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Chapters 1 & 2. Introduction & Overview
Wei Pan
Division of Biostatistics, School of Public Health, University of Minnesota,Minneapolis, MN 55455
Email: weip@biostat.umn.edu
PubH 7475/8475c©Wei Pan
Big Data
I Big Data is on the rise, bringing big questions (WSJ,11-29-2012)just try a Google search on “Big Data”
I Big data: the next frontier for innovation, competition, andproductivity (McKinsey report 05-2011)from a business perspective, that an enterprise mine all thedata it collects right across its operations to unlock goldennuggets of business intelligence (WSJ, 04-29-2012).
I Big Data’s big problem: little talent (WSJ, 04-29-2012)“though bits of it do exist in various university departmentsand businesses, as an integrated discipline it is only juststarting to emerge”.
I Recent NSF, NIH Big Data initiatives; NIH PMI.2014 NIH Big Data RFA: needs CS, Stat/Math, bio.
I Projects/platforms: CancerLinQ; IBM Watson (Health) ...
I How is this related to statistics?
I Change and expand the subjectsMany unhappy with the current culture (Breiman, Hand, ...);“Data Science” (Cleveland 2001/2014; Yu 2014);Computing: Hadoop (or RHadoop), MapReduce, Spark, ...
I You do not need to do everything ...DeltaRho (formerly, Tessera): interface b/w R and Hadoop...http://deltarho.org/R packages datadr, trelliscopeBased on “Divide and Recombine” (D&R) (Guha et al 2012).
I So ...still need to go back to the basics of ...!
Introduction
I Focus: prediction or discovery.Approach: build a model f (x).
I Types: supervised vs unsupervised vs semi-supervised learning.Training data: with vs without known response values vs amixture of both.
I Supervised learning: classification vs regression.Training data: (Yi ,Xi )’s; Yi is categorical (e.g. binary) vsquantitative.Xi : typically multivariate and mixed types.Tuning and test data: (Yi ,Xi )’s;Future use: only Xi ’s.
Examples
I Example 1. X 0i : an email; Yi = 0 or 1, indicating whether it is
a junk email; i = 1, ..., 4601.
I Feature extraction: e.g. use some key words in emails as Xi .
I A classification problem: use a 0-1 loss, build a modelf (x) ∈ {0, 1}, calculate misclassification rate,...
I Loss function: here a false positive is much more costly than afalse negative.
I Example 2. Predict prostate specific antigen (PSA) usingsome lab measurements.
I A regression problem.
I Example 3. Handwritten digit recognition.
I X 0i : a 16 by 16 black/white image (= a 16 by 16 binary
matrix); Yi ∈ {1, 2, ..., 9}.I Xi : maybe (vectorized) X 0
i , or better its summary stat’s, e.g.marginal histograms or numbers of ”crossing changes” ...
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 1
FIGURE 1.2. Examples of handwritten digits fromU.S. postal envelopes.
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 1
SID42354SID31984SID301902SIDW128368SID375990SID360097SIDW325120ESTsChr.10SIDW365099SID377133SID381508SIDW308182SID380265SIDW321925ESTsChr.15SIDW362471SIDW417270SIDW298052SID381079SIDW428642TUPLE1TUP1ERLUMENSIDW416621SID43609ESTsSID52979SIDW357197SIDW366311ESTsSMALLNUCSIDW486740ESTsSID297905SID485148SID284853ESTsChr.15SID200394SIDW322806ESTsChr.2SIDW257915SID46536SIDW488221ESTsChr.5SID280066SIDW376394ESTsChr.15SIDW321854WASWiskottHYPOTHETICSIDW376776SIDW205716SID239012SIDW203464HLACLASSISIDW510534SIDW279664SIDW201620SID297117SID377419SID114241ESTsCh31SIDW376928SIDW310141SIDW298203PTPRCSID289414SID127504ESTsChr.3SID305167SID488017SIDW296310ESTsChr.6SID47116MITOCHONDRChrSIDW376586HomosapiensSIDW487261SIDW470459SID167117SIDW31489SID375812DNAPOLYMESID377451ESTsChr.1MYBPROTOSID471915ESTsSIDW469884HumanmRNASIDW377402ESTsSID207172RASGTPASESID325394H.sapiensmRNGNALSID73161SIDW380102SIDW299104
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FIGURE 1.3. DNA microarray data: expression ma-
I Example 4. Microarray gene expression data.
I Xi : 6830 genes’ expression levels; quantitative;Yi : tumor types.
I A typical “smalll n, large p” problem: n = 64 vs p = 6830.
I A classification problem.
I Can be an unsupervised learning problem: finding subtypes ofcancer.only use Xi ’s to find new class labels Y ∗
i ; clustering analysis.
I Can be a semi-supervised learning problem: some known andpossibly novel subtypes of cancer.
Overview
I Consider two popular, yet simple and extreme methods: LR vsNN;parametric vs non-parametric.
I Q: Is a non-parametric method better than a parametric one?or reverse?
I Consider simulated data: (Yi ,Xi ), Yi = 0 or 1 and Xi
bivariate; 100 obs’s in each class (as training data).
I LR: E (Yi |Xi ) = Pr(Yi = 1|Xi ) = β0 + X ′i β;
Use LS to estimate β’s =⇒ Yi = Pr(Yi = 1|Xi );Yi = I (Yi ≥ 0.5).
I Decision boundary: Y (x) = β0 + x ′β = 0.5, linear.
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
Linear Regression of 0/1 Response
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FIGURE 2.1. A classification example in two di-mensions. The classes are coded as a binary variable(BLUE = 0, ORANGE = 1), and then fit by linear re-gression. The line is the decision boundary defined by
xT β = 0.5. The orange shaded region denotes that partof input space classified as ORANGE, while the blue regionis classified as BLUE.
I kNN: Nk(x) is the k nearest training data points that areclosest to x ,
Y (x) =1
k
∑Xi∈Nk (x)
Yi = Pr(Yi = 1|Xi ).
I Idea: using local “smoothness” to estimate the populationmean by ...
I Key: choice of k, or how much “smoothness” is to beassumed; do not know!Modeling assumption: larger k, higher or lower modelcomplexity?
I Try a few values of k, then ...
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
15-Nearest Neighbor Classifier
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FIGURE 2.2. The same classification example in twodimensions as in Figure 2.1. The classes are coded asa binary variable (BLUE = 0, ORANGE = 1) and then fitby 15-nearest-neighbor averaging as in (2.8). The pre-dicted class is hence chosen by majority vote amongstthe 15-nearest neighbors.
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
1-Nearest Neighbor Classifier
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FIGURE 2.3. The same classification example in twodimensions as in Figure 2.1. The classes are coded asa binary variable (BLUE = 0, ORANGE = 1), and thenpredicted by 1-nearest-neighbor classification.
I Key Q: which kNN (and LR) to use?
I Key: cannot use the training data to compare models!Why not? too optimistic, favoring ...Recall: how to estimate the noise variance in linear regression?
I How? use a separate test dataset, or CV, or some modelselection criterion (if any).Key: test data should not be used in model building!Q: how about AIC, BIC ,...
I Previous example: generate a new test dataset withn = 10, 000.
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
Degrees of Freedom − N/k
Tes
t Err
or
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
2 3 5 8 12 18 29 67 200
151 101 69 45 31 21 11 7 5 3 1
TrainTestBayes
k − Number of Nearest Neighbors
Linear
FIGURE 2.4. Misclassification curves for the simula-tion example used in Figures 2.1, 2.2 and 2.3. A singletraining sample of size 200 was used, and a test sampleof size 10, 000. The orange curves are test and the blueare training error for k-nearest-neighbor classification.The results for linear regression are the bigger orangeand blue squares at three degrees of freedom. The pur-ple line is the optimal Bayes error rate.
I Q: is there a best classifier?
I Ideal situation: if we know the data distribution, then use theBayes rule:
k0 = arg maxk
Pr(k|x).
I An example: 1) prior πk = Pr(k); 2) PDF of class k,fk(x) = f (x |k), then
Pr(k|x) =πk fk(x)∑i πi fi (x)
.
If fk is assumed to be Normal, then LDA or QDA.LR and kNN are also estimating Pr(k|x).
I Bayes rule: offering a theoretical lower bound of the test errorrate; often unknown.
I Previous example: R code example 2.1.
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Bayes Optimal Classifier
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FIGURE 2.5. The optimal Bayes decision boundaryfor the simulation example of Figures 2.1, 2.2 and 2.3.Since the generating density is known for each class,this boundary can be calculated exactly (Exercise 2.2).
I Q: for real data, often cannot generate new data; how toevaluate models?
I Use sample splitting: divide the original whole dataset intotwo parts, (e.g. 1/2 or 2/3) for training and (the remaining)for test.efficient?
I Use cross-validation (CV); read §7.10
I K-fold CV: Divide the data D into almost equally sized andnone-overlapping D1,...,DK , then
CVerr =K∑
j=1
∑(Yi ,Xi )∈Dj
L[Yi , f (Xi |D − Dj)]/n.
I Leave-One-Out-CV (LOOCV): K = n.
I Remarks: 1) not necessarily larger K , the better; CV relatedto AIC/BIC; 2) maybe better to use bootstrap (§7.11).
I Previous example: R code example 2.1.
I Key: celebrated bias-variance trade-off!
I Suppose f is any estimate of f ,
MSE = E [(f − f )2] = E [(f − E (f ) + E (f )− f )2]
= E [(f − E (f )2] + E [E (f )− f )2]
= Var + Bias2.
I Very very useful: helps explaini) Complex models vs simple models;ii) Nonparametrics vs parametrics; ...
I Perhaps the most important plot in the course:
Elements of Statistical Learning (2nd Ed.) c©Hastie, Tibshirani & Friedman 2009 Chap 2
High BiasLow Variance
Low BiasHigh Variance
Pre
dic
tion
Err
or
Model Complexity
Training Sample
Test Sample
Low High
FIGURE 2.11. Test and training error as a functionof model complexity.
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