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EFFORTS DANS LES TRANSMISSIONS
Pierre Duysinx
Aérospatiale & Mécanique
Année académique 2021-2022
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PLAN DE L’EXPOSE
Introduction
Principe
Rhéogramme des puissances
Efforts dans les engrenages– Engrenages à dentures droites– Engrenages à denture hélicoïdales– Engrenages à dentures coniques
Efforts dans les transmissions par courroie et poulies
Efforts dans les transmissions par chaînes
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INTRODUCTION
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INTRODUCTION
Le premier problème qui se pose en dimensionnement est le recensement des efforts.
– Les efforts peuvent être une donnée du problème, fondée sur une analyse statistique par exemple.
– Dans un certain nombre de cas, ils font l'objet de règlements.
Nous nous pencherons plus particulièrement sur le recensement des efforts dans une transmission.
– Envisager un certain nombre d'éléments courants en mécanique.
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PRINCIPE
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PRINCIPE
La première démarche consiste à déterminer le schéma de la circulation de la puissance.
Identifier efforts actifs, c'est-à-dire ceux qui travaillent.
La plupart des transmissions ne peuvent exister que moyennant des efforts secondaires, induisant de la flexion et parfois aussi des efforts axiaux.
– Contrairement à leur dénomination, ces efforts ne sont pas nécessairement plus petits que les efforts actifs.
– Ils jouent souvent un rôle fondamental dans la résistance de l'arbre et de ses supports.
– La détermination des efforts secondaires fait l'objet d'une deuxième étape de calcul
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RHEOGRAMME DE LA PUISSANCE
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RHEOGRAMME DE PUISSANCE
La puissance fournie par le ou les organes moteurs et actionneurs est amenée aux organes récepteurs par la transmission
La transmission peut se réaliser au prix de certaines pertes.
Le rendement de transmission
Dans un grand nombre de transmissions, les pertes sont faibles de sorte qu’on peut les ignorer au stade de l’avant projet
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RHEOGRAMME DE PUISSANCE
Le rhéogramme de la puissance est le schéma des flux de puissance au sein du système mécanique.
En pratique on peut remonter de chaque récepteur vers son générateur pour établir le chemin pris par la puissance.
L'ensemble des chemins de tous les récepteurs forme dans ce cas un circuit maillé
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RHEOGRAMME DE PUISSANCE
A partir du rhéogramme, il est aisé de déterminer les efforts moteurs Q (au sens généralisé), car la puissance P est toujours de la forme
– v est une vitesse généralisée
– Q est l'effort actif associé.
En pratique, on rencontre des vitesses de translation pour lesquelles la formule s'applique sans modification, et des vitesses de rotation, pour lesquelles la formule doit s'entendre comme
– avec un couple C=Mt multipliant une vitesse angulaire w (en radians par secondes) et N la vitesse de rotation correspondante exprimée en tours par seconde [tr/s]
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EXEMPLE 1: REDUCTEUR A ENGRENAGES
Un réducteur est destiné à transformer une puissance à grande vitesse de rotation wm en une puissance à faible vitesse de rotation wr.
Le réducteur à engrenages possède deux étages.
Le rendement des engrenages est élevé 98%, ce qui permet de négliger les pertes. 11
EXEMPLE 1: REDUCTEUR A ENGRENAGES
Exemple de réducteur à étage d’une boîte de vitesses pour automobile
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EXEMPLE 1: REDUCTEUR A ENGRENAGES
Les couples en entrée et en sortie sont donnés par
Le couple de sortie est plus important que le couple d’entrée
La différence doit être reprise par les réactions de liaison du réducteur (bâti) à la fondation!
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EXEMPLE 1: REDUCTEUR A ENGRENAGES
La puissance passe de l'entrée au point A par l'arbre moteur.
Elle passe alors par les roues dentées sur l'arbre intermédiaire, ou elle fait le chemin DE.
P passe par la seconde paire engrenages à l'arbre récepteur, ou elle fait le chemin de H vers la sortie.
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EXEMPLE 1: REDUCTEUR A ENGRENAGES
On en déduit les moments de torsion dans les différentes tronçons d'arbres.
Il est clair que le moment de torsion est nul dans les portions d'arbre AB, CD, EF, GH puisque le couple y est nul.
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EXEMPLE 1: REDUCTEUR A ENGRENAGES
Grâce à la présence de dents, les engrenages sont comme des cylindres qui roulent l’un sur l’autre sans glisser
Diamètres primitifs des cylindres équivalents d01 et d02.
Vitesse commune au point de contact
Soit le rapport de réduction
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EXEMPLE 1: REDUCTEUR A ENGRENAGES
Deux roues peuvent s’engrener si elles ont le même pas:
– Avec Z le nombre de dents sur la roue
Le pas est difficile à mesurer, c’est un nombre irrationnel. On préfère manipuler des choses mesurables comme le diamètre. On définit donc le module:
– Ce sont les modules qui sont normalisés
Comme les deux roues dentées ont même module, on en déduit aussi
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EXEMPLE 1: REDUCTEUR A ENGRENAGES
On peut tout aussi aisément déduire les efforts actifs dans les engrenages.
La roue motrice fournit la puissance P
Q est la composante tangentielle de l’effort d’interaction entre les deux roues
C’est l’effort actif. Il est accompagné d’efforts secondaires.
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EXEMPLE 2: DISTRIBUTION DE PUISSANCE PAR COURROIE
Considérons la distribution de puissance aux auxiliaires d'un moteur à combustion interne, soit la pompe à eau et le ventilateur d'une part, l'alternateur d'autre part
On utilise un courroie trapézoïdale
On suppose que l’alternateur tourne 1.8 fois plus vite que le moteur et la pompe à eau 1.5 fois plus vite
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alternateur
Pompe à eau
Moteur
EXEMPLE 2: DISTRIBUTION DE PUISSANCE PAR COURROIE
La caractéristique d'une courroie est de transmettre (au rendement près) sa vitesse tangentielle aux poulies.
De sorte que les diamètres doivent être dans le rapport inverse des vitesses angulaires :
Le bilan des puissances
Si, par exemple, l'alternateur consomme 230 W et le groupe pompe-ventilateur, 500 W, on aura donc
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EXEMPLE 2: DISTRIBUTION DE PUISSANCE PAR COURROIE
Calculons les efforts actifs.
On appelle effort actif d'une courroie sur une poulie le rapport:
C'est la charge concentrée à la jante de la poulie qui fournirait la même puissance ou encore, la somme de tous les efforts tangentiels fournis par la courroie à la poulie.
Si la vitesse de la courroie vaut 30 m/s, on aura
Dans tout ceci, nous assimilons le rendement à l'unité. En pratique, il se situe aux environs de 96 à 98%
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
Un engrenage est un système dans lequel deux roues dentées engrènent entre elles.
On appelle pignon la petite roue dentée, l'autre étant simplement dénommée la roue.
Affectons l’indice 1 les grandeurs relatives au pignon et d'un indice 2les grandeurs relatives à la roue.
L'effet des dents est d'amener les circonférences primitives à rouler sans glisser l'une sur l'autre.
Leur vitesse commune v au point de contact est donc
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
Pour que les dents d'une des deux roues puissent entrer et sortir des entredents de la roue conjuguée, il faut évidemment qu'elles aient des profils adaptés appelés profils conjugués.
Au point de contact, le profil de la dent a sa normale inclinée d'un angle a par rapport à la tangente au cercle passant par ce point de contact. Cet angle est appelé angle de pression.
L'angle de pression reste constant tout au long de l'engrènement.
Cet angle est normalisé à la valeur
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
Si l'on néglige les frottements, l'action de la roue menante sur la roue menée est située sur la normale commune aux deux profils. On a donc
– Force tangentielle Ft:
– Force radiale Fr (tend à repousser les deux roues):
Pour un angle de pression 20°, la tangente vaut 0.36, ce qui signifie que l'effort secondaire Fr vaut 36% de l'effort actif Ft.
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
En se référant à la Figure ci contre, les forces ci-dessus induisent les sollicitations suivantes pour l'arbre :
– Moment de torsion
– Flexion dans le plan xOz, sous l'effet de l'effort tranchant Ft;
– Flexion dans le plan yOz, sous l'effet de l'effort tranchant Fr.
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
Pour accroître le silence de fonctionnement, améliorer la régularité de fonctionnement, on préfère souvent recourir à des dentures hélicoïdales
Les dents sont inclinées d’un angle b par rapport à la génératrice du cylindre primitif.
Cet angle prend une valeur entre 8° et 30°, typiquement 10°
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
Dans le plan normal à la denture, la force normale à la denture Fn donne lieu à une composante radiale Fr et une composante dans le plan tangent T. On a donc
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
Mais du fait de l'angle d'hélice b, la force tangentielle T se décompose elle-même en une composante active Q et une force axiale Fa. On a donc
L'effort productif Q est quant à lui donné par la puissance à transmettre
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
Il vient donc
30Sens des poussées
EFFORTS SECONDAIRES DANS LES ENGRENAGES
En définitive, tout se déduit de la puissance à transmettre et de l'effort productif Q:
Les efforts de denture soumettent l’arbre à :
– un moment de torsion Mt
– une flexion dans le plan xOz, due aux efforts Fr et Fa
– une flexion dans le plan yOz, due à l'effort Q
– un effort axial Fa qui devra être repris par une butée.
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EFFORTS SECONDAIRES DANS
LES ENGRENAGES CONIQUES DROITS
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ENGRENAGES CONIQUES A DENTURE DROITE
Nous nous limiterons au cas courant de l'engrenage entre deux arbres perpendiculaires.
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ENGRENAGES CONIQUES A DENTURE DROITE
Les deux demi-angles au sommet des cônes, d1 et d2 et les diamètres des engrenages sont liées
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ENGRENAGES CONIQUES A DENTURE DROITE
Ceci implique en notant par Z le nombre de dents sur les roues
La force active
La composante normale à la ligne OA dans le plan BAC vaut
– Où a (=20) est l’angle de pression dans le plan normal à la denture
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ENGRENAGES CONIQUES A DENTURE DROITE
La force normale à la denture
se décompose en une force axiale et une force radiale pour chacun des axes des engrenages
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FnFr1
Fa2
EFFORTS SECONDAIRES DANS LES COURROIES
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES COURROIES
Géométrie d'une transmission classique par courroie sans tendeur
L'arc sur lequel la courroie s'enroule sur la jante d'une poulie s'appelle l'arc embrassé.
Si la tension de la courroie soit suffisante, la courroie suit la tangente commune aux deux poulies. Ces parties de la courroie qui sont en l'air sont appelés les brins.
La distance EA entre les axes des deux poulies est appelée l'entraxe.
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES COURROIES
LONGUEUR DE LA COURROIE
Soit
La Figure montre que
Angles embrassés
La longueur de la courroie est donnée par
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RAPPORT DE REDUCTION IDEAL
Le moteur développe sur la poulie 1 une puissance P1, un couple C1 et une vitesse de rotation W1 = N1 2p/60.
L'organe récepteur absorbe une puissance P2, un couple C2 et tourne à une vitesse W2 = N2 2p/60.
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RAPPORT DE REDUCTION IDEAL
Pour une transmission idéale sans perte
On en tire le rapport de réduction idéal i
La conservation de la vitesse tangentielle de la courroie v donne
On en tire l’expression du rapport de réduction idéal
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES COURROIES
Une transmission par courroie ne peut pas être intrinsèquement homocinétique pour trois raisons:
– L'élasticité relative de la courroie autorise celle-ci à s'allonger selon l'intensité des tensions de fonctionnement;
– Le contact de la courroie sur la poulie sans obstacle n'exclut pas le glissement d'ensemble, toujours possible lors d'une surcharge;
– La courroie rampe le long de son contact curviligne avec chacune des deux poulies. Ce phénomène qui se décrit au moment du traitement de l'équilibre de la courroie le long des jantes des poulies conduit à une glissement systémique pouvant faire varier de 2% le rapport de transmission.
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EFFORTS PERIPHERIQUES
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Soit C2 le couple résistant délivré par la poulie motrice 2. Pendant la transmission, le brin supérieur est tendu (tension T) tandis que le brin inférieur est mou (tension t)
En régime établi, l'équation d'équilibre des moments autour de l'axe de la poulie 2
Soit
EFFORTS PERIPHERIQUES
De même sur la poulie motrice 1
Effort périphérique équivalent
Les couples C1 et C2 s'obtiennent à partir de la puissance P à transmettre:
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EFFORTS PERIPHERIQUES
Pour déterminer T et t, les tensions respectivement dans les brins tendus et mous, on dispose d'un système de deux équations:
– la première est issue de l'expression de la puissance transmise
– la seconde résulte l'équilibre dynamique d'un élément de courroie. ➔ équation d'Euler.
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EFFORTS PERIPHERIQUES
L’équation d’Euler est issue de l'équilibre dynamique d'un élément de courroie. L'équilibre d'un élément de courroie de longueur R dq est représenté à la Figure suivante. La vitesse linéaire de la courroie le long de la jante est v.
L'équilibre radial s'écrit:
Tandis que l’équilibre circonférentiel donne:
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EFFORTS PERIPHERIQUES
Soit m' la masse linéique de la courroie, les forces centrifuges s'écrivent:
On peut également négliger les termes d'ordre supérieur
et linéariser les fonctions sinus et cosinus.
Il vient
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EFFORTS PERIPHERIQUES
Après simplification, on trouve
Il faut maintenant écrire la condition de liaison entre la pression de contact p entre la courroie et la jante et la force de frottement q qui s'y développe. On note par µ le coefficient de frottement entre la poulie et la courroie.
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EFFORTS PERIPHERIQUES
En utilisant les deux équations d'équilibre précédentes, on peut écrire
Dénotons par , la traction amputée de la composante centrifuge:
Il vient
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EFFORTS PERIPHERIQUES
En prenant en compte les conditions limites et en intégrant, il vient
Et à la fin de l’arc d’embrassement
Si la transmission travaille à la limite du glissement, l'inégalité se transforme en égalité et l'équilibre radial et tangentiel du morceau de courroie permet d’écrire l’équation d’Euler qui lie les tensions dans les brins tendus et mous.
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EFFORTS PERIPHERIQUES
La première composante, appelée tension centrifuge, est liée aux forces centrifuges et à la vitesse de défilement v.
– Elle est indépendante des rayons des poulies.
– Cette tension nait tout au long de la courroie et ne produit aucun effort de transmission.
Les tensions productives moyennes:
Sont celles qui produisent l'effort Q lié à la transmission de couple et de puissance.
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EFFORTS PERIPHERIQUES
Soit T0 la moyenne des tensions productive des brins tendus et mous.
Calculons le ratio entre l'effort périphérique Q à la valeur moyenne des tensions productive.
Soit
On en conclut que pour qu'il y ait un effort non nul et donc un couple transmis, il est impératif d'avoir une tension initiale supérieure à zéro.
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TENSION DE POSE (TENSION INITIALE)
L'existence des tensions de fonctionnement T et t est due à celle d'une tension initiale Ti appliquée à l'arrêt. Cette tension de pose donne naissance aux actions de contact initiales entre la poulie et la courroie nécessaire à l'entraînement sans glissement.
Une approche élémentaire consiste à appliquer une tension de pose suite à la mise en place d'un dispositif de mise sous tension initiale qui procède généralement de l'imposition d'une allongement initial de la courroie, on a
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TENSION DE POSE (TENSION INITIALE)
Ceci signifie que la tension de pose étant fixée, la tension productive moyenne va diminuer d'autant plus vite que la vitesse est grande.
L'effort tangentiel va donc aussi diminuer en conséquence:
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EFFORTS TRANSMIS AUX ARBRES
L'interaction entre la poulie et la courroie est déterminé par les efforts à l'arrêt.
Dans le cas d'une poulie motrice,
– La composante de l'effort transmis
à l'arbre le long de la ligne des centres
– La composante perpendiculaire
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EFFORTS TRANSMIS AUX ARBRES
On remarque que comme la tension moyenne
diminue avec la vitesse, il en est de même avec la force F1.
On notera aussi que cette force F1 est en général nettement plus grande que l'effort actif Q.
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CAS DES COURROIES TRAPEZOIDALES
Le cas des courroies trapézoïdales peut se déduire assez facilement des formules développées pour les courroies plates.
Désignons par dN la réaction normale
de la poulie sur l'élément Rdq.
dN est la résultante des réactions dN’
normales aux parois de la gorge.
La force de frottement à la paroi
La force de frottement totale sur l’élément de jante
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CAS DES COURROIES TRAPEZOIDALES
Coefficient de friction apparent µ’:
La formule d'EULER est donc applicable au cas des courroies à profil trapézoïdal, à condition d'introduire le coefficient de frottement apparent en lieu et place du coefficient de frottement réel matière à matière.
En pratique l'angle de la gorge de la poulie d est de l'ordre de 34°, ce qui donne:
Ce terme conduit à des facteurs de l'ordre de 20, ce qui mène à des accroissements considérables des performances.
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EFFORTS SECONDAIRES DANS LES TRANSMISSIONS
PAR CHAINE
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TRANSMISSION PAR CHAINE
Dans les transmissions par chaîne à rouleaux, les rouleaux transmettent l'effort à la roue dentée avec une certaine obliquité g égale au demi-angle de la dent.
Cette obliquité est de l'ordre de 15° à 19°
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TRANSMISSION PAR CHAINE
Si b est l'angle entre deux maillons, on a donc, les relations suivantes:
La seconde équation donne
En insérant dans la première relation
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TRANSMISSION PAR CHAINE
Comme la relation se répète de maillon en maillon, après n maillons, on a
Calculons le nombre de maillons.
Si Z est le nombre de dents sur la roue dentée, un maillon occupe le secteur angulaire
Si W est l’arc embrassé par la chaîne sur la roue, le nombre de dents en prise est la valeur entière de
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TRANSMISSION PAR CHAINE
L'effort au brin mou t est donc relié à l'effort du brin tendu T=N0 par la relation:
Ainsi pour un angle d’obliquité g = 15° et une nombre de dent Z=17, on trouve
Et
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TRANSMISSION PAR CHAINE
Pour un arc embrassé de 180°, le nombre de dents en prise est
On obtient
L'effort dans le brin mou est donc négligeable et on peut écrire sans grande erreur
L'effort sur l'axe est dès lors approximativement égal à l'effort actif Q, dans la direction du brin tendu. C'est là l'avantage des chaînes sur les courroies : à effort actif égal, elles soumettent l'arbre à des efforts bien moindres.
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TRANSMISSION PAR CHAINE
Il existe cependant un inconvénient aux transmissions par chaînes. Il s'agit de l'effet de polygone.
La vitesse du brin tendu n’est pas identique selon les configurations envisagées.
La transmission du mouvement n'est donc pas parfaitement régulière, on dit homocinétique. Cet effet s'accentue pour les roues à faible nombre de dents (b grand).
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TRANSMISSION PAR COURROIES CRANTEES
Les courroies crantées s'apparentent aux chaînes pour la transmission de l'effort, avec g=20° … 25°.
Elles n'ont pas d'effet de polygone.
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