Análise Espectral Análise de Fourier (análise harmônica) - decompor série temporal de um...

Análise Espectral

Análise de Fourier (análise harmônica)

- decompor série temporal de um fenômeno na soma de várias ondas (co)senoidais. prover modelo determinístico de previsão de um fenômeno

-Referências1) Jenkins and Watts (1968). Spectral analysis and its

applications.2) Wilks, D. (2006) Statistical Methods in Atmospheric

Sciences (item 8.4)

Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830)

Onda quadrada como soma de 5 funções periódicas

1

Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

2

-2

-1

0

1

2

Definições

Função periódica: f(x) = f(x+L), período L

Lxxf 2cos

Série de Fourier:

eventos n N tq, tempode totalintervalo

tX eventos dos tempode discreto intervalo média iaestacionár série uma de t tempono medida

Seja

o

tX

Seja N = 2n (par) por simplicidade, Xr = X(t=r) , função discreta e contínua

t = r, r [-n,...,0,...,n-1]

L

t

x(t)

T

X(t)=Xr

-n (n-1)

▲

x=0

3

Por definição : Série de Fourier de Xr ou X(t) é

tnAtmsenBtmAAtX n

n

mmm 2cos.2.2cos.2

1

10

NrnA

NrmsenB

NrmAAX n

n

mmmr 2cos.2.2cos.2

1

10

N

rNrt Como

equações N e incógnitas N2n21-n2 portanto constantes escoeficient 2A ,A

constantes escoeficient 1-nBconstantes escoeficient 1-nA

Onden0

m

m

m=0 m=n

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4

NmrA

mNrA mm .2cos2cos

mm frA 2cos

períodociclosm

Nmfm ,

tr

Am

-Am

harmônico o é 2cos2cos2cos

mNrA

mtAtmAtf mmm

Freqüência = 1/período

t fm

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5

xr

xr

r

r

eventos N/1 lFundamentaFrequência de chamada

baixa mais frequência harmônico) (1 1

1

o

1

mN

f

Série temporal Xr

N eventos

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6

eventos

f

m

N/2 N2

harmônico) (2 2

2

o

eventos 2 N/n alta mais Frequência

harmônico) (enésimo 21

2

nmnnfm

A função X(t) é composta da soma de senossenos e cossenoscossenos cujas frequências são harmônicosharmônicos ou múltiplosmúltiplos da frequência fundamental(n harmônicos)

xr

r

xr

r

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7

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8

possível frequência única a é

11

21

2

de espaçados

dados com medidaser depossível frequênciamaior

nnnfn

Múltiplos harmônicos embutidos

Tx(t)

t

x(t)

t

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9

00,10,20,30,40,50,6

0 1 2 3 4 5

21

11

nm

mmfm

n harmônicos de frequêncian harmônicos de frequência

N/2 = total de harmônicos

fixa está mf e N dados m N

fm = m/N

m

110N

exemplo

11f constante oespaçamentN

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10

O que significa m=0 ?

12cos

02

NrmNrmsen

fm(m =0) = 0

Média

t

A0

x(t)

t

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11

Cálculo dos coeficientes ACálculo dos coeficientes Amm e B e Bmm

Solução:Solução: sabendo as integrais notáveis

P3 ortogonais são

fase de cos

n0,mK , mK , 0

n0,mK ,22cos2cos

P2 ortogonais são

fase desen

n0,mKou mK , n0,mK ,2

22

P1 ortogonais são

cos esen I mK, 02cos2

1

rmrK

rmsenrKsen

rmrKsen

SPORP

n

nr

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12

Cálculo dos coeficientes Am e Bm

rmsenXN

B

rmsen

rmXN

A

rm

n

nrrm

n

nrrm

21

n0,K t.q.2por (1) em X ndomultiplica

2cos1:r emsomar e

n0,K t.q.2cospor (1) em X ndomultiplica

1

r

1

r

(Obs) Se N é ímpar tq N = 2n-1 solução idêntica com An = 0

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13

Representação dos coeficientes de Fourier na forma complexa, em Amplitude e Fase

(fase) )(amplitude

cos

222

mmm

mmm

mmm

mmm

ABarctgBAR

senRBRA

imaginário eixo real eixo

m

m

iBA

Define-se Xm = coeficiente complexo de Fourier

Euler de relação cos

coscos

mmii

mm

mmmmmmmmmm

iseneeRX

isenRsenRiRiBAXmm

1 21 2 1 onde então

n

nr

Nrmi

rm

n

nm

Nrmi

mr eXN

XeXX

O cálculo de (Am,Bm) (ou Xm) é chamado de Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier

-Im(i)

Re-Bm

Am

m

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14

de oVerificaçã

1

1

2.2cos.2n

mmmr

rmsenBrmAX

1 2

n

nm

Nrmi

mr eXX

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15

Cálculo de XCálculo de Xmm

senos Multiplica imaginária Partecossenos Multiplica real Parte

1 2

212cos1

cos11

rr

rrm

rmmr

n

nr

Nrmi

rm

NrmsenX

Ni

NrmX

NX

isenXN

eXN

X

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16

Cálculo de XCálculo de XmmExemplo:

Calcular os harmônicosm (-n,n-1) = (-4,3)

31

4

42Nn pontos, 8 N

n

nr

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17

r Xr -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4 8 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0-3 9 -1 0.71 0 -0.71 1 0.71 0 0.71 0 0.71 -1 0.71 0 -0.71 1 -0.71-2 9 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1-1 6 -1 -0.71 0 0.71 1 0.71 0 -0.71 0 0.71 1 0.71 0 -0.71 -1 -0.710 10 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 3 -1 -0.71 0 0.71 1 0.71 0 -0.71 0 -0.71 -1 -0.71 0 0.71 1 0.712 5 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 1 0 -13 6 -1 0.71 0 -0.71 1 -0.71 0 0.71 0 -0.71 1 -0.71 0 0.71 -1 0.71

1.00 0.78 0.50 -0.28 7.00 -0.28 0.50 0.78 0.00 0.03 0.00 1.03 0.00 -1.03 0.00 -0.30

real Parte

..2cos1 NrmXN r

r

imaginária Parte

..21 NrmsenXN r

Xm* (Conjugado Complexo)-------- Média A0

rmfm

rmfm

Nrm..2cos Nrmsen ..2

m Xm=Am-i.Bm -4 1.00

x4 (4º harmônico) --------f Nyquist

-3 0.78 -i 0.03 x3 (3º harmônico) -2 0.50

x2 (2º harmônico)

-1 -0.28 -i 0.03 x1 (1º harmônico) 0 7.00

1 -0.28 +i 0.03 2 0.50

3 0.78 +i 0.03

m m

-i 1.03

+i 1.03

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18

Exemplo

Reconstituir X (r = - 4)

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19

Espectro de Energia

12

02

1

10

1 será série da variânciaa então

cos..cos.2

n

nrrx

mn

n

mmmmmr

AXN

s

AsenBAAX

Parseval de Teorema como conhecido é que o

XR

2...

2m

2m

21

1

222

n

n

mmmx ABAsou

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200

1

2

3

0 1 2 3 4 5

Exemplo anterior:

Xm=Am-i.Bm

x4 (4º harmônico) 1.00 x3 (3º harmônico) 0.78 -i 0.03

x2 (2º harmônico) 0.50 x1 (1º harmônico) -0.28 -i 0.03

Média 7.00

-0.28 +i 0.03

0.50

0.78 +i 0.03

(fração da variância que cada harmônico responde)

22 2 mm XXs %10022 xm sX 1*1.0 20.0 %

2*0.609 24.4 % 2*0.25 10.0 %

2*1.139 45.6 % 0.52 xs 100 %

chamado Espectro Discreto de Energia

ou Periodograma(às vezes chamado espectro de linha de Fourier, pelas linhas (bandas) de frequência discretas

S2(Xm)

m

-i 1.03

+i 1.03

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21

Espectro de Energia (contínuo)

dfefStXT

TeTXeXX

eXN

XeXX

fti

Ttmi

mNrmi

mr

Nrmi

rmNrmi

mr

2

r

m

m

-m

2

-m

2

rm

1-n

-nr

21-n

-nm

2

X(t) XS(f)f de função )(TX

df sfrequência oespaçament 1Tmf

(I) mas

1 i)

),(- T Contínua SérieX deFourier de TransfX

1 onde discreta érieS

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22

energia de Espectro de chamadocontínuo caso no X(t) deFourier de Transf é S(f)

)()()()()(

NTX(t)dt X e

(I) ),( m ),( T com mas

1 ii)

22

r

1

-r

2

dtetXfSdtetXTTXT

eXN

X

ftiftim

n

n

Nrmi

rm

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23

Espectro de PotênciaA variância da série Xr segundo Teorema de Parseval

mm

TT

mmx T

XTXs 1222

dffdfXTsfm

mx

ou

22

(f) é chamado de espectro de potência de Fourier (contínuo)

Tdf

T1 mas

(f)

f

área sob curva Sx2

(a variância da série é igual à integral do espectro de potência)

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24

Exemplos:

fb2

fb22fS

bt0 a,b t,0

tX )1(

senab

22412fS

tX )2(

f

e t

TF de uma constante é uma função delta

X(t)

tb

a

0

S(f)

f0 b2

1b1

b23

X(t)

t

S(f)

f

Dominado pela baixa frequência

Dominado pelas baixas frequências

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25

----- pulso rápido TF tende a ficar constanteanálogo a ruído branco

___ pulso longo TF dominada na baixa frequenciaanálogo a ruído vermelho

X(t)

t

41 2 3

1

S(f)

f

81

83

21

41 1

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26

Exemplo:

a) Manchas solares

b) Remoção da tendencia linear

c) Periodograma em frequencia (ciclos / ano)

ou inversamente em (anos/ciclo)

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27

Periodograma, em (cpa = ciclos / ano) , Inglaterra

(a) Temperatura média mensal (1 cpa = 1 ano)

(c) Temperatura média anual, Inglaterra (0,05 cpa = 20 anos ; 0,18 = 6 anos ...)

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28

Espectro de uma série da pressão atmosférica média horária (Denver, EUA)

Pico em 10-4 h-1 = ciclo anual

Pico em 0.008 h-1 = 5 dias

Picos em 24/n horas, para n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, e 12 (ciclo diurno, que não tem uma representação senóide exata, mas sim composta por vários harmonicos do fundamental de 24h)

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29

Espectro série de temperatura do ar média horária (Denver, EUA)

Pico em 10-4 h-1 = ciclo anual

Ciclo diurno (similar ao da pressão atmosférica)

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30

Espectro da energia cinética obtido na camada superficial e na atmosfera livre, com radiossondas nos EUA e ex-URSS. (análogo à Fig. 2.4 de Peixoto e Oort)

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31

Dados meteorológicos de alta frequencia (por ex. taxa de amostragem 5 Hz)

Várias representações do espectro de energia, de dados de velocidade do vento. Fonte: Stull 1994 (Introduction to Boundary Layer Meteorology)

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32Espectros com ruídos (vermelho, branco, azul) Fonte: Stull 1994 (Introduction to Boundary Layer Meteorology)

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33

Aliasing (“imagem” ou “sombra”) provoca o rebatimento da energia das frequências acima da frequência de Nyquist, para a região de frequencias mais baixas, distorcendo o espectro (hachurado em azul).

Teorema de amostragem (ou de Nyquist-Shannon)

Um sinal contínuo no tempo, cuja mais elevada frequencia natural de oscilação é fmax (uma de suas propriedades), deve ter uma taxa de amostragem (sampling rate) fs tal que fs   ≥  2·fmax (chamada taxa de amostragem de Nyquist)

para que o sinal possa ser reconstruído sem aliasing (ou distorção do espectro).

Isto determina na reconstrução do espectro (sistema discreto no tempo), a frequencia de folding, ou frequencia de cut-off, igual a fmax, chamada de frequencia de Nyquist.

34

Função de autocorrelação e espectroDef: Def: Função de autocorrelação r(t)

tN

t txttxtxtr

1 var

,cov

1varcov0 trt

Sem memória (processo puramente aleatório) dos processos estocásticos

(correlograma)t

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35

Padrões de correlogramas

Efeitos de

- Memória

-Tendência linear (baixa frequencia)

-periodicidade

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36

Relação entre espectro e autocovariânciaSeja o espectro de potência de uma série contínua igual a (m), ou para uma série discreta, igual a C(m), definido como:

ânciaautocovari de função daFourier de ada transforma é potência de espectro o seja,ou

contínua) (forma ,

Tmf seou t u lag ,

'11

2

1

0

2

1

0'

'21

0

2

*2

dueucf

eucmC

etXT

etXT

T

XTXXmTmC

fuiT

T

n

u

uTmi

n

t

Tmtin

t

Tmti

mm

37

Notas adicionaisA análise de Fourier trabalha

com séries estacionárias, cujas frequências (harmônicos) são constantes no tempo, e dependem do número de eventos (máximo = N/2) portanto fixas (espaçadas de 1/T).

A técnica de Wavelet, chamada de “ondeletas” ou “ondaletas” de Morlet, representa em muitos casos uma alternativa dessa simplificação, ao abordar quais frequências dominam ao longo do tempo, e com melhor resolução.

38

Notas adicionais

2. A transformada discreta de Fourier computacionalmente é um algoritmo que demanda um elevado número de operações matemáticas, sendo pouco eficiente para amostras com muito eventos (N alto).

Na prática, nos softwares estatísticos que calculam o espectro de energia e/ou espectro de potência, utiliza-se o algoritmo da Fast Fourier Transform (FFT) ou Transformada Rápida de Fourier, desenvolvido por 2 pesquisadores da IBM em 1965 (Cooley & Tukey), que foi baseado em principios descritos por Gauss (1805).

39

Janelas de suavização do espectro