View
240
Download
7
Category
Preview:
Citation preview
CHAPTER 6.
INNER PRODUCT SPACE
• Inner Products• Angle and Orthogonality in Inner Product
Spaces• Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process;
QR-Decomposition• Best Approximation; Least Squares• Orthogonal Matrices; Change of Basis
6.3. Basis OrthogonalProses Gram-Schmidt;
Dekomposisi QR
Basis Orthogonal dan Orthonormal
• Suatu himpunan vektor dalam ruang hasil kali dalam disebuthimpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektoryang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal.
• Suatu himpunan ortogonal dimana setiap vektor mempunyainorma 1 disebut orthonormal.
Dua vektor u dan v dalam suatu hasil kali dalam disebutortogonal jika u, v = 0.
Himpunan W = { v1, v2, … , vn} adalah ortonormal jika:
vi,vj = <vi, vj> =
0, jika i ≠ j
1, jika i = j
Basis Orthogonal dan Orthonormal
Contoh:• Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1) dan R3
mempunyai hasil kali dalam Euclidean, maka himpunan vektor-vektor S = {u1, u2, u 3} adalah ortogonal karena :
u1, u2 = u1, u3 = u2, u3 = 0.
u1, u2 = 0.1+1.0+0.1 = 0u1, u3 = 0.1 + 1.0 + 0.(-1) = 0u2, u3 = 1.1 + 0.0 + 1.(-1) = 0
Matriks Orthogonal
• Himpunan ortogonal dalam Rn Matriks diagonal.
• Kolom-kolom matriks Qmxn membentuk himpunan yang ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In.
• Matriks Anxn yang kolom-kolomnya membentuk himpunan yang ortonormal disebut matriks ortogonal.
• Matriks Anxn adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika Q-1=QT (atau dengan kata lain QTQ=QQT=In)
Q-1=QT QTQ = QQT= In
Matriks Orthogonal
Tunjukkan bahwa matriks berikut merupakan matriks ortogonal:
Normalisasi Vektor tak- nol
Jika v adalah vektor tak nol dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka
mempunyai norma 1, karena;
• Proses mengalikan suatu vektor tak-nol v dengan kebalikanpanjangnya untuk mendapatkan suatu vektor bernorma 1disebut menormalkan v.
• Suatu himpunan vektor-vektor yang orthogonal bisa selaludiubah menjadi suatu himpunan ortonormal denganmenormalkan masing-masing vektornya.
Contoh Menormalkan Vektor Tak-Nol
Jika u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, -1)
• Norma Euclidean :
• Normalisasi u1, u2, and u3 :
• Himpunan S = { v 1, v 2, v 3 } orthonormal dimana:
1 2 31, 2, 2u u u
)2
1,0,
2
1(),
2
1,0,
2
1(),0,1,0(
3
33
2
22
1
11
u
uv
u
uv
u
uv
Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortogonal
Basis Orthogonal basis yang terdiri dari vektor-vektor orthogonal.
Ruang Hasil Kali Dalam
Basis Ortonormal basis yang berisi vektor-vektor ortonormalContoh: basis standard untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean : I = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)
Secara umum, basis standard hasil kali dalam Euclidean Rn:
e1 = (1,0,0,.., n); e2 = (0, 1,0,…,n); ….. ; en = (0,0,0,…, 1)
Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortonormal
Teorema:
Jika S= {v1, v2,… , vn} adalah suatu basis ortonormaluntuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalahsebarang vektor dalam V, maka
u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + · · · + u, vn vn
u, v1 , u, v2 , … , u, vn koordinat-koordinat dari u relatif terhadap basis ortonormal S = {v1, v2, …, vn}
(u)S = ( u, v1 , u, v2 , … , u, vn ) vektor koordinat dariu relatif terhadap basis ini.
Contoh
• Jika v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), buktikan bahwa S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean.
• Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai kombinasi linier darivektor-vektor dalam S dan cari vektor koordinat (u)s.
Jawab: u, v1 = 1, u, v2 = -1/5, u, v3 = 7/5 u = v1 – 1/5 v2 + 7/5 v3
Vektor koordinat u relatif terhadap S(u)s=( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)
ortonormal
Basis Orthonormal
Jika S adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasilkali dalam berdimensi –n dan jika (u)s = (u1, u2, …, un) dan(v)s = (v1, v2, …, vn) maka:
nn
nn
n
vuvuvu
vuvuvud
uuu
2211
22
22
2
11
22
2
2
1
,
)()()(),(
vu
vu
u
Basis Orthonormal
Contoh:
Diketahui v1 = (0, 1, 0), v2 = (-4/5, 0, 3/5), v3 = (3/5, 0, 4/5), dan
S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis ortonormal untuk R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Vektor u = (1, 1, 1) merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S dan vektor koordinat (u)s =( u, v1 , u, v2 , u, v3 ) = (1, -1/5, 7/5)
Maka norma vektor u = (1,1,1) adalah :
Norma u juga bisa dihitung berdasarkan vektor koordinat(u)s = (1, -1/5, 7/5)
Kombinasi Linier Vektor dalam Basis Ortogonal S
• Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis ortogonal untuk suatu ruang vektor V, maka menormalkan masing-masing vektor ini menghasilkan basis ortonormal:
• Jika u sebarang vektor dari V berlaku:
atau
• Rumus ini menyatakan u sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dalam basis ortogonal S.
n
nSv
v
v
v
v
v,,,'
2
2
1
1
n
n
n
n
v
v
v
vu
v
v
v
vu
v
v
v
vuu ,,,
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
nv
v
vuv
v
vuv
v
vuu
222
2
2
12
1
1 ,,,
Orthonormal Basis
Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu himpunan vektor-vektortak nol yang ortogonal dalam suatu ruang hasil kali dalam, maka S bebas linier
Proyeksi Ortogonal
Dalam R2 atau R3 denganhasil kali dalam Euclidean,secara geometris, jika Wadalah suatu garis ataubidang yang melalui titikasal, maka setiap vektor udalam ruang tersebutdinyatakan sebagai:
u = w1 + w2
dimana w1 berada dalam Wdan w2 tegak lurusterhadap W (W ).
w1 proyeksi ortogonal u pada W proywuw2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy w u
Proyeksi Ortogonal
w1 proyeksi ortogonal u pada W proywuw2 komponen u yang ortogonal terhadap W proy w u
Karena w2 = u – w1
u = proyw u + (u – proy w u)
Basis Orthonormal
Anggap W adalah suatu sub-ruang berdimensi terhingga darisuatu ruang hasil kali dalam V.
a. Jika {v1, …, vr} adalah suatu basis orthonormal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka
projwu = u,v1 v1 + u,v2 v2 + … + u,vr vr
b. Jika {v1, …, vr} adalah suatu basis ortogonal untuk W danu adalah sebarang vektor dalam V, maka
r
r
rv
v
vuv
v
vuv
v
vuuW 222
2
2
12
1
1 ,,,proj
Contoh
Jika R3 memiliki hasil kali dalam Euclidean, dan anggap Wadalah sub ruang yang terentang oleh vektor-vektorortonormal v1 = (0, 1, 0) dan v2 = (-4/5, 0, 3/5) maka :
• Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah
• Komponen u ortogonal terhadap W adalah:
Basis Ortogonal dan Ortonormal
Teori
Setiap ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhinggamempunyai suatu basis ortonormal.
Proses mengubah suatu basis sebarang menjadi suatu basisortonormal disebut Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt
Misal V adalah sebarang ruang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga , {u1, u2, …, un} adalah sebarang basis untuk V.Untuk menghasilkan suatu basis ortogonal {v1, v2, …, vn} untuk Vdilakukan proses Gram Schmidt berikut:
Langkah 1:Anggap v1 = u1
Langkah 2:Hitung v2 ortogonal v1 denganmenghitung komponen u2 yang ortogonal terhadap ruangW1 yang terentang v1 :
Proses Gram-Schmidt
Langkah 3 :Susun vektor v3 yang ortogonal terhadap v1 dan v2, denganmenghitung komponen u1 yang ortogonal terhadap ruang W2 yangterentang oleh v1 dan v2.
Langkah 4:Untuk menentukan vektor v4 yang ortogonal terhadap v1, v2 dan v3,hitung komponen u4 yang ortogonal terhadap ruang W3 yangterentang oleh v1, v2 dan v3.
Vektor-vektor basis ortogonal dinormalkan basis ortonormal V
Contoh Proses Gram-Schmidt
Tinjau ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclidean. Terapkan proses Gram Schmidt untuk mengubah vektor-vektor basis u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1)
Menjadi suatu basis ortogonal {v1, v2, v3}; kemudian normalkan vektor basis ortogonal tersebut untuk mendapatkan suatu basis ortonormal {q1, q2, q3}.
Jawab :
Step 1: Anggap v1 = u1 v1 = u1 = (1, 1, 1)
Step 2: Anggap v2 = u2 – projW1u2.
• Step 3: Anggap v3 = u3 – projW2u3.,
• Jadi v1 = (1, 1, 1), v2 = (-2/3, 1/3, 1/3), v3 = (0, -1/2, 1/2) membentuk suatu basis ortogonal untuk R3. Norma vektor-vektor ini adalah:
Sehingga basis ortonormal untuk R3 adalah:
u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0,0, 1)
Dekomposisi QR
Jika A adalah suatu matriks nxn dengan vektor-vektor kolomyang bebas secara linier, maka A bisa difaktorkan sebagai :
A = QRQ matriks m n dengan vektor-vektor kolom yang
ortonormal, dimana QTQ = IR matriks segitiga atas nxn yang dapat dibalik.
Jika QTQ = I, maka : QTA = QTQR= IR
QTA = R
Dekomposisi QR
Example : QR-Decomposition of a 3 3 Matrix
Carilah dekomposisi QR dari
Jawab :
• Vektor-vektor kolom A adalah:
• Dengan menerapkan proses Gram-Scmidht dengan rangkaian normalisasi seperti contoh sebelumnya didapat:
1 0 0
1 1 0
1 1 1
A
1 2 3
1/ 3 2 / 6 0
1/ 3 , 1/ 6 , 1/ 2
1/ 3 1/ 6 1/ 2
q q q Q
R matriks
Dekomposisi QR dari A :
2012/5/2 Elementary Linear Algebra 29
6.5.Change of Basis
Orthogonal Matrices
30
Matriks-matriks Orthogonal
Definisi:
Suatu matriks bujursangkar A dengan sifat
A-1 = AT
Disebut sebagai matriks ortogonal, dimana;
AAT = ATA = I
Matriks-matriks Orthogonal
Matriks adalah ortogonal dimana terbukti ATA = 1, maka
vektor baris dan vektor kolomnya membentuk himpunan ortogonal.
Matriks adalah matriks ortogonal, karena;
AAT = ATA = I
Sifat Dasar Matriks-matriks Orthogonal
Teorema:
1. Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal.
2. Hasil kali matriks-matriks ortogonal adalah ortogonal.
3. Jika A ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = -1
Teorema:
Untuk suatu matriks Anxn:
• A ortogonal• Vektor-vektor baris dari A membentuk suatu himpunan
ortonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean.• Vektor-vektor kolom dari A membentuk suatu himpunan
ortonormal pada Rn dengan hasil kali dalam Euclidean.
Matriks Orthogonal Sebagai Operator Linear
Teorema:
Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikutekuivalen:
• A ortogonal.
• untuk semua x pada Rn.
• Ax. Ay = x. y untuk semua x dan y pada Rn.
Perubahan Basis
Jika S= {v1, v2,…, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor basis:
v = k1v1 + k2v2 +… + knvn
k1,k2 , …, kn koordinat v relatif terhadap S, dan vektor :vs = (k1, k2,…kn) vektor koordinat v relatif terhadap S.
Matriks koordinat v relatif terhadap S.
Matriks Koordinat
Matriks koordinat v relatif terhadap S dinyatakan oleh [v]s adalah matriks berukuran nx1 yang didefinisikan sebagai:
Matriks Koordinat Ortonormal
Teorema:
Jika S= {v1, v2,… , vn} adalah suatu basis ortonormal untuksuatu ruang hasil kali dalam V, dan u adalah sebarang vektordalam V, maka
u = u, v1 v1 + u, v2 v2 + · · · + u, vn vn
u, v1 , u, v2 , … , u, vn koordinat-koordinat dari u relatifterhadap basis ortonormal S = {v1, v2, …, vn}
(u)S = ( u, v1 , u, v2 , … , u, vn ) vektor koordinat dari u
relatif terhadap basis ini.
Matriks koordinat v relatif terhadap S.
Contoh Matriks Koordinat
Masalah Perubahan Basis
Jika kita merubah basis untuk suatu ruang vektor V dari old basis B to some new basis B’ , bagaimana matriks koordinat lama [v]B darivektor v dikaitkan dengan matriks koordinat baru [v]B’ ?
Masalah Perubahan Basis
matriks koordinat lama [v]B matriks koordinat baru [v]B’
Persamaan ini menyatakan bahwa matriks koordinat lama [v]Bdihasilkan jika kita mengalikan dari kiri matriks koordinat baru[v]B’ dengan matriks:
Solution of the Change-of-Basis Problem
Jika kita mengubah basis untuk suatu ruang vektor V dari suatu basislama B = ( b1, b2,…, bn ) menjadi suatu basis B’ = ( b’1, b’2,…, b’n ) , makamatriks koordinat lama [v]B dari suatu vektor v dihubungkan denganmatriks koordinat baru [v]B’ dari suatu vektor v yang sama denganpersamaan:
Dimana kolom-kolom dari P adalah matriks –matriks koordinat darivektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu vektor-vektor kolom dari P adalah ;
Matriks P disebut matriks transisi dari B’ ke B, dinyatakan dalam bentuk vektor-vektor kolomnya sebagai ;
Example
Consider the bases and for R2, where
(a) Find the transition matrix from B’ to B
(b) Use to find [v]B if
Solution (a)
First we must find the coordinate vectors for the new basis vectors u’1 and u’2relative to the old basis B.
Solution (b)
Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis ortonormal ke basis
ortonormal lainnya untuk suatu ruang hasil kali dalam, maka P
adalah suatu matriks ortogonal, yaitu :
P-1 = PT
Matriks Transisi
Jika P adalah matriks transisi dari suatu basis B’ ke suatu basis B,maka untuk setiap vektor v berlaku:
Penerapan Pada Rotasi Sumbu Koordinat
Sumbu koordinat x’ dany’ didapat denganmerotasi sumbu xyberlawanan jarum jamterhadap titik asaldengan sudut θ.
Q
(x,y)
(x’ ,y’)
B = (u1, u2)
B’ = (u1’, u2’)
P = transisi dari B’ ke B.
Rotasi Sumbu Koordinat
Komponen u1’ pada basis lama:1. cos θ2. sin θ
Komponen u2’ pada basis lama:1. cos (θ+ π/2) = -sin θ2. sin (θ+ π/2) = cosθ
Didapat P matriks ortogonal
P-1 = PT
Misal sumbu sumbu tersebut dirotasikan dengan θ = π/4, maka;
Jika (x, y) = (2, -1), maka koordinat baru dari Q:
Recommended