Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do - nuce.vn · Để xác định các dạng dao...

Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do

2.1. Khái niệm về ma trận cứng và ma trận mềm

Xét hệ dầm chịu các lực P1, P2, ..., Pn như hình vẽ:

Chuyển vị tại vị trí Pk do riêng Pm=1 gây ra ký hiệu: ��

Ta có chuyển vị tại vị trí k được xác định như sau:

Với k=1, 2, 3,..., n ta có:

Viết dưới dạng ma trận:

Hay: {Y}=[F].{P}

Trong đó:

{Y} – Véc tơ chuyển vị

{P} – Véc tơ tải trọng tác dụng

[F] – Ma trận độ mềm. Các phần tử của ma trận độ mềm là ��.Vì �� �� nên ma trận độ mềm là ma trận đối xứng.

Tương tự ta cũng có thể viết:

Hay: {P}=[K].{Y}

Trong đó [K] là ma trận độ cứng.

Ma trận độ cứng [K]:

Trong đó: �� là các hệ số độ cứng, là lực tương ứng ở vị trí k dochuyển vị cưỡng bức bằng đơn vị tại vị trí m gây ra. Ta cũng có:

�� �� vì vậy [K] cũng là ma trận đối xứng.

Quan hệ giữa ma trận độ cứng và ma trận độ mềm:�� ��

Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do

2.2. Phương trình vi phân dao động hệ hữu hạn bậc tự do (theo phương pháp tĩnh)

Xét hệ dầm như hình vẽ:

Hệ có n khối lượng tập trung

Hệ chịu tác dụng của các tải trọng động P1(t), P2(t), ...., Pn(t)

Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm khi dao động

Mỗi vị trí của khối lượng được xác định theo 1 thông số là chuyển vịtheo phương đứng. Vậy hệ có n bậc tự do.

Xét trường hợp không kể tới lực cản

Phương trình cân bằng lực theo nguyên lý Đalămbe:

Trong đó:

Như vậy:

Thay k=1, 2, 3, ... ,n ta được:

Viết dưới dạng ma trận:

Đặt:

[M] – Ma trận khối lượng

[K] – Ma trận độ cứng

Ta có:

Phương trình vi phân dao động của hệ n bậc tự do không kể tới lực cản.

Xét trường hợp có kể tới lực cản

Phương trình dao động:

Trong đó [C] là ma trận cản (hay ma trận tắt dần). là véc tơ tốc độ.

ckm gọi là các hệ số tắt dần, là lực tương đương với tọa độ k do tốc độchuyển dịch đơn vị tại tọa độ m gây ra.

Điều kiện cân bằng tĩnh học của hệ:

Lực quán tính, lực cản, lực đàn hồi tính như sau:

Ta có thể viết phương trình thứ k dạng thuận như sau:

Hoặc ta có thể viết phương trình thứ k dạng nghịch như sau:

Hay:

Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do

2.3. Xác định tần số dao động riêng hệ hữu hạn bậc tự do

Xét hệ không tính đến ảnh hưởng của lực cản

Phương trình vi phân dao động tự do được suy ra từ phươngtrình tổng quát trong đó ma trận tắt dần và véc tơ tải trọng bằngkhông.

Dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do cũng được xem là daođộng điều hòa đơn giản:

Lấy đạo hàm bậc 2 ta được gia tốc dao động tự do:

Thế và vào phương trình vi phân của dao độngtự do:

Suy ra:

Để tồn tại dao động thì {A} phải khác không. Như vậy:

Gọi là phương trình tần số của hệ hữu hạn bậc tự do

Giải phương trình trên ta được phương trình bậc n đối với 2.Giải được n nghiệm:

Các giá trị nghiệm là bình phương các tần số của n dạng daođộng riêng. Véc tơ bao gồm tất cả các tấn số dao động riêng xếptheo thứ tự tăng dần gọi là: Véc tơ tần số dao động riêng hay còngọi là phổ tần số.

Tần số 1 gọi là

tần số cơ bản.

Nhận xét

Các ma trận khối lượng và độ cứng của hệ kết cấu bất kỳ đều đốixứng và xác định dương vì vậy các nghiệm của phương trình tầnsố đều thực và dương.

Phương trình tần số có thể viết dưới dạng ma trận mềm như sau:

Trong đó [E] là ma trận đơn vị cấp n.

Phương trình tần số viết dưới dạng giải tích

Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do

2.4. Xác định dạng dao động riêng hệ hữu hạn bậc tự do

Tương ứng với các tần số dao động riêng (1, 2, 3,..., n) ta xácđịnh các dạng dao động riêng {Ai} hoặc {Yi} .

Việc xác định dạng dao động riêng rất quan trọng trong bài toándao động của hệ hữu hạn bậc tự do.

Dạng dao động riêng ứng với tần số dao động riêng i gọi làdạng dao động riêng thứ i hay dạng chính thứ i.

Đặt:

Khi đó:

Để xác định các dạng dao động riêng ta tìm tỷ số biên độ của cáckhối lượng so với biên độ của một khối lượng nào đó, thường làkhối lượng thứ nhất. Ký hiệu tỷ số đó là: ki

Dễ thấy:

Dạng dao động riêng thứ i thể hiện thông qua:

Cách tìm các dạng dao động riêng

Từ phương trình:

Chia hai vế cho A1i:

Hay:

Trừ phương trình đầu tiên, giải (n-1) phương trình còn lại tađược dạng dao động riêng thứ i:

Trong đó:

Ma trận [] biểu thị tất cả các dạng dao động riêng, gọi là matrận các dạng chính. Với ki trong đó k là khối lượng, i là dạngdao động riêng.

Thể hiện dưới dạng giải tích:

Ví dụ 1

Cho hệ chịu tải như hình vẽ. Xác định các tần số dao động riêngvà dạng dao động riêng.

Hệ đã cho có 2 bậc tự do.

Ma trận khối lượng của hệ:

�

�

Ma trận mềm:

�� ��

�� ��

Tính toán các chuyển vị đơn vị:

�� �� � � � �

�

�� �� � �

�

�

Phương trình tần số:

�

�

Trong đó:

� �

Khai triển định thức ta được phương trình tần số:� �

� �

Từ đó suy ra các tần số dao động riêng tương ứng:

� �

� �

�∗

����

�

Thay lần lượt u1 và u2 vào ta được:

� �

Từ đó ta có véc tơ tần số và ma trận dạng dao động riêng:

�

Dạng dao động riêng thứ nhất có dạng đối xứng và dạng daođộng riêng thứ hai là phản xứng. Kết quả thể hiện trên hình vẽ.

Ví dụ 2

Cho hệ chịu tải như hình vẽ. Xác định các tần số dao động riêngvà dạng dao động riêng.

Hệ đã cho có 2 bậc tự do.

Ma trận khối lượng của hệ:

�

�

Ma trận mềm:

�� ��

�� ��

Tính toán các chuyển vị đơn vị:

Vẽ biểu đồ � bằng cách chia hệ thành 2 hệ (đx+px) sau đó trabảng để vẽ. � vẽ tương tự.

�� �� � � � �

�� �� � �

Phương trình tần số:

�

Trong đó:

�

Khai triển định thức ta được phương trình tần số:

�

�

� �

Từ đó suy ra các tần số dao động riêng tương ứng:

�

�

�∗

����

�

Thay lần lượt u1 và u2 vào ta được:

� �

Từ đó ta có véc tơ tần số và ma trận dạng dao động riêng:

Dạng dao động riêng thứ nhất có dạng phản xứng và dạng daođộng riêng thứ hai là đối xứng. Kết quả thể hiện trên hình vẽ.

Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do

2.5. Cách sử dụng tính chất đối xứng của hệ trong dao động

Hệ đối xứng, các khối lượng đối xứng, hệ sẽ dao động tương ứngvới hai loại dạng chính như sau:

Dạng dao động đối xứng tương ứng với các lực quán tính tác dụng đốixứng.

Dạng dao động phản xứng tương ứng với các lực quán tính tác dụngphản xứng.

Để giảm nhẹ khối lượng tính toán ta tách bài toán thành haitrường hợp:

Dao động đối xứng

Dao động phản xứng

Biện pháp biến đổi sơ đồ tính

Lập luận tương tự bài toán tĩnh trong cơ học kết cấu để đưa bàitoán về sơ đồ tính cho nửa hệ.

Thực hiện tính toán cho nửa hệ.

Kết quả cho toàn hệ được suy ra bằng cách lấy đối xứng hoặcphản xứng tương ứng.

Biện pháp sử dụng chuyển vị kép

Thực hiện tính dao động trên sơ đồ hệ tương ứng với các khốilượng quy ước phù hợp với biến dạng đối xứng và biến dạngphản xứng.

Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do

2.6. Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng

Các dạng dao động riêng (dạng chính) của hệ hữu hạn bậc tự docó tính chất trực giao.

Tính chất trực giao: Hai véc tơ được gọi là trực giao nếu tích vô hướngcủa các véc tơ bằng 0 (góc hợp bởi hai véc tơ bằng 90o)

Tính chất trực giao giữa các dạng dao động riêng được tìm trên cơ sở ápdụng nguyên lý công tương hỗ Betti đối với các dạng dao động riêng.

Tính chất trực giao được thể hiện qua công thức:

��

�

��

�

trong đó: � và � là các véc tơ dạng dao động không thứ

nguyên

Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do

2.7. Dao động cưỡng bức khi hệ chịu

lực kích thích tuần hoàn P(t)=P.sinrt

Trong thực tế, khi tính dao động công trình ta thường đưa lựckích thích về dạng gần đúng là hàm điều hòa hoặc phân tích lựcP(t) theo chuỗi Fourier rồi lấy một vài số hạng đầu Đây là bàitoán cơ bản trong động lực học công trình (lực kích thích có dạngPsinrt hoặc Pcosrt).

Lực kích thích có thể là mô men tập trung M(t)=M.sinrt, lực tậptrung P(t)=P.sinrt hoặc phân bố q(t)=q.sinrt v.v… ký hiệu chunglà P(t) và được xem có cùng tần số P(t)=Psinrt.

Kết cấu sẽ có nội lực thay đổi theo thời gian M(t), Q(t) và N(t).

Nhiệm vụ chính:

Kiểm tra khả năng xảy ra cộng hưởng.

Xác định nội lực động và chuyển vị động để kiểm tra bền, cứng và ổnđịnh cho công trình.

Khi tần số r của lực kích thích trùng với một trong các giá trị �

của phổ tần số thì sẽ xảy ra hiện tượng cộng hưởng. Tuy nhiêntrong thực tế, tần số của lực kích thích thường nhỏ hơn tần sốdao động riêng của công trình nên ta thường kiểm tra hiệntượng cộng hưởng với tần số cơ bản �

Trong trường hợp nội lực động quá lớn so với nội lực tĩnh (hệ sốđộng quá lớn) ta cần tìm cách thay đổi tần số dao động riênghoặc tần số của lực kích thích để tránh miền cộng hưởng.

1. Biểu thức nội lực động, chuyển vị động

Do trong thực tế luôn tồn tại lực cản nên dao động riêng của hệsẽ mất dần đi, hệ sau đó sẽ dao động ổn định với chu kỳ và tần sốcủa lực kích thích.

Các đại lượng tương ứng:

Các lực kích thích: Pi(t) = Pi sinrt

Chuyển vị tại khối lượng mi: yi(t) = ai sinrt

Các lực quán tính tại các khối lượng theo phương chuyển vị của khốilượng tương ứng: Zi(t) = -mi �(t) = mi r

2 yi(t)

Nội lực tại tiết diện k bất kỳ: Sk(t) = Sk sinrt

Chuyển vị tại tiết diện k bất kỳ: � �sinrt

Theo nguyên lý D’Alembert và nguyên lý cộng tác dụng:

� �� � �� � �� � ��

Ở trạng thái biên độ (khi tải trọng đạt cực trị thì nội lực cũng đạt cực trị):

� �� � �� � �� � ��

Trong đó:

�� - Nội lực tại tiết diện k do Zi = 1 tác dụng tĩnh tại vị trí khối lượngmi gây ra

Zi – Biên độ lực quán tính tại khối lượng mi

SkP – Nội lực tại tiết diện k do biên độ lực kích thích Pi tác dụng tĩnhtrên hệ

Tương tự với chuyển vị:

� �� � �� � �� � ��

trong đó:

�� - Chuyển vị đơn vị tại tiết diện k do Zi = 1 tác dụng tĩnh tại vị tríkhối lượng mi gây ra

Zi – Biên độ lực quán tính tại khối lượng mi

kP – Chuyển vị tại tiết diện k do biên độ lực kích thích Pi tác dụng tĩnhtrên hệ

Như vậy để xác định nội lực và chuyển vị ta phải xác định được biên độcủa lực quán tính Zi.

2. Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính

Thời kỳ bình ổn của dao động (dao động riêng đã tắt)

Chuyển vị tại khối lượng mi: yi(t) = ai sinrt

Lực quán tính tại mi: Zi(t) = -mi �(t) = mi r2 yi(t)

Từ đó suy ra:

��

��

Phương trình chuyển động của khối lượng mi:

� �� � �� � �� � ��

Thay (1) vào (2) ta được:

�� � �� � ���� � �� � ��

Trong đó:

� � �� ��

Nên ở thời điểm tương ứng với lực và chuyển vị đạt giá trị biên độ thìphương trình có dạng:

�� � �� � ���� � �� � ��

Cho i=1,2,…, n ta được hệ phương trình chính tắc để tính biên độ của các lựcquán tính.

Zi > 0 khi chiều của lực quán tính trùng với chiều giả định và ngược lại.

Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ của lực quán tínhZi:

���

� � �� � �� � ��

�� � ���

� � �� � ��

�� � �� � ���

� � ��

Sau đó đặt các lực Zi và các lực kích thích có giá trị bằng biên độ của chúng vào hệ ta xác định được nội lực vào chuyển vị cực đại của hệ trong trạng thái động.

Ví dụ:

Vẽ biểu đồ biên độ của mô men uốn động trong dầm do tác độngcủa một mô tơ (như hình vẽ). Cho biết lực ly tâm do khối lượngkhông cân bằng của mô tơ trong khi quay gây ra là P=5kN; sốvòng quay của mô tơ là 480 vòng/phút; G=10kN; J=8880cm4;E=2,1*104 kN/cm2; g=981cm/s2; =6m; M=G/g.

Hệ có 2 bậc tự do. Tần số dao động riêng đã xác định được từ các ví dụtrước:

� �

� �

Trong đó:

�

Do đó:

�

�

Hệ phương trình chính tắc:

��∗

� �� � ��

�� � ��∗

� ��

Trong các ví dụ trước đã tính được:

�� �� � � � �

���

�� �� � �

���

Suy ra:

��∗

��∗

�� �

Với

��

��∗

��∗ ��

�

�� ����

�� ����

Giải hệ phương trình chính tắc:

�

�

Biểu đồ mô men uốn động:

đ � � � � �

Hệ số động tại mỗi tiết diện được xác định theo công thức:

đ đ �

Từ biểu đồ mô men có thể nhận thấy hệ số động lớn nhất về mô men là tại tiếtdiện mang khối lượng m2. Khi đó:

�

(Hệ số động lớn do hệ dao động trong miền cộng hưởng: r1)

Để kiểm tra độ bền ta phải vẽ biểu đồ mô men tổng cộng:

�� đ �∗

Với �∗ là biểu đồ mô men do trọng lượng của các khối lượng gây ra.