B. O. Koopman - Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space

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MATHEMA T I C S : B . 0 . KOOPMAN

HAMILTONIAN SYSTEMS AND TRANSFORMATIONS IN

HILBERT SPACE

BY B . 0 . KOOPMAN

DEPARTMENT OF MATHEMATICS, COLUMBIA U N I V E R S I T Y

C o m m u n i c a t e d March 2 3 , 1 9 3 1

I n r e c e n t y e a r s t h e t h e o r y o f H i l b e r t s p a c e a n d i t s l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s

h a s come i n t o p r o m i n e n c e . ' I t h a s b e e n r e c o g n i z e d t o a n i n c r e a s i n g

e x t e n t t h a t m any o f t h e m o s t i m p o r t a n t d e p a r t m e n t s o f m a t h e m a t i c a l

p h y s i c s c a n b e s u b s u m e d u n d e r t h i s t h e o r y . I n c l a s s i c a l p h y s i c s , f o re x a m p l e i n t h o s e phenomena w h i c h a r e g o v e r n e d by l i n e a r c o n d i t i o n s -

l i n e a r d i f f e r e n t i a l o r i n t e g r a l e q u a t i o n s a n d t h e l i k e , i n t h o s e r e l a t i n g t o

h a r m o n i c a n a l y s i s , a n d i n m a n y p h e n o m e n a d u e t o t h e o p e r at io n o f t h e

l a w s o f c h a n c e , t h e e s s e n t i a l r 6 l e i s p l a y e d by c e r t a i n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s

i n H i l b e r t s p a c e . And t h e i m p o r t a n c e o f t h e t h e o r y i n quantum m e -

c h a n i c s i s known t o a l l . I t i s t h e o b j e c t o f t h i s n o t e t o o u t l i n e c e r t a i ni n v e s t i g a t i o n s o f o u r o w n i n w h i c h t h e d o m a i n o f t h i s t h e o r y h a s b e e n

e x t e n d e d i n s u c h a wa y a s t o i n c l u d e c l a s s i c a l H a m i l t o n i a n m e c h a n i c s ,

o r , m o r e g e n e r a l l y , s y s t e m s d e f i n i n g a s t e a d y n - d i m e n s i o n a l f l o w o f a

f l u i d o f p o s i t i v e d e n s i t y .C o n s i d e r t h e d y n a m i c a l s y s t e m o f n d e g r e e s o f f r e e d o m , t h e c a n o n i c a l

e q u a t i o n s o f w h i c h a r e f o r m e d f r o m t h e H a mi l to ni an H ( q , p ) = H ( q l ,* a q n y p l y . . . . p s ) , w h i c h w e w i l l a s s u m e t o b e s i n g l e - v a l u e d , r e a l , a n d

a n a l y t i c i n a c e r t a i n 2 n - d i m e n s i o n a l r e g i o n R o f t h e r e a l q p - s p a c e . Th e

s o l u t i o n s , o r e q u a t i o n s o f m o t i o n , a r e q k = f k ( q 0 , p 0 , t ) , P k = g k ( q 0 , p o , t ) ,

( k = 1 , . . . , n ) , t h e s e f u n c t i o n s b e i n g s i n g l e - v a l u e d , r e a l a n d a n a l y t i cf o r a l l ( q ° , p ° ) i n R a n d f o r t i n a r e a l i n t e r v a l c o n t a i n i n g t = 0 d e p e n d e n t

o n ( q ° , p ° ) . I t i s s h o w n t h at t h e t r a n s f o r m a t i o n S t : ( q ° , p o ) > ( q , p )

d e f i n e d b y t h e s e e q u a t i o n s f o r s u i t a b l y r e s t r i c t e d t h a s t h e f o r m a l p r o p e r -t i e s : S t 1 S 1 , = S i , + , , S o = I . Th e s y s t e m a d m i t s t h e " i n t e g r a l o f e n e r g y "

H ( q , p ) = c o n s t . ; h e n c e , i f Q l d e n o t e a v a r i e t y H ( q , p ) = C o f p o i n t s o f

R , a p a t h c u r v e o f S t h a v i n g o n e p o i n t o n Q w i l l r e m a i n o n Q a s l o n g a s

t h e c u r v e r e m a i n s i n R . We s h a l l a s s u m e t h a t C i s s u c h t h a t t h i s i s t h e

c a s e f o r a l l v a l u e s o f t ; t h i s w i l l b e t h e s i t u a t i o n , f o r e x a m p l e , i f Q c o n s i s t s

o f a c l o s e d s e t o f i n t e r i o r p o i n t s o f R . I t i s s h o w n t h a t u n d e r t h e s e c o n d i -

t i o n s f k a n d g k a r e a n a l y t i c f o r a l l ( q ° , p ° ) o n Q a n d f o r - c o < t < + o , s o

t h a t S I e f f e c t u a t e s a o n e - p a r a m e t e r g r o u p o f a n a l y t i c a u t o m o r p h i s m s o f

U . F u r t h e r m o r e , S t l e a v e s i n v a r i a n t t h e v a l u e o f a c e r t a i n i n t e g r a lfp d w t a k e n o v e r a n a r b i t r a r y r e g i o n o f U ; h e r e , p i s a p o s i t i v e , s i n g l e -v a l u e d , a n a l y t i c f u n c t i o n on Q . T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t

. d q i . . d q n , d p . . . d p , i s an i n t e g r a l i n v a r i a n t o f t h e s y s t e m . I n t h e

s p e c i a l c a s e w h e r e t h e r e a r e m f u r t h e r i n t e g r a l s F j ( q , p ) = C j o f t h e s y s t e m ,

V O L . 1 7 , 1 9 3 1 3 1 5

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MATHEMA T I C S : B . 0 . KOOPMAN

we t a k e Q a s t h e (2n- m - 1 ) - d i m e n s i o n a l l o c u s i n R o f t h e s e e q u a t i o n s

t o g e t h e r w i t h H ( q , p ) = C ; b u t t h e r e i s n o f u r t h e r c h a n g e t o b e m a d e i nt h e c a s e t r e a t e d a b o v e .

Th e s t a r t i n g p o i n t o f o u r i n v e s t i g a t i o n i s t h e N - d i m e n s i o n a l v a r i e t y

Q a n d t h e g r o u p o f a u t o m o r p h i s m s S t h a v i n g t h e p o s i t i v e i n t e g r a l i n -

v a r i a n t f p d c o , a n d t h e s e a r e c o n s i d e r e d w i t h o u t r e f e r e n c e t o t h e p r o b l e m

w h i c h g a v e t h e m o r i g i n . L e t s o = s o ( A ) b e a c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n

o f t h e p o i n t A o f Q , r e s t r i c t e d o n l y a s f o l l o w s : ( i ) s p i s s i n g l e - v a l u e d ;( i i ) s o i s m e a s u r a b l e ; ( i i i ) t h e L e b e s g u e i n t e g r a l s , 2 i p | o p d o a n d f 0 p | I s o d w

a r e f i n i t e . Th e t o t a l i t y o f s u c h f u n c t i o n s s o c o n s t i t u t e s t h e a g g r e g a t e o f

p o i n t s o f a H i l b e r t s p a c e S t : t h e m e t r i c o f w h i c h i s d e t e r m i n e d b y t h e" i n n e r p r o d u c t " ( s o , t ) = J a p j I d w .

L e t t h e t r a n s f o r m a t i o n U t o f t h e " p o i n t s " s o o f & b e d e f i n e d b y U t s o ( A ) =

s o ( S t A ) . T h i s t r a n s f o r m a t i o n i s e v i d e n t l y d e f i n e d f o r a l l s o o f a n d i s

c o n t i n u o u s i n s o ; a n d i t i s d e f i n e d a n d c o n t i n u o u s f o r a l l r e a l t . Th e

k i n e m a t i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f U t i s i m m e d i a t e l y o b v i o u s : I f t r e p r e s e n t s

t h e t i m e , S t s p e c i f i e s t h e s t e a d y f l o w o f a f l u i d o f d e n s i t y p o c c u p y i n g t h e

s p a c e Q ; a n d i f t h e v a l u e s o f s o ( A ) b e r e g a r d e d a s b e i n g a t t a c h e d t o t h e

r e s p e c t i v e p o i n t s A o f t h e f l u i d w h e n t = 0 , i n t h e c o u r s e o f t h e f l ow t h e s e

v a l u e s w i l l b e c a r r i e d i n t o t h o s e o f t h e f u n c t i o n U _ t s o ( A ) . T h u s , U s ph a s a t A t h e v a l u e w h i c h s o h a s a t t h e p o i n t S t A i n t o w h i c h A f l o w s a f t e r

t h e l a p s e o f t h e t i m e t .

Th e t r a n s f o r m a t i o n U 1 i s u n i t a r y , t h a t i s , i t i s a o n e t o o n e t r a n s f o r m a -

t i o n o f t i n t o i t s e l f w h i c h i s l i n e a r :

U 1 [ a p ( A ) + b t ( A ) I = a s o ( S A ) + b p ( S I A )= a U 1 s p ( A ) + b U 1 p ( A )

a n d s u c h t h a t

( U s o ,U 1 ' / ' ) = ( s o ,

4 ) .T h i s l a s t i s an e a s i l y e s t a b l i s h e d

c o n s e q u e n c e o f t h e i n v a r i an c e o f f p d w u n d e r S t . An d s i n c e 2 U t i s a

o n e - p a r a m e t e r g r o u p o f u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n s i n H i l b e r t s p a c e , i t w i l l

h a v e o n i n f i n i t e s i m a l g e n e r a t o r P :

_ 6 _

[ a U t ( s ( A ) ] i P p ( A ) ,

i = + / - 1 , a n d P i s a s e l f - a d j o i n t l i n e a r o p e r a t o r d e f i n e d i n a s e t o f

p o i n t s e v e r y w h e r e d e n s e i n t : ( P s o , V / )=

( s o , P t ) .I n a s u f f i c i e n t l y s m a l l r e g i o n o f Q , P m a y b e g i v e n a s i m p l e i n t e r p r e t a -t i o n . L e t t 1 , . . . , N b e a s e t o f G a u s s i a n c o 6 r d i n a t e s o f t h e r e g i o n , t h e

d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e f l o w w i l l b e d i k / d t = = 3 k ( 1 , . . . , N ) ( k = 1 ,

. . , N ) ; t h e n f o r a n y d i f f e r e n t i a b l e s p ( A ) = s o ( t 1 , . . . , { N )

3 1 6 P R O C . N . A . S .

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MATHEMA T I C S : B . 0 . KOOPMAN

P f O = i E 2 kk =1

We r e c o g n i z e t h e L i e o p e r a t o r . T h e p r o p e r t y o f p = p ( t l , . . * , N ) i s

e x p r e s s e d b y t h e " e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y "

b ( P V k )E = O ,k =1 C ( k

w h i c h m i g h t h a v e b e e n u s e d t o p r o v e f or ma l l y t h at P i s s e l f - a d j o i n t .Th e r e c e n t r e s u l t s i n t h e s p e c t r a l t h e o r y o f l i n e a r o p e r a t o r s e s t a b l i s h

t h e e x i s t e n c e o f a " c a n o n i c a l r e s o l u t i o n o f t h e i d e n t i t y " E l c o r r e s p o n d i n g

w i t h U t , w h i c h c o n s i s t s o f a f a m i l y o f s e l f - a d j o i n t o p er a to r s d ef i ne d t h r o u g h -

o u t ! , w i t h t h e p r o p e r t i e s t h a t

E _ O D 0 , E 0 , = I , EEh=EEl = E B , when h < 1 ( 1 ) .

T I h i s E l e f f e c t u a t e s t h e s p e c t r a l r e s o l u t i o n o f U 1 a n d P :

U tp

= J X e " ' d E p p ( 2 ) , Pp = l d E g 4 p .

T h e s e a r e L e b e s g u e - S t i e l t j e s i n t e g r a l s a n d t h e y e x i s t i n t h e s e n s e o f c o n -

v e r g e n c e i n t h e m e a n . T h u s , e . g . ,

J

f p I E e ' i ( E j 3 p - E l _ , p ) - U 1 t o I 2 d w > 0j = l

a s t h e n e t d e t e r m i n e d b y t h e p o i n t s ( l o , 1 1 , . . . , l I J ) b e c o m e s " i n d e f i n i t e l yf i n e " i n a n a r b i t r a r y i n t e r v a l o f t h e i - a x i s . I t f o l l o w s f r o m a c o r o l l a r y

o f t h e R i e s z - F i s c h e r T h e o r e m t h a t a s e t Q C Q e x i s t s h a v i n g f 2 , p d w =J f Q p d w , a t e v e r y p o i n t A o f w h i c h

J

U 1 ( A ) = l i m e i " ' i [ E l g s o ( A ) - s o ( A ) ]j=1

a s t h e s e t o f v a l u e s ( l o , 1 1 , . . . , j ) i s r e p l a c e d s u c c e s s i v e l y b y t h e m e m b e r s

o f a s e q u e n c e o f s e t s , w h i c h s e q u e n c e f o r m s a p r o p e r l y c h o s e n s u b - s e q u e n c e

o f t h e t o t a l i t y o f s e t s c o n s i d e r e d i n t h e p r e v i o u s f o r m u l a . I n p a r t i c u l a r ,s i n c e t h e v a l u e s on Q o f t h e d y n a m i c a l v a r i a b l e s

q ka n d P k a r e among t h e

p o i n t s o f S & , i t f o l l o w s t h a t t h r o u g h o u t s u c h a . s e t Q 1 t h e s e v a r i a b l e s m a y

b e r e p r e s e n t e d a s l i m i t s o f t r i g o n o m e t r i c a l sums o f t h e a b o v e t y p e .

An e v i d e n t p r o p e r t y o f U t i s t h a t , f o r an a r b i t r a r y s i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n

o f s e v e r a l v a r i a b l e s , F ,

V O L . 1 7 , 1 9 3 1 3 1 7

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MATHEMA T I C S : B . 0 . KOOPMAN

U j F ( Q p j ,. .2) = F ( U t ( p i ,

U j o 2 ,. .

a n e q u a t i o n w h i c h p l a y s a n i m p o r t a n t p a r t i n t h e d e v e l o p m e n t s o f o u r

t h e o r y .I f s o i s a c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f U t : U 1 ' p = e i X t p , i t w i l l f o l l o w f r o m

t h e p r e ce di ng e q u a ti on w i t h F ( p ) = I p I t h a t U I p I = U ( = I p | ;a n d h e n c e , w h e n P I ' P i s d e f i n e d , P I p = 0 ; t h u s j o | , w h i c h r e m a i n s

c o n s t a n t a l o n g t h e p a t h c u r v e s o f S i , h a s t h e p r o p e r t y o f a s i n g l e - v a l u e d

i n t e g r a l o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . I n t h e i m p o r t a n t c a s e w h e r e n o

s u c h i n t e g r a l e x i s t s w e m a y t a k e s p - e ' . T h e n 0 = 0 ( A ) i s a r e a l f u n c t i o n

o n Q , i n g e n e r a l i n f i n i t e l y m u l t i p l y - v a l u e d , i t s b r a n c h e s d i f f e r i n g b ym u l t i p l e s o f 2 7 r , e a c h b r a n c h b e i n g m e a s u r a b l e ; a n d s i n c e U t 1 p = e i U t O =

e ' x t + i @ , w e s h a l l h a v e U t 0 = 0 + X t a n d w h e n P O i s d e f i n e d , P O = X . T h u s ,

( p a n d 0 a r e a n a l y t i c a l o n g e a c h g i v e n p a t h c u r v e . I f t h e y a r e c o n t i n u o u s

t h r o u g h o u t Q , 0 = c o n s t . w o u l d r e p r e s e n t a " s u r f a c e o f s e c t i o n " o f t h e

d y n a m i c a l s y s t e m .

I f ( P , . . . , P k a r e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c h a r -a c t e r i s t i c n u m b e r s X l , . . . , X k , w e s h a l l h a v e f o r a n y s e t o f i n t e g e r s m i ,

U g ( Pm l

i k " ) = ( P U 1 O ) U t .P U t ' k )= e i ( m l x l + + M k ' 1 k ) Ml Mk

s o t h a t s p = m l . . . ° k m ' ( i f i t i s i n S , a s w i l l b e t r u e i f , a s a b o v e , y = e i 0 i ) i s

a c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f c h a r a c t e r i s t i c n u m b e r X = m b , X 1 +* +Mk. k

I f i n p a r t i c u l a r t h e r e i s t h e D i o p h a n t i n e r e l a t i o n m 1 X l + . . . + m k X k = 0 ,s o w i l l b e a n i n t e g r a l i n t h e a b o v e s e n s e o f t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n . H e n c e ,

i n t h e n o n - i n t e g r a b l e c a s e , s p o " . . 'k = c o n s t a n t ; h e n c e , i f t h e X ' s h a v e

t h e " b a s i s " X 1 , . . . , X i , : X i = m l i x + . . . + m j X h , w e h a v e ' p j = 1 s o j ( P h

I n t h e c a s e w h e r e U 1 h a s a p u r e p o i n t s p e c t r u m , t h e c h a r a c t e r i s t i c

f u n c t i o n s f o r m a c o m p l e t e s y s t e m , a n d t h e f o r m u l a U t 1 p = f i ' , . e " ' 1 d E 1 e ca b o v e p r o v i d e s u s w i t h a t r i g o n o m e t r i c a l s e r i e s c o n v e r g e n t i n t h e m e a n

o n Q b y means o f w h i c h t o r e p r e s e n t t h e c o o r d i n a t e s a n d m o m e n t a ( q , p ) .A s t u d y i s made o f t h e s t r u c t u r e o f E l i n t h e g e n e r a l c a s e , w i t h a v i e w

t o r e l a t i n g t h e d y n a m i c a l p r o p e r t i e s w i t h t h e s t r u c t u r e o f t h e s p e c t r u m .

I n p a r t i c u l a r , t h e g r o u p o f u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n s V o f & i s c o n s i d e r e d

w h i c h t r a n s f o r m E l a s f o l l o w s : V F 1 V - I = E l + V a r i o u s g e n e r a l i z a t i o n so f t h e a b o v e r e s u l t s a r e m a d e .

1 C f . J . v . N e u m a n n , M a t h . A n n a l e n , 1 0 2 , 4 9 - 1 3 1 ( 1 9 2 9 ) .

2 C f . M . H . S t o n e , t h e s e P R O C E E D I N G S , 1 6 , 1 7 3 - 1 7 4 ( 1 9 3 0 ) .

3 1 8 P R O C . N . A . S .