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matematicas superior
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EDITORIAL SAN MARCOSNatalio Snchez 220 Ot.30S
- Jess Mara
f (7) = 90f(7)Luego : f f i = 5 -> f(7 =51-1 -> 90 = 90
I r(- r ) = ' i - ; ;3 - s (-1)z - a(-r) + 20f ( - )=-!-5+4+20f - r ) = 18
si f (x) ={-z^7 **4 ' calcular:a) f (0) ; b) f (1) ; c) f ( -1) ; d) f (2) ; e) f ( -).Sur l .LCi f i i :
a) f (3) = 4 - ?(0)2+ (0)4 b) f (1)=4 - 2(1)2+ (1)4' f (0)=4
-0+0 f(1)=[ '2+1f(0) = Q f (1) = i
ci f ( - l ) ' 4 - z(- t )z + (- l )4f ( - l ) = t - 2 t 1
d) : : ; l ' == nt - 'z(z)z + (z)4 ") r ( -2) =4-z(-z)2 ' ( -2)4
t ( | i . 4 -8+16 f(-2)=Q -g+16f (2) = ' !Z f?2) = 12
cosO, hal lar F(0): fC{ ) ; F(n)
+ coso b) r(*)=sen 2) " cos
Fq) = senr * cos *F$=0+0
F(*) r Q
2 (n) + cosr2r + cosf( - t )
-
y.Z- '?7t + 6, de;r ,ostrar {{ue:
oyz - zy r 6 + 2 ty - 1) h +
h)2 - z(Y + h) b 6a
2'i:. *' h ' 2Y - 2\" +
2y + 6 + ZYh- 2h' +
2y*6+Zh(Y-1)+
= x5 * 3x De,: :ostrar 1ue:
- f (x)=3(x2+1)+3x
4. - Dado f (x) =
f ( t + 1) =
s0i , tLC0] ' i :f (x) = x3
f ( t + .1) =
f( t + 1) =
f( t + 1) =
5x2 - 4 + 20. Prcbar
zL? -11+12
?-
5>rZ- ' lx+?o
t * t )3- 5( t3.r 3, ,2+ 3! +
t3- | tz- 11t *
' ) -+ 1) ' - 4( t + i j +
a
1 - 5t-- lt - : )
1Z 1.1 . : ' . " t i .
h2
4-2J
= (y*- , ,2*
?=y
2=y5.
5.- Da
7. Dado f(x)
f (x + h)
SOLUCION:
- f , d" .ostrar
- f (x) ='+x'+ xh
i l iv id iendo
Dado { (x)
0(y) + 0(z)SOLUCI ON :
0 (x) = log
0(z) + 0(y)
o() ' ) * o(z)
od-+ z )7+yz
o I-I-x 1+yz
Dividiendo (1 )0(Y) + 0(z)
.
o({#)
(1 ) entre (2):g(y) . a(z)
(y + z)+ o(y) ' l (z) =
que:
1x
=- = |^Y+ z
^(\r + z ' \ ln
"
A/ \ / - ) .Y.{ .* .
f (x)f( i
tx
+ h) - f (x) 1x+n
1-viog f f i , denostrar que:
, ,v+2,=9(-J
7+yz
I +x
-
l -y j -2.- los 'T
" + loe 1; ;
= ros 1 -J ( - ' )1+y 1+z
rnn I - (y + z) / (1 + yz)
= 1og
1 + (y + z) / (1 * yz)' l + yz_- v
- z
1+yz*y*z
entre (2):
10.
x-
= 42, demostrar-que:- (z) = 36(z)
s.- Dado $(z)(z + r)
.89!&.roN:0G)
-
tzr f (z + . t )
9.-
xlhxh lq.q.
d.
1q" q. d.
f ) \
x (z) = 4z (2)Dividiendo ( I ) enrre
_(2) :fz + r) , : r . lz l =f*- tf (z+l)-0(z)=3$z
Si +(r) -
ax, demostrar que:0(y).o.z) ' l (y+z)!9!!r9J!N:l (x)"
-
9^' t(y) -t(z)- '
* $(y +z) =.
roer*#) . rl;]t
- .1 +vz-vroetffij
| -x
bgif f i )
Lin 4x + 5 l "x-- f f i " 'e
Luego: O(y) + O(z) -
6( f f i ) Iq.q.d. SOLUCIOI{:l fn4x +5=+ol+J
3. 4t2*3t+2
* L * ! - ]LXJ
l fnr -----.-,--x+6 x[z *{1
r i ,no**= j j= 4+o=x*- z .* z +3- 2 + o
11.- Dado f(x) = sen xr denostrar que:f(x + 2h) - f (x) . 2cos{x + h) sen h.SOTUCION:
f(x) = r"n* 2:
f(x + 2h) - f (x) = sen(x + 2h) - sen x= senx.cos2h + sen2h.cosx - Senx
= sbnxf.or2h-r"nzh]* 2t" t th 'cosh'cosx - sen x
= senx.aor2h-r"n*.r"n2h + 2snh'cosh'cosx' sen x' '
, h cosh -cosx - , " r ' * . r"nZh - Senx= senx.cos"h + 2senh.cosh.cosx - sen
= f2cosx.cosh - 2senx.senhl sen i i= Zcos (x + h) . sen h 1 q 'q 'd '
L imt+o
I=-T
t5 * 2t
SOLUCI ON :
1int+o
.,
4t '+ 3t + 2 0+0+20+0=f
t5* zt= 4(0)2+ s(o) * Z
(o)3+ 2(0) - 613
'r-Lim. !+ = -+x+@ 5x+5x
r . - *2h * 3xh2 * h3h+^ 7
Zxh + 5h-
SOLUCI ON :
r2h*sxh2*h3
2xh + 5h2
x=T
1' i '
4,j:{.t
:{!.Q4I-0N: )Lln L- z*- = r fnx+@ 3x+Sx2 x+@
, . 'F-r l t rB2+sxh+h2lh[ zx * sh ]
1fmh+o
= l fmh*o
*2[1 * s]
0- z-
u+5 )-
lfroh*o
x 2+3xh*h 2
2x+5h
)?= 0- * 3h(0) + x '
2x + 5(0)
LIMITES1 . - Denostrar cada una de las s iguientes igualdades '
| {
720 + 0 + x- x-=-*x =T x=T
! f t
x- '@
SOI,UCTO}i :
4r '1nx+@
ax
Factor i zando numeradorresulLado cero.
0=
"*4*bx2*c =Qd*5+ex3*fx
+bxZ*c)
a(-) ' + ! (o) ' + c5. . .3
. \ -q )--J t n-c- \
' f A
SOi.UCIL)N:
6*3 - s-xz * j xLo 5/x + s/x3f*3z * 1/x ' - 7/x ' )
6-5y+3/x3
2 * 4/x2- Z/x3
g/- + i /o
)5X+J dxS*exS*fx d(-) ' * e(- . ) ' ' * f ( - )
e+@+c= 3i .nd"ternine
SOLUCIO\-:
-44' r J - a
S-+a 32 -
^2
lo ' - ' ) n x- + x - 6x-r l xo- 4
soLUCrg),t:'2
, . - x-+x-6_
x-Z *2 _4
s2 . a2 (s2 - az)?)
)-a
7). ,a)=^'*^ l=zaZ
4/* - 3/*
+ 3/*
Llmh*-,
3h + 2xh2 * *z h3
4-3xh-z*3h3
SOLUCION:
1 n 3ir + 2xh2t *2h3h**4- ixh-z*3h3
LimS*a
= zat0-0 0
--=-2+0 2
12x
-0?
=Q
= l fnS+4
1imS+a
2d.2
(s2 *= 1m
h*-
?- , 2_h" L3lh ' t Zx/ i * * ' jh
hJ l - / l .J -
7v l i ,L -
)ur :t r eat t r - JLt)L - LL _-;
l lt
'fZx/o, + xt
- - r= r m P/nz* lx/h +
.,
XJ_
3/- +h*-
l4/h3 -
o * o * x2zZx
0-0-2x"
I
a
a
b
3x/h2 - z"s l 4i--3x/--?x3
1
itt{jJ*-+l-= l m * * Ix+2x+2+3m=
5T
.11.- Lm' ly - J
y** 2u3+3r '2
SOLUCION:
t'tn 4Y2'sY*-zy3*syZ
!,,,
t$:li
fiiI
I
L1mx-|@
=Q boxn + brxn- l * k'un
QOLIJCION:
auxn*a., * l -1n. . .*" t t po*t1 /x+. . . . *"r , /* t ' - {r1mx-+@
1ftry+-
ys +ly-t /ys1 =2
4 ly -3 /y '*",
1tuny'i-
= 1x,rx-+@
I
s{i
ys qz*sty| boxn+br*t- l* . , .*bn *t fbo *b,, /x* . . , . *brr /* t - 1-]
I nx-)@
i+o
f "o*" . , lx . , . .*orr l* t - l ao+al /*+. . *xan/-
bo*bl lx+. . . +br, , /xn-t oo+b., / -+. . +bn/ ' -
bo * 0 +. . . . . , . .+ 0 o
ao
bu
n n- laox'- + alx-- + . . . . . .
" .* cn an
D,,.boxn * brxn- l * . . .* bn
n-1+ alx" '+. . . . i "n
_
^ -1
ao(0)"*a1 (0)" '+. . .+an
, r - rD -n
n-1l l i r I I ; r r c l l fnr i tc 1$ 1
t tJO --- j " ) = t t* ' '
h+c
SOLUC ION :
, i * . (x*h)n-xr i = l* *-n*n*n-1h+glStxn-212+' '+hn-xn
h+. j l
= l : : fn*"- t* n( l -1)xn-2h* " ' * l l t - l ]
* n(n-1)
*" . -2(0)* . . . . . ' ; - i+(0)n-17
+ 0 + 0 + _-----^---_- +
1.1.
box l * b l* t t - t* . . . .+bn bo (o)n+b., (o) t -1
0 + 0 + . . . .+n
n - ' l-- I)x
= nxn-1
n- l=nx
16 . _ Ln ,Fl .- lt*c )r
SOLUC ION:
I1m r 'x + hh*r h
l lm=
h*o
' 17 .
2.1?
h
_
I1m- h+o
1
L IIIx+o
SOLUCIOIT*:
tolnI nx+o *. . t bn
a=--JLDn
,En+o
x+h-x
ir(ffi+fI
F+l f i* f i
1
lfr*E0 t 0 r . . , . . tbn
anq-
=-
l f rn i-r- . l i1
=
rE. )
Dado f(x) = x- demostrar que:Lnr
'-{-(--. n, - ul4- =
'*h'o h
SOLUCION:2
x
Fit
f (x) .
1-LInh*o
f .(+ h) -f (x)
h=1 io (x*hJ
2.-x2=r r*"
2. z*Lf; 'tL].
h*O n+O
1I r l ' (2x + i r ) = Zx +0h*o=2x
SOLUCION:
1f IYI
X
&Uf,@=
1mE,
'I+O
10, - s i r (x) = *3 hu1lu*
SOLUCION:
f(x) = *3
1fmh-+o
1t l
l lm
n-l'o ---- l t
-h-ffiht
1n= h+o
r 1r]h+o
x-(x + h)vir fv +
Iv fv+1' l
1 S. - Dedo: f (xJ = axi . )eno s t rar que ;
1 inth*o
2nbx*c
f (x + h) - f (x) = 2ax+b
SOLUCi CN:
f(x) = axZ + bx + c
FfY+1. ' \ -fwlr ln r \ ' r r - t \ ' \ / ' = I n
h*o h h*o
l im= h*o
i i (x+h) 2*b (x* i i ) +c:-?I2 -bx -c
)?2axt+2q---l-h
2axh + ahZ+ bh
Limh*o
h h*o h h*o
3x 2h*3xh2*h3
f (x)
x3* 3x2h*3xh2nh3 --x3
=i i l (sx2*3xh*h2)+ (0) 2= 3*2
=: l2x
f (x +
h+o
I lflh*o
ZaxZax
h
b+a(0)=Zaxb
i l| cr* + ah + b)+!
= 1m+
f
DadI
IL[nrhro
d:
h-+o h
3x2+ 3x(0)sxZ
o f (x) = J- "*ortrar que:
=,.-L2
x
x(x + 31
f(x+h) - f (x)
CAPITULO II I
DERIVACIO
t7
l . Calcular 1a der ivada de cada una de 1as siguientesi , - tncion"s us ando la regl a general '
l ' - Y=2-3x
SOLUCION:
Y=?-3xy+Ay=2-3(x+Ax)
=2-3x-5Ax
[y * l fJ- Y = z - 3x - 3ax - 2 + 3x
ay = -3x *#= -3
-:-= -3dx
Y=mx+b
SOLUC I ON :
y=rnx+by+Ay=n(x+Ax)+bl-v + Av'] - y = frnx * m[x * b] - [rnx + b]L) - tJ / t
AY-mx+mAx+b-mx-b
ay = n^x * ! I - ' 3L- nAx dx
I
Y' lx
QlrulilllN:t
Y'e
Y+AY=
[v * v]
Haciendo Ax
A \ t2l- = Zax ')Ax
-+0en
I' /
{ r . S = 2t - t -
SOLUCION:?
S=2t- t -S+AS,=2(t+At)S+AS=2t+ZLt
(S+aS) ' -S=2t+AS = ZLt
=2-At
3t . - I=Cx
'Sol ,UcroH:
/a (:1 + Y"; -
- v : fe{.x + -. .)2] - o*2
' *Ax * a(A*)21 - .*2Ay = [Ax- * 2a:
.)6; i = 2axA: l * a(Ax)-
- ry-= 2 + aAxAXel segundo mienbro:
= ZaxJLctx
7.
- ( t + at2
tz - 2t t - (t) 2
|Lt - t2- zt l t - (At)z- zt +
- zt / t t - ( t ) 2
Zt - At * dS, = / - 2tdr
1i
hlL^-_3y=cx
y + ^y -
c(x +,ax)s
'{
18ay = s3* scxZ^x + scx(*)2* c(Ax)3-.*3Ay = 3.*2Ax + 3cx(Ax)2 * , (A*)5
*f=3cx2*3cxax+c(ax)I"{aciendo Ax -+ 0 en el segundo miembro:A) '
= icxZ. -) -gI- = icx2
.1-x dx
y = 3x , x3 proceso idnt ico al anter ior :
. IOLUCION:(
) '= 5x - x"y+Ay=3(x+Ax)
- (***)3
(y + Ay) - y = 3(x. + &.r) - (x + A*)3- ( jx - *3)ay = J+J. ' lx-x3- 3x2x-3x (ax) ' - (*)3-!***3ay = sax
- ixZax
- sx ( .x) 2- (nx)S
-av-= 3 - 3x2- sxax -
(x)2,AxEn el segundo miembro hacemos que Ax + 0Y= 3-3x2+d)r=3-3xZAx dx
u=4V2+zv3
SOLUCI ON:
u=4V2rzVSu + Au = 4(V + aV)Z * zV + av)3
(x + Ax)y = (x + x)4 - *4*4* 4*3* * i u* ' ( x) 2* 4x (ax 3* (x) 4 - x4x3x * 6x2(ax)2+ 4x(*)3 * (*)a4x3* x2^x + 4x (x) 2 '+ (-.) 3
Ax - ; o en el segundo rnienbro
4x3 - ' dY = 4x3dx
8V
6.
'f
SOLUCION:
:
to + AoJ-o r - 'z t t
, -
2 -
o+40+1 0+l
Au * 8VAV + 4(AV)2* 6V2tV + 6V(AV)Z * Z(aV)3
*, = tu + 6y2+ 4Av + 6vv + 2(Av)z
En el segundog= 8v + 6v2AV
4y=x
.$OI,UCIO:4) r=x
Y+aY=) +Ay.
ay=ay=AyAx
Haciendo
4y=Ax
20+1
m i ernb ro
clu-+
-=
dV
p=
p+AP=
.+0
.. ,2+ ov
z;---tur l
2o+A0+l
u + Au = 4v?+8vav++(tv)2+zy3+oy2ay*6y(ay) z+zptv|s(u+Au)
-
(u) = 4v2+Bvav+4 (^v) 2 *zu3 *rl2av+6v (av) 2*z tdvl 3 -4u'
02+OAo +0 x4*4x2* 4
x
(*2* ,2
t+at+4
6x7?(x-* 2)-
ae+o +
3Y =-
.,
xo+Z
!LUCION:
-2A0 AyAx
2l6x20+2 20-zLO-2ap=
(0+1 )2* o.(1+0)
(o+1 ) (0+1 +40)
2
O2+ 2el+1 + AO ( ' l+( , )
-2A0(e+1) (0+1+s
haciendo AO + 0 en el segui ldo miembro.
2
C;P
l+
? 1] dvbg =
-
dx
,\gc
ie-AE
^ t+4l )=__t
SOLUCION:dode
S+AS=t+ at
' t0.-
S+aS -$=t+At
t2* t ' t t + 4t - t? -
t+At+4 t+4t
rat - 4t I .+=--5
vray = (x + Ax)"+ 233(v*^v)-v=ff i -7;
0,, =-sxZ n o - sx,Z- 6xx - s(x)2- 6
.
*4* 2*3a* +ZxZ+ xz (Ax) 2*zx?*4xr+2 (ax) 2+4
av = -Ox:c - 3f:c)2e' *o*r* t**4xz* x2(*)2+4xa
?LX=-
4xo -4x+1 - 2Ax+4xAx
(S + lS-S = At+AAt+B At+B 23ay=
iL=AX
LiJ- =AX
dydx
ZLx.,
1 -4x-2Ax+4x'+4xAxCt+CAt+D Ct+
+BC+ADL+ADAI+DB-ACT
n
t'
-acrAr-Rt t -BCt -BCAt -BD,cr2+tecat
a
(2x - 1)-.,a_
,*D' -
- Lx + 4xAx
?
; hacemos que Ax * Oren-tonces:
e+z
(cr +D)2 + cAr(cr + D)
(Ct+n 2+ (Ct+D) CAtADAtAq
AS- AD-BC.
En e1 segundo' hacenos que t
n ienb rc- ' l(1 -Zx)z at (ct+l 2r (ct+n) cat
Aq^n-pasAn-Bl.lo _
t \u -
pv :-_H
1? - ^
=-tr ' Y o + u
i solucloN:p+aP - o+Aog+40 + 2
i(p+ap)-P
At .
(ct + n2' dt
1x'+1y=T
SOLUCIONt y * oy
(Ct + n2
(x+ax)S*10+40= E-=-qo- -
Ao=
_g=A9
ap_AO
(o+2) 2+.,
(0+2) -
7H +e A0 + 20 +240 - t1.?! - t * 2A0
(0+2)2+ (o+2) Ae2'
t )(e i2 '+ (e+2) A0
queA0 +0eneLmienbro.
(y
Ay; haciendo
^ At+Bb=-ct+D
S0LUCI0N i S+aS
(O+2) A0 segundo
*49 = 2 ,' ou (e+Z)L
-
A(t+at)+3 r- c (t+at) +D
At+AAt+Bct+cat+D
(1 -zx)2
r 4. ' l , = zxlac * gxz(Ax)z* x(Ax)l - Ax
,x2 * xa:c
Ay-J-
=
^x
2x5+ 320* * x(Ax)2- 1 s1 nacemos que; en el segundo
SOLUCION:
(y*y) -y=
(x2+l [ t + x+ax 2]
1-x?
Ax+0niembro.
y+^y=r--- i++(x+ax1"+ 1
x+Axx__----" -
-- l -
[x + Ax)"+ 1 x '+. .1
ay
Ay
7?a'?x'* x"&\ * x + &( - x ' - Zx'Ax - ) : f x l - - x
[ (* * ax)z + t ] (*2 * 1)
=,-*24**A*-*(a*12(*2* 1) [1 + (r + a*)2]
1 - xZ - x^x
;
dy=dx
z*-L*z
11
x-
16.- y
2x-
I=-
z2x+a
SOLUCION:Y+LY
1*2*rz -*2 -z*L*- 22(yoay) -y=
(x*. lx 2*2
-2xAx - (A*)Zxz*az7 [(x+ax) z*^21
2x+Ax
(*2*o2) [ (x+ax) 2*^2f 'hacenos que Ax * 0 enel segundo mienbro.
x2*.2 x2*a2
2x
2x(x"+ a ' ) '
7*2*^21 [(x+ax) 2r^2J ax (x2+ t) ( ' t * x2)
= -1 - *7(*2* 1)z
=*2?4-x-
(x + ax) 2* ^?'
ay=Ax
3l- =
haciendo que Ax * C en e1segundo miembro:
/1 - x"=
--;(1 + x-)
Ay= _vdx
-v-:JA
2/_Ax
2x
)ION: y + Ly - (x + Lt)-
4-(x + ax)z
ly + Ax)Z *?ay) -y=+i - -T1 - ( r * *) ' 4:x-
[x2*2xAx* (ax) 2] (+ -*2) -*2 14 -*7 -2*L*- f * l t ]dvdx
(y*
ay=*2, ^272
17.- y=*2*
[+ . (x+rx 'J U -* ')
. 4x 2+ 8xx+4 tax ) 2 -x4 -2x5 x -x 2 Cax ) 2'4x2 +x4 + r5ur+ft *2 (A*) ' '
. . - r =
:
[o-(**) ' ] ( l ' * " )
r=8xax+4[x)2- ' ) -?14-(x+nx.-J (a-x-)
* Zat l t
.Zat+
* a(t)2 *
b+a^t
bAt
haciendo At + o en eI se;un-do mienbro.
=Zat+b
8x + 4Ax.r_
')f4-(-x+a-r) ' ] (4-x")
. hagemos eue'Ax -+
' segundo nienbro.
8x=__-,- j
(4 - x-)-
2a+b
?= cv - ov
-> -:.-a+
ul
^x
Ax
,,sf
0en
(4 - *2) (+ - *2)=8*
(+ -*2) 2
I?
19.-Y=3x'-4x-5
SOLUCIO]{: i/ + A), = 3(-r * A.x) ' - 4(* + Ax)
v + ay = 5x2* 6xax, + 3(Ax)2 - 4x - 4a,x - 5y+Ay-y= (5x2+6xa: i+3 (ax) 2-+*-4ax-5) - (3x2-+*-s;
' - '2 ' ' , -4ax -5 -3x2+4x + 5Ay = 3x'+ xAx + 3(Ax)--4Ay=6xr*3( l rx)z-4ax
, haciendo qtre \x * 0, eni s e gundo ni i etnb ro .
dr ' = x -4
. t v
)20.- s = at- + bt + c
soLUCIONt s * as = a(t
' tS+.\ : l ) -S=:r t?+ 2atAtr" ( t ) l
3V2
u + \u = Z(V + AV) ' - t [U * i ' , [ ) t
u-u=2v3+6v2 v+ov ( A v )2 +z( v) 3 -:v2 -6v^v- 3 ( v) 2-zv3+v2
= 6v2v + evlay;z + 2(v)3-ovv - 3(av)z= 6y2* 6V(aV)+ Z(AV)2- OV 3(V) ; en el segundo
miembro hacenos lV + 0
8x
LY =6x+3ax-; lAx
iL=6x-{-+AX
+ {P=ovz-6v
al
=u*3*bx2+cx+d
t y + Ay = a(x+lx)5* b(x* j - r )2* . (x+:-x.+
Ay-y=a (x+&x) 3*b (x*Ax) 2*c(x*Ax) *d- (ax3*bxZ*cx+di
y-ax 3+3 ax 2 A* *3"* ( M)Z+a (x) 3 *b* 2 ' 2bx ax +b ( x ) . 2 *c '*cax+
23.-p=(a-bO)ZSOLUC I ON :
p+ao= [a-b (e*0)] '=L^'-2ab (g+0) + U2 e*no; 21
p + Ap = az-2abg - 2aba0 * bZez * zb?ere * 2(o)2p+ap
-r=^2 -zab-zaba0 ,b202* 'zbzg 0+b2 (Ao) 2- (a-b0) 2
tp=^Z-2abo - 2abg+b202* 2 grc*uz (o) 2 -a2*|abe -bz gZ
ip = -2abA0 * lbZOAg + b' (OU)
-: = - 2ab + zb}g * bzao haciendo A0 -r 0^o
' ;1";1.;egundo'3P-
= -
2ab * zb?o = 26bo - a) 'AO
:b= zb(bo - a)d0
24. y=(?-x)(1 -2x)lOLUgIoNi y + Ay = (2-x-Ax) (1-2x-2Ax)y + Ay-y = (2-x-Axl ( l :2x-zAx). (2-x) (1 -2x)
Ly = 2 - 4x- 4 Ax - x + 2x 2 + 2x Lx- Ax + 2x Ax + 2 ( ^,\
) 2 - Z * 4x*x - zx}Ay =
-4Ax + 2xAx - Ax + zxAx + Z(u
3IAx
a - bxZ xbAxhaciendo Ax o 0 en el se-
a*bx2) [a+b(x+ax)2] ' gunclo nienbro'
^y= a-bx?
ax qa*bx2) a+bxz) a*bx2 '2
a + bxZ
x?
y + Ly - a + b(x + ax)2
1y- a - bx2dx 1a*bx2 2
28. ProblamasDesarrol ladosolucr or :
x5.x
)29.- v ' l)
a+bx'SOLUCI0N: v*Av=
4rAx
gdx
7y+Ay-y= (x-+Ax)--
a *b (x + Ax) '
Derivando con respecto1a regla general :
) l(x + Ax) ' - 2
- (y) = *2 * 2xAx + (^x)2 -.,
+ (Ax) "
Ax ; haciendo Ax + 0iembro,
.
. -9r-= zx i reempladx dado de
a x, apl icando
(*2 - z)
en el segundo
zando eI valor.x.
(1)
(**x) 2
n-- a+b(x+Ax)Z_ "*bx2ot---
(x+Ax) 2 *2Simpl i f icando y operando de manera sini lar que el ejemplo 27 .se obt iene:AY
--2a i ! g_ 2a
5x
Apl icando las der ivadas hal lar la pendie-nte y la in.-c i inacin de 1a tangente a cada una de las curvas si-guientes en e1 Punto cuya abscisa se indica' Ver i f j "ar el resul tado, t razando la curva y la tangente'
1.- y = x ' - 2 s iendo : x = 1
SOLUCION:dx
(x + Ax)2a *b(x +Ax)2
a +bx2
y+
(y+ay=
^'\J=Ax
^yAx
Ay=
^Y). 2xAx
2x+
2x
2ax 1.,+ =z(1)=2atx- Clculo de 1a
Coro :incl inaci6n "0" :
dy
(a +u*2 2
2ax---T , -(a +bx') '
(2).
tag Sreenplazando (1 )tag4-Z E
9.arc = l3o
Flnalnente:
clx
en (2)' ngulo de incl inaci6n
tag Z?6t o6t l
| -
2 y . 63026106rr
- ' Dendiente "
. f lJo26tg6tt
Graf icando 1a funcidn dada:
z.
Av=/-Ax
AY -- '-r
Y'el-x-
ClcuLo
?.2x- x
2,s iendox=3
- Graf i .cant lo:
ay=
y = 4 s iendo x = 2x-1
SOLIJCICN: Der ivando :
.y+Ay-y=
SOLUCI0N: Para calcular la der ivada apl icaremosi regla general :
')y + y = 2(x + ax)
-
(x + ax), 'z
2 '2 2Ly = 2x,+ zAx
- Z* * 4"
')ay=zax-xax- (x)-
7
1a
haciendo en el segundo mi.embroSx -' -E---
aYAx (x-1) (x-1) Ax (x-1)zPara : x = 2. , yt = - l -
Clculo de la incl inacin f 'qr t :
tag0=yt(x-1) -
tagE=-4 + g=arc-
Graf icando 1a funcidn:
Y+LY=x+{ - f
4x-4-4x-4&r+,1x- l (x-1) {x+ix- ' i )
hacienclo Ax + 0, en el segundom iembro .
4-=
x+Ax - 1
-4 ^x( I - l I (x+ax- ' l ) ;
-x^ 2t0
dy(1x 2-x
(para x = 3)de la incl inacidn
tag0 = y ' = - l - ) tag4 =
-1 "{ l I 350325" Itag( -4)III
4r=F
r .n ' r r l i r ' rn
( : j ,1.5)
, ' . 'Q =-75e5750
C1culo de la incl inacinp0rax=1
y' = 3(1)2 - 6(1)
yr-_3
tag = -3
0 - -71o33'54r '
Q =' t08o.26t06"
I ' la l lar e l punto de 1a curva y = 5x - xZ en el- que i .aincl inacin de l 'a tangente es de 45o
S la incl i .naci6n de la tangente es 45o entoices:4, = 4 5 ' ( tbnando 1a tangc' ; r te a ani :os nierrbr.os)
tag0=tag45"tagQ=1; pero:( tagg=y,)
' y ' = 1 . . . r . . , . . . . . ( i )De t .a curva- dada:
zy = 5x - x- . . . . (2)l la l lando 1a der ivada:
Igualando (1 ) y (5) :1s$-2X-r '2x=
ReenpLazando el valor de
y=s(2) -(42
y=70-4Y=6
Luego, el punto P de laP(x,y) = (2,6)
35endiente.
q
=75"57 ' 50r 'l l 2IIIIIItIII
-14.- y = 3 + jx - *3SC LIJC I O)J :
5.-
s iendo =
x=
Clcu1o de la pendiente:
Y' = J - 3x2Para:x=-1
)- ' = J - 3(-1)zl " t = Q
tag 4r = 6
y = x5 - 3x2, s iendo
SOLUCION:
4 -> x=2' fx" en (2) :
y=*5-3*2Clculo de
. la pendiente:
I=3+3x
rendi en
curva buscada es:
En la curva y = x3+ x hal lar los puntos en. las quetangenEe es paralela a la recta y = 4x.
SOLUCION:-- lEl lenos ia petrc i iente de: y = 4x
Y'= 4 ( i )- Clcuto de la der ivada de: y = *3 t *
I t= 5x2+7,. , . . . , (2)Por eI enunciado del problema (1 ) y (Z) deben serquales:4 = 3xZ + 1 + 3x2 ='3 + x2 = 1
x = t 1 . . . . . . . . (3)tos valores de i txrr en
x
i+l
+ (-1)
Punto: (1 ,2)
b) Para x =- l :
2xYt =-Zx
x=-1 tagg=Z t ' 0 = 63026'06"
calcular el nguto formado por Ias tange-- 'apl icaremos 1a s iggi 'ente- frmula
:
- Para
br) Para- tes
fnl - Inztag rJ
| + mlrn
reemplazando valores:
-z-2 '4tasc=- 1 + (-2) (2) -3
. "go-f + o = 53 o07 '48"Reempl aeandocurva:
a) Para x =
uno de
=x3+
= (1 ) "=7
Y -
(-1)3y = -1 - 1Y.='z
cada
v1:
Y=*2X-) '+7o0SOLUCION:
a) ) .o *2x-Y+zY=x.+ZIgualando2
x =x+Punto: ( -1 , -2)
r 116e33r54"
vv
)78.- y l = f - x- i Y2 = x ' - I
SOLUCIONt ") j : : i tando cada una de las funciones da -
l -x2-x2-
2x2=2
x2=1
bl) Para la curva y = 7 -
xz
- Clculo de La pend.iente: y' =Clculo de la incl inacidn: tag0 .
bt) Cf culo"de latYr-
Yr- zx-
Clculo det) tag6 ' 2x-
Para: x rtagfr '2 (2)tagol-4 +
pendiente:ly=y+2
It- 1
1as incl inaciones:
z
. -75o57
| 50"' f
2) tagS = I-
Parat x -
2 'tag0., ' l +0t ' ' l5o
- .Para x l l J i tag9*.2 . )
- Para: xtag0z =
t ag, i 2=bz) Clcu1o
- Para: xtaggr= 1
-6a
= - ' l
o 02= 45"
tangentes:
-2 + +Z = l ' l 6o35r54r l
del ngulo formado por las*1 'mz
.l + rnr n,
ClcuIo de 1a inci inacin:t
tagQ=yt=3x--3paratag9 = -3 + ,1 = 1u8'26t06"
De rnanera s imi l .ar hacemos para 1os
Hal lar e l ngulo de las curvas 9y =
en el punto de interseccin (3,3).
$Q!! lCiON: Las curvas dadas son 1as-3
X,
=T (1)
= - l
2 (-1)-0
A^^.
?x'y y = 6+Bx
siguientqs:
-X
tagc= -2-41+(4)(-2)
a) Ordenando adecuadamente cada una de las funciones (curvas) dadas:
J-,y = x- - 3x . . . . (1)Y = - 2x
, , , , . (2)
Igualando (1 ) y (2) z*3-x=o
x(x+1) (x-1) = Q
solo los clculos pa-o el- otro para el . Lec
y=6+8x-*3 (2)Calculenos las pendientes de cada uno:
_.2dc (1): y ' =tde(2): y ' -8-3*2Ca1 culenos l rara e1 punto ( j r3) :
, . r2y, = LJJ = J.
?
y'= J . . . . ( j )
.'
Y '=$-3(3) '=-19y'=-19
. G)Para hal lar e l l lgyl" que fo:nan tendrenos que usar1a siguiente fdrmula:
tago=*1 -nz1+nrn,
Reenplazando?)
-50
o :27 c26t 52t,
' tag q, 6-
o = 40oi6|0S'
3-ru.- v = x - Jx2x+y=0
SOLUC I ON :
3-x--3x=-Zx+
),
x(x ' - 1) = Q 'D
[x = 0{x = ILx =- l
b) A cont inuaci6n mostrarenosra una de las curvas dejandtor '
y=x3-sx-
Calculenos su pendiente:
tago
0
(3) iy (a):-
s l - ( - lg) . =l*(F) (-1e)-
utt trg (+)yt -3x2-
CAPITULO IV
REGLAS PARA DERIVARFUNCIONES ALGEBRAICAS
Hal lar 1a der ivada de 1as siguientes funciones r
l ' - Y = x-
.
SOLUCION:
)
dv d 3. ^2a; = *(x) = rx
y --
"*4- b*2SOLUCION:
.:* = f {"*o- o*2) = * ("*0, -* (bx2)= , f r*al -b;1(x2)
'= 4^*3 -2bx
y = *4/3 , sSOLUCION:
** =
* ,"0",* f rs l= 4/3 * l l3
^34.- y=3x- - 7* +g x
' xz' x4
SOLUCION;
[ . r=*z-syn=s]y=/7-SOLUCION:
= #," ' -x2)r /2 = i r^ ' - *2)-r /zu2-*? y n=l /21=, L G2- xz) 'r l2(. ,2x> = -
2
y=*2-t)5SOLUCION:
f{ = s l*2-'t>4[v=*2- 3 r
'
+ = s(*2-:)4ox
= 5x(3x2 + 2)
*u*
F;7' - , -2**2
A?] (x-- r)
= 5] '
tu.2x = 10x(x--3) '
d; (^2- *2)
"2- *2
3.--
6Jx2 + z)( l + sxz)-1/z sx + 6x(1 n s*?)1i2+=
45x3 + l6x
** -t [sxt3/sr- u tx-r /s'1+ftcr.trt,= 39/s *8/5 + l lzi 'al3+ztrl i* 'al7
Comprooar cada una de 1as siguientes der ivadas:
Al, 1 a
| cr"o- 2x2+ 8) = Lzx3 -4xSOLUCION: '
* c.**-zx2+8) =.$o. (r*o) -f t . G*z) (8)7
= 'l ?xu -
4x + 0
?=' l 2x"
- 4x7)
-2x")=J-6xo
d+--
cx.
dldv- 'dx 2/v dx
SoLUCIo iA
4l
-A -
1 -1/2
" y 'v =
*(v)dx
ldv= ;7 ' -dr
d.2 3,-
[ - -
- l =
dx'x 'x
SOLUCION:
t d r-L -
3 \'dx tx
*2td.2, d
= -
t - l - -dx'x ' dx
_ d (z* l l ) _
dx
dvdx
10.
z6- --z- ? -J-'xx
-$ r + jxoxSOLUCION:
6| (4+ix d-F7.)
'2x ' ) =&
'=0+
=5
2A5bt ' ) = 5at '
' :
- 15 btz
(4) +
- ' )Ox-
(51) ( zx-t )diF
6x2
(+d 3-21
dx
( -z) (3) x-311.-+ (uts -dt
SO LUCI ON :
s- ats - su.3)dt
.2712--+ t4 - 3-- l =dz'2 7 '
SOLUCION:
= (-1)2x
2=
--
2X
-?
?-
x
t1 /3=,93
j,
=+ ( ' t5) --q- (su.s)dr dt .
= sat4 -
lsbtz
6,z-z
i
I-d rr-
d , - r ' . ,
-TT)- t-T)az-16
3p"+tsdr
- sJ/3)SOLUCION:
fr (+ts - tr ' / t)
2t-1 /s
- * Gt4ts) - ; f cs.t / t ld ,22T = z+) J/3 - st!t-rts
* r*-1 / 4)
_
8 -113
3_ 2 {113
-1/4 _ x-S/43=Tx
a=
---i.L
x'=C-
"yx .
LYY =
- t f - - - - ,
.- r/x dx
SOLUCION.:
*0 tc
a_,
xi rI , l
=--- f, l - 'Z47x xfx
dvdr/F- ! - -=- ( . - - -dx dx t'
16.- + (z ; /qxSoLUCIoN:
d (z*3/4 *dx
?
c4x-1/4) = *
exsl+,
= 2Q*-1 / a
+ d (4x-1 /+,dx
+ 4 (+)x-s/4 d ,*1/2, d , z- ,= - r - r t - /dx ' 2 ' dx 'x1/2
=l*-1/4 _ x-5/417.- d (x?/s
dx
SOLUCION:
d. z/3 z l3*
(x- ' " - a- ' - )ctx
rB.- 31+u*+"=2,dx'*SOLUCION:
a2/3) = 2 *-1 /33
= + Gzl3)dxz -113rx2 -Ll35*
=c:2
x
- + r:u'r',(1x
-0
3.-l2
f e+ b +'cx)
=
-$ ( . t - l /2 * f{ut t /2)
"# G / '
-
a , -312 *! . -1/2 + 3c ,1/?
222
- -L* --i- *zt/i 2 +
aYovax.r-
-
fax
=+.| , x-1/z - zg$y-s/z_ ! + 1 = J_ +_l_
4{l F 4E xG
" -
a * bt * ctZ, d" = -
3 *
.b *
'EdrztJEz/ i -
SOLUCION: dS d ra-
- - -
t -
*bt*ct2dt dt
A'=at (at
dv.&=t '
dx
-1/2* bt1 /2 + c; /2)
= *,*, ";f;ol * $-{.x)
2ax 2x ax
SOLUCION:
1)
zs.- f ( t ) -
(Z -
3
SOLCION:f ' ( t )
j r= lcaclx ctx
A-= _: (r 'ax) +
dx
"
a 1 ,^
-+Gx-t /
31
G
dd"
F' (x) d=tF ?,-( ' / 4 - 9x)
.,
= +-# @x7-3/z2{x L
-1 / )(a(ax) ' ' ' )
-
( -+) a @x7-3/2
' t , -2/3
=?(4 _ ex,
s s/G-g*) 2
= --3
z/ 1-y ' (4-9x) '
dvx+ = )--?lndx (^ ' - * ' ) -
a=
- -
^f-f ax 2xffi 1=-- i/2 2{a -x
---==
dr Ir = l
- 2g ; = - __-
d0 I _2eSOLUCI0N : dr , t
-- j :_ = _-_=(yl
_ Zg)d0 d0
=lu
N:dy=dx
zo)-1/2. I t - zo)d0
'ffi'
t2)3 ; f t ( t ) = - t8r (z-zt2)2A ' r3
=(t -3t ' )
-
s(z -
stz)Z. LC, - stz)
dt
= 3(z - st?)z , ( -6t)-
-18t (z - ' s tz)z
(^2-*2) '7/2, [ -2x)=-l:
z^2-x2
x-Gz -xz)s/2.
f (0)=(2-SOLUCION:
so3/s ; f ' (0) 3= _ __-____-__;T(2-5Q)zt )
(2 -, so)slsd
de
F7 ' -9-ct l - ( r ) . ! rtF7,Z
o-rr"z -x\-1 / z . #ca? -xz )) . ,
ao-xo
f (0)
= i (z - so) -2/s .3 Cz - so)rd0
=----L.(-s)5(2-50)/5
27.-y=(a-*1t ,0=+ ("-5dxx
SOLUCION:- - ' -
1t =9r" -+)2clx dx
3? -
__1_(2 -se) ' / )
dsla
-
. =
/at+t" tda
Ofl : j is =Lr*
^2 * zt?
' i ' - 2_a+ t-
,/uz * rz)dr dt
28.
i
, b.3-
y = ta +-r lL.
x
= z(a-b.*c" -* l
.z(a $ + =?( ' -+; gr =-+ o+jz
oxxx
= F;7'f ctl * L ' f, t
= + .(f 62+ c2-r/2.
-
,F7, l l^2* &)-1/2rT--L tZ
= /A'+ t - + - :_/ rz * tZ
d.2 2.dr( .+r)
(2t lSOLUCION: c lv d . b,3
_-:-=_(ai-?dx dx x"
= 3(a "412.
d (" * 4x' dx x-
. 3(a * I 2. ( -)*2 *3
29. 'Y = xf fbx t dv 2a * 3bx
SOLUC ION: dx 2 atbx-gL = d 1*,fi-u-*dx dx
= y'a + bx. J(x)
dx
-
6b (a +-b) 2*5 *2
. : : . .A-
+ x.- i - ( /a + bx)dx
dv 2a
dx (a +x)2
t= *,:,;+,(" * . l#(a - x) i . ' (a - *)*(a + x)
,(a + x)-
2 2'.a*E)
/ r2 Za+t
a-x
(a + x)(- l ) - (a - x)(1) -a-x-a+x(a + x2 (a + x)2
/ t i 1 ) ) -1 t )y'ao+ xo + x(*)(a"+ x ' ) - t tL. (zx)
2x
32.27
a+x
^2**2SOI,. t ICI O\ :
a/z z x"-Ya + x +-
{a-+ x-
-
222a+x-x.2dv 4ax= r---72dx (a-x)22
,oY Q r7 +X_._l
dxdxZZ a -x
t f l - tX t lA +X
Y = * ' ,2
a-:T-
^5n(a-x ldvdxtz 2a-x
dvd,x+=
- ' - - \' /--- 'dx dx /^2 _rr2
.* ," , - "*
(
/ 1 a 1 . , J- ' ;.y ' a =xL.x $) (a" -x ' ) ( ' 2x)
='-r--------r- $#= E}**t ( ^ 2 -r .2) -1 / 222a-x
2)7a-- x- + x-
--
(^2'*2)/^2 '*2^2
, = 92,64
SOLUC I TJN :
2a y3: -
2e E -?;-
6o - 'ggz - zaz
,E- 4g
SOLUCI ON :
$ = ! sz6:-i lt.d6 d0
.1 "ls-40.*(0")
OU
( l + cx)
dvd.=-Liix dx
F7. u r,FJt F= u (/77l-
'o* ' ; i ,=. ; o*
( /a- ' x-7-
^2ax(^2- *2) ,F:g
A (^2 .*2)- t /2(-2x)
' ) ? 7 r*21xla- - x ' + a- ' i(^2-*2)
4vdx
7' t* s- . (?zaz (J
^^2L1
OU
(3 - 4o)
401'1 / z
'1 /z . ( -4) SOLUCION:
22
.,
20 (3 - 4e) : g'
oe - roo2F+o a-x {}) ^2**2)- \ / ' . (zx) -
J6.- y = re. ' gr =-v1+cxdx
-t-r(1 +cx) { -c 'x 'Idy . :&,
....'...'.._ \. ---)r ix dx '1+cx
a--
re- cx.$t,zi - "-)-rffi.f fffil
gffiz
' ff i c*l ct -cx) -1 l 'r")-'ffi(b (r +cx) -t lz c)= t . tcx
-clTffi -cff i
-2c(1 + cx) - 2c(1 - c t )=t
a(!tcx)ff i , l |1-
a/-x l
*(u2-*2) * *("2**2)
(r2 '*2)
2xaZ
(^2 - *2)
2{1 -cx 2{1+cxt +cx
-c(1 + cx + | - cx) 2cds=dt
/-,z(l t cx)/1
-
"2*2 ,.
5 -
40
2rl+cxl ff i
7-
- $ c u/2 + 3t
' -2 -
3t ' ( r ; )213p-3413
SO LUC ION : ds d. "
-
= - fdtdt \
1--{2
-3t .z-2( ' /z + 3t) -"y '2*3t . a 15/ ' .T1-7
r
Q-sz ls
.A+
d
SOLUCION:
, 2/sy = (a
SOLUCION:
;
"F:7_ x?/3)s/2
dy
dx
dvd+=-
dx dx
(^2 - xz)-1lz (-2x)
-bx
b r ' l .-a\2)
(z - i t )1/3
?r.f t \T6- +dv
;;-
.grtdxA
_taA-
3tv'Lyx
2/3 --Z/3,s/2
- \ )
Q-s2/3
=?-\x+7+3t
=-
r Ia dervada deZ.-f (x)=G+
SOLUCION:
11
- l - + . - ,ZI5. x [JxJ
43.- 2-x
(^2/3 - *z/3, , , ,G?x"t /3 )G2/3 _ *ZlS., , t /z
sq3lvY;
cada una de las s iguientes funcioness/*
="f;r6tf ' (x) = # (6, + t {u l. f tc 'ml
=f cz* ' r /2.z) (3x) 'z l3 . s\
-L'2
=-
(z -3t) 2 / 3 zrstTz/ 3, z -st72/ s
39.- y , , f f i ;SOLUCIOi.{ :
pv
qrdx
=
dydx
g /E
ox
={ c)n* l -1/2. i : r ,:
.D
-. . lPxD,
. l_J
(z-s l l2
(^ * . st) I /3( 2
- \ t \2 /3
y=l+2x2
t l
SOLUCION:t t=*(Gr)dx ctx 1+Zx
?a-Zbx+bx2G
-
Ux)6Jx-
- $=
y'a + 0 t-r
SOLUCION:
1t?) (a
=-
2a+bt---
' 2t . / a +bt
_
2a-bxz(a-b{f f ix
- , (1 *zxz) j - tz -x)- ctx
. , |\ - x) ,+-(u^
* zxz)ql* zxz)z cs
-d-- 6-lTtfrf = t t--j- t
y'a
-
( r + zxz) (- l ) - (z - x) (+x)(1 , z*2)Z
1?_1 _ Zx- _ gx + 4x_
( t , z*2)Z
.,
_
2x' -8x-1?7(1 + 2x') '
?f,
-1 / ' )bt) " ' (b)
2'ffi bt-2(a+bt)^
,
bo- _
tGTEo-
3(a + 592/3= : ' \4 ' uvJ b0 -
3fa + lar
oo 30, (^ * bo72/s3a + 2b0
3a2 G+6s72/3
y = *z.E=ZiSOLUCION:
+ = .d {*2,6=T;dx dx
?-: " /2+3,*(*)rxr
'cx
- ) - zt- i ) -1/2
= # (, ,
-* ,
f tc* * z)Z
, 7(x + Z) + (x + 272.$i6z*
x(x + 2)2F;
dsdr
47.
GAI + xz . f j - ; ' fs - 2x)- i .2, ( -z). . ,
y -
x '
{S_2x
dv d T-.= (* - /z + si |
$rsrre=!f f i+x:
. (2+3*-z ls. (g)-
3'mt . t'3;zy_
-2+3x+x- 2+[x(24\2/3 (z+sZls
=2x
=2x
-L* 1t t
dvJ=
dx48.-y=*3,Q-;- ; .
SOLUCION:
z-1 l z. (zx)
I-2
r
f f i , . | (x + 2)z+ (x + 2)2'*F - : - ' l
=?(x+2)
5l . - y = /T-= 1-yz-{y+{xSOLUCION:
;x.64/I-T-3;
dv,dx
Zr
_.,'-GF .# c/i-;-El -,ffi # c3rn-gxl(7T*; 3x) 2
3'-==. (+, (r +2x) -1 /2 , G) -n;,{1 r *s*-2/1o
1,-' r ' l \ + 3x
riTE2
.1 .2xz f--T' / (1+3x\" ''/1 . z*
qtfr72(1 +3x)-(1 +Zx)
'1 l ' '(1 +zx) " ' . ( l +3*1: t /3 1l*zx)1/2 . (1+34/3cada uno de los siguentes ejercic ios, hal lar el valor
para el va.lor dado de x.
SOLUCION: ,,m-.,'.:)/1+3x
dAx
#-*, t* + )
1,E t Parax=4
EngJdx
52.-y=(*2-x)5
SOLUCION:
; x-3
gy. = '+ (*2 - *)3dx dx
7x)- (2x
- t ) , para x . 5 ',2 (6 - 1)
-
s(36)-
3(x2 -
= 3(9 -
-
540,)
x
(s
-
(+) g1-2/s . +) u-112,1
-+ssF
: -+r--1-- 13-t(64)- zf f i ss/z l f*T
1 *
1 _L =l_
48 1 48 12
y=Gx)1/3*C?2/3; x=4solucroN'
1| ;=*[(z*) ' t /3 + e*)2/3)
= f tz*) -z/s , e) . ! t2x-1/3. (z)
=--J-. -
=6712*l ;ut ; parax=4
= ? +') t? ^. . l /s3(8)"" 3(8)""
_
2 *
4 =
1 ,
2 =
5,3(4) s(2) 6 3 6
55.- Y =
/9 + 16
x=2
88E
--f f is
x
-
3x - 2(16 + 3x).)_-
zx ' /16 + 3x
= 9 - 2(16 + gj18 /T6;3
;para x=3
. .JL90
56.- 1 ' = x=3
y = x 6 :7 ; x=2,.$!!G-I-0N: tdvd*=- lx
dx dx
= r-5 (zs - xz\-3/?- L '
J t ,
=
r* f f i ;Para1
= --+77 =-(2s - 9) t / 64
fiffiJ/. - y = - r r Pafa X = J
x
SOLUCION:
SOLUCION:
; para x=2
-*o2-+=o
x=2dv d ,6'-* 3x,
-ff=?I-r----.-/i
: - l
xi rr-Tc-ffi - r-i-o$.# t.l=
x- l
#=*,* t F*t
- rc.# ot, , *2.;!rf .-Fl
r* . * l (16+3x) -1 / 2-6vv
SOLUCI ON :
=* ,n * 4*2- t lz
v . f . - - - ' . -A*/=: l /9+4x-dx dx
4x.(8x) =-:
/g*q*z;parax=2
(-2x)
x=3
dv d '-:-l---- \
-. r /25 - x' =it6-t.# o, . *, *
G]= 67 * * c l l ca - *2)-1/2. ( -2x)
2x
-*2
=r
, e*) * *2 .5 a * *3) '1/2 , (sxzr
; x=1t
=?x - -4/ l +x5++; para xEZz/t + x5
= 4 6 "
4 -
12 + * = 2026
60.- y = (4 - *2)3 ; x = 3
dyffi = of c+ - *2)3=-6* v-*z)2
-
r--T--;=
+f = uf, (1-*;rrr)
2/5-Zx
SOLUCION:Pera: 'x =
-3')
= -18(4 - 9)-
'?x+bl.- Y =-- . - i
- t 2-x-
SOLUCION:
= -
l8(25)=
-450.
x=2
= y {3 + 7s.
-1 -4= ----T-
5=---
x=5
IgarrL x"= a
+-
/3-Zx(2x+t )
)-v
-2 {4t-e-- 9x -
y -
16 = 0 (ecuacidn deEcuacidn de ra normar,
ta tangente)1
Y - Yt = -- j - (x - x,) (xr , f r . ) -
(ZrZ)7y
- t a - -.ii (* - z)
,9y - 18 -
- x + Z ' ' x + 9y
- ZA -
0 (ecuaci6nla norrnal)
(3 - x)2
-
(2x + 1) (-1) -
.(5 -*') 2
; evaluando
6-2x+2x+' l- l
a(3 -x) '
en el punto (2,5)
77(3
-x)
'Ecuacin
, T . YIy-5
=l
de la tangente:= m(x - * l ) i
= l (x-2) +
Ecuaci6n de La norrnaL:1Y-Yt ' - f (x -*r)
1y - S = - j (x - 2)x+.7y-57-0
donde _(xr, I r ) = (2,5)
y-5=7x-147x-Y - != 0
- | 7y-35 --x+
I )la +
(3 -x) 2
-xI+YZ-76;(3,2)
88- Clculo de Ia pendiente:
xy , yZ) = rr (1)dx
4x-y-* jL*zydY-odx dx
dY =
Y - 4x ; evalu4ndo en (3,2)dx 2y-x
' 2- t2f f i=- lo
. Hal lenos la ecuacidn de 1a tangente:
v -
v o m lx -
x1 )t .1 '
2=-10x*30y-2 =-10(x-3) + Y-10x * Y'- 32 = O
- ' ' , - !
- Clcr lo de la ecuacidn de e.noral :
1.Y'Yt ' ' - f ' (x-x1)
f r (x- l ) +- 17 = 0
+ 4 . 0; (1, -2) .
1a ecuacidn de 1a tangente:
Y1 =m(x-*t , )2
-
. -2(x - 1) -> Y + 2
-
- 2x + 2
2x=0
1a normal:
1,y1 =-*(*-1)1
- - - + 2y" * 4 = x - 1Z =
- tx - J
SOLUCION:
,
_d- (zx'dx
y-2=
10y-xt
y'+2y-4x
!WN,:
10y-20=x-3
Ca1 culemos
v-y+
y+
Clculo de
t,ener
(* l '
v-
y+
2y
las
Yr)
-x+5=0
cuaciones de la tangente
a la el ipse b2*2 + ^2y
Calculemos 1a Pendiente
* ^2 yz) =L@z uz)dx
y de la normal
2 2.2=aD
de la el ipse:
, r9*29-dx dx - -4.0
L (ot * tdx
Zblx * z^zy 9- ,-dx
dv.L,=-
tx
0
b2x
^2y
*,rt + zy, ax 1 a) ' 6i Col
, evaluemos en (xr , yr
jv _
-4Jdx ^z
yl
Clculo de la ecuaci6n de la tangente:
y - ) r . , = rn(x - *r),
Y-Y t= -?(x-xl ) * ^2y ,y-uzyzr=-r '* . ,"
Yl
^2y{ + b2xrx - ^t t1 -o '* ' , = Q1 ?**
-^2b2=o"-yly
t b ' lClculo de la normal
Y -Yt =-#(x-x,) '
^2 y '
- -? -z z ?y-)r , . =-J- l (x -xt ) * b '*1y-b'*1y 1=r 'y lx -a ' ) ' . , x . ,b-* . ,
.2 7 7 ' 'b'xry - a 'y1 - (b ' - a-)xr l ' = QHal lar las ecuaciones de la tangente y la nornal , ylas longitudes de la subtangente y la subnornal, enel punto (* l ,y1 ) de la c i rcunferencia. *2*y2=r2.SOLUCION,TTTA?
dx dx
dv2x+2yZ = 0dx
dvxJ--dx T evaluando n:
{ (x l
' ) r1)
. ' -T
lculo de la subtangente:interseccin de 1a recta
x*b2*2I
culo
v-
culo
I t o)
a
+ v-Y-Y.' t I
-r ,y"- x.' l l
2z=x,*Yr
I
r
=-*. , * t " -
de la tangente:
y- -
m(X - X,JIr
xlv = -
t (x -
x.)'1 Yl ' t
Y1Y * x lx -
YtY + *1"
TlY * * l* =
de 1a normal:
re en el Punt 'o.
y -y = - | t* -"r ly1
v -v.= --A ( -x,)' 'L * l r
yx1 -x1 )r1 = I1x -x1)r1
xrY-Y1x = 0
angente conY
ei eje I 'xr '
7:-
tamos en algo asl :
subtangente es: x l - r2 = ?- '2xl x l
I .2,o)Xl
-/
La
7-v
t - ; (*r2 * , ' r '= t t)1a subnornal
t
deculg
De 1a'ecuacin de la normal
x = 0 . + punto (0,0)Subnornal = (0
- * l ) =
8.- Demostrar que 1a subtangentees bisecada por el vrt ice, y.cons tante e isual a o.a p.cons tante e ig
SOLUCION: -
Clculo de la pendiente de la parboln
$rrrl =-4- zpx)ox dx
2y drY t,= zpctx
Intonces ocurre en el Punto:2
, Tr--l-r , o) = (-x, , o), e, . L, ,
porque: zpx, - y i = Q
De manera sini lar procederemos co.n 1a nornal .
tener 1as ecuaciones de la tangene y normal, y 1asl tudes de la subtangent,e y la subnormal de cadade las siguientes curvas en los puntos indicados.
J. x ' i (a, a) .
. 3ay)=g (*2)
dx dx
dv^dv2x?. __!_ = lx + _L =
dxa
Ecuacin de 1a tangente:
Y-yl =rn(x-.* t ) ; ( \ ,11 )=(a,a)
y - a=4G: a) fa - a,2= zax - za|?
ya-?ax+a'=0
y-Zx ra=0 -) 2x-y=gEcacidn de La nornaL:.
1.y-y,=_#(*_x,)1y-a=-tG
-a) + 2y-2ao-x+a+2y=3a
Clculo de la longitud de 1,1 subtangente:para: ) . 0 i x o ("" la ecuacldn de l-a tangente)
longi tud - ^-*
=+
(y=0) entonces i
-xt
de la parbola y2 =que la subnornal
93
ct
dv=
dx, t r=t
- La ecuaci6n de 1a recta
Y-Yt=m(x-x
=P (*Y1'
tangente es:
)I*r)Y'Yt
'?
tY - Yl = Px : Px' * 11 )' - px 2= rr 'P* l
I txrr serhemos evaluado en el punto (x, y, ) .La interseccin de la tangentb cbn el e jeen:' : " (y-o) y.y- p*.y-2-p*
I -1
o- px 'y: + px, rQ -1
- - -
P1.. : r r '- . -T-
- Clculo de la longi tud de la subnornal :para: y
-
0 ; x = 3a (en- la ecuacin de Ialongi tud=ia-a=2a
mal)
7)10.- x ' - 4y '= 9; (5, 2) .goLUcIoN'
#. c*t _ ayz) .f; cnl\ \ ' s^ - Lr.f, ''
,1. ,2x
-
8yJl= gdx
dY -
- ' ( evaluando en (s , z)d:r 4y
dv5-d = l-
- Clcu1o de la ecuacin de la normal:1
Y 'Yt = - f (* - x,)ay_t=-f(x_s
, 5y -
10 = - 8x +49 ? 5y + g= 59
5y*8x-50=0
- Clculo de la ecuacin de Ia tangente:
Y ' Y1 = m(x - * t ) !
q.y-2 =-;(x-5) '+ 8y-16-5x-25
longi tud=s-3 = 19'
lC4lcuXo' .de la longi tud de la subnornal :L: .2
' * l , .= en la ecuacin de 1o nornal obtenernos :
Ex=50+ *=-21I
luego :longi tud=4-s=+
5,=-4
4y2 = 72; (2, 3) .
$ cn* ' * qyz)= 4. zz
t8x + sy-92.= Odx
dv183dx
.12 -2
C1cu1o de la ecuacidn de la tangente:
Y - Yt = n(x ' * l )'?y-3=-*(x-2) + 2y-6 =-3x*6
95
+
c
8y-5x
Clculo de
Para: y -
05x=
9=0
longitud. subt.
en 1a ecuacidnq
*=
qente:
Je la tangente:
+
1a
t
9
2y*3x -12,=0 . .
ecuacin de La
Y'Yt --#(*nornal
- *r)
ser:La
(1)
^2y- J=5
2x-3y+5
La longi tud
v
3x=72 ->
(2>subtange,nte es:
en (1):' -+ x = 4
(x-2) 3y-9+2x-4 v-
y+
x-2y
La longi tud de
para Y=02x-Q,=
longi tud = 3= 1. .
La longi tud de
para y=0
x-7
longitud = 7=4
cular elsxrYIa
el punto
CTON:
Yl = *t )
(x -3)
- J = 0 . . . (2)
la subtar^gente es:
en (1):0- lx=Z
2
-*,*
=Q
de la
,=L-2
x
0I2
=-
3
longi tud = 4-2=2
- La longi tud
)= 02x+
Iongi tud
7xy+y-+2-
SQlUelS: -
y+
-
Clculo de La
Y-Yty+z
) +2xLa ecuaci6n
de Ia subnornal v iene dada por:en (2) z
5 =05
x=-T2 +g '2
o; (3,-z) ,
la subnormal es:
en (2):=Q '> x=7
-3
,$- t*r '* y? * z) =f rolxdY+zyj=o
dx dx
-g-= --J-; ovaluado en (Sr-2)dx x+ Zy:
_9. = _,oxecuaci6n de la tangente:
. rn* - * t )-
-2[x - 3)I
-
4 i t 0 . . . . . i . r . . . r . . . r . . ( l )
de la nornal ser:
ClcuLo de 1a recta tangente:
Y - \ - n(x - t )y-5=-Q(x-5)
; evaluado en (5r5) es:
rea del t r ingulo quetangente Y Ia nonnal a(5, 5)
dY =3 (o* - xz)
dx dx
forman el eje dei-.ti"" Y=:6\-xz
!-6 = 2xdx
9--+dx
y + 4x ' 25'0 . . . . : . (1)
Calculemosje t t t t ' -
4x-25=0
- La ecuaci6n
(_15,0)a
De Ia f igura:
la interseccin de esta recta
) '= 0 en ( ' l ) :2S
-| x = --?- -* el punto es:
de la normal es:1
-Yl =-f(x-x,)
" =41
"ABC 8
el rea del t r ingulo quey 1a tangente Y la norna1
punto (5,2)fornan el e je ' dea 1a cur. v l=!--
con c1 g
,J(--7-, u.l
( " , )con el Bje" t t
| cr'l =
.-- dy r
-. dy =yJ- - |-dxdx
dv1-=--
dx4
lculemos 1a ecuacin de
Y-Yt=m(x-*t)y - z = --i-t" - s) '+4y + x - 13 = 0
interseccidn deen (1):4y-13=0 ' '
l '
#,n - x)-1;evaluandoen
2y puntc (5,2)
y-2o4x-20
(z): . . I ' 1:
intersecci6n con el eje "Y'
18 'punto (0,- l 8)
larJ,CI
y - s =*,* - s)
4y-2O =*-5 I 4y-*-15=0
Ltal lmos la intersecci6n de la normaly = 0 en tz)z
-x-15=0+X=-lS+
- Graf icando (aproximadanente)
punto (-1 5 r0)tendremos algo asf :
Y=6x -x 2
(5 ,5)
{Zf;;o)85=-T
eI
j
1a tancente:- l
4y-$=-x+5
. .
-
. . . - . . .
- t l I
la tangente con e1 ej e "Y" trx = 0)
punto (0, +13y =- l ' ;AC = base =+- (- ls)
! =al tura=SCalculemos el rea del t r ingulo ABC:
' "" _
base x al turaABC-T85
^ -4-x 5
oAgc=T
pcuaci6n
Y-Yl-
y ' l=
)-4x+haLLando(x-o)
.
.
y + 18.-
de la. normal:1
*+ G - *r)4(x - 5) +
l8 = 0
-
4g25 el punto deen' , [ .2)z . .
Q 'r yt= '
Graf icando (bosquejo) de la funcin dada:
AT = base = l !+ ' g+8544
h = al tu ia
Igualando (1 )x + 1 = 13
Cx + a)(x
De (a) y (b) :tag o
tag o
tag o
y (2):z+*?
eQ+
IOl
-x
3)
c ro; l
x - 12 =(
-q=.1Ls3 (solo
=tz
intersec
rman:
+
x
c _base x"ABC----
slscs5ix z
s,c '= iFEallar los ngulos desiguientes curvas.
15.- yZ = x + l , x2SOLUCION:
2x + 2y 3L:dx
'{allemos e1 puntoY2'**
*2*y2-
Y2 ' ls '
Reemplazando en (1 ) con x =un valor) , zy-=! - | yentonces alguhos puntos de(3
,2) y (3, -Z)-
Clculo del nguLo que fo
' tag 4 = Tl- tz-1+m.t m,
t rabai anos con
son:
(3,2) se tendr:
=l
al tura (0, 15,4)
(e-t
Iy*=r .> #=+, . . . . ; . (a)
i *2*g:r y2) =$rrsl
1 *
5 14=4 2 _ 8 =JL
.355l- g 8
. 14= &tC Eag
-g-
= 70"20'46tt 6 Q' 709"39t14"
*Y2'32-
6 -
xz . r . . . : , . . . . . . . ( l )
-
32 . , . . . , . . . . . . . . (2)
interseccin de cada una de laa
+ Y2 = 13.
*rr ' l =,d (x + rux dx
o * 9Y = -
x . . . . . . . . (b)
dxYde interseccidn:
. . .o. . . . . . ( l )
l3 :t
r ' . . . . . . . . (z)
1. x-T-
_y y-, x ipatat--v
2v' '
Y * 6 - *?,
SOLUCION:
7xZ
0
TxZ
Y=
,yz
r02 (t ) en7xZ
(2):+ (6
- *2)2
+ 36 - 12x'2
- l ) (x2-q) - o
... .,
x4= 32
*x=l
y=6
/ -L
- t *7 - l -) );;;6 = +?^
= arctg (-) = -B .97o
= 8.97" = 8"58 r2l t l
Se deja los dems c1cu1os para el interesacio
,Y2-3Y=2x.2y=x (1)
l0: t3
lo
* x = !1'a
y=6-( t l ) 'r =\l
* *4- sr22.
x - l + x
x2=4 * xen (1):
?
- ( tz)z
7xZ
(*2
tA-^ra-v
=t1
=.1-7
Reemplazando los valores de | txr t
Luego los puntos de interseccidn son: (r1 r5)y(tZ12)Calculemos el ngu1o de intersecci6n:.
m1 - rn?tas 0
-T}; : , . . . . . . ( i )' ' " ' l " '2
De f l ) ; j I = 0-2x ; para ( t ,s)dxq=-/(a)dx
De (2):d2?d
i Cz* ' n y ' ) = | (sz)14x*zy- i r=o * dY =-7\
dx ,drf , ' ydy=-7"
. ia---F. , . 1. . :J. . . ' (b)
Reernplazando .(a) (b) en (3), :
y (2) para hal lar e l punto o puntos de
-2x=0
-2)=$+1)2 = g
ual i rndo (1 )terseccin:
*4 - 3xZ
x(x5 - 3xx(x - 2) (x
I ernos a
=2x
sra el punto (0r0)
cont inuacin 1as
f*=0,y=o{ *=2,y=4L*=1,y=1(2veces)
pendientes de (1) : ' (2) :
- *
(*2-v)=f{z* l^--dy "9I = /v &. - r a;
dY -
2 en(o,o)a; = T:1dvza;=-5
i para: (1,5)
Clcu1o de1 ngulo de
tago=*1 - *2=
l **r^z
inters eccin:o *? 2
I r)i)ra s i poclenos calcular el ngu1o fornado por lasvas (1) y (2, \ , en el Punto (5
'3) .
l+0
ts6
= 33" 4L'24"De manera simi lar se
-> d=rr" tgq{
procede para los dems punto
.
n1-mztag I =-----
1 +ml ^z
plazando (a) Y (b) en_
5 _10
12 3 -tago=
r+-i12 3
eso: y=s -r(+)t
( r )23 ( r ) :
:J5-f29--:6
36 -5036
r8.- * ' * or '= 6t ,SOLUCION:
')2x' -
Resolv iendo (1 )_+
2*2-y2=4L
x.
)=
(2)
t
+
41
4Yz = 61 , . . . . . . . . (1). . . . . . r . (2)
-135 135
,
tag I = l r4 = ]40 = 84oo4t46"
los puntos de contacto de las tangentesert icales
Luego el punto de contacto es: '5 25'zontal .
Lz- 'TJ Puntt) '
Calculo de la
x+3y -o
3x + ZSy
5OIiucION: 2 (*2 - 8xy +I
2x-8I-
tangente hor izontal '
x=-Sy
(ragoo=0)
. . . - . (a)
ZSv=Q
J
= 16
16
relacin de "x"
vert ical son:
720.- 3 y- - 6y
- x = 0
SOLUCION: Der ivando:
d (syl -6y-*)dx
1a ecuaci-n
dy x-4ydx 4x-25y
a).- Habr tangente hor izontal cuando:x-4y=0-+x=4y
sust i tuyendo en la curva dada:.,(4y) ' - 8(4y)y+zsyZ=81 + y
Entonces:='r '3
x = 4(1 $ = ! 72Los puntos de contacto de las tangentes hor jles son:
( l Z,3) y (-12, -s)
b) f iabr tangente vert ical cuando:9Y= *: .0t .=-( tag9o")dx 4x-2Sy
4x- 25y = 0 + * = ri' , :;::li,:ui""l"dada,
r f iT - sr..r , + zsy| = $7
r=t 12. a----5 ; reenplazando ul t . relacidn de x
x=tf l3 l l .25'- s- '? = t 15
Los puntos de contacto sern:
Para las tnngentes hor izontales:
12y' x = 0
reenplazando ( l ) en la ecuacin de Ia curva:1(1zy)z - la(zy) (y) + 169Y = 25
\Syz = 2s -+ I = t l , reemplazando en (1):
X = 12(! l ) ' ) x = ! 12
Los puntos de co.ntacto son
(1?,,1) y (-12,-1) ,Para las tangentes vert icales:
169 - r2x = o + x = 19?Y . . . , . . , (z)12reenplazando (?) en 1a ecuacidn de Ia curva:
C lz - z+ (92v7, + 16svz = 2512 12
y2= y= , reeinplazando en (2):
: Der ivando:
-L q*2 -dx
Z4y '" 24xJ.,v l
d: 'a , f ' (x) =i-go en x = -a la funcin no tiene un mximo,
) )(x ' - ax + a ' ) = 0q + x.= -a
.,
+. ao ' -) . ra ices imag inar i as .
= Q - l (x+a) (x-a) q*2r^2 = e
(x - . a) (x2+ ax t 2 =g ; resolv iendo se
x = .a y valores. i inaginar ios
_de x, porterdremos un nico a1or cr t ico en,xrer paso:
Exaninemos el valor cr f t ico x = acuandot
* a , f ' (x) = +Luego, cuando x = a la funcin t iene un mfnimo f(rr)_=,z=Ja
' ' tMn=Jao
, para x=a.
^312.- 2x --d
zx
r -3LLatando a: f (x) = Zx
-
a
*2
Haciendo: f (x) = t ' * 4. '*2
?^t lf ' (x) =i-(x ' -a*) , x l o
x
* (**-"n)
x-
resolviendo obtenenox.E-a1| | puntosxz= a )
s:
cr t icosSOLUCION
ax- = 3i ' lJ I NOSOnx4 = ai )3er paso:a).- Exaninando para
cuanco,_ _
. *
-a
l . l r ) x--za]x=0 )
x = 0, la funcidn t iene un;nnimo f(0)= l l lpuntos (valores)
Jer paso:a). - Veanos para el valor cr i t ico x = 0
Cuandoz -2a ( x ( 0 r f ' (x) = -
x > 0 , f t (x) = -
Luego en x = 0 la funcin t iene un nfnino f (0 )b) Finalmente para el yaior cr t ico x =- Za
Cuando: x < -Za , f r (x) = +0 > x >
-Za , f t (x) = -
Entonces par? x =- Za, La funcin t iene un mxif ( -2a)=-4; .i . lx =- 4a
, para x a- Za
I ' l in= 0 , para x= 0
2x
2x+a'
SOLUCION:
ler paso:
gOLUCION:-
Sea : f (x)
',
-2a'xr f ' (x) = 1)?[x+a)
) ^ JI f ' (x) = - 4--x- =(x-+a- -
x = 0 . ,
nico valor
* Exaninando en x = 0.Cuando:
' ^zX+lZ
=-\^ '
[ + Za?x=0
cr t ico.
, f ' (*)
-
*
, f ' (x) = -
funcin t iene un mxinof(o=2
6.-
*2Luego , en
x0
x = 0, laSea: f (x) =a2* xZ
2do paso:
3er paso:Exami.nando para el nico valor crfticoCuando: ' r < 0 I f t (x)
-
-
x > 0 , f t (x) -
+
^2f ' (x) = ^;* '= o . ) zaxq^" r*212
x = 0, nico valor cr l t ico.
(z + x)2 ( l 'x)z' 1-2SOIUCfON: Sea:f(x) = (2 + x)- (
* f ' (x) s - 2(1 - x) (2 + x) (1 + 2x)* f
' (x) = Qx=1 1
I I uutotus cr t icos 'x = -z f
vrusr sr
x=-z)* Exami-nando el valor cr l t ico x a 1 Cuando:
- l .x
Luego en x = I , la funcin t iene un mnimo f( l )* Examinando ahora el valor cr f t ico x = _ z
Cuando:x < -2
, f t (x) = --1rx>- '2, f , (x)=+2' ,
Luego para x =- 2, la funcidn adquiere un mfninro;f ( -2) = Q
* Finalmente anal izamos "r
* = - 12Cuando: l
-2
l { - l Exarninando para el valor cr t ico x = aCuando:
x < a , f t (x) = -
x > a , f t (x) = +
!g"go, cuando x = a, la funcin t iene un mfninr:r(a) - bI t n.brparax=a
21 .-a-b(x-c11/S
: Sea: f (x) = a - b(x - c71 /Sf ' (x) = -+ G - s-Zls
I {aciendo:
1 = o =- i lx - c.)2/3
f ' (x) ' b:
x = c (punto o valor cr t ico)Anal izando el valor cr t ico x = cCuando: x < c
, f ' (x) = -x > c , f t (x) = -
Luego no existe mxino ni mnimo en Ia
Luego, cuando x =-1 , 1a funcin t iene un rnxi ;nc:
f ( -1) = t / {
i Por l t i :no anal izando e1 vaLor cr i t ico x = ' l
Cuando:-1 < x < I , f ' (X) = -
x > 1 , f t (x) = +
que en x = 1 , la funcin t iene ur nni : o
]v!x = ' rT , para x =- ' !! ' ' f in = 0 , para'x = 1
[a + x)z (a - x)3Sea: f (x) = x(a * *)2(u - *)3
f r (x) =-g( + x) (? - *) ' | . }*7)C*- *)
rx) la-x)2(**9) (x - 3) = gf ' (x) =- 6(a ' Z. S-solv iendo:
x
x
x
x
cada valor cr l t ico:
f ' (x) s
f t Cx) z
1 f a?2.- (2 + x) " ' (1SOLUCION: Sea:
- x ' 2/sf (x) = (2 t 1/3 ( l - x72/s
, lExaminandopara x=-1Cuando:
x < -1 ,
I > x > - I ,
Conclumosf( l ) = Q
LUCION:
-a
d
2a
a=-
5
cont inuaci6n anal izarenosPara: x.= - aCuando: x < 'a ,
-2, x)-a ,z
f ' (x) ' = I
f ' (x) = -
funci6n dadr
Ita
f ' (x) =| t r -*) 2/3 (z**) 'z/s - t +x71/3 (1 -x -1 l5
f ' (x) = QResoLviendo obtenemos :
x ' : I 1 son los valores cr f t icos.x r lJ
(2 veces
pa
Valores cr i t icos.
,i-H
146 Lrrego en x* Para: x
Cuando:- ( x .
- ; , f ' (x) = _
aa
Tr * , - i , f ' (x) = +Entoncesrenx-a' =
- i . , hay un mnimo t f -?= i , l* Para: x E a
Cuando: $(x(d , f ' (x)=-Jx > a
, f ' (x) = -lY"go, en x = a la funcin no t iene rnxirno ni imo.* Para: x =*
cuando: - 7." . ; , f , (x) = +
at > x t T , f ' (x) = _
Luego en x = la funci t iene un mxino:
r) =W u6
=- 3, la funcin t iene un rnxino f ( =-
-q2
Sea: f (x) = (2x - ")1/ ' . (* -a12/ l
=z(x -
* " , (x-a) '1/3 , ex--z/s
inua
:x
cio :
nt
ra
f ' (x)
f ' (x)
tnando
nces en x
o = zg-!a) (x - a) -1/3 . (zx-a7-2/sa ecuacin resul ta:
t1=-A a Ir * l
I= a fson los valores cr t icos c ie la
I funcin dada.?. I
=-- i26n anal icenos a cada vaior cr t ico:
2
)." . ; " r l f . ' (x)=+
*t i r ,
f ' (x)
1
x
x
x
ci
a,,
a
J-ro cuando * = ?^, la funcin t iene un nxino :
a)=;
Ta el valor cr t ico x = ando:. x < a , f (x) = -
2a
-.* . .
, f ' (x)=+= 8, la funcin t iene un minimo:f(a)=g
para x *+
Mx o
Ilfn .
0,276
-6- "
,
128 67*^ ,a72/s
para
par,a
paa
x=-a
x = --1
x=43
Mx
24,- (Zx : a| l /s (xd
X (- ; -L
rll tino
'
f l (x) '
+
1.18 2aJ->x>
Luego cuandomxino,
f ' (x) = +
1a func. in no t iene nnino
antonces en
f ( -4)=-+
x2*x*4x+1
SOLUCION:
x =- 4 la funcidn
Sea: f (x)
(x+5) (x-1)=-
7(x+1 ) -
t iene un minirno:
para x=0
pdrs )6 =- 4
-x2+x'4x+I
a=-
3=Q
a
zaX--.2
hlx
l'{f n
Mfu=+,l,in =-t- ,para * =7.^
parax=a
25,- x + 2
*2 * l* lSOLUCION: x+2
x2+2x+4
f ' (x) = -
f t (x) . 0 =
Sea: f (x) =
x2+2x*4
x(x + 4)x2+2x+4
ft(x)
Resolv iendo:X '3X=' l
* Examinando el valorCuando:
xx>-3
entonces en x ' -3, 1a
f(-3) -
-$* Anal izando el valor
Cando:-3 2 ,
f(x) = -
f t (x) +
f ' (x) = (x + 2) (x - 2)(x2* 2x * 4)2
=(xL2)(x-z)(*2* zx * 472
son los valores cr l t icosla funcin dada.
el valor crf t ico x =-Z
xx>*2
entonces en x = _2, 1a
f ( -4,= +* Exami.nando el valor
Cuando:-2
l " fx= (b 'a)z4ab
7b-
para x = Zaba+b
Luego rnal izanos er
Cuando:
x t=# '+ 120n.
Las dimensiones de la huerta rectanguiar ser:
.
x=90mY = 120 n
i tuando 1a procuccin es alrededor de 30 i tstrutos por senana.
dato, 1 costo de 1a^Produccin es:)
dctrdcffi
dc-=
p(Jdx
dc . ,Er= p("
- '24"7xo
-41 =Q +xo
t -3 'o? ?a . _
---yL *3 ; pero A'xYJ
Entonces tendremos:2
*Z_Z[v - ] x = ?3xy3
i 8J- Una i ruerta rectangular i ra de proyectarse al lado r lL/ solar de un vecino, y ha de tener un rea de 10l l { lmetros cuadrados. Si e l vecino paga Ia mitad decerca medianera, Cu1es deben ser 1as dinensioncld9 1" i ruerta para que el . cos to de cercar la sea pr l r le l dueo de la huerta el mnimo?
xZyr
^ 3PAop2x'
aQ + 2p
C = 500 * 15x *t
ncia I tGt ' :
23A+.x=_T_
SOLUCION:De la f igura:
^
fabr icante de radios aver igua que puede ver:dei -x
t t rumentos pol ' senana a p pesos cada unorslenco5x:75:3p. E1 csto de la producci6n es (500 + 15x +5xZ)^ pesos. Demostrar que se obt iene la , r xirna 9".
:r
A = xy , . . . , . . . ; . . . . ( l )L lamando t tpt ' e l costo por unclad de longi tudl ent6r
(1)
2G = px - 500 - 15x -+Venta total = pxAdens conocemos por dato que:
5x=375-3p + O=375_-5x
(2) (Z) en (1):
G -
5x,1co - xr220 - 500 - 15x l . * t
5
Derivando:(3)3Sust i tuyendo (3)n _ rJ/5 - 5X.u - (---J x^
375x - SxZ(J = ---_:-
Derivando:
en (2):?
- s00 - 15x -+5/
x-)uu-)x-5
*9 = sd-Q-9--:-a2dx 2a 1cx .L!s--:- x1
Igualando a cero: : :
= O
s(!-q%#tz - j t too - x) - rsI
*: (10000
5x2 - 43zx +
200x+x') -50x
880C - 0
=f
l -5') -.
- l=u
')-
-X
Y?t--#* =
]f5-"1!- - 1 s +; igualando a cero (*Q -
Estarnos alrededor de los 30 instrumentoI
10.- Si .en ed problema anter ior se srpone queentre x, / p es:
.
' , x . 100 - Z0 Ev5
denostrar que 1a produccin que corresponde a uranancia mxima es la de unos iS isntrunlntos por ina.
SOLUCION: Del problema 9 tenenos:G = px
- S00 - lSx - l ls *2. , . . , (1)
Por dato:
x-roo -zof i -
- - -S ; desPejando p. f (x)
I+ . 325Y=- 28
432 t I 4sz" - 4(3) (8800)
por s el [H
la relac
X= 6x. = 1 19.4x- = 24.6
Para nuestro caso x = 24.6 estarros,rnuy cerca a :x = 25 que corresponde a la galancia nxina.
i ; = z4:-Es t"rt^"""""1 lq. q.d.
t en et prcblema 9 se supone que 1a relacin entrey p es:
*7 = 2500 - 2A p,Cunto instrumentos deben producirse cada semana paI obtener la mxina ganancia?
LUCION: Del dato:,,
x
2500 - xzp= z0
= 2500 - 20p
t ( i5Sust i . tuyendo en:G = px
- S00 -
lSx.,
l ; = ,2500--- x '1*.-v\20
Derivando:
[deducido
1s*:#- ' l * t500
( -2x) - s -r
-300-Bx
bx-c
t l tuyendo (4) en (3) , tenemos:
G s (g - dxz)* - ^*2
- bx - c
scBx-o*3 -^*2 -bx-c
lvando resPecto a x:
= g - 3cr*2 - 2 ax - b ; igualando a'cero
,soxl-Zax -b=o * 3ox2r Zax+(b
olv iendo apl icando 1a fdrnula general :
e1 r t
dG-2500 -*2
?i------ l |0--* x20
3*2
Rl = v
99=oox
2500 -
20-2a t
3x2+8x-2200=0
Entonces 1o que se debex :26 inst . /sem.
x ]ZOEl 'costo total de produc("- I - * bx + c) pesos, ycaa uno puede venderseDenostrar que 1a prouccmx ima es :
SOLUCION:
Sabemos: C = "*2
*
Venta total : V -
px
La ganancia t rGtr : G =De (1) y (2):
G=pI-Por dato:
P = g - 'o*2
6q
onsiderando solanente e1 signo posi t ivol lotqt"rucc:.On no puede ser negat ivo; entonces:
-
-za+y'4a" '12ub+12a8
[*, = 25.76{ 'L*Z = -28.43
producir s emanalrnente
ins t . /senana.
i r x art fculos por sente1 precio (p"pesos) ales P = 8- ax 'in total para 1a gana
una
et l
6a
12.- ; t ta
l ( '1
'3+
Iq.q.d.3c
Bn e1 problerna 9, supdngas-e,3: : "1 gobierno i - r rponBa
un impuesto de t pesos por " t" tu"eto'
El fabrcat 'i l ; ; i ; ; ; "r* i*p, tsto a sus sastos de costo v dr: tet ' lna 1a produccin total y e precio en 1as nuevasElrcunstancias.f ) Demostrar que el precio aumenta un poco nenos
q'ue
b) l ioT:::* : l i lEl:: :3'debidos al impuesro en furcin de t , y a" i " rminar p"tu-q3 l" i i -"t i r r .ueL
' to 1a ganncia es mxima. L. . taa ar imnrresur d.Z
', tniliij gx" di:":i ;:":i:"::"li*31.i'n"iil;u"'-de un 33 Por ciento '
4az - a(3q) (b - B)
. . . (4)
SOLUCION:
a).- El costof ,=500
aderns :
de producci6n en+ 15x + J*2* t*5"
t -
0145 tlI r
. ' t p
Denostrar que e1 nxinosigue cuando t = 1/Z (pprecio de venta sobre'elel impuesto.
SOLUCION:
retorno del impuesto sc- b) y que el aumentocosto es s iempre menor
(s) y (6):P1-Po=t=
ut i t idad en funcin de
( { lr ler i l
(u) ser:
l ( i f I
B-b
t_2a+e
esta di ferencia
Por el enunciado delC=rxZtbx+c+tx
La dernanda viene dada
to ta1 s t : l ' i
marg inal
2(a + cr) 2(a
ivando respecto a
problena,
por:
eI cos to
. . . . . [ l )
rux
P=B-qxEl ingreso
De (2):
total t t I " ser:
r=px"
J , [o-b
4 (a+c) '8-b-2t+(a + o)z
(?\
+cf
..] -
f = (S - ox)x
Derivando (r) y ( j ) ;tngreso marginal .
= Bx - o*2 . . . (J)obtenenos el costo
)alau-=ax+bftdx, Ts
- o.xdxIgualando (a) yZax+b+t=g
__B-t-b^-- 2(a+u)
. . , . r . . . . . . (a)
El precio uni tar io es:
Pt = B icLoi ; - l ) . . . . . . . (s)Sin tomar en cuenta el i rnpuesto ( t
-
0)
' . ,
o g - *(8, i rb) . . . . . . . . . . . (6)) 4 - a+b t ! . . . . . . .
,a di ferencia entre Los precios uni tar ios
iendo :
t t rSt = [J + B-b-2t= 0 +t=+a)
r-de pr inera c las e , s iendo .
segunda clase.
ION:
dG
af =QB -b +E =
, i p latr ta productora de acero puede producir ?9t 1 ix im de al" to de- segunda c1ase, Y Em, por i i ia, de
'
49 - s* s i e l precio corr ientc
lT l l i 'or dato
y'
dG n-_= - I_ -
dxz
crb-- ._= udu
se conoce
4U-5xI a s iguiente relacin :
. r . i . i . . r (2)i0
- x
Sust i tuyendo (2) en (1):
. - DX .10 * (w( ; =++ p (+-_- l , der ivando respecto a x2 l0-x
costo de fabr icar c ier to art cu1o es i ) pesos, yr t lnero cue pueden venderse vara inversatne i te
n Ia cnSitna potencra del precio de venia.Caicue1 preci-o de venta que dar la nayor ganancia
quida.
UCION:
:p=costouni tar io
x = nrnero de art culos
to ta l "Ctt es :c=px I
de1 problena se deduce 1a sigtr iente reia
* = \ i donde y es e1 precio de vgntav
Snlemos
go, Ia ganancia "Grt es :. xI px = x(y - p). + (y - p) , der ivando respecto a y, tenenos
v-'
0.01a r l0 = 0
0 .02a = 25l - - - - - - -I r
. l - --- ----- ' -_T
la = 125n ahonar i r rs lL:----:-: " " *""'-^:..:J
* Q + kyt - nkn- l (y-p) = O
5p(10 - x l + p(40 - l t rL(10 i2 ( to - x)2
')+ ( I0-x)"-10(10-x)+(a0-sx) (2) = 0
(10 -
*)2 - 20 = ox = 10 - ?/s tn/da
* = 5,5 tm/da
0.01a
.p) + ' y,=ny-np=
DP pesosln- l
cos to
r dato
16.- Una conrpaa-de te1fonos hal la que obt iene unr Enancia 1quida de 15 pesos por aparato s i la ccrr tt iene 1000 abonados o menos. Si hay ms
17? ts.- Hal lar e1. ta ' de. un
trucc i6na) s i e lb) s i e1SOLUCION:
a).- De laA=nx
v = rx2h=l ("to)de donde: h= +. . . . (z)I fx 'Sust i tuyendo (2)
- f tdimetro = zx = 2, V+ dn,
dimetro = z. { } ,n.'J , tea lateral de un ci l indro c i rcuiar rec 'Lo es 4ret i i cu, i raos , I le l c i l in I ro se corta un heni"s f eio cuyo dinetro es igual a1 dinetro de1 ci l - indro.ai . " i ! r las dimensi .ons del c i l indro para que ef .voCalcular las dimens j .ones
-del c l r lndro para que e1 . vu*n que queda sea un rnxirno o un nnimo. Detern -nar s i es mximo o mnimo.
fIl
'!.
IlL
A=nx2
dA^2, i l= t r ix . - j t
x
Znx-2 =O?
x
?rx3-2=o
El dimetro dimetro =
b).- A = zr ,xzDe (2):
?A - Znx'
** = nn*
4nx3- z
.u\en ( l ) :
+A=Tx
igualando a cero ,dAt?r * 0)Znx"
- 2
=Q
CiON:
rnando como referenciae lateral :
A=2tx
olumenttVtt :
Ia f igura anter ior .
h = 4n (dato)2Z
+--x
'7 '' ^x (1)
, (Volu"nen es f era " ' t
At "; iIT
.2x
3r-x = { '1. /n= radio del c i l int l
o n*2 Cj ' t n*t
-
** t
'# ' t t t -ztx?' 2t ' Z.rxz
. i xn
Reenrpl azando e1I
f i r
lL artLos
1a
; der ivando resPecto x.
; igualando a cero
=Q-+x2=1
lm (radio)valor de x en (1 ) :2m (altur) rnx{mo
7?xf l
(1) :
{=?rx
5- t- tlxJ
.+
2 ( t ,z.
+ Znxh
oZx
igualando a qero.
w?2J
x- el rea del mayor r 'ectngulo o.n l .as Co.s Far l -a los eies coordenadps, 9u puede lnscr lDlrsei i [ura i in i t rde por l ta i dos parbol .s.12-*2y 6y-x2-4 12.
dinetro de un bote c i l fndr ico de hoJl" i t ro de capacidad, para que en su co
entre la menor cant idad de hojalata,bote es abierto por arr lba;bote est tapado.
f igura: ,2
* znxh.. . . . . ( t )
lTX
Derivando respecto a r fxrr .
adio )3 laay'-r- dm
1
zrx t 4l = ztx2 *nx-
)r.
xzsl l
11x"
- :Ltn x= y=
SOLUCION:
Para una rme j oT , y isual iza. i .n ,de1 problerna,las curvas as .El rectngu1o ABCD tendr rea mxina sl .
es: A -
AB.B'C, de (1) y (4)
AB = 2x (1)BC=y1 *yz Q)Clcul :o de t ty l
" y
"y2." en funcin de rrxt t , solo bas-tar con reemplazar en 1a ecuaci6n de las curvas.
\ , = 12 - xZ It1 - - 3- |(x}- tz) i ' (3)v z =-_l- )Sust i tuyendo (3) en (Z):5F-12-xz *2-12o' = T- . . . . . . . (4)
El rea del rectnguloobtenemos:
t=2x(4 - \xZ = xZ + 1Z)=x(1 z-r .Z)A 7+= (4 : x)3 ; igualando a cero (#=ol;
4 - *2 -
g + i , x = ! Zi : ' . l . j , " I . . . , , . ;1, : i . , ._: , r . . t . . , i . , Li , : : : . . , , , . . , , . . . , . i
ReernpLaz{ndo' vIor. ,s,t t " ' n' ( l ; y . (4), *se,: , , t , iete .. i , i " : , , , . , , . , ' ' . , , . r '
Area del rectngulo r tArt :C
A = B.fD = (10 - iV) y = ' lOY
derivando respecto a Y:
t razaln()gTB=.4
B-C=.4.
r lea: A = l6
! : . | . .s vert lces oe
rea=F,Ee
A - l
un rec' tngulo estnclos vrt ices estnson:y = 2x Y 3x"+
de ser mxima el
1a f igura:
sob:e el- e je c. lcsobre 1as rectas
y'= 30.rea del rectn-
Ias x. Los otros
gulo?$OLUCION: De
, = ? y
x+y=30
; 30 -YAb = ----f J_2
=y
c, '),o/
dAoy
10
5= 10 -*V , igualando a ceroJ'
5^-- ly. = u x=6
Una base de., unn clrculo ile,e estn sobr.elud' e la o,t ia
traDecio issceles es un. dinetro dtradib a. y 1os extrenos de 1a gtra be- ia-
c i ic i nferencia. Ha11ar 1a Iongi 'baso para que el rea sea nxina.
t1( i177
SOLUCION:-
De la f igura:
AIf-Za*Zz+x
Area del t rapecio{+(El f f i l -nn
, z J .vt
A* (L1I1?z)y* (x+z) y. . . . . . . ( t )Apl icando la s igui .nte propiedad ento ABD:
,y- * (x * z)z , . poniendo en
yz * (x + &-=-l) (?ej-_[)y
-+ f4e"-VSust i ruyendo (Z) en ( t ) :
. ,
I = ?,q i-+ , {;V-:7 ; derivando
ON:
f igura nostrada: '
7[B , 1T.'
2x (a - x") . ' . , . (1)lvando resPecto a x:
. Za -
6xZ i igualandoa cero:
2=0 * *=tFnsiderando solamente els i t ivo)
.* =
plazando (Z) en (1):z$o - f l =Erf ; trminarenos a cont inuacin el rea de1 segl:ento
; igualando a
e1 tr ingulo
funcin de x:
(2)
respecto a
cero
(2)
(3)
ds.dx
abl ico I eA1 =f ti 'n'i) (ov)"
4a J; . . . (4)- t Qfa) (a) = t {a' -.id iendo (3) entre {4):
ut=,*-dA =0-dx(x +2a) (x
qu? -
24x -
Zxzzu?-^*-x2.0
x*-2a
4 4aZ*a) + Q xsa y
x2 resistencia de una viga rectangular es proporclox ' ; i^ ; ; ; ; i l io-"- ncl por el .uadrado de,su es-;" ; : b; icutar 1as dinensiones de la v isa rs ie-gtente que puede cortarse de un tTonco cr la sr :cn transversar;r- ; ; ; - ; i ipse de semiejes a {r ta ' , 'c t ' .
->
Entonces la base menor nide: F . a l
23.- Un.rectngul9 eqt inscr i to en un segmento de,bola y un lado del rectnguro est en la basesegr le.nto. Denostrar que l ' raz Jei"ei la 'aertngulo mxino ar ra-i i , "gr"nto es! Ll 3
b (rnenor) '
CION:p ardol16c r condic in de1 Problena:
' k yzx
. Sabemos nornResi stencia dc nater ia les"
i "E,o)
distr ibucide la
fuer za r+
E al tura =
t i tuyendo.2
= 1!U [m"m
h(b)
-X
? ? ?. hz l7! i
= Zy * ht=4yt - , y"=' t ' . . . . . t . . . . . (b)en (a):
") . . . . (s)r{y
o =l- ;
Adems:
w'
donde: Ivt =,y =
donde: wfr
momento f lectordistancia de la capa exter la l centro de gravead.
, r =# (rectngule
)bh-
=_
6.. . i . . .1. .
empl.azando (4) Y (5) en (3):zx 4nz (^2 - *2)
f -
- sx?) igualando a cero
fT.+ x = n, / t (henros consic ierado
posi t ivo)enplazando el valor de x hal ladc en (a) :
Iln,
/ -L luepo 1as dinensiones del rectnguioV3(4) y (5) respecr ivamente := base rrbtr = ,"G
-
al tura t rhr t = ,"G
ivando :
-
4nz -r^?
-
----- LruJM
-3x2=o
MU
h=-
2Entonces:.T
W==
v
Por dato: w
Igualando (1 )a
bh- . . .2
--
= KDn')
. . , _ bh-ta
-- 6
k = l /6 en (Z)
v
., bh3' -E
s eran :
2r.-=h
E
v
h
kbh 2
(2) :
(1)
(2)
l : i : 'u"'uo que22
\ + \ = lmn
^7yt- n l ( ,n2-*2) , . . .
la f igura, en el rectngulo:o base
-
b = 2x . . . ; . : . . . . , (4)
Ia ecuacidn de una
De
AD
eda cortarse de una troza cLindr ica de radio a '
I enunciado:= kxys . . . , . . (1)
, . . . , . . . . (3)
el ipse viene daanchra = ,o rE I
i6n de la c i rcunferencia)
*2 '*
x=!
Y2 = 4^2
L4"- -V (soroen(
rG].rsst
r842x o y
-
t \E rq.q,d. 4b-, ^2
t z*2" o Qa frf=
It . ,
- ) rBI
2x2=gI f{.;
tHi
Hal1ar las dinensiones del mayorda inscr ib i rse en r i r ipse' . ' - ' -'7 ' )
x- +
y: = l .
az bzSOLUCION:
De la f igura, e l rea d,eldel rec tngulo es :A = AB.BC=(2x) (2y)
*-*8, reemplazando en Q)
t '+/TFinalnente tendremos: = 2x = a,E
EZ= 7y=bE
':: : ut:" l?,ol ", lt"::i*:i ": : i i " ;-a" ngtt"s i cuya ecua-^3v=+.a
II
II
Yt29.
A=4xy . , . (1)
De la ecuacidn de lael ipse:
= | + despeja-mos y:
| ', ; 't-Va' - *o
Sust i tuyendo (Z) en
A = 4x +[77
rectngulo que
(z)
- x-
, der ivando:
, igualando a cero:
CION:
e la f igura mostrada:
=2x
=y
7 'at ea del rectngulo
#tt \,
BCD es:=6.
x"+Ja
a
11)(r ) :
=4b*a
-
Zxy
la ecuaci6n dada tenenos:
^3ay = -"'-,-
xz + 4^2
st i tuYendo (2) en (1 ) :
(z)
dA 4b??' ; " 4bx2FP
4az - *2Reernpl azando
xZ = 4a2 -+
de x en (2):
reSpc(=l f ]
x=t?: t
dAdx
' t .
_
I6a'74a' - xt)
aj , igualandoacero(x- + 4a') '
{ = zx ( t " ' ) , der ivandox2* 4^2 x:
TB=r
ecuacl6n en el punto
))( r / ' \u (h/?\"\^r r + \ '_: : !_:_2_
2.2mn
nr
u=n
rhaf ' -
- - i : l ac." tz 'z '
-1
=Q+
el valor
S13
4az * 4a2
Sust i tuyendo los yoloresA - Z(Za)a
i"=a
de x y en (1):
fh)
onodando a nuestras var iables usadas,as e l reala el ipse es:
r rmn (dato: A = rab). . . . (1)
;der ivando con resPecto a n:
13,
rea de la menor el ipse quca un rectngulo al rea del r
una el ipse es nab, s iendo a y
IJe la f igura mos trada:
2. l Inr
r-7^ / ) nzvn'- 4
31 " .
i la l lar La razn de1de circunscr ib i rsetngulo. El rea delos sernie j es.SOLUCION:- ^=
Jnr
Para:
nrh2
.,
2h"-^ )
T
=Q n=O
1f?
TIl -IL
igualando a cero
h,fTn=-"2
, m =t.5
Sust i tuyendo | tmf ' y t rnr t er=t . /:-A- r*i rY,
- +
en (b) :
(1) :
h,fTn =--Z-
*.t
'nz -hz / 4
*2 yz;#.Fr=1
al. . . . ' . . . . r . (a)
l [ - ra lL l l
=--rh2
ATq=z52.- l ,os dos vrt ices infer iores de un trapecio is6sc
les son los puntos cuyas coordenadas t-6r0) y (Los dos vrt ices s 'upel iores estn en ia curva:7
*- 1 y = 36. Ha1lar el rea del mayor t rapeciopuede trazarse de esta manera.
El rea rectngulo ser:
Al = rh . i . ' r . . . . . . . . . . . ' r . r . r ' (3)
Dividiendo (2) entre (3):
-SOLUCION: Del gff ico deducinos:
d=(x+6)
Resolv iendo se'obt iene :
-
' ) rv-L. ' l
tz= '6
en (2):36__3_ = gY=-r+
Luego eL rea del t raPecio es:[ = (2 + 6)8A=64
s radios de dos esferas son a Y btre los centros es c. iDesde qu
ecta de los cenf,rosAB es vis ib le
el radio de la esfera).: Del gff ico deducimos:
z5o ; x 1 der ivando:\ 4 )
' - - '
- 3x + 9 , igualando a cero:
+9+0
')dA =
-
3X-,dx4
-2- !+ - 3x4
AE
e superf ic ie esfr ica? -
(Ef- rea deca o tasquete esfr lco_{e al tura h
a-h, ; = aI
A OHM -4, A OMP:
(1ado negat ivo)
F
v 1a cl is i ncr.pnto P en_ ia
Ia I I IayOt aTeauna ,zona esir i
es 2 rrh, s ienCd
ff i = 2x ii =.yEl rea del t rapecio:
[ = r24l y. , ; . . . . , (1),2De 1a curva dada:
?x-+4y=36
y".Sust i tuyendo (2)
AB = 12
3o - x2
- - r .en (1):
=f ; Of="Jo = xrf
B(-6,0) A (6, o)
(2) x *xr='.
190'En la f igura mostrada se cumPle:
W-= Sil* t -J=f! -I
r^ - ^*-^2" - --F--
El A O1NP , ^
NHIOI
o-1T- qp b
xa
ol Ht olN
El rea totales:
A = 2na2
b -hz
de fos
(1 -+)^ 3 ^.3Ta
-Jn4n.,-7 - G-tZi igualando a cero:
x1 bx. , -b2=
- -> n2 "- . . . ( t^ l
casquetes esfr icos v isto do
+ zb2 ( t - - - ! - )
' c-x '
* = .^t - r^t / ' .bt / '
. , ,gs3.3a -o
* - .^3*.^3/z b3/2.
. , . (q3.3
a -D
encuentra que el rea o
,^3/2^3/Z_b3/Z)
7a3 / 2 *63 / 2) G3 / 2 -b3 / 2 )
nayor paraleleppedo reque puede cortarse de u
r.
t=rr ,
)7?' * y" = ar . . . (1)1 vo1men de1 paraleleplpedo es:
= X y Z . , , . r . r . . . r . r . . . . . . . (a)
mas : T o, l . . . . . . (2)
(b)
como Ia base cuadrada: x=2.
z2 +T - V.+ x = ---^
t tyt t es :
rxrtrv
dA--=ox
(1 ) en (z) :
) en (a):
z=xy
ego e1
dVoy
=4r2-*2-yz
r.t
d-
(3)
tlSE
v=xy
; aderns: x2+y2*a2" 452
vo1nen en funci .n de^3
Lty - J-z
Con e1 valor de f 'xrrnxinra; luego:
^^3/Z (-3/2 13/2\* _ v4 \ -u l- - =
J 'Ja -D
^2T igualando a cero5-Y
:
ca3/2
a3/2+b3/2
34. - Ha11ar las dimensiones de1tangular con base cuadradana esfera sdl ida de radio
III
I
{L2r lT
Yt =---'3
^ ,Ei
-T {5Yc
^2s 2^T -zY =u . 2r /T* y =3 --J-
tfrz l \ uv1_- = JO1Ioy
3rZ+
; igualando a cero
y=x4iT' ,
: r . fJ
I V = q lJt .
I $ i td'vdy-
t rnEonces pata y1 Ia segunda der j .vada es negat ivoesto nos indica que el yolnen es mximo : ,V_ ^Finatnente: ' ' ; l
t '
, T {5y=n-- .3
Dada una esfera de 6 cn. de radio, calcular la al tra de cada uno de los sl idos s igientes:a) c i l indro c i rcular recto inscr i to de volmen nx
-3y
Entonces
mo;
El volnen de
V=nx
De (1):
segunda der ivada
, r . . , . (1)
Ia 3n2--; v
bl c i l indro c i rcular recto inscr i to de superf ic ieto ta l mx ima;
c) cono recto c i rcunscr i to de volnen nfnino.S0LUCI0N: a) de Ia f igura:
- La superf ic ie total
S-=}t tx-+Z"; txy(3) ,
,
v 'S- = 2n(3 - a-) +t
^ lT . . r ? 'D+ =-5-(r .++ - y ' ) +
LA
"r'c[o -7''fry (
36
ds.-=dy
es:
rY*zi ty
/1 44 -y '
2ny2 = 6
, igual ando
Por Pi tgoras: -T2 = *2 * ( r ) '^2
.
3 = X * Ytl+
- ry l++-- / + 144nsy4
-7zoy2+1442=osolv iendo 1a ecuaci6n obteneinos:
Y = 6 '51
.- Volmen de1 cono V:un.,
c i l indro v iene dado por:
-
36 ' { . r . r . r r r . Ca)x
(2):'!,f r rr) (16 {,
144-y
(3) en
Los tr ingulos ACHB
m-o?
despejando x:.*2= h2 t2
semejantes :
; igualando a cero:
h=4r
canr taa de forrna c6nilnenor cant idad de loel radio de 1a base.
ext iende la lona en ucircular de 207"SV.para una t ienda de 3
referencia la f igura ante
. . . ' (z)
S=nx z-TnX
**2
Lc6=
y ACTO son
/h' + x '=
n-rdS.-.._=
oxxr
' rA)) -Luu -
o\ /"!J!---L---z) / ) 1A
x' /9Y'+r- 'x"igualando a cero.
hz -zrhSust i tuyendo ( I I ) en ( I ) :
v=Jn t 'htJ . h2-zrrr
= * nn' Lft..,,i
h-4r=0
36.- Denostrar que una. t ienda de.
'de capacidad dada,exigir la- cuando la al tura es /Tveces
Denostrar tanbin que si sep1ano, se obt iene urr sectorCunta lona se necesi tar a
znzx6-9V2=o
de ( l ) :
* ' = # elevando al cubo
Igualando (3) Y (a):orr 2 , rr ,3:z
= -* '+ h3 = !"Y-
lt rr n:
hr =i- f } x ' t r ) - ' h = x/-T1T -)
h
La generatr z
6 gvz+x---
znz(3)
dVA'.
de al to?.S0LUCION: Tonando como
rior "
^ ZrxU E --:-g
2nx Zrx
= xlT lq. q. d . (x = radio)"g" es igual :
R-;7 (Por Pitsoras)
1 one i tud=.__+_
generatr ]" z
Ztrx 2t 1.==-=-
1' tV =fnx'h oroi . . . . . ( t )
Cant idad de lona:
(360 " )x{5 lT,tT
s -
nx 6-t77 Q e 207"51
| r +lfxII
en {2):I
Para
S=x
h 3x --lT
; reenplazando valores:
1
'2x2*x
de (1) : = 5m.
1 o 112s - *(" , * 9)"
/a-IL
37 ,- ??do'un.punto c le l e j , - de la parbol a y2 = Zpxdistancia g del vrt ice, cal tu lar la bscispunto de la curvamscercano al punto dado.
FQ=
) -(4 - x) '+ ( t - l t
'L
- (4 - x) - f t - *)-
De el1a:
de: y ' = 1px(z) en ( l ) :
PQ=dp0
dx ; igualando a cero:t* - r ) 2* zp*x+P-a=
38. - Hal lar e l punto d.e la curva Z y = x2 ms cercanopunto (4,1 )
TrQ =. . . .
(1). . , . (2)
crx f f i iVg - x) '+ ( l - +) '
JX
-4*x-x+-* =0 .) x-=gzreenplazando en (Z):
4y =t - | y = 2. ' . .a(x,y) = Q(2,2)
igualando a cero:
l -+ X = 2
SOLUCION:
FQ' 'De la ecuaci6n
2y=(tz) en ( t ) :
Calculando 1a distancia
de la curva:
Si PQ es el segmento dee trazar de P (arb) a
corto, demostrar que PQgente a 1a curva en Q.
La distancia PQ es:
;como:y=f(x)
recta ns l argola curva y=f(x) ,
es perpendicular
que se Dueo el ns
a la tan-
PQ:( l )
Y '+ . , . . . . . . . (2) Tq=m; derivando(x - a) + ( f lx)-b) f ' lx)
2Y=*
(x,y)
Q (x , l ' . )
p(a,o)
i * -") 2+zpx
*? dFD---cLx
Igualando a cero, tendrenos:(x
- a) * f f (x) -b]r , (x) = 0
f , (x) =f f t l )perpendiculareses
- ' l ; luego:Recordando que si dos rectas sontonces su producto de pendientes
# f ' (x) =- lde (1 ) y recordando que f [x) = y
l (* l -b a-xx - a '-Txl:b
- ' l =-1
Lo cual nos dice que FQ es perpendicular a la tan.gente a la curva en Q40. - una f6rnura para er j rendirniento de un tornir lo es:
p=hl l -htgo)h+tg0
el- ngulo de rczamignlo y h el pasoHal lar h para rendimientolnxi ino.
Sabernos que:
f ,e h( l -htage)h+tago
Deriyando:g
= (h +
-ragg-) ( l ; zirtagol:(tr - trzta.es)(h + tags) 2
$$- taes - h2taro - t t . r*zt(ln(h * tage)Z
tase tl - h2 - 2h tage]t . s
h2*2htagg-1=Q
'a= '2tae0!/ ! t
focos calor f iccs A Yas son a Y b, es i ' I 'aun punto P. enirc A Y
Considerando solamen?
h=-tgO* tg-O+l
, ' . | = sec0 - tago
La distancia entre 'dos' lntens idades resPect ivdad total de calor enpor frmula.
= - ' l
Derivando
dI-
=
dx
gualando a
2b
LX
s iendo 0torni l lo.
SOLUCION:
del
ab
f---r-=
- tag0t / tag- ' } + ' l
te e1 pos i t ivo:
= sec0 - tge
B cuyasintens i
B, se d
qu posi-
.L b oo---|-.--i
(e- -x)z ':---:--J- - - - -" Isiendo x t i d istancia entre P y A, LPara
l ; i; tndr P la temperatura rns baja?
ISOLUCION: La intensidaci I Ce1 calor est daCa por:
-abI =- ; , , ,
x" (L-x) 'con resPecto a x:
a o-+
x3 ( f -x) r
cero, 1a der ivada:
-2^=o(r-x) 3 *5
f f i i '=t ^r /?x = ptT
.qrs, igualando a cero
20( l 42.- La base infer ior de un trapecio issceles esmayor de una el ipse; Ios extrerrycs de la baseson puntos de la el ipse. Demos' t rar que en elc io de este t ipo de i rea mxima 1a iongi tudse super ior es la mitad de la infer ior ,
e l esup0 r
de la
= -2a
la
L
SOLUCION: De 1a f igura que a cont inuacin se nuutra se hal la la ecuacin:
22XY
I
^z bz
b /T-- --T- ; "4
_ X
E1 rea del t rapecio
{ = Gz}AvDerivando,$*
- *
za-
x=
B C
A 7x X v \a r l
b
es:
A_
J, igualandoaceroa-x
=+F-3f igura:
=2x=b + y=
rea del t r ingul-o ABC es :1_
= j.AB CH(I I ) :
= *(b **
( r )De
4t l r . ,
(az
x
** l*
*1 =+*z=-9
De la f igura:BC=2x-2(7=a
BC=a
LB = 2a 1.q.q.d.
En la el ipse b2*2* ^2y2= ^2b2
," ha de inscr ib i r untr ingulo- isdsceles cyo vrt ice sea el punto (0, t ) )Hal lar Ia ecuacin de la base correspondiente al
der ivando respecto a rrr ' t t
bx2
elevando al cuadrado y resolv iendo:
b.T
= Q (cuaci6n de la base FB')aQaltura del t r ingulo issceles
ax-2x=0
ra-a t /9a-
i
=b*ba
zxZ
^2;t?a = zxZ
en ( I I ) :t r ingulo de rea m i naSOLUCION: / 7 2
La ecuacin de la el ipse: x| *J] ' t. , . , . , . ) . , , a. b-
boxo+aoyo=aub"; despej 'ando t tyr t queda asf :
-=7{a -a
r - ! - ) 2y
lar ta a^tzJ y
+b+b
1a
de rea nnima circunscr i to a la el inse bZ*2*uZu-^Zt1ycuya base es paralela al e je de las xSOLIjCION: Hal lando la ecuacin de 1a tangente a
--el ipse en un punto genr ico p(xl ,y l )
YA
(x, y)
=Y+b
= D
* b . . . . . (3)Y1
(2) para Y - -b
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