ldet([])Adet([
⋅⋅⋅=
⋅=
Za kontrola treba da bide zadovolena ravenkata:
[ ] [ ] [ ]TLLA ⋅= Primer 6. Primenuvaj}i go metodot za dekompozicija na Cholesky (direktna primena na izrazite 2), da se re{i sledniov sistem ravenki:
1.17x2.4x5.0x2.9x5.0x5.2x5.1
83.10xx5.1x1.3
321
321
321
=++=++
=++
Vo matri~na forma, sistemot ravenki mo`e da se zapi{e kako:
[ ] { } { }bxA =⋅ kade {to:
[ ] { }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1.172.983.10
b;2.45.015.05.25.1
15.11.3A ;
So direktna primena na ravenkite 2, dobivame:
33199.185194.05.2
85194.05.2lal,lal
;56796.076068.1
1la
l;85194.076068.1
5.1la
l;la
l
76068.11.3al
2
1
1k
21
1k
2212222
1i
1k
2ikiiii
11
3131
11
2121
11
1i1i
1111
=−=
−=−=−=
=======
===
∑∑∑==
−
=
88 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
01211.0)85194.056796.0(5.0(33199.1
1)lla(l1l
3i,2j;nij1),lla(l1l
01211.056796.02.456796.02.4lal
1
1k21
1
1k3132
2232
jk
1j
1kikij
jjij
21
1k
21
1k
2313333
=⋅−=⋅−=
==≤<<⋅−=
=−=−=−=
∑∑
∑
∑∑
==
−
=
==
Spored toa, matricata [L] e:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
96908.101211.056796.0033199.185194.00076068.1
L
Re{enieto na sistemot [ ]{ } { }byL = e:
{ } [ ] { } { }T1 89178.697276.215103.6bLy =⋅= −
Re{enieto na sistemot [ ] { } { }yxL T = e re{enie na dadeniot sistem ravenki i iznesuva:
{ } [ ] { } { }T1T 5.32.23.1y)L(x =⋅= − Determinantata na matricata na sistemot e:
325.21)96908.133199.176068.1()l.........ll(])Adet([ 22nn2211 =⋅⋅=⋅⋅⋅=
Istoto re{enie na dadeniot sistem ravenki, dobieno so pomo{ na inverznata matrica [A], e dadeno podolu:
10.83 {b}= 9.2 17.1 0.480657 -0.271981 -0.082063 1.3 [A]-1 = -0.271981 0.563658 -0.002345 2.2
-0.082063 -0.002345 0.257913 3.5 Kontrola:
1.76068 0 0[L]= 0.85194 1.33199 0
0.56796 0.01211 1.96908
Sistemi linearni algebarski ravenki 89
NUMERI^KI METODI
1.76068 0.85194 0.56796
[L]T= 0 1.33199 0.01211 0 0 1.96908 3.100 1.500 1.000 [A]=[L]*[L]T= 1.500 2.500 0.500 1.000 0.500 4.200
Indirektni (iterativni) metodi za re{avawe SLAR Jakobiev metod Re{avaweto na sistemite ravenki kaj ovie metodi zapo~nuva od edno pretpostaveno ili po~etno re{enie i postepeno se pribli`uva kon to~noto re{enie so pomo{ na iterativen proces. Eden sistem od simultani linearni ravenki se vika dijagonalen koga, vo sekoja ravenka, koeficientot od glavnata dijagonala vo matricata na sistemot po apsolutna vrednost e pogolem od sumata na drugite koeficienti vo soodvetnata ravenka. Mnogu sistemi ravenki koi proizleguvaat pri re{avaweto na fizi~ki problemi se od dijagonalen tip. Na naredniot primer }e prika`eme dva tipa iterativni procesi. Primer 7:
Prviot ~ekor e sekoja ravenka da se re{i po nepoznatata vo dijagonalniot ~len. Taka, od prvata ravenka go izrazuvame x, od vtorata y, a od tretata- nepoznatata z.
Procesot zapo~nuva so zamena na nepoznatite so edno po~etno re{enie, na primer x=y=z=0. Ovie re{enija gi zamenuvame vo
13z10y2x2
13zy10x2
12zyx10
=⋅+⋅+⋅
=+⋅+⋅
=++⋅
y2.0x2.04.1z
z1.0x2.03.1y
z1.0y1.02.1x
−−=
−−=
−−=
(1)
90 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
prethodno napi{anite ravenki. Pritoa rabotime so pogolem broj decimali. Vo prviot ~ekor od iterativniot proces dobivame:
x=1.2 y=1.3 z=1.4
Ovie vrednosti pretstavuvaat vtoro probno re{enie i so negova zamena vo ravenkite (1), dobivame novo re{enie:
x=0.930 y=0.920 z=0.900
Postapkata prodol`uva sé dodeka re{enijata od dva posledovatelni ~ekora ne se pribli`at. Pritoa odime, so odnapred zadadena to~nost, do odreden broj decimalni mesta. Procesot go prekinuvame koga re{enijata od dva ~ekora }e se sovpadnat do tret decimal. Rezultatite se dadeni vo slednava tabela:
x 1.018 0.9946 1.0015 0.9996 1.0001 y 1.024 0.9934 1.0019 0.9995 1.0002 z 1.030 0.9916 1.0024 0.9993 1.0002
Ako se izvr{i kontrola, lesno se zaklu~uva deka re{enieto e x=y=z=1.0 . Ovaa postapka e poznata kako Jakobiev iterativen metod. Gaus-Zajdelov iterativen metod Alternativna postapka na prethodnata e Gaus-Zajdeloviot iterativen metod koj }e go ilustrirame na dolunavedeniot primer: Primer 8.
Povtorno zapo~nuvame so po~etno nulto re{enie x=y=z=0. Ova re{enie go zamenuvame samo vo prvata ravenka i dobivame novo re{enie za x. Potoa, vo vtorata ravenka go zamenuvame novodobienoto re{enie za x i po~etnoto re{enie za z. Se dobiva novo re{enie za y, i taka ponatamu, sekoe dobieno re{enie se zamenuva vo narednata ravenka. Rezultatite od iterativniot proces se dadeni podolu:
y2.0x2.04.1z
z1.0x2.03.1y
z1.0y1.02.1x
−−=
−−=
−−=
Sistemi linearni algebarski ravenki 91
NUMERI^KI METODI
x’=1.2-0.1(0.0)-0.1(0.0)=1.2 y’=1.3-0.2(1.2)-0.1(0.0)=1.060 z’=1.4-0.2(1.2)-0.2(1.060)=0.948 x’’=1.2-0.1(1.060)-0.1(0.948)=0.9992 y’’=1.3-0.2(0.9992)-0.1(0.948)=1.0054 z’’=1.4-0.2(0.9992)-0.2(1.0054)=0.9991 x’’’=1.2-0.1(1.0054)-0.1(0.9991)=0.9996 y’’’=1.3-0.2(0.9996)-0.1(0.9991)=1.0002 z’’=1.4-0.2(0.9996)-0.2(1.0002)=1.0002 xIV=1.2-0.1(1.0002)-0.1(1.0002)=1.000 0
Metod na matri~na dekompozicija Pri re{avawe na golemi sistemi linearni algebarski ravenki mo`e da se primeni metodot na matri~na dekompozicija. Vo ovoj metod matricata na sistemot ravenki se deli na podmatrici (blokovi), a sistemot se razbiva na re{avawe pomali sistemi so matrici od ponizok red, za koi polesno mo`e da se najde inverzija. Neka e zadadena matricata A koja e podelena na 4 podmatrici:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
aaaa
A
Inverzijata na ovaa matrica mo`e da se pretstavi na sledniov na~in:
[ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==−
2221
12111
bbbb
BA
Proizvodot na ovie dve matrici e ednakov na matricata na identitetot:
[ ] [ ] [ ] ;I00I
;IAB2
1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅ kade {to I1 i I2 se edini~ni matrici.
Poa|aj}i od ovoj uslov se dobivaat slednive matri~ni ravenki:
111212221
112
111212222
1112112
11111
112
111212212
11112
aabb
]aaaa[b
aabab
]aaaa[aab
−
−−
−−
−−−
⋅⋅−=
⋅⋅−=
⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅−=
92 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
Uslov za primena na ovaa postapka e podmatricata a11 da e kvadratna matrica i da postoi nejzina inverzija. Ako ovoj uslov ne e ispolnet, matricata [A] treba da se preuredi taka, ~lenot a11 kako podmatrica da ima inverzija. Metodot na matri~na dekompozicija e mnogu pogoden za primena vo slu~aj koga matricata na sistemot ravenki ne e napolno ispolneta, odnosno ima nulti ~lenovi ili blokovi, kako na primer, ako imame matrica od tipot:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
11
aa0a
A
Vo toj slu~aj ~lenovite na matricata [B]=[A]-1 }e bidat:
111212221
12222
11111
12
aabb
ab
ab
0b
−
−
−
⋅⋅−=
=
=
=
Otkako }e se opredeli inverzijata, lesno mo`e da se najdat re{enijata na dadeniot sistem ravenki. Primer 9. Da se opredelat re{enijata na dadeniot sistem ravenki so primena na matri~na dekompozicija.
111212221
112
111212222
1112112
11111
112
111212212
11112
aabb
]aaaa[b
aabab
]aaaa[aab
−
−−
−−
−−−
⋅⋅−=
⋅⋅−=
⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
765
zyx
221122121 [ ]{ } { }
{ } [ ] { }
[ ] { } ?BA
bAx
bxA
1
1
==
=
=
−
−
Sistemi linearni algebarski ravenki 93
NUMERI^KI METODI
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]010221
2011
)2(112
1012
121224
2212
12b
1211
12
2212
1211b
]aaaa[aab
2212
a;12
a;12a;1a
11
12
1
12
112
111212212
11112
22211211
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⋅−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−=
⋅⋅−⋅⋅−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡===
−−
−
−−−
[ ]
[ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−=−=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−=
−−−
105.05.0
1012
1224
2212
1211
12
2212
b
12111
12
0111b
111
22
11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−=
15.1
11
12
105.05.0
b21
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=−
1015.05.05.1
011A 1
[ ]⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
211
765
Azyx
1
Metod na kondenzacija na matricata Sistemot ravenki mo`e da se re{i so pomo{ na sli~en proces, koj e nare~en matri~na kondenzacija.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
PP
yx
aaaa
Od prvata ravenka ja izrazuvame podmatricata na nepoznatite x.
94 Sistemi linearni algebarski ravenki
NUMERI^KI METODI
]yaP[ax
Pyaxa
1211
11
11211
⋅−⋅=
=⋅+⋅
−
So zamena na ovoj izraz vo vtorata matri~na ravenka se dobiva:
]PKaP[aP)aaaa(aP[ax
P]aaaa[y
PPaaP]aaaa[y
Pya]yaP[aa
*2121
111
*2
112
1112122121
111
*2
112
1112122
*21
11121212
1112122
2221211
1121
⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−−⋅=
⋅⋅⋅−=
=⋅⋅−=⋅⋅−⋅
=⋅+⋅−⋅⋅
−−−−
−−
−−
−
Matricata [K] se vika kondenzirana matrica na matricata [A]. Metodot na matri~na kondenzacija se primenuva pri analiza na nekoj problem koga opredeluvaweto na x (odnosno eden podvektor od nepoznatite) ne e neophodno. Takov e slu~ajot, na primer, pri dinami~ka analiza na edna pove}ekatna ramka, koga prisustvoto na rotacionite stepeni na sloboda ne e neophodno, taka {to tie se kondenziraat, a ostanuvaat samo stepenite na sloboda po pomestuvawata na sekoj kat. Ako se zameni izrazot za P2* vo izrazite za nepoznatite x i y, }e se dobijat istite izrazi za ~lenovite od inverznata matrica b11 do b22 kako i po metodot na matri~na dekompozicija. Primer 10. Primerot re{en so matri~na dekompozicija da se re{i so matri~na kondenzacija.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⋅⋅−= −
24
510
76
511
12
76
PaaPP 11
11212*2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
21
24
105.05.0
y
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2221
1211
PP
yx
aaaa [ ] ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡===
2212
a;12
a;12a;1a 22211211
*2
112
1112122 P]aaaa[y ⋅⋅⋅−= −−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==76
P;5P 21
[ ] [ ] [ ] 14524
015124
1211
12
2222
1251
P)aaaa(aP[ax1
*2
112
1112122121
111
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−
=⋅⋅⋅−−⋅=−
−−−
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 95
NUMERI^KI METODI
6. METODI ZA RE[AVAWE NELINEARNI RAVENKI (KORENI NA FUNKCII) Op{to Za re{avawe na kvadratna ravenka od tipot:
0cbxax)x(f 2 =++=
poznata e kvadratnata formula:
a2ac4bbx
2
2,1−±−
=
Vrednostite presmetani so ovaa formula se vikaat koreni na kvadratnata ravenka. Tie gi pretstavuvaat vrednostite na x, za koi funkcijata f(x) ima vrednosti ednakvi na nula.
Koren (koreni) na edna funkcija mo`e da se definira kako vrednost (vrednosti) na x za koja f(x)=0.
Korenite na funkcijata mo`e da se nare~at i nuli na funkcijata. Analiti~ko re[enie Korenite na kvadratnata ravenka se opredeleni analiti~ki so koristewe na kvadratnata formula. Za polinom od treti red, trite koreni mo`e,isto taka, da se opredelat analiti~ki. No, ne postoi generalno re{enie za korenite na polinomi od povisok red. Numeri~ko re[enie Re{enieto na mnogu in`enerski problemi ~esto bara opredeluvawe koreni na funkcii koi se slo`eni i nelinearni po priroda. Na primer, funkcijata f(x)=e-x-x ne mo`e da se re{i analiti~ki. Vo takov slu~aj, edinstvena alternativa e aproksimacija so numeri~ki metodi. Pritoa se primenuva iterativna postapka, pri {to e potreben golem broj presmetuvawa, posebno ako korenite treba da se opredelat so pogolema preciznost.
96 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
Tipovi ravenki Postojat dva tipa ravenki pri opredeluvaweto koreni na funkcii:
• algebarski ravenki • transcendentni ravenki
Polinomite se ednostavna klasa na algebarski funkcii koi vo op{ta forma mo`e da se pretstavat so:
nn
2210n xa........xaxaa)x(f ++++=
Nekoi specifi~ni primeri na algebarski ravenki (polinomi) se:
22 x5.8x47,32)x(f +−= i 632
6 x6xx4)x(f +−=
Transcendentni funkcii se nealgebarski funkcii koi vklu~uvaat vo sebe trigonometriski, eksponencijalni, logaritamski ili drugi tipovi funkcii. Na primer:
0)xsin(2x)x(f
2
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= i 1)xln()x(f 2 −=
Vo zavisnost od tipot, ravenkata mo`e da ima eden, dva ili pove}e koreni. Isto taka, korenite na funkciite mo`e da bidat realni ili kompleksni. Primer za kompleksni koreni se i21x1 += i i21x 2 −= vo slednava kvadratna ravenka:
05x2x 2 =+−
i212
162)1(2
)5)(1(442a2
ac4bbx2
2,1 ±=−±
=−±
=−±−
=
Pri opredeluvawe koreni na funkcii mo`e da se javat slednive slu~ai: • funkcijata nema koren
f(x)
x
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 97
NUMERI^KI METODI
• funkcijata ima eden koren • funkcijata ima dva korena • funkcijata ima tri korena, itn. Iako postojat situacii koga e potrebno da se opredelat kompleksni koreni na nepolinomni funkcii, sepak tie slu~ai se poretki otkolku opredeluvawe koreni na polinomni funkcii. Standardnite metodi za locirawe koreni mo`e da se podelat na dve me|usebno na nekoj na~in povrzani no, sepak, razli~ni klasi problemi:
1. opredeluvawe eden realen koren na algebarska ili transcendentna ravenka vrz osnova na postoewe na aproksimativno re{enie za lokacijata na korenot
f(x)
x
koren
f(x)
x
koreni
f(x)
x
koreni
98 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
2. opredeluvawe na site realni i kompleksni koreni na polinomi. Ovie metodi se specijalno razvieni za polinomnite funkcii.
Golem broj in`enerski problemi baraat opredeluvawe na set od vrednosti, takanare~eni sopstveni vrednosti ili karakteristi~ni vrednosti. Na primer, konstruktivniot in`ener ja koristi analizata na sopstvenite vrednosti pri proektirawe konstrukcii otporni na zemjotres. Sopstvenite vrednosti, naj~esto obele`ani so λ, se vrednosti za koi sledniov sistem ravenki ima netrivijalno (nenulto) re{enie X:
[ ] 0XIA =λ− kade {to se: A - matrica od red n x n. I - dijagonalna edine~na matrica, λ - parametar nare~en sopstvena vrednost na matricata A X - sopstven vektor koj odgovara na sopstvenata vrednost. Edna matrica od n-ti red ima n sopstveni vrednosti, λ1, λ2, ...... λn. Sopstvenite vrednosti na edna matrica se koreni na takanare~eniot karakteristi~en polinom koj se dobiva so razvivawe na determinantata na matricata na sistemot ravenki vo polinom i negovo izedna~uvawe na nula:
0IA =λ−
Primer 1. Da se opredelat sopstvenite vrednosti na dadenata matrica [A].
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3421
A [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
I
[ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡λ−
λ−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡λ
λ−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡λ−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=λ−
3421
00
3421
1001
3421
IA
[ ] [ ] 54)4(2)3)(1(34
21)IAdet( 2 −λ−λ=−λ−λ−=
λ−λ−
=λ−
Karakteristi~nata ravenka na matricata [A] e ravenkata:
0542 =−λ−λ
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 99
NUMERI^KI METODI
Re{avaj}i po λ, gi dobivame λ1=-1, i λ2=5, a toa se sopstvenite vrednosti na matricata [A]. Metodi za opredeluvawe koreni na funkcii Ovde }e bidat razgledani slednive metodi za opredeluvawe koreni na funkcii:
1. grafi~ki metod 2. metod na direktno barawe 3. metod na prepolovuvawe 4. Wutn-Rafsonov metod 5. metod na sekanta
Grafi~ki metod Eden metod za opredeluvawe aproksimativno re{enie e da se nacrta grafikot na funkcijata i da se opredeli kade toj ja se~e x oskata. To~kata koja ja pretstavuva vrednosta x za koja f(x)=0, e koren na funkcijata. Iako grafi~kite metodi se korisni za gruba procena na korenite, nivnata primena e ograni~ena poradi malata preciznost. Primer 2. Dadena e ravenka na brzinata na pa|awe na padobran:
]e1[c
gm)t(V t)m/c(−−=
Ravenkata mo`e da se zapi{e kako:
0)t(V]e1[c
gm)c(f t)m/c( =−−= −
Pri slobodno pa|awe na padobranot so masa m i brzina V, po t=10 sekundi, koristej}i go grafi~kiot metod, da se opredeli vrednosta na koeficientot c, za koja f(c)=0. Zadadeni se:
m=68.1 kg (masa na padobranecot) V(t)=40 m/sek (brzina) t=10 sek (vreme) g=9.8 m/sec2 (Zemjino zabrzuvawe)
c -koeficient na triewe (koj treba da go opredelime), ili koren na ravenkata f(c)=0.
040]e1[c
)1.68(81.9)c(f 10)1.68/c( =−−= −
100 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
040]e1[c
38.667)c(f c146843.0 =−−= −
Ja tabelirame gornata funkcija za razli~ni vrednosti na c i crtame grafik.
c f( c ) c f( c ) 4 34.19047157 12 6.11394308 5 29.49406869 13 3.77162120 6 25.20892131 14 1.61111635 7 21.29388952 15 -0.38445806 8 17.71225754 16 -2.23026071 9 14.43123592 17 -3.93990998
10 11.42152149 18 -5.52565050 11 8.65690824 19 -6.99850079
Od tabelata zabele`uvame deka vrednosta na funkcijata go menuva znakot pome|u vrednostite za c=14 i c=15. Od grafikot procenuvame deka c≅14.75, i toa go zemame za koren na funkcijata opredelen so grafi~kiot metod. Primer 3. So grafi~ki metod da se opredelat sopstvenite vrednosti na matricata [A] dadena vo primer 1.
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3421
A
Vo primer 1 vidovme deka sopstvenite vrednosti na dadenata matrica se koreni na nejziniot karakteristi~en polinom, koj be{e daden so:
c=14.75
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 101
NUMERI^KI METODI
54)(f 2 −λ−λ=λ Ja tabelirame ovaa funkcija i crtame grafik.
λ f(λ)
-3 16 -2 7 -1 0 0 -5 1 -8 2 -9 3 -8 4 -5 5 0 6 7 7 16 8 27
Od tabelata i od grafikot gi ot~ituvame vrednostite na dvata korena na kvadratnata ravenka: λ1=-1, i λ2=5. Nedostatok na ovoj metod e {to odnapred ne znaeme vo koi granici da ja tabelirame funkcijata. Vo ovoj primer odnapred ni bea poznati re{enijata, no vo sprotiven slu~aj bi ni trebalo pove}e vreme za da otkrieme vo koi granici se nao|aat korenite na dadenata funkcija. Metod na direktno barawe - metod na probawe (Direct-Search or Trial and Error Approach) So ovoj metod mo`e da se opredelat korenite na op{ta nelinearna funkcija so direktno presmetuvawe na vrednosta na funkcijata f(x) vo daden interval na x, se dodeka ne se postigne f(x)≈0. So ovoj metod te{ko se doa|a do egzaktnoto re{enie, duri i pri prebaruvawe so mal ~ekor i vo mal interval na x. Namesto to~no re{enie, so ovoj metod se procenuva vo koi granici se nao|a korenot na funkcijata, {to naj~esto ni e dovolno pri re{avawe na in`enerski problemi. Metodot na direktno barawe se sproveduva vo slednite nekolku ~ekori: 1. Se specificira intervalot [A,B] za x vo koj se nao|a korenot na
funkcijata.
102 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
Te{ko e da se pogodi vo koj interval postoi koren, a za toa se potrebni prethodni poznavawa na tekot na funkcijata ili pak treba da se nacrta nejziniot grafik za pogolem interval i da se proceni vo koi intervali mo`e da ima koren. 2. Specificiraniot interval go delime na pove}e podintervali
~ija golemina zavisi od preciznosta {to sakame da ja postigneme. Na primer ako korenot treba da go opredelime so to~nost do ±0,002, toga{ vrednosta vo podintervalite treba da iznesuva 0,002.
3. Se presmetuva vrednosta vo site podintervali sé dodeka ne se
najde korenot na funkcijata, odnosno poidntervalot kade {to pa|a to~kata f(x)=0.
Ednostaven test da se opredeli dali korenot se nao|a vo daden interval e da se presmeta vrednosta na funkcijata vo krajnite to~ki na intervalot i da se sporedat znacite na tie dve vrednosti. Za da ima koren vo daden interval, funkcijata treba da go promeni znakot, odnosno da bide zadovolen uslovot f(A)*f(B)<0. f(A)*f(B)<0
f(x)
x A B
A B
0,002
x
f(x)
A
B
f(x)
A
B f(A)*f(B)>0 f(A)*f(B)>0
f(x)
A
B f(x)
x
A
B
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 103
NUMERI^KI METODI
Primer 4. So pomo{ na metodot na direktno barawe da se procenat korenite na slednava karakteriisti~na ravenka:
0504188.03146.23)(f 23 =−λ+λ−λ=λ Ravenkata e od treti red, pa spored toa treba da se opredelat tri koreni. Za taa cel ja tabelirame funkcijata so ~ekor 0.05 i gi locirame intervalite vo koi pa|aat trite koreni. λ f( λ ) λ f( λ ) λ f( λ ) λ f( λ ) 0 -0.50419 0.55 0.027717 1.1 -0.25713 1.65 -0.36047
0.05 -0.39583 0.6 0.020572 1.15 -0.28902 1.7 -0.32637 0.1 -0.30173 0.65 0.007427 1.2 -0.31867 1.75 -0.28176
0.15 -0.22112 0.7 -0.01097 1.25 -0.34531 1.8 -0.22591 0.2 -0.15327 0.75 -0.03386 1.3 -0.36821 1.85 -0.15805
0.25 -0.09741 0.8 -0.06051 1.35 -0.3866 1.9 -0.07745 0.3 -0.05281 0.85 -0.09015 1.4 -0.39975 1.95 0.016657
0.35 -0.0187 0.9 -0.12205 1.45 -0.40689 2 0.1250120.4 0.005652 0.95 -0.15544 1.5 -0.40729 2.05 0.248367
0.45 0.021007 1 -0.18959 1.55 -0.40018 2.1 0.3874720.5 0.028112 1.05 -0.22373 1.6 -0.38483 2.15 0.543077 Od tabelata gi locirame trite intervali vo koi pa|aat trite koreni, a toa se:[0,35;0,40] ;[0,65;0,70] ; [1,90;1,95] Ako go nacrtame grafikot na funkcijata, }e mo`eme da gi procenime vrednostite na korenite:
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
λ
f()
Od grafikot gi procenuvame korenite: λ1≈0.4, λ2≈0.7, λ3≈1.9,
104 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
Ako se bara to~nost do 0.005, toga{ sekoj od intervalite go delime na podintervali so golemina 0.005 i gi procenuvame korenite. Na primer, za prviot koren dobivame:
Korenot se nao|a vo intervalot [0.385; 0.390]. Korenot go opredeluvame kako sredna vrednost:
388.02
39.0385.01 ≈
+≈λ
Na sli~en na~in gi dobivame drugite dva korena:
673.02
675.067.02 ≈
+≈λ 9425.1
2945.194.1
2 ≈+
≈λ
Op[ti karakteristiki na metodot na direktno barawe • So ovoj metod mo`e da se opredelat koreni na koja bilo funkcija
ako tie se realni i ako se nao|aat vo daden interval. • Za postignuvawe visok stepen na preciznost ovoj metod mo`e da
bide pridru`en so mnogu golem broj presmetuvawa poradi mnogu maliot ~ekor, odnosno so goleminata na podintervalite.
• Pri selektirawe na goleminata na podintervalite treba da
bideme pretpazlivi. Ako ~ekorot e premnogu golem, nekoi od korenite mo`e napolno da se proma{at so primenata na ovoj metod.
• Goleminata na intervalite treba da bide takva {to vo niv da
postoi pove}e od eden koren na funkcijata. • Metodot pretpostavuva deka ima eden i samo eden koren vo
ramkite na eden podinterval. • Ako postoi neparen broj koreni vo intervalot koj se prebaruva,
toga{ f(A) i f(B) }e imaat ist znak, vo koj slu~aj }e bidat proma{eni korenite vo ovoj interval.
Na primer, da ja razgledame slednava nelinearna ravenka:
0056.1x52.0x5.1x)x(f 23 =+−−=
λ f( λ ) 0.3500 -0.0187 0.3550 -0.0158 0.3600 -0.0131 0.3650 -0.0104 0.3700 -0.0078 0.3750 -0.0054 0.3800 -0.0030 0.3850 -0.0007 0.3900 0.0015 0.3950 0.0036 0.4000 0.0057
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 105
NUMERI^KI METODI
Ravenkata mo`e da se zapi{e vo slednava forma:
0)8.0x)(2.1x)(1.1x()x(f)x(f1 =+−−== Koreni na ovaa funkcija se x=1.1, x=1.2 u x= -0.8. Ako odbereme goleminata na ~ekorot da bide 0.25, vo ramkite na intervalot A=0.1 i B=1.25, toga{ f(A)=0.036 a f(B)=0.0154 . Bidej}i uslov za da ima koren vo daden interval e f(A) * f(B)<0, postapkata }e prodol`i so prebaruvawe vo nov interval i na toj na~in }e bidat proma{eni korenite x=1.1 i x=1.2.
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
-1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5
f(X)
f1(x)
Dva glavni problema so metodot na direktno barawe 1. Dvojni (pove}ekratni) koreni
0)1x(1x2x)x(f 22 =−=+−=
x f(X) f1(x) x f(X) f1(x) -1 -0.924 -0.924 0.2 0.9 0.9
-0.9 -0.420 -0.420 0.3 0.792 0.792 -0.8 0.000 0.000 0.4 0.672 0.672 -0.7 0.342 0.342 0.5 0.546 0.546 -0.6 0.612 0.612 0.6 0.42 0.42 -0.5 0.816 0.816 0.7 0.3 0.3 -0.4 0.960 0.960 0.8 0.192 0.192 -0.3 1.050 1.050 0.9 0.102 0.102 -0.2 1.092 1.092 1 0.036 0.036 -0.1 1.092 1.092 1.1 0 0
0 1.056 1.056 1.2 0 0 0.1 0.990 0.990 1.3 0.042 0.042
106 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
Dadenata funkcija ima dva ednakvi korena x1=1 i x2=1. Ovoj metod ne mo`e da gi locira i dvata korena. x1=x2=1.
x y x y 0 1 1.1 0.01
0.1 0.81 1.2 0.04 0.2 0.64 1.3 0.09 0.3 0.49 1.4 0.16 0.4 0.36 1.5 0.25 0.5 0.25 1.6 0.36 0.6 0.16 1.7 0.49 0.7 0.09 1.8 0.64 0.8 0.04 1.9 0.81 0.9 0.01 2 1 1 0 2.1 1.21
2. To~ka na diskontinuitet
Na primer, funkcijata: 233e)xcos(x)x(f2x2 −+−=
−
ima prekin koj ne mo`e da bide otkrien so ovoj metod.
-300
-100
100
300
500
700
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-0.20
0.20.40.60.8
11.21.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 107
NUMERI^KI METODI
Metod na prepolovuvawe na intervalot (Bisection)
Metodot na prepolovuvawe na intervalite se nadovrzuva na metodot na direktno barawe. Toj se koristi vo slu~ai koga e poznato deka vo daden interval na x, postoi samo eden koren. Za isto nivo na preciznost, ovoj metod bara pomalku presmetuvawa otkolku metodot na direktno barawe. Metodot na prepolovuvawe na intervalite e edna od najednostavnite tehniki za opredeluvawe koreni na funkcii. Postapkata e sledna: - ja razgleduvame funkcijata y=f(x) i treba da ja opredelime
vrednosta na x za koja y=0; - se opredeluva vrednost na funkcijata vo dve to~ki, na primer, za
x=x1 i za x=x2, taka {to f(x1)*f(x2)<0; - implikacijata e deka ednata vrednost e negativna a drugata e
pozitivna; - isto taka, funkcijata mora da bide kontinualna vo intervalot
x1≤x≤ x2; - ako ja nacrtame funkcijata vo toj interval, mo`e da zabele`ime
kade e lociran korenot.
Od slikata se gleda deka funkcijata e negativna vo to~kata x1 a pozitivna vo to~kata x2, i deka e kontinuirana vo intervalot pome|u dvete to~ki. Spored toa, korenot se nao|a pome|u ovie dve to~ki, a novoto pribli`uvawe kon korenot mo`e da se presmeta kako:
2xx
x 213
+=
Sega, korenot se nao|a pome|u novoto pribli`uvawe x3 i vrednosta x1. So ovie vrednosti se presmetuva novo pribli`uvawe. Ovoj process prodol`uva se dodeka f(x)≈0, ili dodeka ne se dostigne baranata preciznost. Treba da se zabele`i deka vo sekoja iteracija se koristat novata vrednost za x i edna od prethodnite dve, taka {to kontinuitetot i produktot na vrednostite na funkcijata se zadovoleni.
y
x
y=f(x) x1
x2x3
108 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
Primer 5. Koristej}i grafi~ki metod, najdeno e deka slednava funkcija ima realen koren pome|u x1=1 i x2=3:
10x2x5x)x(f 23 +−−= Da se aproksimira korenot so metodot na prepolovuvawe. Go crtame grafikot na funkcijata vo intervalot pome|u x∈[1,3]
x y 0 10
0.5 7.875 1 4
1.5 -0.875 2 -6
2.5 -10.625 3 -14
3.5 -15.375
x1=1 i x2=3: f(x1)=4; f(x2)=-14
O~igledno e deka f(x1)*f(x2)=(4)(-14)<0, i korenot ima vrednost pome|u 1 i 3. Spored toa, novata vrendost mo`e da se aproksimira so:
22
312
xxx 21
3 =+
=+
= 6)2(f)x(f 3 −==
Od grafikot se gleda deka korenot e pome|u 1 i novata vrednost 2, poradi razli~niot znak na funkcijata vo ovie dve to~ki. Novoto pribli`uvawe e:
5.12
212
xxx 31
4 =+
=+
= 875.0)5.1(f)x(f 4 −==
f(x1)*f(x4)= f(1)*f(1.5)=(4)*(-0.875)<0 Ova zna~i deka korenot e pome|u 1 i 1.5:
25.12
5.112
xxx 41
5 =+
=+
= 64063.1)25.1(f)x(f 5 ==
Bidej}i znakot na funkcijata za to~kite x1 i x5 e ednakov, korenot se nao|a pome|u x5 i x4, pa novoto pribli`uvawe e:
-20-15-10-505
1015
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 109
NUMERI^KI METODI
375.12
25.15.12
xxx 54
6 =+
=+
= 39648.0)375.1(f)x(f 6 ==
f(x5)*f(x6)=f(1.25)*f(1.375)=1.64063*0.39648>0
f(x6)*f(x4)=f(1.375)*f(1.5)=0.39648*(-0.875)<0
4375.12
5.1375.12
xxx 64
7 =+
=+
=
23657.0)4375.1(f)x(f 7 −==
f(x6)*f(x7)=f(1.375)*f(1.4375)=0.39648*(-0.23657)<0
40625.12
4375.1375.12
xxx 76
8 =+
=+
=
08072.0)40625.1(f)x(f 8 ==
Evidentno e deka vrednostite na funkcijata se pribli`uvaat kon nula kako raste brojot na iteraciite. Po 6 iteracii vrednosta na korenot se aproksimira so vrednosta
1.40625, {to dobro se sovpa|a so to~noto re{enie 2 . Za da se obezbedi zavr{uvawe i prekinuvawe na iteracijata, potrebno e da se definira kriterium za konvergencija, odnosno tolerancija ili razlika pome|u dve posledovatelni pribli`uvawa.
Primer 6. Sledniov polinom ima koren vo intervalot 3.75 ≤ x ≤ 5:
8x10xx)x(f 23 −−−=
x y 3 -20
3.25 -16.7344 3.5 -12.375 3.75 -6.82813
4 0 4.25 8.203125 4.5 17.875 4.75 29.10938
5 42 5.25 56.64063 5.5 73.125
Ako se bara tolerancija od 0.01 (1%), koristej}i go metodot na prepolovuvawe, da se opredli korenot na funkcijata.
110 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
i xs xm xe f(xs) f(xm) f(xe) 5*6 6*7 gre{. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 3.7500 4.3750 5.0000 -6.8281 12.8496 42.000 - + 2 3.7500 4.0625 4.3750 -6.8281 1.9182 12.8496 - + 0.3125 3 3.7500 3.9063 4.0625 -6.8281 -2.7166 1.9182 + - 0.1563 4 3.9063 3.9844 4.0625 -2.7166 -0.4661 1.9182 + - 0.0781 5 3.9844 4.0234 4.0625 -0.4661 0.7092 1.9182 - + 0.0391 6 3.9844 4.0039 4.0234 -0.4661 0.1174 0.7092 - + 0.0195 7 3.9844 3.9941 4.0039 -0.4661 -0.1754 0.1174 + - 0.0098 8 3.9941 3.9990 4.0039 -0.1754 -0.0293 0.1174 + - 0.0049 9 3.9990 4.0014 4.0039 -0.0293 0.0440 0.1174 - + 0.0024
10 3.9990 4.0002 4.0014 -0.0293 0.0073 0.0440 - + 0.0012 So pomo{ na programata Excel, izvr{eno e iterativno presmetuvawe, spored Bisection metodot, do 10 iteracii. Rezultatite se prika`ani vo gornata tabela. Od tabelata mo`e da se vidi deka tolerancijata od ≈1%, e postignata vo 7. ~ekor na iteracija, i vo ovoj ~ekor aproksimacijata na korenot iznesuva xm=3.9941. Od poslednite dva reda se gleda deka rezultatot se pribli`uva kon vrednosta xm=4.0, {to e to~na vrednost na korenot na dadenata funkcija vo dadeniot interval. Iako metodot na prepolovuvawe na intervalite sekoga{ }e konvergira kon korenot, konvergencijata e mnogu bavna. Pobrz metod na pribli`uvawe kon korenot na funkcijata vo daden interval e Wutn-Rafsonoviot iterativen metod. Wutn-Rafsonov metod (Newton-Raphson Method) Ova e naj~esto koristen metod za opredeluvawe koreni na funkcii od site poznati formuli. Grafi~ko izveduvawe na formulata:
i1i
i
xx)x(f
tanslope−
=θ=+
x
f(x)
θ
f(xi)
xi xi+1
koren
tangenta
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 111
NUMERI^KI METODI
ixxi dx)x(df)x('fslope
==−=
ili:
)x('f)x(fxxi
ii1i −
=−+
)x('f)x(fxx
i
ii1i −=+
Primer 7. Koristej}i go iterativniot metod na Wutn-Rafson, da se proceni korenot na slednata funkcija, ako za po~etna procena e zemena vrednosta x0=0:
xe)x(f x −= −
Prviot izvod na funkcijata e:
1edx
)x(df)x('f x −−== −
Prva iteracija: i=0, x0=0
2111e)0('f10e)0(f
)0(
)0(
−=−−=−−=
=−=−
−
5.02
10)x('f)x(fx
)x('f)x(fxx
0
00
i
ii1i
=−
−=−
−=+
Vtora iteracija: i=1, x1=0.5
6065.11e)5.0('f1065.0)5.0(e)5.0(f
)5.0(
)5.0(
−=−−=
=−=−
−
112 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
5663.06065.1
1065.05.0)x('f)x(fxx
)x('f)x(fxx
1
112
i
ii1i
=−
−=−=
−=+
Treta iteracija: i=2, x1=0.5663
567622.11e)5663.0('f001322.0)5663.0(e)5663.0(f
5663.0(
)5663.0(
−=−−=
=−=−
−
5671.0567622.1
001322.05663.0)x('f)x(fxx
)x('f)x(fxx
2
223
i
ii1i
=−
−=−=
−=+
^etvrta iteracija: i=3, x1=0.5671
56716784.11e)5671.0('f00006784.0)5671.0(e)5671.0(f
)5671.0(
)5671.0(
−=−−=
=−=−
−
5671.056716784.1
00006784.05671.0)x('f)x(fxx
)x('f)x(fxx
3
334
i
ii1i
=−
−=−=
−=+
Po 4 ~ekori od iteracijata, vrednosta na korenot se pribli`i kon re{enieto x=0.5671.
Primer 8. Sledniov polinom ima koren vo intervalot 3.75 ≤ x ≤ 5:
8x10xx)x(f 23 −−−= Istiot primer prethodno be{e re{en po metodot na prepolovuvawe, pri {to vo devet ~ekori re{enieto se pribli`i kon to~noto re{enie koe iznesuva 4.0 (so tolerancija od 0.001, odnosno 0.1%). Koristej}i go metodot na Wutn-Rafson, da se opredeli korenot na dadenata funkcija so to~nost do 0.1% i da se sporedi so re{enieto i so brzinata na konvergencija od metodot na prepolovuvawe. Po~etnata vrednost na korenot e x0=3.75.
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 113
NUMERI^KI METODI
Prva iteracija i=0
10x2x3)x('f8x10xx)x(f
2
23
−−=
−−−=
6875.241075.3275.33)75.3('f8281.6875.31075.375.3)75.3(f
2
23
=−⋅−⋅=
−=−⋅−−=
)x('f)x(fxx
i
ii1i −=+
0266.46875.248281.675.3x
)x('f)x(fxx
1
0
001
=−
−=
−=
Vtora iteracija i=1 x=4.0266
10x2x3)x('f8x10xx)x(f
2
23
−−=
−−−=
5869.30100266.420266.43)0266.4('f8052.080266.4100266.40266.4)0266.4(f
2
23
=−⋅−⋅=
=−⋅−−=
)x('f)x(fxx
i
ii1i −=+
0003.45869.308052.00266.4x
)x('f)x(fxx
2
1
112
=−=
−=
Zna~i, vo dva ~ekora se stasuva do re{enieto 4.0003. Gre{kata iznesuva:
%075.010040003.44e =
−=
Brzinata na konvergencija na ovoj metod e mnogu pogolema vo odnos na bisection- metodot.
114 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
Problemi so Wutn-Rafsonoviot metod - Nekonvergencija - mo`e da se pojavi vo slu~aj ako po~etnata
vrednost na x e takva {to vrednosta na prviot izvod e ednakva na nula:
∝⇒−=−=+ 0)x(fx
)x('f)x(fxx i
ii
ii1i
- Nekonvergencija se javuva koga f ’(x)=0, {to zna~i deka tangentata e
paralelna na x oskata: - Nekonvergencija - isto taka mo`e da se javi ako f(xi)/f’(xi)= -
f(xi+1)/f’(xi+1). Vo ovoj slu~aj re{enijata se povtoruvaat od ~ekor vo ~ekor.
- Golem broj ~ekori na iteracijata }e se javat ako f’(x) e mnogu
pogolemo od f(x). Vo toj slu~aj, odnosot f(xi)/f’(xi) e mnogu mal, poradi {to vo sekoj ~ekor se dobiva sosema malo pridvi`uvawe kon re{enieto. Ovaa situacija mo`e da se javi vo slu~aj koga korenot na funkcijata e blizok do nula, odnosno koga xi e mal broj ili koga korenot e vo blizina na prevojnata to~ka.
x
f(x)
x0 x1
y
x
y=f(x)
x0= x2= x1
x0= x2= x1
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 115
NUMERI^KI METODI
Metod na sekanta (Secant Method) Potencijalen problem pri koristeweto na Wutn-Rafsonoviot metod e opredeluvaweto na vrednostite na izvodot na funkcijata. Za polinomnite funkcii ne e te{ko da se opredelat izvodite, no postojat funkcii za koi e te{ko da se opredelat izvodite. Metodot na sekanta e sli~en na Wutn-Rafsonoviot metod, so taa razlika {to ovde vrednostite na izvodite se opredeluvaat numeri~ki so kone~ni razliki:
)xx()x(f)x(f)x('f
1ii
1iii
−
−
−−
=
)xx()x(f)x(f
)x(fxx
)x('f)x(fxx
1ii
1ii
ii1i
i
ii1i
−
−+
+
−−
−=
−=
)x(f)x(f)xx()x(fxx
)x(f)x(f)xx()x(fxx
i1i
i1iii1i
1ii
1iiii1i
−−⋅
−=
−−⋅
−=
−
−+
−
−+
Spored metodot na sekanta, nova procena na korenot mo`e da se opredeli koristej}i gi vrednostite na funkcijata vo dve drugi proceni na re{enieto, xi i xi-1, primenuvaj}i ja slednava formula vo iterativna procedura:
)x(f)x(f)xx()x(fxx
i1i
i1iii1i −
−⋅−=
−
−+
Primer 9. Koristej}i go metadot na sekanta, da se proceni vrednosta na korenot na dadenata funkcija:
xe)x(f x −= − Da se zemat po~etnite vrednosti xi-1=0 i xi=1. Prva iteracija, i=1:
63212.01e)1(f1x
10e)0(f0x1
1
00
−=−=⇒=
=−=⇒=−
−
61270.0)63212.0(1]10[63212.01
)x(f)x(f)xx()x(fxx
)x(f)x(f)xx()x(fxx
10
10112
i1i
i1iii1i
=−−
−−−=
−−⋅
−=
−−⋅
−=−
−+
116 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
Vtora iteracija, i=2:
07081.0)61270.0(f61270.0x63212.01e)1(f1x
2
11
−=⇒=−=−=⇒= −
56384.0)07081.0(63212.0]61270.01[07081.061270.0
)x(f)x(f)xx()x(fxx
)x(f)x(f)xx()x(fxx
21
21223
i1i
i1iii1i
=−−−
−−−=
−−⋅
−=
−−⋅
−=−
−+
Treta iteracija, i=3:
00518.0)56384.0(f56384.0x07081.0)61270.0(f61270.0x
3
2
=⇒=−=⇒=
56717.0)00518.0(07081.0
]56384.061270.0[00518.056384.0)x(f)x(f
)xx()x(fxx32
32334 =
−−−
−=−
−⋅−=
Bidej}i f(0.56717)= -0.00004, toa zna~i deka vrednosta x=0.56717 e koren na funkcijata, za koj f(x)≈0. Pove}ekratni koreni Narednata slika poka`uva slu~aj na pove}ekratni koreni, koga oskata x e tangenta na funkcijata f(x). Vo ovoj slu~aj, funkcijata ima dva korena so ednakva vrednost i znak:
0)1x(1x2x)x(f 22 =−=+−= ; x1=x2=1
-0.20
0.20.40.60.8
11.21.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5
Generalno, mo`e da postojat dvojni, trojni, ~etvorni i pove}ekratni koreni za funkcijata f(x). Mo`e da bide poka`ano deka paren broj
f(x)
x
A B
Dvoen koren
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 117
NUMERI^KI METODI
ednakvi koreni rezultira pri funkcija f(x) tangentna na oskata x, dodeka neparen broj ednakvi koreni rezultiraat pri funkcija f(x) koja ja se~e x oskata so to~ka na infleksija vo samiot koren. Toe e to~kata kade {to funkcijata ja menuva krivinata. Na primer, slednava funkcija ima ~etiri koreni, od koi edniot e troen koren:
0)5x()1x()1x()1x(5x16x18x8x)x(f 234 =−⋅−⋅−⋅−=+−+−= ; x1=x2= x3=1; x4=5 Na narednata slika e prika`an grafikot na dadenata funkcija, na koj se gleda deka to~kata na infleksija e vo to~kata x=1, a toa e trojniot koren na funkcijata.
y = x4 - 8x3 + 18x2 - 16x + 5
-60
-10
40
90
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Problemi so pove]ekratnite koreni - Pove}ekratnite koreni predizvikuvaat te{kotii pri
koristeweto na prethodno spomenatite metodi za opredeluvawe koreni na funkcii.
- Bisection - metodot ima problemi so pove}ekratnite koreni poradi toa {to funkcijata ne go menuva znakot vo to~kata kade {to ima neparen broj multiplicirani koreni.
- Vo Wutn-Rafsonoviot metod ima te{kotii poradi toa {to izvodot vo multipliciraniot koren e ednakov na nula.
Sistemi nelinearni ravenki Prethodno spomenatite metodi za opredeluvawe koreni na funkcija se odnesuvaa na ravenki so edna promenliva od tipot f(x)=0. Nekoi in`enerski problemi se pretstaveni so 2 ili so pove}e funkcii, za koi e potrebno da se opredelat korenite.
Troen koren koren
118 Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii)
NUMERI^KI METODI
Problem so dve promenlivi Za problemot so dve promenlivi, funkcijata ima forma:
fi(x,y)=0 kade {to indeksot i se odnesuva na brojot na ravenkata, a x i y se nezavisno-promenlivi. Primer 10. Sledniov sistem e primer za sistem od nelinearni ravenki so dve promenlivi:
0y3xy4x40xyx3x222
23
=+−
=+−
Metodite {to se koristat za ravenki so edna promenliva ne mo`at direktno da se primenat i vo ovoj slu~aj. Ravenkite mo`e da se re{at iterativno, na sledniov na~in (od ravenkata I se izrazuva x, a od II y):
x4y3x4y
)xyx3(x
22
3/12
+=
−=
Pretpostavuvame po~etni re{enija: x=3; y=3. Ako go zamenime x=3 vo prethodnata ravenka za x, }e dobieme novo re{enie za x, a po~etnoto y=3 go zadr`uvame, pa dobivame:
280.2621.24
33621.24y
621.2)3333(x
22
3/12
=⋅
⋅+⋅=
=⋅−⋅=
Za vtorata iteracija koristime, x=2.621; y=2.280:
446.2)28.2621.2261.23(x 3/12 =⋅−⋅= Za opredeluvawe na y koristime, x=2.446; y=2.280
010.2446.24
28.23446.24y22
=⋅
⋅+⋅=
Po 20 ~ekori na iteracijata, se dobivaat re{enijata: x=2.159; y=1.819.
I II
Metodi za re{avawe nelinearni ravenki (koreni na funkcii) 119
NUMERI^KI METODI
x y x y 3 3 2.176 1.823
2.621 2.280 2.171 1.822 2.446 2.010 2.168 1.821 2.353 1.908 2.165 1.820 2.297 1.867 2.163 1.820 2.260 1.848 2.162 1.820 2.234 1.839 2.161 1.819 2.215 1.833 2.160 1.819 2.200 1.829 2.159 1.819 2.190 1.826 2.159 1.819 2.182 1.824
120 Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati
NUMERI^KI METODI
7. VMETNUVAWE FUNKCII PO METODOT NA NAJMALI KVADRATI
Ako nekoja funkcija f(x) e poznata vo kone~en broj to~ki, x0, x1, , xn, vo intervalot [a,b], edna od mo`nite aproksimacii na funkcijata f(x) e interpolacioniot polinom opredelen so zadadenite podatoci. Me|utoa, ako brojot na to~kite m+1 e golem, ili pak podatocite se dadeni so odredena gre{ka, vakov izbor na aproksimacija ne e najpogoden. Pri eksperimentalnite istra`uvawa mnogu ~esto se javuva potrebata da se generira funkcija so koja mo`e da se modeliraat dadeni podatoci za mno`estvo od to~ki. Taa funkcija mo`e da bide linearna, kvadratna ili od povisok red. Metodot na najmali kvadrati e postapka za opredeluvawe "mazna", kontinuirana i diferencijabilna kriva, so minimizirawe na gre{kata na otstapuvaweto pome|u zadadenite vrednosti na funkcijata i vrednostite dobieni so krivata. Neka e dadeno mno`estvo od n to~ki koi sakame da gi modelirame so linearna funkcija (prava linija). Taa funkcija ne pominuva niz site to~ki (toa bi bila interpolacionata funkcija), tuku minuva blisku do niv. "Blizinata" obi~no se definira so pomo{ na kriteriumot na najmali kvadrati. Pravata linija mo`e da se izrazi vo forma:
y=a0+a1• x Izrazite od koi se opredeluvaat nepoznatite koeficienti a0 i a1 pretstavuvaat sistem od linearni algebarski ravenki. Vo op{t slu~aj, krivata ne pominuva niz site to~ki. Ordinatata na linearnata funkcija vo to~ka xk }e bide: yk =a0+a1• xk.
y=a0+a1• x
y0 y1 yk yn
εkb
x
y
Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati 121
NUMERI^KI METODI
Razlikata pome|u dadenata vrednost na yk i vrednosta presmetana so linearnata funkcija e gre{kata {to se pravi pri provlekuvawe na ovaa funcija pome|u to~kite:
εk =yk – (a0+a1• xk) Ako gi sumirame kvadratite na gre{kite vo site to~ki }e ja dobieme vkupnata gre{ka:
2n
1kk10k
n
1k
2k )]xa(a -y[E ∑ ⋅+=∑ε=
==
Kvadrirawe na gre{kata se primenuva za da se izbegnat mo`nite poni{tuvawa na gre{kite so pozitiven i so negativen znak. Vkupnata gre{ka zavisi od toa kolku dobro pravata linija se vklopuva pome|u dadenite to~ki. O~igledno e deka najdobro provlekuvawe }e ima koga vkupnata gre{ka e najmala, odnosno minimizirana. Pritoa vkupnata gre{ka ja pretstavuvame kako funkcija od nepoznatite koeficienti a0 i a1, a minimumot na fukcijata go dobivame ako nejzinite izvodi po ovie nepoznati gi izedna~ime so nula:
0x)]xa(a - y[2aE
0)]xa(a - y[2aE
k
n
1kk10k
1
n
1kk10k
0
=⋅⋅+−=∂∂
=⋅+−=∂∂
∑
∑
=
=
Delej}i gi dvete ravenki so (-2), dobivame:
0x ax a-xy
0x aa -y
n
1k
2k
n
1k1k
n
1k0kk
n
1kk
n
1k10
n
1kk
=−⋅
=−
∑ ∑∑
∑ ∑∑
= ==
= ==
k
n
1kk
2k
n
1k1k
n
1k0
n
1kkk
n
1k10
xyx ax a
yx aan
⋅=+
=+
∑∑∑
∑∑
===
==
Poslednite dve ravenki se dve simultani algebarski ravenki po nepoznatite koeficienti a0 i a1. Ovie ravenki mo`eme da gi napi{eme vo matri~na forma:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∑ ⋅
∑=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑
∑
=
=
==
=n
1kkk
n
1kk
1
0
2k
n
1kk
n
1k
k
n
1k
yx
y
aa
x x
x n
[ ] { } { }baA =⋅
(5) (6)
122 Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati
NUMERI^KI METODI
od kade:
{ } [ ] { }bAa 1 ⋅= −
Od poslednata ravenka se opredeluvaat nepoznatite koeficienti na linearnata funkcija. Vo op{t slu~aj, ako sakame da provle~eme kriva od m-ti red pri n zadadeni to~ki (xk,yk), k=1,...n, imame:
y=a0+a1• x + a1• x2 + a2• x3 +....+ am-1• xm Sledej}i ja pogore poka`anata postapka, se dobiva op{tiot izraz za opredeluvawe na koeficientite na polinomot od m-ti red:
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⋅
⋅
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑
∑
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
=
=
=
=
=
+
=
+
==
+
====
+
====
===
n
1kk
mk
n
1kk
2k
n
1kkk
n
1kk
m
2
1
0
2mk
n
1k
2mk
n
1k
1mk
n
1k
mk
n
1k
2mk
n
1k
4k
n
1k
3k
n
1k
2k
n
1k
1mk
n
1k
3k
n
1k
2k
n
1kk
n
1k
mk
n
1k
2k
n
1kk
n
1k
yx...
yx
yx
y
a...aaa
x ...x x x ...............
x ...x x x
x ...x x x
x ...x x n
[ ] { } { }baA =⋅ Spored toa, za da se provle~e kriva niz dadeno mno`estvo to~ki, potrebno e da se presmetaat ~lenovite na matricata [A] i vektorot {b}. Primer 1. Dadenite podatoci da se modeliraat so polinom od I, II i III red.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5
Mo`e da se zabele`i deka to~kite le`at pribli`no na edna prava linija. Ako so metodot na najmali kvadrati se provle~e polinom od I red, }e se dobijat koeficientite na polinomot:
X 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 Y 0.99 0.03 -1.02 -1.94 -3.04
Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati 123
NUMERI^KI METODI
a0 = 1.00999 a1 = -1.00299
Za polinom od vtor red se dobiva: a0 = 0.98856 a1 = -0.96013 a2 = -0.01071
Za polinom od tret red se dobiva: a0 = 0.999756 a1 = -1.02463 a2 = 0.03428
a3 = - 0.00749 Od rezultatite se gleda deka koeficientite od kvadratniot i od kubniot ~len se mali vo sporedba so konstantniot i linearniot ~len. Ova zna~i deka e dominanten linearniot trend na podatocite, pa mo`e da se izvle~e zaklu~ok deka, duri i pri primena na polinomi od povisok stepen, metodot na najmali kvadrati gi prisposobuva koeficientite na dominantnite ~lenovi da go odr`at dominantniot trend na dadenite podatoci. Vidovme deka mno`estvoto od n to~ki mo`e da se pretstavi so polinomi od I red do (n-1) red. Pritoa treba da se vnimava na slednovo: 1. ako brojot na to~kite e golem, ravenkite od koi se opredeluvaat
koeficientite na polinomite mo`e da bidat lo{o usloveni. Vo takov slu~aj se koristat ortogonalni polinomi (Le`androvi, ^ebi{evi);
2. ako se primeni polinom koj e za edinica pomal od brojot na to~kite, vkupnata gre{ka e ednakva na nula, me|utoa dobienata kriva mo`e da bide daleku od o~ekuvanite rezultati. Ova e prika`ano na narednata skica, kade {to e pretstaveno modelirawe na podatocite za 4 to~ki so polinom od III red.
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6
To~kite imaat linearen trend koj ne odgovara na polinomot od treti red. Vo slu~aj da se ovie podatoci dobieni so merewe primenata na metodot na najmali kvadrati bi dal podobri rezultati.
124 Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati
NUMERI^KI METODI
Primer 2: Dadeni se koordinatite na 5 to~ki.
x 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 y 1,0 1,0 2,0 2,0 4,0
Koristej}i go metodot na najmali kvadrati, pome|u dadenite podatoci da se provle~e polinom od I, II i III red. 1. Vmetnuvawe na polinom od III red (kubna parabola) vo vid
P3(x)=a0+a1.x+a2.x2+a3.x3
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∑ ⋅
∑ ⋅
∑ ⋅
∑
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
=
−
====
====
====
===
n
1kk
3k
n
1kk
2k
n
1kkk
n
1kk
1
n
1k
6k
n
1k
5k
n
1k
4k
n
1k
3k
n
1k
5k
n
1k
4k
n
1k
3k
n
1k
2k
n
1k
4k
n
1k
3k
n
1k
2k
n
1kk
n
1k
3k
n
1k
2k
n
1kk
3
2
1
0
yx
yx
yx
y
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
aaaa
x y x2 x3 x4 x5 x6 x.y x2y x3y 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 16 32 64 4 8 16 3 2 9 27 81 243 729 6 18 54 4 4 16 64 256 1024 4096 16 64 256
10 10 30 100 354 1300 4890 27 91 327
5 10 30 100 -1 10 30 100 354 30 100 354 1300 100 354 1300 4890 {a}=[A]-1{b}= 0.985714 -1.4881 0.642857 -0.08333 10 0.92857
= -1.4881 6.378968 -3.86905 0.597222 27 0.55952 0.642857 -3.86905 2.571429 -0.41667 91 -0.28571 -0.08333 0.597222 -0.41667 0.069444 327 0.08333
= •
Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati 125
NUMERI^KI METODI
P3(x)= 0.9286 + 0.5595.x - 0.2857.x2 + 0.0833.x3
y = 0.0833x3 - 0.2857x2 + 0.5595x + 0.9286
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
2. Polinom od vtor red (kvadratna parabola)
P2(x)=a0+a1.x+a2.x2
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∑ ⋅
∑ ⋅
∑
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
−
===
===
==
n
1kk
2k
n
1kkk
n
1kk
1
n
1k
4k
n
1k
3k
n
1k
2k
n
1k
3k
n
1k
2k
n
1kk
n
1k
2k
n
1kk
2
1
0
yx
yx
y
xxx
xxx
xxn
aaa
P2(x)= 1.028571- 0.15714.x + 0.214286.x2
P2(x) = 0.2143x2 - 0.1571x + 1.0286
00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
0 2.5 5
5 10 30 -1 10 30 100 30 100 354 {a}=[A]-1{b}=
0.885714 -0.77143 0.142857 10 1.028571 = -0.77143 1.242857 -0.28571 27 -0.15714
0.142857 -0.28571 0.071429 91 0.214286
= •
126 Vmetnuvawe na funkcii po metodt na najmali kvadrati
NUMERI^KI METODI
3. Polinom od prv red (prava linija)
P(x)=a0+a1.x
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∑ ⋅
∑⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑
∑=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
=
−
==
=n
1kkk
n
1kk
1
n
1k
2k
n
1kk
n
1kk
1
0
yx
y
xx
xn
aa
P1(x)= 0.6+ 0.7.x
y = 0.7x + 0.6
00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
0 2.5 5
5 10 -1 10 30
{a}=[A]-1{b}= 0.6 -0.2 10 0.6
= -0.2 0.1 27 0.7
= •
Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici 127
NUMERI^KI METODI
8. SOPSTVENI VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI NA MATRICI
Edna od osnovnite zada~i na linearnata algebra e iznao|awe na sopstvenite vrednosti i sopstvenite vektori na edna matrica. Numeri~kite metodi za re{avawe na ovoj problem se razlikuvaat od другite zada~i (re{avawe sistemi ravenki, opredeluvawe na inverzna matrica i determinanta na matrica), pa zaтоа se ovde izdvoeni. Sopstvenite vrednosti na edna matrica [A] se koreni na nejziniot karakteristi~en polinom koj e pretstaven so izrazot:
0)IAdet()(D =λ−≡λ Sopstvenite vrednosti na realna ili kompleksna kvadratna matrica [A] od n-ti red se onie vrednosti na skalarot λ, za koi sistemot:
{ } { }xx]A[ ⋅λ=⋅ ima netrivijalni re{enija. Ovie netrivijalni re{enija se vikaat sopstveni vektori. Sistemot ravenki mo`e da se napi{e vo forma na homogen sistemЧ
{ } 0x])I[]A([ =⋅λ− kade {то I e edini~na matrica. Ovoj sistem ima netrivijalno re{enie dokolku determinantata na matricata na sistemot e ednakva na nula:
0)IAdet()(D =λ−≡λ
)(D λ e polinom od n-ti stepen po λ, i se vika karakteristi~en polinom na matricata [A]. Zna~i, sopstvenite vrednosti na matricata se koreni na nejziniot karakteristi~en polinom. Pomo{ni stavovi koi se odnesuvaat na sopstvenite vrednosti i sopstvenite vektori na matrici: • sopstvenite vektori koi odgovaraat na razli~ni sopstveni
vrednosti se linearno nezavisni; • matricite [A], α[A], [A]k, k=1,2,....,n, imaat ednakvi sopstveni
vektori, a za sopstvenite vrednosti va`i: λ( α[A])= α λ([A]); λ( [A]k)= (λ([A])) k;
• matricite [A] i [A]T imaat ednakvi sopstveni vrednosti.
128 Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici
NUMERI^KI METODI
Teoriski, determinantata sekoga{ mo`e da se razvie so standarden metod od linearnata algebra. Me|utoa, ako dimenzijata na matricata n, e golema, golem e i obemot na presmetuvawata i, po pravilo, doa|a do natrupuvawe na presmetuva~ki gre{ki. Poradi toa, za re{avawe na problemot na sopstveni vrednosti i vektori se koristat numeri~ki metodi koi mo`e da se podelat na dve grupi: 1. metodi za re{avawe problemi na sopstveni vrednosti i vektori
vo celost, so koi se opredeluvaat site sopstveni vrednosti i vektori;
2. metodi za re{avawe na delumniot problem, so koi se opredeluva edna sopstvena vrednost ( naj~esto najgolemata ili najmalata) i soodvetniot sopstven vektor.
Ovde }e razgledame dva metoda, po eden od dvete grupi, i toa: Jakobieviot metod, za opredeluvawe na site sopstveni vrednosti i vektori na edna matrica, i metodot na Vijanelo Stodola, za opredeluvawe na najgolemata i najmalata sopstvena vrednost na edna matrica i soodvetnite sopstveni vektori. Jakobiev metod Ova e metod so koj se opredeluvaat site sopstveni vrednosti na matricata [A], na toj na~in {to taa se dijagonalizira so pomo{ na beskone~na niza od transformacii. Na toj na~in se anuliraat vondijagonalnite ~lenovi vo matricata, a novodobienata dijagonalna matrica gi sodr`i, po glavnata dijagonala, sopstvenite vrednosti λ1, do λn. Pritoa se koristi matricata na rotacija R. Matricata Rij , so koja se anulira ~lenot bij , ima forma:
[ ]ji
10.
cossinsincos
..
01
R ij
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθ−θ=
So ovaa matrica na rotacija nao|ame nova matrica [B] koja e sli~na na matricata [A], taka {to:
[ ] [ ] [ ] [ ]ijTij RARB ⋅⋅=
Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici 129
NUMERI^KI METODI
θ⋅θ=θ
θ+=θ
++−−=θ
−
−
tgcossin
)tg1(cos
a2
]a4)aa[()aa(tg
2/12
ij
2/12ij
2jjiijjii
^lenovite na matricata [B] se:
θ+θ−=
θ+θ=
θ−θ⋅+−⋅θ⋅θ−=
⋅θ⋅θ−⋅θ+⋅θ=
⋅θ⋅θ+⋅θ+⋅θ=
cosasinab
sinacosab
)sin(cosa)aa(sincosb
asincos2acosasinb
acossin2asinacosb
jkiklj
jkikik
22ijjjiiij
ijjj2
ii2
jj
ijjj2
ii2
ii
ijij ab = i,j≠k,l Vo novata matrica, koja e dijagonalna, elementite od glavnata dijagonala se sopstvenite vrednosti:
[ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
λλ
λ
=⋅⋅=
...000000000000
RARB3
2
1
ijTij
Sopstvenite vektori se ednakvi na kolonite od matricata na rotacija [ ]ijR .
Primer 1. Dadena e matricata [A] od red 2x2. Koristej}i go Jakobieviot metod, da se opredelat sopstvenite vrednosti i sopstvenite vektori na dadenata matrica.
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2112
A
Matricata }e se dijagonalizira ako so elementarni transformacii se dobie nova matrica vo koja ~lenovite b12=b21 se ednakvi na nula. Pritoa ja koristime matricata na rotacija [R]12:
[ ] [ ] [ ]
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡θθθ−θ
=
⋅⋅
cossinsincos
R
RAR
12
12T12
130 Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici
NUMERI^KI METODI
Za da se anulira ovoj ~len, vo izrazot za tgθ zemame i=1 a j=2. Pritoa dobivame:
211
21sin
21)11(cos
124tg
12]14)22[()22(tg
a2]a4)aa[()aa(tg
2/1
2/122
12
2/1212
222112211
=⋅=θ
=+=θ
==θ
⋅⋅+−+−−
=θ
++−−=θ
−
−
Sopstveni vektori se kolonite od matricata [R]:
[ ]
{ } { }⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθθ−θ
=
21
21
x;
212
1
x
21
21
21
21
cossinsincos
R
21
Za da gi opredelime sopstvenite vrednosti ja dijagonalizirame matricata [A], odnosno gi opredeluvame ~lenovite na novata dijagonalna matrica [B]:
312
12
122212
21b
acossin2asinacosb
11
ij222
112
11
=⋅⋅+⋅+⋅=
⋅θ⋅θ+⋅θ+⋅θ=
0b0b
)sin(cosa)aa(sincosb
112
12
122212
21b
asincos2acosasinb
21
12
2212221112
22
12222
112
22
==
θ−θ⋅+−⋅θ⋅θ−=
=⋅⋅−⋅+⋅=
⋅θ⋅θ−⋅θ+⋅θ=
Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici 131
NUMERI^KI METODI
Taka gi dobivme sopstvenite vrednosti λ1 i λ2:
[ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡λ
λ=⋅⋅
1003
00
RAR2
1ij
Tij
Primer 2. Da se opredelat sopstvenite vrednosti na matricata [A] so pomo{ na metodot na Jakobi:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3.15.005.03.10
001A
Matricata e simetri~na i elementite a12, a13, se ve}e ednakvi na nula. Za da go anulirame ~lenot a23, zemame indeksi i=2 i j=3.
211
21sin
21)11(cos
15.02
]5.014)3.13.1[()3.13.1(tg
a2]a4)aa[()aa(
tg
2/1
2/12223
2/1223
233223322
=⋅=θ
=+=θ
=⋅
=⋅+−+−−=θ
++−−=θ
−
−
Sopstvenite vektori na matricata se: { } { } { }321 xxx
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
θθθ−θ=
2/12/102/12/10
001
cossin0sincos0001
R
i=2, j=3 Ja dijagonalizirame matricata [A]: red 2:
0)21
21(5.0)3.13.1(
21
21b
)sin(cosa)aa(sincosb
8.15.02
12
123.1213.1
21b
acossin2asinacosb
23
2223332223
22
23332
222
22
=−+−⋅−=
θ−θ⋅+−⋅θ⋅θ−=
=⋅⋅+⋅+⋅=
⋅θ⋅θ+⋅θ+⋅θ=
132 Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici
NUMERI^KI METODI
kolona 1
02
102
10sinacosabb1k
312121ik =⋅+⋅=θ⋅+θ⋅==
=
red 1 kolona 2
02
102
10sinacosabb
1k
131212ik =⋅+⋅=θ⋅+θ⋅==
=
kolona 3
02
102
10cosasinab
3j;1l;1k
131213 =⋅+⋅−=θ⋅+θ⋅−=
===
red 3 kolona 3
8.05.02123.1
213.1
21b
asincos2acosasinb
asincos2acosasinb3k,3j
33
23332
222
33
ijjj2
ii2
jj
=−+=
⋅θ⋅θ−⋅θ+⋅θ=
⋅θ⋅θ−⋅θ+⋅θ===
kolona 1
02
102
10cosassinab1k
312131 =⋅+⋅−=θ⋅+θ⋅−=
=
Sopstvenite vrednosti }e bidat:
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
λλ
λ=⋅⋅
8.00008.10003.1
b000b000b
000000
RAR
33
22
11
3
2
1T
Sopstvenite vektori nemaat fiksni, odnosno strogo definirani komponenti. Toa {to e definirano e odnosot pome|u komponentite. Pri~ina za toa e {to od ravenkata ([A]-λ[I]){x}=0 se zemaat (n-1) ravenki so n nepoznati. Za da se re{at ovie ravenki, ednata promenliva mora da se fiksira-izbere proizvolno.
Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici 133
NUMERI^KI METODI
Primer 3. Da se opredelat sopstvenite vrednosti na matricata [A] so pomo{ na metodata na Jakobi (dijagonalizirawe na matricata so matri~no mno`ewe):
10 1[A]= 1 5
i=1 j=2
tgθ=-(aii-ajj)+[(aii-ajj)2+4aij2](1/2) / 2aij
tgθ=-(-1+2)+[(-1+2)2+4*12](1/2) / (2*1) =0.2
cosθ=(1+tg2θ)(−1/2) =1.0 sinθ=cosθ∗tgθ =0.2
Dijagonaliziraweto na dadenata matrica od red 2x2 se vr{i so mno`ewe so matricata na rotacija, vo eden ~ekor, bidej}i treba da se anulira samo eden ~len (a12=a21).
cosθ 1-sinθ 1.0 -0.2
[R]= sinθ cosq [R]= 0.2 1.0
[D] = [R]T*[A]*[R]
10.0087 1.9275 10.2 0.0 [R]T*[A]= -0.9091 4.7207 [D] = 0.0 4.8
Taka se dobieni sopstvenite vrednosti λ1=10.2 i λ2=4.8:
[ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡λ
λ=⋅⋅=
8.4002.10
00
RARD2
1ij
Tij
Sopstvenite vektori koi odgovaraat na ovie sopstveni vrednosti se koloni na matricata [R]:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡θθθ−θ
=0.12.02.00.1
cossinsincos
R
{ } { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=0.11.0
x;2.00.1
x 21
134 Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici
NUMERI^KI METODI
Primer 4. So pomo{ na metodot na Jakobi, da se opredelat sopstvenite vrednosti i vektori na dadenata matrica.
j ⇒ 1 2 3 i ⇓ 1 0 0 1 [A]= 0 1.3 0.5 2
0 0.5 1.3 3
Anulirawe na ~lenot a23 i=2 j=3 sin 0.707107 cos 0.707107 1 0 0 [R]23 0 0.707107 -0.70711 A 0 0.707107 0.707107 1 0 0 0 1.3 0.5 0 0.5 1.3 1 0 0 1 0 0 [R]23
t 0 0.707107 0.707107 0 1.272792 1.272792 0 -0.70711 0.707107 0 -0.56569 0.565685 [R]23
t.[A] R23 1 0 0 0 0.707107 -0.70711 0 0.707107 0.707107 1 0 0 1 0 0 0 1.272792 1.272792 0 1.8 0 0 -0.56569 0.565685 0 0 0.8 [R]23
t.[A] [D] Iterativen metod na Vijanelo-Stodola Ovoj metod e iterativen i se koristi za opredeluvawe na najniskite sopstveni vektori, so najmala sopstvena vrednost λmin, i najvisokite so najgolemo λ max. Se re{ava sistemot ravenki:
[ ]{ } { }xxA ⋅λ=
Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici 135
NUMERI^KI METODI
kade {to: [A] e realna simetri~na matrica od n-ti red, {x} e sopstven vektor na matricata [A], λ e skalar koj ja pretstavuva sopstvenata vrednost {to odgovara na sopstveniot vektor. Za da ja opredelime najgolemata sopstvena vrednost λmax i soodvetniot sopstven vektor, trgnuvame od po~etnoto re{enie {x}(1), i go zamenuvame vo ravenkata:
[ ] { } { } )1()1( xxA ⋅λ=⋅ Iteracijata prodol`uva sé dodeka re{enijata od dva posledovatelni ~ekora ne se pribli`at.
Primer 4. Dadena e matricata: [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2112
A . Da se opredelat
najgolemata i najmalata sopstvena vrednost i soodvetnite sopstveni vektori.
Trgnuvame od po~etniot vektor: { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=01
x )1(
Go zamenuvame vo ravenkata i dobivame nov vektor {x}(2). ^lenovite vo ovoj vektor gi izrazuvame kako proizvod na nekoj skalar po nekoj vektor, vo koj prviot ~len e ednakov so prviot ~len vo po~etniot vektor:
[ ] { } { } )2()1( x3333.01
313
01
2112
xA λ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅
Sega, novodobieniot vektor go zamenuvame vo istata ravenka i dobivame vektor {x}(3):
[ ] { } { } )3()2( x7143.01
3333.26666.13333.2
3333.01
2112
xA λ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅
[ ] { } { } )4()3( x8947.01
7143.24286.27143.2
7143.01
2112
xA λ=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅
[ ] { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅
96365.01
8947.27895.28947.2
8947.01
2112
xA )4(
136 Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici
NUMERI^KI METODI
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡9877.01
96365.292731.296365.2
96365.01
2112
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡9959.01
9877.297547.29877.2
9877.01
2112
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡9986.01
9959.299182.29959.2
9959.01
2112
Vrednostite se poklopuvaat do vtoriot decimal, taka {to mo`eme da prestaneme so presmetuvaweto. Rezultatite od iteracijata se:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅≈⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=⋅λ11
0.39986.01
9959.2x maxmax
Primer 5. Za istata matrica od prethodnata zada~a, da se opredeli najmalata sopstvena vrednost λmin i soodvetniot sopstven vektor.
Zapo~nuvame so po~etno re{enie: { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=10
x )1(
Ova re{enie se zamenuva vo ravenkata:
[ ] { } { } )1()1(1 x1xA ⋅λ
=⋅−
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−
666.0333.0333.0666.0
A 1
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1
5.0666.0
666.0333.0
10
666.0333.0333.0666.0
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1
8.08325.0
8325.0666.0
15.0
666.0333.0333.0666.0
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−19277.0
93324.093324.0
8658.01
8.0666.0333.0333.0666.0
Sopstveni vrednosti i sopstveni vektori na matrici 137
NUMERI^KI METODI
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−19759.0
9749.09749.09514.0
19277.0
666.0333.0333.0666.0
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1992.0
99097.099097.0
9829.019759.0
666.0333.0333.0666.0
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1997.0
9963.09963.09936.0
1992.0
666.0333.0333.0666.0
Re{enijata za najmalata sopstvena vrednost i soodvetniot sopstveni vektor se:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
≈≈==λ11
x;0.1004.19963.0/1 minmin
138 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
9. PRIBLI@NO RE[AVAWE NA DIFERENCIJALNI RAVENKI Op{to za re{avaweto na diferencijalni ravenki Diferencijalnite ravenki se ~esto koristeni vo in`enerstvoto i vo naukata za pretstavuvawe na fizi~kiot fenomen na problemite. Diferencijalna ravenka e sekoja ravenka koja sodr`i eden ili pove}e ~lenovi vo koi figuriraat izvodi na funkcija. Obi~na diferencijalna ravenka e onaa koja vklu~uva samo edna nezavisno promenliva. Diferencijalnite ravenki koi vklu~uvaat dve ili pove}e nezavisno promenlivi, se vikaat parcijalni diferencijalni ravenki. Analiti~koto re{enie na obi~nite i na parcijalnite diferencijalni ravenki se vika “re{enie vo zatvorena forma”. Klasifikacija na diferencijalnite ravenki • Obi~ni diferencijalni ravenki:
- diferencijalna ravenka od prv red - dif. rav. od povisok red - linearna dif. rav. - nelinearna dif. rav.
• Parcijalni diferencijalni ravenki
- Ovie ravenki obi~no se klasificiraat spored nivnata matemati~ka forma.
Op{tite formi na obi~nite diferencijalni ravenki se dadeni so slednive izrazi:
)2()0m(0)dxd)(x(C)x(C
)1(0dxd)x(C)x(C
mi
in
1ii0
i
in
1ii0
≠=+
=+
∑
∑
=
=
Pritoa ravenkata (1) e linearna obi~na diferencijalna ravenka, dodeka ravenkata (2) e nelinearna obi~na diferencijalna ravenka.
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 139
NUMERI^KI METODI
Ako koeficientot C0(x) e ednakov na nula, ravenkata se vika homogena, a vo sprotivno, nehomogena diferencijalna ravenka. Razli~ni tipovi na obi~nite diferencijalni ravenki (ODR) imaat golema primena vo in`enerstvoto i vo naukata.
Primeri na ODR: 0yxdx
yd;021
dxdy;x5
dxdy
2
2
=+−=−=
Parcijalni diferencijalni ravenki: toa se diferencijalni ravenki koi sodr`at dve ili pove}e nezavisno promenlivi. Ovie ravenki mo`e da imaat samo grani~ni uslovi, pri {to opi{uvaat t.n. problem na grani~ni vrednosti. Primeri na parcijalni diferencijalni ravenki:
wDk
DF
yW
yxW2
xW
0CyWC
yxWC
xWC
0yT
xT
Z4
4
22
4
4
4
42
2
3
2
22
2
1
2
2
2
2
−=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=+∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
=∂∂
+∂∂
Primena vo in`enerstvoto, primeri:
- Mehani~ki sistem: )t(Fkxdtdxc
dtxdm 2
2
=++
- Vibrirawe na greda: )t(Fkydtdyc
dtydm 2
2
=++
C
m F(t)
x
k
m
F(t)
y
140 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
- Protok na fluidi pod teloto na branata:
0yhk
xhk 2
2
y2
2
x =∂∂
+∂∂
- Plo~a na elasti~na podloga:
wDk
DF
yw
yxw2
xw Z
4
4
22
4
4
4
−=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
- Distribucija na temperatura vo presek: tTC
yT
xT
2
2
2
2
∂∂
=∂∂
+∂∂
x
y h
FZ
w
x
y
y
x
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 141
NUMERI^KI METODI
Mal broj diferencijalni ravenki imaat analiti~ko re{enie vo zatvorena forma. Spored toa, vo naj~est slu~aj se potrebni numeri~ki tehniki za re{avawe na problemite. Op[ti izrazi na diferencijalni ravenki:
4dxdy;C
dxdy
2edxdy);y(f
dxdy
x13
dxdy);x(f
dxdy
yx2dxdy);y,x(f
dxdy
y
2
−==
−==
−==
−+==
y2x2
dxyd);y,x(f
dxyd
y1
dxdy2
dxyd);
dxdy,y(f
dxyd
dxdyx3
dxyd);
dxdy,x(f
dxyd
dxdyy2x1
dxyd);
dxdy,y,x(f
dxyd
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+===
+=⇒=
+==
−+−==
1y3x3dxdy);y,x(f
dxdy
xx1
dxdy);x,x(f
dxdy
y2xxdxdy);y,x,x(f
dxdy
211
22
121
212
2121
−+==
−=⇒=
−−== −
Od kade proizleguvaat diferencijalnite ravenki?
- Diferencijalnite ravenki mo`e da proizlezat pri re{avaweto na geometriski ili fizi~ki problemi.
- Za geometriski slu~aj, da go razgledame naklonot na funkcijata f(x), koj naj~esto e vrska pome|u x i y:
142 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
)xy(cdxdy
−=
Re{enie na gornata ravenka }e bide relacijata vo forma: y=g(x). Pritoa, vo ova re{enie mo`e da bidat vovedeni edno ili pove}e ograni~uvawa, odnosno grani~ni uslovi. Fizi~kite problemi, isto taka, mo`e da bidat definirani so diferencijalni ravenki. Kako {to vidovme prethodno, problemot na transfer na toplina, dvi`ewe na mehani~ki sistem, vibrirawe na greda, deformacija na plo~a na elasti~na podloga, struewe na fluid itn, vklu~uvaat diferencijalni ravenki. Ednostavnite problemi na dvi`ewe, isto taka, mo`e da se izrazat so diferencijalni ravenki, na primer ravenkata na II Wutnov zakon:
dtdVmmaF ==
Re{avawe na diferencijalni ravenki so pomo{ na Tajlorovi serii Da pretpostavime deka problemot e opi{an so diferencijalna ravenka od I red vo forma:
)x(fdxdy
= , pri zadadeni po~etni uslovi: y=y0 pri x=x0.
Ako promenlivite se odvojat i se izvr{i integracija na dvete strani, imame:
∫∫ =x
x
y
y 00
dx)x(fdy
ili:
∫
∫
=−
=
x
x0
x
x
y
y
0
0
0
dx)x(fyy
dx)x(fy
∫+=x
x0
0
dx)x(fyy ………………..………(1)
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 143
NUMERI^KI METODI
Da se potsetime na ekspanzijata na Tajlorovite serii:
1n0)n(
n
0)3(
3
0)2(
2
0)1(
00
R)x(f!n
h
.....)x(f!3
h)x(f!2
h)x(hf)x(f)hx(f
+++
+++++=+
kade {to se: x0 - osnovna ili po~etna vrednost na nezavisno promenlivata x - vrednost na nezavisno promenlivata, odnosno to~ka za koja se bara vrednosta na funkcijata h=x-x0 - rastojanie pome|u x0 i x, ili ~ekor n! - faktorijal od n; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……1 f(x0) - vrednost na funkcijata vo po~etnata to~ka f(n)(x0) - vrednost na n-tiot izvod na funkcijata vo po~etnata to~ka Ovaa ravenka mo`e da se izrazi kako:
.....dx
yd!3
)xx(
dxyd
!2)xx(
dxdy)xx(y)x(y
0
00
xx3
330
xx2
220
xx00
+−
+
+−
+−+=
=
==....... (2)
Ako gi sporedime ravenkite (2) i (1):
∫+=
+−
+−
+−+====
x
x0
xx3
330
xx2
220
xx00
0
000
dx)x(fy)x(y
.....dx
yd!3
)xx(dx
yd!2
)xx(dxdy)xx(y)x(y
}e dobieme:
.....dx
yd!3
)xx(dx
yd!2
)xx(dxdy)xx(dx)x(f
0000 xx3
330
xx2
220
xx0
x
x
+−
+−
+−====
∫
144 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
Spored toa, ravenkite (1) i (2) mo`e da se koristat za re{avawe na diferencijalnite ravenki od I red. Primer 1. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka koristej}i ja ekspanzijata na Tajlorovi serii:
2x3dxdy
= , taka {to y=1 za x=1
1y;1x 00 == ; 313x3dxdy 22
0xx 0
=⋅===
Izvodite od povisok red za x=x0 se:
616x6dx
yd0
xx2
2
0
=⋅===
; 6dx
yd
0xx3
3
==
; ;0dx
yd
0xx4
4
==
za 4n ≥
320
3
0
220
xx3
330
xx2
220
xx00
)1x()1x(33)1x(1)x(y
1x
)6(6
)1x()x6(2
)1x()x3()1x(1)x(y
dxyd
!3)xx(
dxyd
!2)xx(
dxdy)xx(y)x(y
000
−+−+⋅−+=
=
−+⋅
−+⋅−+=
−+
−+−+=
===
To~noto re{enie mo`e da se opredeli kako:
∫∫ =x
1
2y
1
dxx3dy
3
3
x
1
3x
1
3
xy1x1y
x3x31y
=
−=−
==−
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 145
NUMERI^KI METODI
x 1 ~len 2 ~lena 3 ~lena 4 ~lena to~no
1 1 1 1 1 1 1.1 1 1.3 1.33 1.331 1.331 1.2 1 1.6 1.72 1.728 1.728 1.3 1 1.9 2.17 2.197 2.197 1.4 1 2.2 2.68 2.744 2.744 1.5 1 2.5 3.25 3.375 3.375 1.6 1 2.8 3.88 4.096 4.096 1.7 1 3.1 4.57 4.913 4.913 1.8 1 3.4 5.32 5.832 5.832 1.9 1 3.7 6.13 6.859 6.859 2 1 4 7 8 8
Analiziraj}i ja tabelata zabele`uvame deka Tajlorovata serija dava to~no re{enie za ovoj primer koga se zemaat 4 ~lena od serijata, poradi toa {to izvodite povisoki od III red se ednakvi na nula. Vo ovoj slu~aj se dobiva to~no re{enie bidej}i se zemeni site postojni ~lenovi. Da pretpostavime deka problemot e opi{an so diferencijalna ravenka od I red vo forma:
)y,x(fdxdy
= , pri zadadeni po~etni uslovi: y=y0 pri x=x0.
Vo ovoj slu~aj ekspanzijata na Tajlorovite serii e:
.......dx
yd!3
)xx(dx
yd!2
)xx(dxdy)xx(y)y,x(y
00
00
00
yyxx
3
330
yyxx
2
220
yyxx00 +
−+
−+−+=
==
==
==
Vo in`enerskite problemi, mnogu ~esto tie se opi{uvaat so diferencijalni ravenki. Ponekoga{ se slu~uva ovie ravenki da se mnogu kompleksni ili nelinearni, pa ne mo`at ednostavno da se re{at so pomo{ na analiti~kite metodi. Vo toj slu~aj, edinstveno mo`no re{enie e numeri~koto integrirawe. Za razlika od analiti~kite metodi, pri koi pribli`noto re{enie e dadeno vo vid na analiti~ki izraz, vo numeri~kite metodi se bara samo numeri~ka vrednost, t. e., za kone~en broj vrednosti na
146 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
argumentot x, se baraat soodvetnite vrednosti na pribli`noto re{enie. Postojat pove}e metodi za numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki. Ovde }e ilustrirame nekolku klasi~ni metodi. Ojlerovi metodi -obi~ni diferencijalni ravenki od I red Kako {to zabele`avme vo prethodnite primeri, vo nekoi slu~ai ne e taka lesno da se opredelat povisokite izvodi na funkcijata. Ako pri ekspanzijata na Tajlorovata serija go zememe samo ~lenot vo koj se sodr`i prviot izvod na funkcijata vo to~ka x0, [y’(x0)], }e imame:
edxdy)xx(y)x(y
00
yyxx00 +−+=
==
Za pogolema to~nost, treba da se odbere mal ~ekor, h= (x-x0). Gornata raveka mo`e da se zapi{e vo pokompaktna forma za primena na kompjuter:
)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ kade {to:
h=(x-x0); y’(xi,yi)=f(xi,yi) Ova e osnovnata ravenka za iterativnata procedura na Ojler ili t.n. osnovna Ojlerova formula za re{avawe obi~ni diferencijalni ravenki od I red. Ojleroviot metod e eden od najednostavnite numeri~ki metodi. Re{enijata dobieni so ovoj metod obi~no se grubi i poradi toa se primenuva samo za orientacioni presmetuvawa. Ideite na koi e zasnovan ovoj metod, vo su{tina, se pojdovni za mnogu drugi metodi. Neka f(x,y) e neprekinata funkcija vo dadena oblast. Ja razgleduvame diferencijalnata ravenka od prv red: y’=f(x,y), so po~eten uslov y0=y(x0). Da pretpostavime deka soodvetnoto re{enie e y=F(x). Toga{ F’(x)=f(x,y). Pritoa mo`e da odbereme dovolno mal ~ekor h, taka {to za site vrednosti na x vo intervalot [x0, x0+h), vrednosta na y=F(x0) malku }e se razlikuva od y0. Vo toj slu~aj, za razgleduvaniot interval mo`e da se napi{e:
y=y0+(x-x0)y0’=y0+(x-x0)*f(x0,y0) odnosno, krivata y=F(x) vo toj interval se zamenuva so otse~ka koja pretstavuva del od tangentata na taa kriva vo to~kata [x0,F(x0,y0)].
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 147
NUMERI^KI METODI
Za desniot kraj na prvata otse~ka dobivame: y(x1)=y0+hy0’=y1; y0’=f(x0, y0)
za x=x2=x0+2h y(x2) =y2=y1+hy1’; y1’=f(x1, y1)
Zna~i, zada~ata se sveduva na posledovatelno presmetuvawe na razlikite na vrednostite na baranata funkcija F(x). Geometriski, metodot na Ojler poka`uva deka integralnata kriva y=F(x) e zameneta so iskr{enata linija koja po~nuva od zaedni~kata to~ka (x0,y0) so krivata, a sekoja otse~ka e paralelna so tangentata na to~nata kriva vo levata krajna to~ka od soodvetniot interval. Primer 2. Koristej}i go metodot na Ojler da se re{i diferencijalnata ravenka y’=2x, ako e zadadena po~etnata vrednost y0=0, h=0.1, a argumentot pripa|a na intervalot x∈[0,1]. To~no re{enie e funkcijata y=1+x2
k xk yk'=2xk yk+1=yk+h.yk' to~no re{enie yk=1+xk
2
0 0 0 1 1 1 0.1 0.2 1 1.01 2 0.2 0.4 1.02 1.04 3 0.3 0.6 1.06 1.09 4 0.4 0.8 1.12 1.16 5 0.5 1 1.2 1.25 6 0.6 1.2 1.3 1.36 7 0.7 1.4 1.42 1.49 8 0.8 1.6 1.56 1.64 9 0.9 1.8 1.72 1.81
10 1 2 1.9 2
y
x
y=y(x)
F(x)≈y
x0 x1 x2
y0 y1 y2 0
148 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
Modificiran Ojlerov metod Vo formulata na osnovniot Ojlerov metod se zema vrednosta na prviot izvod vo prethodnata to~ka:
)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ Podobreniot (modificiran) metod na Ojler e sli~en na osnovniot metod na Ojler. Toj ja podobruva to~nosta na procenetoto re{enie so toa {to, namesto vrednosta na prviot izvod vo prethodnata to~ka (ili naklonot na tangentata vo po~etnata to~ka na sekoj interval), se zema vrednosta na prose~niot naklon. Postapkata, spored modificiraniot Ojlerov metod, se sproveduva vo slednive nekolku ~ekori: 1. se opredeluva naklonot S1 (dy/dx) vo po~etnata to~ka na
intervalot;
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
yk+1=yk+h.yk' to~no re{enie y=1+x2
naklon 1
naklon 2
prose~en naklon
xi xi+1
f(x)
x
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 149
NUMERI^KI METODI
2. koristej}i go osnovniot metod na Ojler, se opredeluva vrednosta na y na krajot od intervalot vo to~ka xi+1;
3. se opredeluva naklonot na krajot od intervalot S1 (dy/dx) za to~ka xi+1;
4. se opredeluva prose~en naklon, spored formulata:
2dxdy
dxdy
dxdy 1ii xxxx
prosek
+==
+
=
5. se presmetuva nova vrednost na y na krajot od intervalot, so prethodno presmetaniot prose~en naklon, koristej}i ja formulata:
proseki1i dx
dyhyy ⋅+=+
Modificiraniot Ojlerov metod e daden so slednava ekvivalentna formula:
2))]y,x(hfy,hx(f)y,x(f[hyy iiiiii
i1i+++
⋅+=+
ili:
]))y,x(hfy,hx(f)y,x(f[h5.0yy iiiiiii1i ++++=+
ixxdx
dy
=
1ixxdxdy
+=
]SS[h5.0yy 21i1i +⋅⋅+=+
Primer 3. So pomo{ na modoficiraniot Ojlerov metod, da se re{i slednava diferencijalna ravenka za 0 ≤ x ≥ 1, koristej}i ~ekor so golemina h=0.1.
1y;0x;0y21
dxdy
00 ===−
^ekor 1:
21
2y
dxdy
1y0x
====
naklon 1 S1
naklon 2 S2
150 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
^ekor 2: so osnovnata ravenka na Ojler:
05.1211.01
dxdyhyy
1y0x
01 =⋅+=⋅+===
1.01.00hxx 01 =+=+=
^ekor 3:
525.0205.1
2y
dxdy
05.1y1.0x
=====
^ekor 4:
5125.02
525.05.0dxdy
prosek
=+
=
^ekor 5:
05125.15125.01.01dxdyhyy
prosek01 =⋅+=⋅+=
Vtora iteracija, i=1, 05125.1y;1.0x 01 == ^ekor 1:
52563.02
05125.12y
dxdy
05125.1y1.0x
=====
^ekor 2:so osnovnata ravenka na Ojler:
10381.152563.01.005125.1dxdyhyy
05125.1y1.0x
01 =⋅+=⋅+===
2.01.01.0hxx 12 =+=+=
^ekor 3:
55191.02
10381.12y
dxdy
10381.1y2.0x
=====
^ekor 4:
53877.02
55191.052563.0dxdy
prosek
=+
=
^ekor 5:
10513.153877.01.005125.1dxdyhyy
prosek12 =⋅+=⋅+=
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 151
NUMERI^KI METODI
Rezultatite se dadeni vo slednava tabela:
Primer 4. Koristej}i go prviot podobren metod Ojler, da se re{i diferencijalnata ravenka y’=y-2x/y, so po~eten uslov y0=1, vo segmentot [0,1] so ~ekor h=0.2.
Primer 5. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka za 0≤ x≥1, koristej}i ~ekor so golemina h=0.1:
1)0(y;0y21
dxdy
==−
Ja preureduvame diferencijalnata ravenka:
2y)y(f'y ==
Iterativnata postapka se sproveduva so ravenkata na Ojler:
)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+
i xi fi yi(O.) fi+1 fпр yi(m.) yto~no % gr.
0 0 0.50 1 1.00000
1 0.1 0.5256 1.0500 0.525 0.5125 1.05125 1.05127 0.00 2 0.2 0.5525 1.1012 0.55063 0.5381 1.10506 1.10517 0.01 3 0.3 0.5808 1.1576 0.57881 0.5657 1.16163 1.16183 0.02 4 0.4 0.6105 1.2168 0.60844 0.5946 1.22109 1.22140 0.03 5 0.5 0.6418 1.2791 0.63959 0.6251 1.28360 1.28403 0.03 6 0.6 0.6746 1.3446 0.67233 0.6571 1.34931 1.34986 0.04 7 0.7 0.7091 1.4134 0.70674 0.6907 1.41838 1.41907 0.05 8 0.8 0.7454 1.4858 0.74292 0.7261 1.49098 1.49182 0.06 9 0.9 0.7836 1.5619 0.78095 0.7632 1.56730 1.56831 0.06 10 1 0.8237 1.6418 0.82093 0.8023 1.64753 1.64872 0.07
k xk yk fk=yk' h/2. fk xk+1/2= xk+h/2
yk+1/2= yk+h/2fk
fk+1/2 h*fk+1/2
0 0 1 1 0.1 0.1 1.1 0.9181 0.18363 1 0.2 1.1836 0.8456 0.0845 0.3 1.2682 0.7950 0.15901 2 0.4 1.3426 0.7468 0.0746 0.5 1.4173 0.7117 0.14235 3 0.6 1.4850 0.6769 0.0676 0.7 1.5527 0.6510 0.13021 4 0.8 1.6152 0.6246 0.0624 0.9 1.6776 0.6047 0.12095 5 1 1.7361 0.5842
152 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
Prva iteracija i=0: )y,x(fhyy 0001 ⋅+=
x0=0; y0=1, h=0.1
5.021
2y
dxdy)y('y)y,x('y)y,x(f 0
yyxx00000
00
========
05.105.015.01.01y1 =+=⋅+=
Vtora iteracija i=1:
)y,x(fhyy 1112 ⋅+=
x1=x0+h=0+0.1=0.1; y1=1.05, h=0.1
525.0205.1
2y
dxdy)y('y)y,x('y)y,x(f 1
yyxx11111
11
========
1025.10525.005.1525.01.005.1y2 =+=⋅+=
Treta iteracija i=2: )y,x(fhyy 2223 ⋅+=
x2=x1+h=0.1+0.1=0.2; y1=1.1025, h=0.1
55125.02
1025.12y
dxdy)y('y)y,x(f 2
yyxx222
22
=======
157625.1055125.01025.155125.01.01025.1y3 =+=⋅+=
To~no re{enie so direktna integracija:
dx21
ydyy
21
dxdy x
x
y
y 00
∫∫ =⇒= ; 01ln0x 0
==
x21yln)xx(
211lnyln 0 =⇒−=−
2x
ey =
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 153
NUMERI^KI METODI
Vo narednata tabela e dadena sporedba na rezultatite so to~noto re{enie.
i x xi f(xi,yi) yi yto~no=2x
e % gre{ka
0 0 0 0.500000 1.000000 1.000000 1 0.1 0.1 0.525000 1.050000 1.051271 0.12 2 0.2 0.2 0.551250 1.102500 1.105171 0.24 3 0.3 0.3 0.578813 1.157625 1.161834 0.36 4 0.4 0.4 0.607753 1.215506 1.221403 0.49 5 0.5 0.5 0.638141 1.276282 1.284025 0.61 6 0.6 0.6 0.670048 1.340096 1.349859 0.73 7 0.7 0.7 0.703550 1.407100 1.419068 0.85 8 0.8 0.8 0.738728 1.477455 1.491825 0.97 9 0.9 0.9 0.775664 1.551328 1.568312 1.09 10 1 1 0.814447 1.628895 1.648721 1.22
Primer 6. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka za 1≤x≥2, koristej}i ~ekor so golemina h=0.1:
1)1(y;x3dxdy 2 ==
Iterativnata postapka se sproveduva so ravenkata na Ojler:
)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ Prva iteracija i=0:
)y,x(fhyy 0001 ⋅+=
x0=1; y0=1, h=0.1
313x3dxdy)x('y)y,x(f 22
0xx
0000
=⋅=====
3.13.0131.01y1 =+=⋅+=
Vtora iteracija i=1:
)y,x(fhyy 1112 ⋅+=
x1=x0+h=1+0.1=1.1; y1=1.3, h=0.1
154 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
63.31.13)x('y)y,x(f 2111 =⋅==
663.1363.03.163.31.03.1y2 =+=⋅+= Treta iteracija i=2:
)y,x(fhyy 2223 ⋅+=
x2=x1+h=1.1+0.1=1.2; y2=1.663, h=0.1
32.4)2.1(3)x('y)y,x(f 2222 =⋅==
095.232.41.0663.1y3 =⋅+=
To~no re{enie so direktna integracija:
dxx3dyx
x
2y
y 00
∫∫ = ; 1y1x
0
0
==
3
3
x
1
3x
1
3
xy1x1y
x3x31y
=
−=−
==−
Vo narednata tabela e dadena sporedba na rezultatite so to~noto re{enie.
i x xi f(xi,yi) yi(Ojler) yto~no=x3 % gre{ka
0 1 1 3.00 1.000000 1.000 1 1.1 1.1 3.63 1.300000 1.331 2.38 2 1.2 1.2 4.32 1.663000 1.728 3.91 3 1.3 1.3 5.07 2.095000 2.197 4.87 4 1.4 1.4 5.88 2.602000 2.744 5.46 5 1.5 1.5 6.75 3.190000 3.375 5.80 6 1.6 1.6 7.68 3.865000 4.096 5.98 7 1.7 1.7 8.67 4.633000 4.913 6.04 8 1.8 1.8 9.72 5.500000 5.832 6.04 9 1.9 1.9 10.83 6.472000 6.859 5.98 10 2 2 12.00 7.555000 8.000 5.89
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 155
NUMERI^KI METODI
Primer 7. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka za 1≤x≥2, koristej}i ~ekor so golemina h=0.1:
1)1(y;yx3dxdy 2 ==
Iterativnata postapka se sproveduva so ravenkata na Ojler:
)y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ Prva iteracija i=0:
)y,x(fhyy 0001 ⋅+=
x0=1; y0=1, h=0.1
3113yx3dxdy)y,x('y)y,x(f 2
020
yyxx0000
00
=⋅⋅======
3.13.0131.01y1 =+=⋅+=
Vtora iteracija i=1:
)y,x(fhyy 1112 ⋅+=
x1=x0+h=1+0.1=1.1; y1=1.3, h=0.1 719.43.11.13)y,x('y)y,x(f 2
1111 =⋅⋅==
7719.1719.41.03.1y2 =⋅+= Treta iteracija i=2:
)y,x(fhyy 2223 ⋅+=
x2=x1+h=1.1+0.1=1.2; y2=1.7719, h=0.1
65461.77719.1)2.1(3)y,x(f 222 =⋅⋅=
53736.265461.71.07719.1y3 =⋅+=
To~no re{enie so direktna integracija:
dxx3y
dy x
x
2y
y 00
∫∫ = ; 1y1x
0
0
==
156 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
1xyln
1xx3x31lnyln
3
3x
1
3x
1
3
−=
−===−
1x3
ey −= Vo narednata tabela e dadena sporedba na rezultatite so to~noto re{enie.
i x xi f(xi,yi) yi(Ojler) yto~no gre{ka
0 1 1 3.00 1.000000 1.000 1 1.1 1.1 4.72 1.300000 1.392 6.63 2 1.2 1.2 7.65 1.771900 2.071 14.44 3 1.3 1.3 12.86 2.537361 3.310 23.35 4 1.4 1.4 22.48 3.823803 5.720 33.15 5 1.5 1.5 40.99 6.072199 10.751 43.52 6 1.6 1.6 78.11 10.170933 22.109 54.00 7 1.7 1.7 155.91 17.982209 50.049 64.07 8 1.8 1.8 326.33 33.572785 125.462 73.24 9 1.9 1.9 717.01 66.205532 350.374 81.10
10 2 2 1654.87 137.906122 1096.633 87.42
Primer 8. Da se povtori primerot 7 so ~ekor h=0.05:
1)1(y;yx3dxdy 2 == ; )y,x('yhyy iii1i ⋅+=+ ;
)y,x(fhyy 0001 ⋅+=
x0=1; y0=1, h=0.05 3113yx3)y,x(f 2
02000 =⋅⋅== ;
15.115.01305.01y1 =+=⋅+=
)y,x(fhyy 1112 ⋅+=
x1=x0+h=1+0.05=1.05; y1=1.15, h=0.05 80363.315.105.13)y,x(f 2
11 =⋅⋅=
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 157
NUMERI^KI METODI
34018.180363.305.015.1y2 =⋅+=
)y,x(fhyy 2223 ⋅+=
x2=x1+h=1.05+0.05=1.1; y2=1.34018, h=0.05
86485.434018.1)1.1(3)y,x(f 222 =⋅⋅=
58342.186485.405.034018.1y3 =⋅+=
To~no re{enie:1x3
ey −=
i x xi f(xi,yi) yi(Ojler) yto~no %
gre{ka
0 1 1 3.00 1.000000 1.000 1 1.05 1.05 3.80 1.150000 1.171 1.77 2 1.1 1.1 4.86 1.340181 1.392 3.75 3 1.15 1.15 6.28 1.583424 1.684 5.94 4 1.2 1.2 8.20 1.897536 2.071 8.37 5 1.25 1.25 10.82 2.307404 2.594 11.04 6 1.3 1.3 14.44 2.848201 3.310 13.96 7 1.35 1.35 19.52 3.570220 4.308 17.12 8 1.4 1.4 26.73 4.546229 5.720 20.52 9 1.45 1.45 37.11 5.882821 7.757 24.16
10 1.5 1.5 52.23 7.738116 10.751 28.02 11 1.55 1.55 74.60 10.349730 15.239 32.09 12 1.6 1.6 108.13 14.079513 22.109 36.32 13 1.65 1.65 159.15 19.486047 32.856 40.69 14 1.7 1.7 237.94 27.443661 50.049 45.17 15 1.75 1.75 361.44 39.340488 78.208 49.70 16 1.8 1.8 558.05 57.412524 125.462 54.24 17 1.85 1.85 875.97 85.315011 206.774 58.74 18 1.9 1.9 1398.30 129.113605 350.374 63.15 19 1.95 1.95 2270.42 199.028622 610.864 67.42 20 2 2 3750.59 312.549573 1096.633 71.50
158 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
Metodi na Runge-Kuta (RK metodi) Ojleroviot i modificiraniot Ojlerov metod se smetaat kako specijalen slu~aj na Runge-Kuta metodite od II red. Tie, isto taka, se smetaat za metodi so eden ~ekor, bidej}i gi koristat informaciite od eden interval za procena na vrednosta na y na krajot od intervalot. Takanare~enite Runge-Kuta metodi se klasa metodi koi se mnogu koristeni, a koi vo sebe gi vklu~uvaat dvata prethodni metoda. Vo RK -metodite, vrednosta na y na krajot na daden interval se opredeluva vrz baza na vrednosta na po~etokot na intervalot, goleminata na ~ekorot, i nekoj reprezentativen naklon vo toj interval. Runge-Kuta metodi od II red Postojat tri pretstavuvawa na RK-metodite od II red. Tie se sli~ni poradi toa {to gi koristat informaciite na po~etokot i na krajot od dadeniot interval. No, ovie tri metodi se razlikuvaat vo pretstavuvaweto na naklonot so koj se presmetuva novata vrednost na y na krajot od intervalot. Prvata prezentacija na Rk-metodite od II red e modificiraniot Ojlerov metod:
]))y,x(hfy,hx(f)y,x(f[h5.0yy iiiiiii1i ++++=+
]SS[h5.0yy 21i1i +⋅⋅+=+
naklon 1
naklon 2
prose~en naklon
xi xi+1
f(x)
x
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 159
NUMERI^KI METODI
Vtora prezentacija na Rk-metodite od II red:
hSyy 2i1i +=+
)hS5.0y,h5.0x(fS)y,x(fS
1ii2
ii1
++==
Treta prezentacija na Rk-metodite od II red:
h}S32S
31{yy 21i1i ++=+
S1
S2
prose~no S
xi xi+1
f(x)
x
h/2
S1
S2
xi xi+1
f(x)
x
h/2 h/2
xi+1/2
160 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
)hS75.0y,h75.0x(fS)y,x(fS
1ii2
ii1
++==
Runge-Kuta metodi od III red Re{enieto na diferencijalnata ravenka so Runge- Kuta metodite od III red se sproveduva spored ravenkata:
]SS4S[6hyy 321i1i ++⋅+=+
kade {to:
)hS2hSy,hx(fS)hS5.0y,h5.0x(fS
)y,x(fS
21ii3
1ii2
ii1
+−+=++=
=
Primer 9. Da se re{i slednava diferencijalna ravenka so koristewe na RK-metodot od III red za 1 ≤ x ≤ 2 i so ~ekor so golemina h=0.1.
2y;1x;0)1x(ydxdy
002 ===+−
]e bidat poka`ani 2 ~ekora:
S1
S2
xi xi+1
f(x)
x
0.75h 0.25h
xi+3/4
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 161
NUMERI^KI METODI
i=0
4)11(2)1x(y)y,x(fdxdyS 22
0000
1y0x
1 =+=+=====
05.11.05.01h5.0x 0 =⋅+=+
2.241.05.02hS5.0y 10 =⋅⋅+=+
6255.4)105.1(2.2)2.2,05.1(fdxdyS 2
2.2y05.1x
2 =+=====
1.11.01hx 0 =+=+
5251.26255.41.0241.02hS2Shy 210 =⋅⋅+⋅−=+⋅−
580471.5)11.1(5251.2)5251.2,1.1(fS 2
3 =+==
Spored toa:
]SS4S[6hyy 321i1i ++⋅+=+
468041.2]580471.56255.444[61.0yy 01 =+⋅+⋅+=
i=1
]SS4S[6hyy 32112 +⋅+⋅+=
1.11.01hxx 01 =+=+=
468041.2y1 =
79476.7S;365414.6S;454371.5S 321 === Spored toa:
113266.3]SS4S[61.0468041.2y 3212 =+⋅+⋅+=
162 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
Runge-Kuta metodi od IV red Vo Runge-Kuta metodot od IV red se zemaat predvid 4 nakloni vo dadeniot interval. Re{enieto na diferencijalnata ravenka se sproveduva spored izrazot:
]SS2S2S[6hyy 4321i1i +++⋅+=+
)hSy,hx(fS)hS5.0y,h5.0x(fS)hS5.0y,h5.0x(fS
)y,x(fS
3ii4
2ii3
1ii2
ii1
++=++=++=
=
Primer 10. Da se re{i diferencijalna ravenka od primer 10, so koristewe na RK-metodot od IV red za 1 ≤ x ≤ 2 i so ~ekor so golemina h=0.1.
2y;1x;0)1x(ydxdy
002 ===+−
]e bide poka`an 1 ~ekor: i=0 4)11(2)2,1(fS 2
1 =+==
05.11.05.01h5.0x 0 =⋅+=+
2.241.05.02hS5.0y 10 =⋅⋅+=+
6255.4)105.1(2.2)2.2,05.1(fS 2
2 =+==
05.11.05.01h5.0x 0 =⋅+=+
231275.26255.41.05.02hS2Sh5.0y 210 =⋅⋅+=+⋅+
691256.4)105.1(231275.2)231275.2,05.1(fS 2
3 =+==
1.11.01hx 0 =+=+
469126.2691256.41.02Shy 30 =⋅+=⋅+
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 163
NUMERI^KI METODI
456768.5)11.1(469126.2)469126.2,1.1(fS 24 =+==
Spored toa:
468171.2]456768.5691256.426255.424[61.02y1 =+⋅+⋅+⋅+=
468041.2]580471.56255.444[61.0yy 01 =+⋅+⋅+=
Presmetuvaweto vo sekoj ~ekor mo`e da se vr{i tabli~no na sledniov na~in:
Primer 11. So pomo{ na metodot na Runge Kuta, da se najde pribli`no re{enie na diferencijalnata ravenka y’=x+y, ako y0=1, x∈[0,1], so ~ekor h=0.2. Re{avaweto e sprovedeno tabli~no spored prethodno dadenata {ema.
1 2 3 h(2+3) n x y S ∆y 0 0 1 0.2 0.2 0.1 1.1 0.24 0.48 0.1 1.12 0.244 0.488 0.2 1.244 0.2888 0.2888 0.2428
1 0.2 1.2428 0.28856 0.28856 0.3 1.38708 0.337416 0.674832 0.3 1.411508 0.3423016 0.684603 0.4 1.585102 0.39702032 0.39702 0.340836
2 0.4 1.583636 0.396727184 0.396727 0.5 1.782 0.456399902 0.9128 0.5 1.811836 0.462367174 0.924734 0.6 2.046003 0.529200619 0.529201
n x y S=h.f(x,y) ∆y x0 y0 S1
0 S10
x0+h/2 y0+ S10/2 S2
0 2S20
x0+h/2 y0+ S20/2 S3
0 2S30
x0+h y0+ S30 S4
0 S40
1/6*suma
164 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
0.460577 3 0.6 2.044213 0.528842583 0.528843 0.7 2.308634 0.601726841 1.203454 0.7 2.345076 0.609015267 1.218031 0.8 2.653228 0.690645636 0.690646 0.606829 0.8 2.651042 0.69020833 0.690208 0.9 2.996146 0.779229163 1.558458 0.9 3.040656 0.788131247 1.576262 1 3.439173 0.88783458 0.887835 0.785461 3.436502
Diferencijalni ravenki od povisok red Vo mnogu in`enerski problemi, potrebno e re{avawe na diferencijalni ravenki od povisok red. Na proimer, diferencijalna ravenka od II red mo`e da bide dadena so:
)dxdy,y,x(f
dxyd2
2
=
Funkcijata f ne mora da gi vklu~uva site parametri, x,y i dy/dx. Primeri za diferencijalni ravenki od povisok red:
04yxx2dy
yd
0xza0dxdyi0ydataka;x2
dxyd
3
3
2
2
=+−−
====
Metodite {to bea prethodno dadeni mo`e da se koristat za re{avawe na diferencijalni ravenki od povisok red, otkako }e se transformiraat vo sistem od diferencijalni ravenki od prv red. Procedurata za transformirawe na diferencijalnite ravenki e sledna:
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 165
NUMERI^KI METODI
)dxdy,y,x(f
dxyd2
2
=
stanuva,
dxdy
dxdyy
yykade;ydxdy
)y,y,x(fdxdy
12
2121
22
==
==
=
Diferencijalni ravenki od povisok red:
)y,....,y,y,x(fdxdy.......
)y,....,y,y,x(fdxdy
)y,....,y,y,x(fdxdy
n21nn
n2122
n2111
=
=
=
Primer 12. Dadena e prosta greda natovarena so ramnomerno raspredelen tovar. Da se opredelat vrednostite na uklonot i naklonot vo 2 to~ki po dol`inata na gredata za x=0.1 i x=0.2. Da se koristi Ojleroviot metod.
EI)x(M
dxyd2
2
=
2
2
x10x50M0x10x50M
0)2x(x20x50MM
−=
=−+−
=−+−=∑
w=20 kN/m
x
5,0 m
w=20 kN/m
x
V
M
50 kN
166 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
Neka:
EI)x(M
dxd
dxyd
rotacijadxdy
2
2
=θ
=
==θ
; bidej}i:
θ=
−=
θ
dxdy
EIx10x50
dxd 2
Ako pretpostavime EI=227520 kNm2 i grani~ni uslovi vo x=0, y=0 i θ=-0.02314, h=0.1. Koristej}i ja osnovnata formula na Ojler se dobivaat slednive ravenki:
)y,,x(fhyy)y,,x(fh
iiiyi1i
iiii1i
θ⋅+=θ⋅+θ=θ
+
θ+
Prva iteracija (i=0)
02314.0;0y;0x 000 −=θ==
EIx10x50
dxd)y,,x(f)y,,x(f
2
yy
xx000iii
o
oo
−=
θ=θ=θ
=θ=θ=θθ
0EI
)0(10)0(50)0,02314.0,0(f2
=−
=−θ
0231481.001.00231481.0)0,0231481.0,0(fh
1
01
−=⋅+−=θ−⋅+θ=θ θ
o
yy
xx000yiiiy
ooodx
dy)y,,x(f)y,,x(f θ==θ=θ
=θ=θ=
0231481.0)0,0231481.0,0(f oy −=θ=−
00231481.0)1.0(0231481.00y
)0,0231481.0,0(fyy
)y,,x(fhyy
1
y01
000y01
−=⋅−=
−+=
θ⋅+=
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 167
NUMERI^KI METODI
Vtora iteracija (i=1) 02314.0;00231481.0y;1.0x 111 −=θ−==
EIx10x50
dxd)y,,x(f)y,,x(f
2
yy
xx111iii
1
11
−=
θ=θ=θ
=θ=θ=θθ
000021536.0227520
)1.0(10)1.0(50)00231481.0,02314.0,1.0(f2
=−
=−−θ
Uklonot i naklonot vo to~kata x=0.2 se dobivaat od vrednostite vo to~ka x=0.1:
0231459.0000021536.01.00231481.0)00231481.0,0231481.0,1.0(fh
2
12
−=⋅+−=θ−−⋅+θ=θ θ
1
yy
xx111yiiiy
111dx
dy)y,,x(f)y,,x(f θ==θ=θ
=θ=θ=
02314.0)00231481.0,0231481.0,1.0(f 1y −=θ=−−
0046296.0)1.0(02314.000231481.0y)00231481.0,02314.0,0(fyy
)y,,x(fhyy
2
y12
111y12
−=⋅−−=
−−+=
θ⋅+=
Prethodno spomenatite metodi za re{avawe na obi~ni diferencijalni ravenki mo`e da se koristat i za re{avawe na diferencijalni ravenki od povisok red. Ovie metodi baraat po~etnite uslovi da bidat zadadeni i da va`at za ista vrednost na x. Na primer, vo prethodnata zada~a, po~etnite uslovi se:
0231481.0;0y;0x 000 −=θ==
Ova e takanare~en problem na po~etni vrednosti. Rotacijata θ voobi~aeno ne e poznata, no poznato e deka
;0y;0x == i ;0y;10x == . Vo ovoj slu~aj dvata uslova se odnesuvaat na razli~ni vrednosti na x. Spored toa, ovie uslovi ne mo`e da se koristat za re{avawe na ravenkata so prethodnite metodi. Vo ovoj slu~aj imame re{avawe na problem na grani~ni vrednosti. Ovoj problem mo`e da se re{i numeri~ki koristej}i gi:
• shooting - metodot i • metodot na kone~ni razliki.
168 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
Shooting- metodot e metod na probawe, koj koristi koja bilo od prethodno spomenatite metodi za re{avawe na diferencijalni ravenki. Ovoj metod e baziran na transformirawe na problemot na grani~ni vrednosti vo ekvivalenten problem na po~etni vrednosti. Re{avawe na problem na grani~ni vrednosti so pomo{ na metodot na kone~ni razliki Ve}e spomenavme deka pri re{avaweto na diferencijalni ravenki, ako grani~nite uslovi se odnesuvaat na razli~ni vrednosti na x, imame re{avawe na problem na grani~ni vrednosti. Ovoj problem mo`e da se re{i numeri~ki koristej}i go metodot na kone~ni razliki. Da se potsetime na izrazite za kone~ni razliki so dvoen ~ekor za aproksimacija na prviot i vtoriot izvod na funkcija:
h2)x(f)x(f)x('f 1i1i
i−+ −
≈
2i h)xx(f)x(f2)xx(f)x(''f ∆−+−∆+
≈
Vo ovoj metod, izvodite vo diferecijalnata ravenka se zamenuvaat so prethodnite formuli so kone~ni razliki. Toga{, dobienata diferencijalna ravenka vo forma na kone~ni razliki se primenuva vo nekoi vnatre{ni to~ki so odbran ~ekor h i pri zadadeni grani~ni uslovi. Sekoe koristewe na ravenkata so kone~ni razliki rezultira vo linearna ravenka po nepoznatite re{enija vo selektirani vnatre{ni to~ki. Vo ovoj slu~aj dobivame sistem od linearni ravenki koi treba da se re{at simultano, za da se dobie re{enieto vo vnatre{nite to~ki. Primer. Prosta greda, tovarena so ramnomerno raspredelen tovar w. Numeri~ki, da se opredeli momentot na vitkawe M vo sekoja to~ka po dol`inata na gredata.
w=20 kN/m’
x 6,0 m
Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki 169
NUMERI^KI METODI
Grani~ni uslovi: vo x=0, M=0 vo x=6, M=0 Diferencijalnata ravenka na gredata, so koja e opi{an ovoj problem, e:
wdx
Md2
2
= = raspredelen tovar, ili:
20dx
Md2
2
−=
Originalnata diferencijalna ravenka mo`e da se transformira vo forma so kone~ni razliki ako se zeme predvid ravenkata:
21ii1i
i h)x(f)x(f2)x(f)x(''f +− +−
≈
Sega diferencijalnata ravenka e:
20h
MM2Mh
MM2Mdx
Md
21ii1i
21ii1i
2
2
−=+−
+−=
+−
+−
20)5.1(
MM2M2
1ii1i −=+− +−
45)25.2(20MM2M 1ii1i −=−=+− +−
Primenata na poslednata ravenka vo vnatre{nite to~ki 2,3 i 4 dava sistem od tri ravenki so 3 nepoznati.
x
6,0 m 1.5 1.5 1.5 1.5
M1 M2 M3 M4 M5
170 Numeri~ko re{avawe na diferencijalni ravenki
NUMERI^KI METODI
Vo jazolot 2: 45MM2M 1ii1i −=+− +−
45MM2M 321 −=+− M1=0
45MM2 32 −=+−
Vo jazolot 3: 45MM2M 1ii1i −=+− +−
45MM2M 432 −=+−
Vo jazolot 4: 45MM2M 1ii1i −=+− +− ; M5=0
45MM2M 543 −=+− ; M5=0
45M2M 43 −=−
Kone~no se dobiva sistemot ravenki od koj se opredeluvaat nepoznatite momenti vo jazlite 2,3 i 4.
45M2M45MM2M45MM2
43
432
32
−=−−=+−−=+−
Vo matri~na forma sistemot e:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
454545
MMM
210121012
4
3
2
Re{enieto na sistemot ravenki e:
kNm5.670.905.67
MMM
4
3
2
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
Stati~ka kontrola:
kNm908
7208
6208
wLМ
kNm5.675.22902
5.1w5.12
wLM
22
3
2
2
==⋅
==
=−=⋅
−⋅=
Metod na kone~ni elementi 171
NUMERI^KI METODI
10. METOD NA KONE^NI ELEMENTI Elektronskite digitalni kompjuteri so golema brzina im ovozmo`ija na in`enerite da vovedat razli~ni tehniki za numeri~ka diskretizacija pri aproksimativnite re{enija na kompleksnite problemi. Metodot na kone~ni elementi (MKE) e edna od vakvite tehniki. Originalno, MKE e razvien kako alatka za konstruktivna analiza vo teorijata na konstrukciite, no teorijata i formulacijata progresivno se generalizirani i rafinirani taka {to metodot uspe{no se primenuva vo drugi oblasti, kako {to se: protok na toplina, hidrodinamika, mehanika na karpi. Za mnogu in`enerski problemi ne e mo`no da se dobijat analiti~ki matemati~ki re{enija. Analiti~koto re{enie e matemati~ki izraz koj gi dava vrednostite na baranata nepoznata golemina vo koja bilo to~ka. Za problemite vo koi se vovedeni kompleksnite materijalni karakteristiki i grani~ni uslovi, in`enerite koristat numeri~ki metodi koi obezbeduvaat aproksimativni no prifatlivi re{enija. Vo najgolem broj numeri~ki metodi, re{enijata davaat aproksimativni vrednosti za nepoznatite golemini samo vo diskreten broj to~ki. Procesot na selektirawe samo na odreden broj diskretni to~ki, za koi se bara nekoja golemina, mo`e da se nare~e diskretizacija. Eden od na~inite da se diskretizira nekoe telo ili konstrukcija e da se podeli na pomali delovi i da se dobie ekvivalenten sistem od kone~ni elementi. Namesto da se re{ava problemot za celata konstrukcija vo edna operacija, re{enijata se formuliraat za sekoj element, a potoa se kombiniraat so cel da se dobie re{enieto za originalnata konstrukcija. Iako pristapot e zna~itelno uprosten, brojot na podatocite {to treba da se presmetaat zavisi od brojot na elementite na koi konstrukcijata e podelena. Za konstrukcii diskretizirani na golem broj elementi sosema e razbirliva potrebata od primena na kompjuter za sproveduvawe na presmetuvaweto. Metodot na kone~ni elementi e primenliv za re{avawe na problemite na grani~ni vrednosti vo in`enerstvoto. Pritoa, re{enieto se bara vo regionot na teloto na konstrukcijata, dodeka na granicite na regionot se propi{uvaat (zadavaat) vrednostite na zavisnite promenlivi ili nivnite izvodi. Pove}eto od aplikaciite na MKE se vo oblasta na mehanikata na cvrsto telo, vklu~uvaj}i ja konstruktivnata mehanika, mehanikata na po~vi i mehanika na karpi. Problemite vo ovie oblasti se re{avaat so primena na eden od trite pristapi: metod na pomestuvawa, metod
172 Metod na kone~ni elementi
NUMERI^KI METODI
na ramnote`a i me{ovit metod. Pomestuvawata se primarnite nepoznati vo metodot na pomestuvawa (metod na deformacii), naponite se nepoznati vo metodot na ramnote`a (metod na sili) i nekoi pomestuvawa i nekoi naponi se nepoznati vo me{ovitiot metod. Vo osnovata na metodot e diskretizacija na konstrukcijata (kontinuumot) na serija od kone~ni elementi. Na sl. 1 se prika`ani razli~ni tipovi kone~ni elementi. Elementite se povrzani pome|u sebe vo to~ki koi se vikaat jazolni to~ki. Se odbiraat ednostavni funkcii za aproksimacija na distribucijata ili varijacijata na stvarnite pomestuvawa vo kone~niot element. Ovie pretpostaveni funkcii se vikaat funkcii na pomestuvawata. Nepoznati se pomestuvawata ili izvodite na pomestuvawata vo jazolnite to~ki.
Slika 1 Tipovi kone~ni elementi
Triagolen element Pravoagolen element
Kvadrilateralni kone~ni elementi
Trodimenzionalni kone~ni elementi
Metod na kone~ni elementi 173
NUMERI^KI METODI
Modelot na pomestuvawata naj~esto e vo ednostavna forma na polinomi koi ja ovozmo`uvaat lesnata matemati~ka manipulacija. Varijacioniot princip od mehanikata, kako {to e principot za minimum na potencijalna energija, naj~esto se koristi za da se definira sistem od ravenki za ramnote`a na sekoj element:
[ ] { } { }puk =⋅ Ravenkite za ramnote`a na celiot sistem se opredeluvaat so kombinirawe na ravenkite na elementite, i toa taka {to da se obezbedi kontinuitet na pomestuvawata vo jazlite na povrzuvawe. Potoa, ovie ravenki se modificiraat za dadeni grani~ni uslovi na potpiraweto, pa se re{avaat za da se opredelat nepoznatite pomestuvawa. Teorijata na MKE e podelena vo dve fazi: analiza na individualnite elementi i analiza na sistemot od elementi. Ako se primeni metodot na pomestuvawa ili deformacii, postapkata mo`e da se podeli na nekolku ~ekori: 1. Diskretizacija na kontinuumot na kone~ni elementi (liniski,
triagolni, pravoagolni, kvadrilateralni, prizmati~ni-trodimenzionalni), sl.3. Ovoj proces mo`e da bide celosno ili delumno avtomatiziran, no sepak mnogu zavisi od iskustvoto i od in`enerskata procena na brojot, goleminata, tipot i rasporedot na kone~nite elementi, aspect ratio.
2. Izbor na model na pomestuvawata(tipot i stepenot na polinomot, interpolacioni funkcii)
3. Opredeluvawe na matricite na krutost na elementite. ^lenovite vo ovie matrici se koeficienti vo ravenkite na ramnote`a, a presmetani od materijalnite i od geometriskite karakteristiki na elementite (sili od edini~ni pomestuvawa). Na primer:
- liniski element, stap so dve nepoznati
- liniski element, greda so 4 nepoznati
4. Sostavuvawe na globalnata matrica na krutost na sistemot od
matricite na elementite, i na globalniot vektor na sili (tovari)
1 3 2 4
E,A,l
1 2 E,A,l [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
1111
lAEk
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
2
22
3
l4.Simml612
l2l6l4l612l612
lEIk
174 Metod na kone~ni elementi
NUMERI^KI METODI
od jazolnite sili vo elementite (metod na kodni broevi). Pritoa se vospostavuva relacija na nivo na sistemot:
[ ] { } { }PUK =⋅
Ovie ravenki ne mo`e da se re{at ako prethodno ne se zemat predvid grani~nite uslovi (dali ima nekoi propi{ani ograni~uvawa na pomestuvawata). Vo taa smisla treba da se modificiraat ravenkite. 5. Re{avawe na sistemot ravenki i opredeluvawe na nepoznatite
pomestuvawa. 6. Opredeluvawe na silite (napregawata i deformaciite) vo
elementite od presmetanite pomestuvawa. Diskretizacija na prostorot Prv ~ekor vo MKE e regionot na re{enieto da se podeli na podregioni, odnosno na kone~ni elementi. Formata, goleminata, brojot i orientacijata na elementite treba da se odberat soodvetno, taka {to regionot da e pretstaven {to porealno, bez nepotrebno zgolemuvawe na kompjuterskoto presmetuvawe pri opredeluvaweto na re{enieto. Formata na elementite zavisi od tipot na problemot i od formata na regionot na re{enieto. Ako regionot na re{enieto mo`e da se opi{e so edna prostorna koordinata (kako {to se pravoliniskite ili zakrivenite stapovi), toga{ mo`e da se koristat liniski ili ednodimenzionalni kone~ni elementi. Ako regionot na re{enieto e dvodimenzionalen (na pr. pravoagolna, triagolna ili kru`na plo~a), mo`e da se koristat dvodimenzionalni ili ramninski elementi. Koga se koristat kone~ni elementi so pravoliniski strani (na pr. triagolni elementi), za modelirawe na zakriveni povr{ini ili regioni so nepravilna geometrija, originalniot region ne e pretstaven kompletno. Za da se pretstavi geometrijata to~no, ponekoga{ se koristat elementi so zakriveni strani. Za da se izbegnat numeri~ki problemi, dvodimenzionalnite i trodimenzionalnite kone~ni elementi treba da imaat strani so pribli`no ednakva dol`ina. Toa zna~i deka dolgnavestite elementi treba da se odbegnuvaat. Isto taka, numeriraweto na jazlite vo koi se povrzani sosednite kone~ni elementi treba da e takvo {to da se dobiva kolku {to e mo`no pomala {irina na bendot na matricata na sistemot ravenki {to go opi{uva problemot. Op{to pravilo e jazlite da se numeriraat prvo po pokratkata strana na regionot.
Metod na kone~ni elementi 175
NUMERI^KI METODI
Interpolacioni funkcii To~nosta na re{enieto so MKE zavisi od izborot na aproksimativnite (interpolacionite) funkcii. Funkcijata {to se koristi za da go aproksimira re{enieto vo sekoj kone~en element se vika interpolaciona ili funkcija na formata. Najmnogu se koristat interpolacionite funkcii vo forma na polinomi. Polinomite so ponizok red se poednostavni za primena, dodeka polinomite so povisok red podobro ja aproksimiraat to~nata funkcija na re{enieto. Pri izborot na redot na polinomot treba da se napravi kompromis pome|u to~nosta i potro{enoto kompjutersko vreme. Pritoa, kone~nite elementi se klasificiraat vo tri grupi, spored redot na interpolacioniot polinom: - simpleks- elementi - kompleks- elementi - multipleks- elementi Kaj simpleks- elementite se koristi linearna interpolaciona funkcija. Interpolacionata funkcija kaj kompleksniot element e polinom od povisok red. Multipleks- elementot e takov {to granicite na elementot se paralelni so koordinatnite oski (kako {to e pravoagolniot element), a interpolacionata funkcija e polinom od povisok red. Primer 1. Koristej}i go metodot na kone~ni elementi (liniski kone~ni elementi), da se opredeli dijagramot na momentite na dadenata konstrukcija od nadvore{niot tovar. Konstrukcija i koordinati na sistemot: E=3,16x107 kN/m2
60 kN
3,0 I
2I
4,0
1 2
176 Metod na kone~ni elementi
NUMERI^KI METODI
Kone~ni elementi i koordinati na elementite: Matrici na krutost na elementite vo lokalni koordinati:
Matrica na krutost na sistemot opredelena so kodni broevi:
Opredeluvawe na vektorot na tovarite: OKOS
kodni broevi 2 1 0
3 3L -3 3 9 -3 2
[k]1= EI/L3 3L 3L2 -3L =EI/27 9 27 -9 1
-3 -3L 3 -3 -9 3 0 0 1 0 3 3L -3 3 12 -3 0
[k]2= E2I/L3 3L 3L2 -3L =EI/32 12 48 -12 1 -3 -3L 3 -3 -12 3 0
3 0.333 0.6667 -2.00
[K]= EI 0.3333 0.111 [K]-1=1/EI -2.0 15.0
-45 {P}= 0
60 kN 3PL/16=45
37.5
5P/16=18.75 kN 11P/16=41.25 kN
1 2
3
1
2
1
2
Metod na kone~ni elementi 177
NUMERI^KI METODI
Opredeluvawe na pomestuvawata po koordinatite na sistemot: Opredeluvawe na pomestuvawata po koordinatite na elementite:
90 0
{u}1= -30 {u}2= -30 0 0
Opredeluvawete na sili po koordinatite na elementite:
0 90
{p}01= 0 -30
0 0 {p}1= {p}0
1+[k]1x{u}1= 3 9 -3 0
=EI/27 9 27 -9 0 -3 -9 3 0
41 0
{p}02=
45 -30
19 0
{p}2= {p}02+[k]2x{u}2 = 3 12 -3 -11.3 41 30
=EI/32 12 48 -12 -45 + 45 = 0 -3 -12 3 11.3 19 30 Definitiven dijagram na momenti:
-45 0 0.67 -2.00 -30.00
{U}=[K]-1x{P}= -2.00 15.00 90.00
60 kN
60
30
30
178 Optimizacija
NUMERI^KI METODI
11. OPTIMIZACIJA Optimizacija e proces vo koj, od mo`nite nekolku re{enija na daden problem, se selektira najdobroto re{enie. Pove}eto in`enerski problemi, kako {to se onie povrzani so analiza, proektirawe, gradewe i drugo, vklu~uvaat vo sebe donesuvawe odluki (procena, izbor). Voobi~aeno, postoi kriterium koj }e treba da se minimizira ili maksimizira dodeka se zadovoluvaat nekolku socijalni, ekonomski, fizi~ki ili tehnolo{ki ograni~uvawa (uslovi). Vo procesot na donesuvawe odluki, odnosno procena, postojat pove}e parametri ~ija vrednost mo`e da varira. So zgolemuvawe na brojot na ovie parametri, se javuva potreba od primena na sistematska (organizirana, efikasna) procedura za re{avawe na problemite na optimizacija. Vo ovaa glava e daden kratok voved vo re{avaweto na problemite na optimizacijata. Definirawe na problemot na optimizacija Formuliraweto na problemot na optimizacija vklu~uva razvivawe matemati~ki model za fizi~kiot ili za in`enerski problem. Vo praktikata, naj~esto e potrbno da se napravat nekolku pretpostavki, za da se razvie racionalen i ednostaven matemati~ki model, koj prili~no to~no mo`e da go pretstavi odnesuvaweto na sistemot. Rezultatite od optimizacijata }e bidat razli~ni za razli~ni matemati~ki modeli na eden fizi~ki sistem. Spored toa, potreben e dobar matemati~ki model, taka {to rezultatite od optimizacijata mo`e da se koristat za podobruvawe na odnesuvaweto na sistemot. Op{tiot problem na optimizacija, matemati~ki, mo`e da se postavi vo slednava forma:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
n
2
1
x..
xx
XFind
koe ja minimizira funkcijata )X(f , so dadeni funkcii na ograni~uvawata:
0)X(h
0)X(g
k
j
=
≤ j=1,2,…,m; k=1,2,….,p
Optimizacija 179
NUMERI^KI METODI
kade {to se: )n,...,2,1i(x i = - proektni promenlivi,
X - vektor na proektnite promenlivi,
)X(f - funkcija na celta,
)X(g j - j-tata funkcija na ograni~uvawata vo vid na neravenka, za
koja se bara da bide ≤ 0,
)X(h k - k-tata funkcija na ograni~uvawata vo vid na ravenka, za koja se bara da bide = 0,
n - broj na proektnite promenlivi,
m - broj na ograni~uvawata vo vid na neravenki,
p - broj na ravenkite na ograni~uvawata.
Terminologija Proektni promenlivi Set od parametri koi mo`e da se variraat za da se promeni odnesuvaweto na sistemot; set od numeri~ki vrednosti, po edna za sekoja proektna promenliva, go so~inuvaat re{enieto (prifatlivo ili neprifatlivo) na problemot na optimizacija. Funkcija na celta
Koga so menuvaweto na proektnite promenlivi, }e se opredelat razli~ni re{enija, potreben e kriterium za da se proceni dali edno re{enie e podobro od drugo. Ovoj kriterium, izrazen vo funkcija od proektnite promenlivi, se vika funkcija na celta. Interesot na proektantot e da odbere soodvetni proektni promenlivi so koi }e ja minimizira ili maksimizira funkcijata na celta.
Ograni~uvawa vo forma na neravenstva
Vo sekoj problem, pri donesuvaweto odluka, }e postojat uslovi ili ograni~uvawa na proektnite promenlivi, koi mo`e da bidat ekonomski, fizi~ki ili funkcionalni. Vo mnogu slu~ai, validnosta na matemati~kiot model koristen za dadeniot fizi~ki sistem vnesuva ograni~uvawa na proektnite promenlivi. Ovie ograni~uvawa, izrazeni vo funkcija od proektnite promenlivi, se poznati kako funkcii na ograni~uvawata. Koga funkciite na
180 Optimizacija
NUMERI^KI METODI
ograni~uvawata mo`e da imaat samo negativna vrednost ili vrednost pogolema od nula, takvoto ograni~uvawe se vika ograni~uvawe vo forma na neravenstvo. Od druga strana, ako funkcijata na ograni~uvawata se bara da bide ednakva na nula, toa e ograni~uvawe vo forma na ravenstvo. Mo`no re[enie
Sekoj set od proektni promenlivi koj gi zadovoluva ograni~uvawata na problemot, se vika mo`no re{enie. Mo`noto re{enie e prifatlivo za proektantot vo smisla na ograni~uvawata, no toa mo`e i da ne ja minimizira funkcijata na celta.
Optimalno re[enie
Mo`noto re{enie koe ja minimizira funkcijata na celta se vika optimalno re{enie.
Problem na linerno programirawe
Vo slu~aj koga site funkcii (funkcija na celta, funkcii na ograni~uvawata) izrazeni preku proektnite promenlivi se linearni, imame problem na linearno programirawe (LP-problem). Ovoj problem e naj~est optimizicionen problem vo praktikata. LP-problemot vo standardna forma se izrazuva na dolunavedeniot na~in:
Da se minimizira funkcijata na celta:
nn2211 xc......xcxcf ⋅++⋅+⋅=
ako se dadeni funkciite na ograni~uvawata:
1nn1212111 bxa.....xaxa =⋅++⋅+⋅
2nn2222121 bxa.....xaxa =⋅++⋅+⋅
.
.
mnmn22m11m bxa.....xaxa =⋅++⋅+⋅
od proektnite promenlivi x1 i x2.
Konstantite c1, c2,....,cn, a11, a12, .....,amn, b1, b2,.....bm, se pretpostavuva deka se poznati.
Optimizacija 181
NUMERI^KI METODI
Vo standardnata forma na LP-problemot, proektnite promenlivi mora da bidat nenegativni, no postoi na~in, so voveduvawe novi promenlivi, tie da mo`e da imaat i pozitivni ili nulti vrednosti.
Grafi~ko re[enie
Problemot na optimizacija so dve promenlivi mo`e da se re{i so grafi~ka procedura. Vo ovoj metod, funkciite na ograni~uvawata se crtaat(grafi~ki se pretstavuvaat) vo prostorot na proektnite promenlivi i se identificira regionot na vozmo`ni re{enija, vo koj site ograni~uvawa se zadovoleni. Potoa, so grafi~ko pretstavuvawe na konturite na funkcijata na celta, go identifikuvame optimalnoto re{enie. Iako grafi~kiot metod ne e primenliv za najgolem broj prakti~ni problemi koi vklu~uvaat pove}e proektni promenlivi, toj obezbeduva grafi~ka pretstava (slika) na generalnite karakteristiki na problemite na linearnoto programirawe. Naredniot primer ja ilustrira procedurata na grafi~kata optimizacija.
Primer:
Eden proizvoditel proizveduva dva tipa produkti, A i B, koristej}i 3 razli~ni ma{ini. Minimalnoto potrebno ma{insko vreme za sekoj produkt i profitot od sekoj produkt se dadeni vo slednava tabela:
Produkt Ma{ina 1 Ma{ina 2 Ma{ina 3 Profit ($)
Potrebno ma{insko vreme (~asovi) A 16 8 10 90 B 8 14 9 110
Maksimalnoto mo`no dnevno ma{insko vreme na razli~nite ma{ini e 128, 112 i 90 ~asa. Da se opredeli brojot na produktite A i B {to treba da se proizvedat dnevno za da se obezbedni maksimalen profit.
Re{enie. Neka x1 i x2 se broevi na pruduktite A i B proizvedeni za eden den.
Funkciite na ograni~uvawata na maksimalniot dozvolen broj ~asovi rabota na sekoja ma{ina se:
90x9x10:3M112x14x8:2M128x8x16:1М
21
21
21
≤+≤+≤+
(1)
Bidej}i x1 i x2 ne mo`e da imaat negativni vrednosti, imame: x1≥0 i x2≥0 (2)
182 Optimizacija
NUMERI^KI METODI
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
A
B
C
D O
f=0
f=980,5882
Treba da se maksimizira funkcijata na profitot koja e dadena so:
21 x110x90f +=
Optimizacija 183
NUMERI^KI METODI
Za grafi~ko re{enie razgleduvame dvodimenzionalna grafi~ka pretstava so proektnite promenlivi x1 i x2, zemeni kako koordinati. Ograni~uvawata dadeni so neravenkite (2) poka`uvaat deka re{enieto se nao|a vo I kvadrant. Od graficite na funkciite na ograni~uvawata mo`e da se vidi deka site tie ograni~uvawa se zadovoleni vo to~kite vo granicite na {rafiranata povr{ina. Ovaa povr{ina se narekuva oblast na mo`ni re{enija (feasible space), a prika`ana e na prethodnata slika. Vo site to~ki koi le`at vo povr{inata na mo`ni re{enija (O,A,B,C i D) zadovoleni se site funkcii na ograni~uvawata. Optimalno re{enie e to~kata za koja se dobiva maksimum na funkcijata na celta. Ako koordinatite na site ovie to~ki se zamenat vo funkcijata na celta, najgolema vrednost }e se dobie za to~kata V, i toa iznesuva 980.5882 $, Тoa e optimalnoto re{enie ili maksimum na funkcijata na celta, ili mo`e da se ka`e deka toa e najgolem dneven profit. Opredeluvaweto optimalno re{enie na ovoj na~in e te{ko i neefikasno, bidej}i e potrebno da se opredeli vrednosta na funkcijata na celta vo sekoja ekstremna to~ka od granicata na mo`nite re{enija. Za najgolem broj prakti~ni problemi, brojot na mo`nite re{enija e mnogu golem. Vo toj slu~aj se primenuva efikasna i sistemati~na procedura za da se identificira optimalnoto re{enie pome|u mno`estvoto mo`ni re{enija, kako {to e Simplex- metodot, koj ovde nema da bide razgleduvan.
184 Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD
NUMERI^KI METODI
12. RE[AVAWE NA ZADA^ITE SO PROGRAMITE EXCEL I MATHCAD
Primer 1: Tabli~no e zadadena nekoja funkcija. Koristej}i polinom od II red da se interpolira vrednost na funkcijata za x=3.45. Koristej}i go programot EXCEL, se vnesuvaat dadenite vrednosti za x i y vo tabela a potoa se crta grafik. Bidej}i interpolacioniot polinom treba da bide od vtor red, se biraat 3 to~ki okolu vrednosta na argumentot 3.45, a potoa za ovie 3 to~ki se crta trend linija vo forma na polinom od vtor red i se bara da se ispi{e funkcijata na ovaa trend linija na grafikot.
Interpolirawe vrednost na funkcijata za x=3.45 P2(3.45) = 2*(3.45)2 - 5*3.45 + 7 = 13.555
So dobienata funkcija se presmetuva vrednosta za dadenata vrednost na argumentot. Za polinom od III red bi se odbrale 4 to~ki okolu dadenata vrednost na argumentot i bi se vmetnata trend linija od treti red. Trend liniite vsu{nost pretstavuvaat vmetnuvawe na nekoja funkcija pome|u dadeni to~ki i }e ja koristime podocna pri
x y 1 4 2 5 3 10 4 19 5 32 6 49 7 70
Polinomna trend linija od II red
P2(x)=y = 2x2 - 5x + 7
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6x
y
Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD 185
NUMERI^KI METODI
re{avawe na takvi zada~i (zada~a 5 od programite). Ovde trend linijata e iskoristena kako interpolaciona funkcija koja se provlekuva taka da pominuva niz dadenite to~ki. Za interpolacionen polinom od II red se odbiraat 3 to~ki okolu zadadeniot argument, za polinom od III red se biraat 4 to~ki. Vo toj slu~aj trend linijata pominuva niz to~kite i pretstavuva interpolaciona funkcija. Za nekoja druga vrednost na argumentot se selektiraat drugi to~ki okolu taaa vrednost. Primer 2: Dadeni se vektorite x i y. So pomo{ na programot Mathcad, so polinom od II red da se interpolira vrednost na funkcijata y(x), za x=1.5.
Vektorot vs se opredeluva so funkcijata regress vo koja tretiot parametar e redot na polinomot so koj se interpolira vrednosta na funkcijata. Poslednite n+1 ~lena (3 ~lena) na vektorot vs se koeficientite na polinomot od II red. Vrednosta na k e interpoliranata vrednost na funkcijata koja se opredeluva so pomo{ na fumkcijata interp vo Mathcad, vo koja posledniot parametar e argumentot za koj se bara vrednost na funkcijata, x=1.5. Primer 3. Za tabli~no zadadena funkcija da se presmetaat vrednostite na prviot i vtoriot izvod na funkcijata vo to~kata i=2, x=4.4. So pomo{ na programot EXCEL se opredeluva tabelata na kone~nite razliki a potoa so formulite za numeri~ko diferencirawe, se presmetuvaat vrednostite na izvodite.
x
1
2
3
y
5
5
7
vs regress x y, 2,( )
k interp vs x, y, 1.5,( )
k 4.75=vs
3
3
2
7
3
1
=
186 Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD
NUMERI^KI METODI
i x y ∆y ∆2y 0 4.2 0.6232493 0.010219 -0.000231 4.3 0.6334685 0.009984 -0.000222 4.4 0.6434527 0.00976 -0.000213 4.5 0.6532125 0.009545 4 4.6 0.6627578
x=x0=4.4; h=0.1; u=(x-x0)/h; u=( x0-x0)/h= 0 y'(4.4)= =(0.00976-(-0.00021)/2)/0.1= 0.09865 y''(4.4)= =(-0.00021)/(0.1)^2= -0.021
Primer 4. Dadeniot sistem ravenki da se re{i so programot EXCEL preku inverznata matrica na matricata na sistemot.
8 3 1 X 7 3 8 -1 * Y = 4 1 -1 8 Z 6 [A]*{x}={b} MINVERSE(B36:D38)*1.0 0.1507 -0.0598 -0.026
[A]-1 = -0.06 0.1507 0.0263
-0.026 0.0263 0.1316 0.6579 MMULT(C43:E45,H36:H38)*1.0
{x} = 0.3421 0.7105
....]y65y
1211yy[
h1)x(''y
....]y51y
41y
31y
21y[
h1)x('y
05
04
03
02
20
05
04
03
02
00
+∆−∆+∆−∆=
+∆+∆−∆+∆−∆=
Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD 187
NUMERI^KI METODI
Inverznata matrica na sistemot se opredeluva vo EXCEL so funkcijata MINVERSE. Re{enieto {x} se dobiva so mno`ewe na inverznata matrica so vektorot na slobodni ~lenovi {b}. Pri toa se koristi funkcijata MMULT. Primer 5. Dadeniot sistem ravenki da se re{i so programot Mathcad.
Vektorot soln gi sodr`i re{enijata na sistemot ravenki koi se dobieni so pomo{ na funkcijata lsolve. Istiot sistem ravenki mo`e da se re{i preku inverznata matrica na sistemot na sledniot na~in:
Primer 6. Dadenite podatoci da se modeliraat so polinom od I, II i III red. Da se koristi programot EXCEL.
x -4 -3 -2 -1 0.5 1 2 3 4 y 1.321 -7.086 -1.1 -1.188 2.085 1.188 1.099 7.086 -1.321
M
3
1
1
1
3
1
1
1
3
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠:= v
5
6
7
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠:=
soln lsolve M v,( ):=
soln
0.7
1.2
1.7
⎛⎜⎜⎝
⎞
⎠=
t M( ) 1 v.
t
0.7
1.2
1.7
=
188 Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD
NUMERI^KI METODI
Vo Excel se formira tabela, se crta grafik so to~kite a potoa se vmetnuvaat trend linii pome|u to~kite vo forma na polinomi.
Vmetnuvawe na funkcija od I red po metodot na najmali kvadrati
y = 0.6584x + 0.1952
-8-6-4-202468
-6 -4 -2 0 2 4 6yLinear (y)
Vmetnuvawe na funkcija od II red po metodot na najmali kvadrati
y = -0.0372x2 + 0.6564x + 0.4441
-8-6-4-202468
-6 -4 -2 0 2 4 6
yPoly. (y)
Vmetnuvawe na funkcija od III red po metodot na najmali kvadrati
y = -0.1593x3 - 0.0178x2 + 2.5302x + 0.2124
-8-6-4-202468
-6 -4 -2 0 2 4 6
yPoly. (y)
Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD 189
NUMERI^KI METODI
Primer 7. So programot Mathcad, da se re{i diferencijalnata ravenka y’=2x2, so po~etni uslovi, x0=0, y0=2, za x∈[0,1], so ~ekor h=0.1. Vo mathcad ja koristime funkcijata rkfixed, koja go pretstavuva metodot na Runge-Kuta za numeri~ko re{avawe diferencijalni ravenki. Vektorot Z gi sodr`i re{enijata za funkcijata y za vrednosti na x vo granicite od 0 do 1.
Primer 8. Dadenite podatoci da se modeliraat so prava linija. Rezultatite da se pretstavat grafi~ki. So koristewe na programot EXCEL se formira tabela od dadenite vrednosti i se crta grafik. Potoa, vo grafikot pome|u dadenite vrednosti, se vmetnuva trend linija vo forma na prava linija (polinom od I red) so opcijata da se ispi{e funkcijata na grafikot.
x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 1 1.5 2.5 3 4 6
x0 0 y0 2
D x y,( ) 2 x2.
Z rkfixed y 0, 1, 10, D,( )
Z
012345678910
0 10 2
0.1 2.0010.2 2.0050.3 2.0180.4 2.0430.5 2.0830.6 2.1440.7 2.2290.8 2.3410.9 2.486
1 2.667
=
190 Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD
NUMERI^KI METODI
y = 0.8036x + 0.3036
01234567
0 2 4 6 8
y
Linear (y)
1
Primer 8. Dadenite podatoci da se modeliraat so prava linija vo forma:y= a0 + a1* x Rezultatite da se pretstavat grafi~ki. Zada~ata mo`e da se re{i so koristewe na funkcijata LINEST vo programot EXCEL. Se formira tabela od dadenite vrednosti i se crta grafik so to~ki. Potoa, se selektiraat dve prazni }elii vo eden red i se koristi funkcijata LINEST, koja pretstavuva vmetnuvawe na linearna funkcija pome|u dadenite to~ki. Parametrite vo ovaa funkcija se vektorot y, vektorot x, tretiot parametar e logi~ka promenliva TRUE , a ~etvrtiot parametar FALSE. Pri toa se dobiva vo prvata }elija koeficientot a1, a vo vtorata koeficientot a0.
x 1 1.5 2 3.5 4 5.5 6 y 0 2 3 3.5 5 4 4
y = 0.6594x + 0.8578
0123456
0 2 4 6 8
yLinear (y)
1.
0.659375 0.857812 LINEST(C5:I5,C4:I4,TRUE,FALSE)
a1 a0
Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD 191
NUMERI^KI METODI
Primer 9. Koristej}i go programot Mathcad, da se opredelat sopstvenite vrenosti i sopstvenite vektori na simetri~na kvadratna matrica [M].
2 M3.75
1.25
1.25
5.68
f eigenvals M( ) F eigenvecs M( )f3.136
6.294= F
0.898
0.441
0.441
0.898=
Se vnesuva matricata a potoa se koristat funkciite eigenvals za da se opredelat sopstvenite vrenosti i funkcijata eigenvecs za da se opredelat sopstvenite vektori na dadenata matrica. Primer 10. Koristej}i go programot Mathcad, da se opredelat sopstvenite vrenosti i sopstvenite vektori na simetri~na kvadratna matrica [A].
2
A
4.3
0.5
0.5
0.5
5.8
0.8
0.5
0.8
6
v eigenvals A( ) V eigenvecs A( )v
5.506
6.707
3.887
= V
0.504
0.659
0.557
0.021
0.655
0.756
0.863
0.369
0.344
=
Se vnesuva matricata a potoa se koristat funkciite eigenvals za da se opredelat sopstvenite vrenosti i funkcijata eigenvecs za da se opredelat sopstvenite vektori na dadenata matrica.
192 Re{avawe na zada~ite so programite EXCEL i MATHCAD
NUMERI^KI METODI
Primer 11. Koristej}i go metodot na Runge-Kuta, vo programot Mathcad, da se opredelat re{enijata na diferencijalnata ravenka y'=3x2-y, za dadeni po~etni uslovi, x0=0, y0=1, za x vo intervalot [0,0.5], so ~ekor h=0.1.
3 y0 1
D x y,( ) 3 x2. y
GG rkfixed y 0, 0.5, 5, D,( ) GG
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
0.906
0.826
0.766
0.728
0.717
=
Primer 12. Koristej}i go metodot na Runge-Kuta, vo programot Mathcad, da se opredelat re{enijata na diferencijalnata ravenka y'=y2-2x2, za dadeni po~etni uslovi, x0=0, y0=1, za x vo intervalot [0,1], so ~ekor h=0.2.
y0 13
D x y,( ) y2 2 x2.
Z rkfixedy 0, 1, 5, D,( )
Z
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
1.244
1.608
2.221
3.622
10.793
=
Zada~i 193
NUMERI^KI METODI
13. Zada~i Interpolacija Primer 1. Tabli~no e zadadena nekoja funkcija. Koristej}i ja formulata za linearna interpolacija, da se interpolira vrednost na funkcijata za x=2.2.
x 2 2,3 2,5 y 5,848 6,127 6,3
Primer 2. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz dadenite to~ki:
k 0 1 2 3 xk 0,0 1,0 2,0 4,0 yk 1,0 1,0 2,0 5,0
So zamena na ovie izrazi vo Lagran`oviot interpolacionen polinom od 3 red se dobiva funkcijata so koja e aproksimirana tabli~no zadadenata funkcija:
034,6y
)0,22,2(0,23,2848,5127,6848,5y
)yy(xx
xxyy k1kk1k
kk
=
−−−
+=
−−
−+= +
+
k k+1
2,2x =
5y;)24)(14)(04()2x)(1x)(0x(
)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(
)x(L
2y;)42)(12)(02()4x)(1x)(0x(
)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(
)x(L
1y;)41)(21)(01()4x)(2x)(0x(
)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(
)x(L
1y;)40)(20)(10()4x)(2x)(1x(
)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(
)x(L
3231303
2103
2321202
3102
1312101
3201
0302010
3210
=−−−−−−
=−−−
−−−=
=−−−−−−
=−−−
−−−=
=−−−−−−
=−−−
−−−=
=−−−−−−
=−−−
−−−=
)12x8x9x(121)x(P
)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P
23
33221100
+−+−=
+++=
194 Zada~i
NUMERI^KI METODI
Primer 3. Dadena e slednava tabela:
k 0 1 2 3 xk 1,0 2,0 5,0 9,0 yk 1,0 3,0 6,0 10,0
Da se interpolira vrednost na funkcijata so polinom od treti red za x=6,0.
Primer 4. Da se najde empiriska formula za funkcijata f(x) zadadena so slednava tabela.
i x Y ∆y ∆2y ∆3y 0 0 -3.0 3.7 -0.6 0 1 1 0.7 3.1 -0.6 0 2 2 3.8 2.5 -0.6 0 3 3 6.3 1.9 -0.6 4 4 8.2 1.3 5 5 9.5
h=1.0
)xx()xx(h!2y
)xx(h!1
yy)x(P 102
02
00
0 −⋅−⋅
∆+−
⋅∆
+=
)1x()0x(1126.0)0x(
17.33)x(P 2 −⋅−
⋅⋅−
+−+−=
22 x3.0x43x3.0x3.0x7.33)x(P −⋅+−=+−+−=
625,656510
456)
75(3
831)0,6(P
10y;565)0,6(L;
)59)(29)(19()56)(26)(16()x(L
6y;45)0,6(L;
)95)(25)(15()96)(26)(16()x(L
3y;75)0,6(L;
)92)(52)(12()96)(56)(16()x(L
1y;83)0,6(L;
)91)(51)(21()96)(56)(26()x(L
333
222
111
000
=⋅+⋅+−⋅+⋅=
==−−−−−−
=
==−−−−−−
=
=−=−−−−−−
=
==−−−−−−
=
x=0.55 x=1.25
Zada~i 195
NUMERI^KI METODI
Ako se bara vrednost na funkcijata za x=0.55, za x0 se zema najbliskata vrednost za x vo tabelata, a toa e x0=0, y0=-3,0, x1=1, ∆y0=3.7, ∆2y0=-0.6. Ako zamenime vo Wutnovata interpolaciona formula, }e dobieme: P(0.55)=?
Za x=1.25 najbliska to~ka od tabelata e to~kata i=1 i za nea gi zemame, x0=1, y0=0.7, ∆y0=3.1, ∆2y0=-0.6, a slednata to~ka e x1=2
Primer 5. Koristej}i ja tabelata od zada~a 1 da se opredeli vrednost na funkcijata f(x) za x=1.25, koristej}i go Lagran`oviot interpolacionen polinom od 2 red.
Po~etna to~ka e vtorata to~ka od tabelata kako najbliska prethodna to~ka na to~kata so apscisa x=1.25. Zna~i, x0=1, x1=2, x2=3.
)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P 221100 ++=
891.0)155.0()055.0(2
6.0)055.0(17.33)55.0(P −=−⋅−
−+−+−=
531.1)225.1()125.1(2
6.0)125.1(11.37.0)55.0(P =−⋅−
−+−+=
5312.13.609375.08.34375.07.065625.0)x(P
3.6y;09375.0)23)(13(
)2x)(125.1()x(L
8.3y;4375.0)32)(12(
)3x)(125.1()x(L
7.0y;65625.0)31)(21(
)3x)(225.1()x(L
02
01
00
=⋅−⋅+⋅=
=−=−−
−−=
==−−
−−=
==−−
−−=
196 Zada~i
NUMERI^KI METODI
Numeri~ko diferencirawe Primer 6. tabli~no e zadadena nekoja funkcija so ~ekor h=0.1. Znaej}i deka taa e diferencijabilna vo dadeniot interval, da se presmeta prviot izvod za x=3.5 i za x=3.57.
i x y(x)=log(x) ∆y ∆2y 0 3.5 0.5441 0.0122 -0.0003 1 3.6 0.5563 0.0119 -0.0003 2 3.7 0.5682 0.0116 -0.0003 3 3.8 0.5798 0.0113 4 3.9 0.5911
Za f ’(3.57) ja koristime formulata:
Koga se bara izvod na nekoja funkcija za vrednost na argumentot {to se nao|a nazad vo dadenata tabela, toga{ se primenuva interpolacionata formula na Wutn za interpolacija nazad. Primer 7. Tabelarno se dadeni vrednostite na funkcijata
y(x)= x za 7 argumenti so ~ekor h=0.05.
i x y(x)= x ∆y ∆2y ∆3y 0 1.00 1.00000 0.02470 -0.00059 0.00005 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00054 0.00004 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00050 0.00002 3 1.15 1.07238 0.02307 -0.00048 0.00003
1235.0)]0003.0(210122.0[
1.01)5.3('y
]y21y[
h1)5.3('f 0
20
=−−=
∆−∆=
1214.0)]0003.0(2
17.020122.0[1.0
1)57.3('y
7.01.0/)5.357.3(u
....]y6
2u6u3y2
1u2y[h1)x('f 0
32
02
0
=−−⋅
−=
=−=
+∆+−
+∆−
+∆=
Zada~i 197
NUMERI^KI METODI
4 1.20 1.09544 0.02259 -0.00045 5 1.25 1.11803 0.02214 6 1.30 1.14017
Da se opredelat izvodite vo to~ka k=0, odnosno x0=1.0, so pomo{ na formulite za diferencirawe dobieni od Wutnoviot interpolacionen polinom napred.
To~nite rezultati se :
Od primerot se zaklu~uva deka gre{kite se zna~itelni. Primer 8: Dadena e funkcijata y=sinx. Da se aproksimira vrednosta y’ i y’’ za x=π/8, koristej}i gi kone~nite razliki od prv i vtor red, so ~ekor h=π/16.
To~no re{enie: y=sinx; y’=cosx ; y’(π/8)=cos(π/8)=0.9238795
i i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 x 0 π/16 2π/16 3π/16 4π/16 5π/16 y 0 0.19509 0.38268 0.55557 0.70710 0.831469
4.0]00005.0[05.01)0.1('''y
256.0]00005.000059.0[05.01)0.1(''y
50024.0]000017.0000295.002470.0[05.01)0.1('y
3
2
==
−=−−=
=++=
375.0)0.1('''y25.0)0.1(''y
5.0)0.1('yx)x(y
=−=
==
0.91795450.1950903)5555702.0(
162
1h2
yyy 1i1i
1'i =−
π⋅
=−
≈∆≡ −+
3814552.0-
0.1950903)0.3826834*25555702.0()
16(
1h
yy2yy2
21ii1i
2''i
=
=+−π
=+−
≈∆≡ −+
198 Zada~i
NUMERI^KI METODI
To~no re{enie: y=sinx; y’=cosx ; y’’=-sinx ; y’’(π/8)=-sin(π/8)=-0.3826834 Integracija
Primer 9. Da se presmeta integralot ∫1
4.0
x
dxxe
so pomo{ na trapeznoto
pravilo, so ~ekor h=0.1.
k xk exk yk=exk/xk 0 0.4 1.4918 3.7295 1 0.5 1.6487 3.2954 2 0.6 1.8221 3.0368 3 0.7 2.0138 2.8734 4 0.8 2.2255 2.7819 5 0.9 2.4596 2.7288 6 1.0 2.7183 2.7183
7163.14y5
1k =∑
79402.1)7183.27163.1427295.3(1.021)yy2y(1.0
21
]y)yyyyy(2y[h21dx
xe
6
5
1k0
6543210
1
4.0
x
=+⋅+=+∑+=
=++++++=∫
Primer 10. Integralot od primer 1 da se presmeta so Simpsonovata formula.
78919.1]7183.28178.528976.847295.3[31.0
]y)yy(2)yyy(4y[31.0
]yy4y2y4y2y4y[3hdx
xe
6425310
6543210
1
4.0
x
=+⋅+⋅+=
=++++++=
=++++++=∫
Zada~i 199
NUMERI^KI METODI
Primer 11. Da se presmeta ∫π 2/
0dx)xsin( koristej}i gi vrednostite na
funkcijata dadeni vo tabelata. Pritoa da se koristat: a) op{tata integraciona formula dobiena od Wutnoviot
interpolacionen polinom, b) trapeznoto pravilo, v) Simpsonovoto pravilo
Dobienite rezultati da se sporedat so to~noto re{enie koe iznesuva 1.00. a) So primena na ravenkata dobiena od Wutnoviot interpolacionen
polinom za n=6:
1.0000041.0)410.965932160.8660327
0.707112720.5270.258822160.041(12140
1dx)xsin(2/
0
=⋅+⋅++⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅π
=∫π
b) Primena na trapeznoto pravilo:
994285.059578.71309.0
]0.1)96593.086603.070711.05.025882.0(20[122
1dx)xsin(2/
0
=⋅=
=+++++⋅+π
=∫π
v) So primena na Simpsonovata formula:
00003.14595.11087266.0
]0.1)86603.05.0(2)96593.070711.025882.0(40[123
1dx)xsin(2/
0
=⋅=
=+++++⋅+π
=∫π
Od rezultatite se gleda deka najto~na e integracijata sprovedena so ravenkata pod a). Primer 12. So Gausovata integraciona formula za dve Gausovi to~ki, da se opredeli vrednosta na integralot:
∫ ⋅+++=∫+
−
+
−
1
1
231
1dz)1zzz(dz)z(f
x 0 π/12 2π/12 3π/12 4π/12 5π/12 6π/12 sin(x) 0 0.2588 0.5 0.70711 0.86603 0.96593 1.00
200 Zada~i
NUMERI^KI METODI
Od prethodnata tabela za 2 Gausovi to~ki se ot~ituvaat vrednostite za zk i Wk:
69133103.2)57735027.0(f97532563.0)57735027.0(f
)57735027.0(f0.1)57735027.0(f0.1)z(fWdz)z(f2
1kkk
1
1
=−=
−⋅+⋅=∑ ⋅=∫=
+
−
66666666.2dz)1zzz(1
1
23 =∫ ⋅++++
−
{to se poklopuva so to~noto re{enie. Primer 13. Da se primeni Gausovata integraciona formula so pet to~ki za presmetuvawe na integralot:
∫=2
1 xdxI ; to~no te{enie: ln(x)⏐ =0.693 147 18
Vr{ime transformacija na promenlivata 1≤ x ≤ 2 vo promenliva -1≤ z ≤ 1.
2dzdx;dx2dz;3x2
1212x2
)ab()ab(x2z ==−=
−−−
=−
+−=
Potoa ja transformirame funkcijata f(x) vo F(z):
Presmetuvaweto po Gausovata formula so 5 Gausovi to~ki e dadeno vo slednava tabela:
k
zk
Wk
F(zk)=1/(zk+3)
Wk.f(zk)
1 -0.906 179 85 0.236 926 89 0.477 595 93 0.113 155 29 2 -0.538 469 31 0.478 628 67 0.406 251 28 0.194 443 51 3 0. 0.568 888 89 0.333 333 33 0.189 629 62 4 0.538 469 31 0.478 628 67 0.282 608 08 0.135 264 33 5 0.906 179 85 0.236 926 89 0.256 004 60 0.060 654 37
∑ ⋅=
2
1kkk )z(fW
0.693 147 12
Dobienoto re{enie so 5 Gausovi to~ki e to~no do 6-tiot decimal.
2
1
dz3z
12dz
3z2
xdx
3z2
12)12(z2
2ab)ab(z
1)z(F;x1)x(f
1
1
1
1
2
1∫
+=∫
+=∫
+=
++−=
++−==
+
−
+
−
Zada~i 201
NUMERI^KI METODI
Primer 14. Koristej}i ja Gausovata formula za integracija so 2 i so 3 Gausovi to~ki, da se proceni vrednosta na integralot za koj to~noto re{enie iznesuva:
2)11()0cos(cos)xcos(dx)xsin(F0
0=−−−=−π−=−=∫= ππ
Pritoa da se koristi formata na Gausovata formula vo koja ne se vr{i transformacija na funkcijata f(x) vo F(z). So dve Gausovi to~ki:
9358.1261619.02
)]2
)0()0(57735.0sin(0.1)2
)0()0(57735.0sin(0.1[2
0F
)2
ab)ab(z(fW
2abdx)x(f k
n
1kk
b
a
=⋅π
=
=+π+−π
⋅++π+−π−
⋅−π
≈
++−⋅
−≈ ∑∫
=
So tri Gausovi to~ki:
001389.2)]2
774596.0sin(55555.0
)0sin(88888.0)2
774596.0sin(55555.0[2
F
=π+π
⋅
+⋅+π+π−
⋅π
≈
Primer 15. So pomo{ na trapeznoto pravilo da se proceni
integralot ∫ +2
0dx1x . Funkcijata da se tabelira vo dadeniot
interval so ~ekor h=0.5.
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 y 1 1.22 1.414 1.58 1.73
7895.2]73.1)58.1414.122.1(21[25.0dx1x
2
0=++++≈∫ +
Primer 16. Da se interpolira polinom koj minuva niz dadenite to~ki. Pritoa da se koristi Wutnoviot interpolacionen polinom napred.
x -1 1 3 5 y 3 3 27 75
202 Zada~i
NUMERI^KI METODI
Potoa da se opredeli povr{inata zafatena od interpoliraniot polinom vo granicite od -1,0 do 5,0 i apscisnata oska, i toa so pomo{ na Simpsonovoto pravilo za 6 intervali i so Gausovata formula so 3 Gausovi to~ki. Rezultatot da se sporedi so to~noto re{enie dobieno so direktna integracija.
i x y ∆y ∆2y ∆3y 0 -1 3 0 24 0 1 1 3 24 24 2 3 27 48 3 5 75
22
21030
3
1020
2
00
0
x3)1x()1x(22
2403)x(P
....)xx()xx()xx(h!3y
)xx()xx(h!2y
)xx(h!1
yy)x(P
=−⋅+⋅
++=
+−⋅−⋅−⋅
∆+
+−⋅−⋅
∆+−
⋅∆
+=
Direktna integracija: 1263x3dxx3 5
1
35
1
2 =≈∫ −−
to~no re{enie.
- So pomo{ na Simpsonovata formula so 6 intervali.
Funkcijata (polinomot) se tabelira vo granicite od -1.0 do 5.0 so ~ekor
h=[5-(-1)]/6, h=6/6=1,0:
126]75)273(2)48120(43[
31
]y)yy(2)yyy(4y[3hdxx3 6425310
5
1
2
=++++++=
=++++++≈∫−
- So Gausova formula za integracija za 3 Gausovi to~ki:
i 0 1 2 3 4 5 6 x -1 0 1 2 3 4 5 y 3 0 3 12 27 48 75
Zada~i 203
NUMERI^KI METODI
)x(fWdx)x(f k
n
1kk
b
a⋅∑≈∫
=
∫ ⋅++=∫
++=+==
==−
=
+=+
=
−=
+−−
=−
+−=
−−
1
1
21
1
222
dz3)4z12z9(3dz)z(F
)4z12z9(3)2z3(3x3)x(P
dz3dz26dz
2)ab(dx
2z32
4z6x
64x2
)15()15(x2
)ab()ab(x2z
n k zk wk F(zk) F(z).wk 3 1 -0.774 596 67 0.555 555 56 0.9435585 0.5291991 2 0 0.888 888 89 36 31.99999 3 0.774 596 67 0.555 555 56 168.25642 93.475782 Σ 126
Recommended