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UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Analisis real y complejo.
Analisis Funcional
Master Universitario en Matematica
Avanzada
Luis Bernal Gonzalez
Departamento de Analisis Matematico
Sevilla, febrero de 2012
Disponible en: <http://personal.us.es/lbernal/>
Indice general
1. Teorıa de la medida 3
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Conjuntos medibles y medidas positivas . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Procedimiento de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Medidas absolutamente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7. Medida de Lebesgue–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10. Integral de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.10.1. Integral de funciones medibles no negativas . . . . . . . 22
1.10.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.10.3. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.11. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.12. Relacion con la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.13. Completitud de L1(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.14. Medidas signadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.14.1. Medidas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.14.2. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.15. Espacios Lp(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
2 Luis Bernal Gonzalez
1.15.1. La norma en el espacio Lp . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.15.2. Aproximacion por funciones escalonadas . . . . . . . . 48
1.16. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.16.1. σ-algebra y medida sobre el espacio producto . . . . . 50
1.16.2. Teoremas de Fubini y de Tonelli . . . . . . . . . . . . . 54
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2. Espacios de funciones analıticas 67
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2. Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.1. Topologıa compacta-abierta . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3. Espacios de Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.1. Ortonormalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3.2. Espacios de Bergman de regiones acotadas . . . . . . . 77
2.3.3. Funciones subarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.4. Operador de composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4. Funciones analıticas acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4.1. Productos de Blaschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4.2. Teorema de factorizacion de Riesz . . . . . . . . . . . . 88
2.5. Espacios de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.5.1. Estructura de las funciones de Hp . . . . . . . . . . . . 93
2.5.2. Integrales de Poisson-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.3. Existencia de lımites radiales . . . . . . . . . . . . . . 100
2.5.4. Espacio de las funciones de valores frontera . . . . . . . 107
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Bibliografıa 115
Capıtulo 1
Teorıa de la medida
1.1. Introduccion
El concepto de medida es una abstraccion de las nociones de longitud,
area y volumen, de indiscutible utilidad en Matematicas, Fısica y otras ramas
de la Ciencia. Sabemos calcular las longitudes, areas y volumenes de ciertas
figuras geometricas, por ejemplo, el area bajo una curva plana, el volumen
encerrado por una superficie, etc. Estos calculos condujeron al concepto de
integral en el sentido de Riemann.
Precisamente, el intento de medir conjuntos arbitrarios de puntos de la
recta real R tiene su origen en la dependencia entre la integrabilidad en el
sentido de Riemann y la continuidad. Se sabıa que una funcion era Riemann-
integrable si “no tenıa muchas discontinuidades”. Esto conducıa a buscar la
definicion de una medida para el conjunto de puntos de discontinuidad de
una funcion, de manera que la condicion de integrabilidad pudiera expresarse
en terminos de tal medida.
A finales del siglo XIX, se llevaron a cabo varios intentos de establecer
una definicion satisfactoria de medida de un conjunto en RN , que coincidiese
3
4 Luis Bernal Gonzalez
en los casos elementales con la longitud, area y volumen de un conjunto
(si N = 1, 2, 3 respectivamente). El intento fue debido fundamentalmente a
STOLZ, HARNACK, CANTOR, PEANO, JORDAN Y BOREL.
Fue LEBESGUE, quien, a principios del siglo XX, dio una definicion ade-
cuada de subconjunto medible de RN y de medida sobre tales subconjuntos.
Ademas, proporciono una definicion de funcion integrable que superaba las
carencias de la funcion Riemann-integrable, de modo que la correspondiente
integral generalizaba tambien la de Riemann y era aplicable a una clase mu-
cho mas amplia de funciones. Otra notable ventaja de la integral de Lebesgue
es que se obtienen teoremas muy generales que relacionan la integral del
lımite de una sucesion de funciones medibles (estas son la generalizacion de
las funciones continuas) con el lımite de las integrales de estas.
FRECHET generalizo la teorıa considerando σ-algebras de conjuntos en
espacios abstractos. Finalmente, CARATHEODORY definio axiomaticamente
la medida exterior –introducida por Lebesgue para RN– e introdujo la nocion
de conjunto medible a partir de ella, por un metodo esencialmente analogo al
de Lebesgue. Ası que la integral puede definirse para funciones f : X → R o
bien f : X → C, dondeX es un espacio medible y C es el plano complejo. Mas
tarde, BOCHNER extenderıa el concepto de integral a funciones f : X → E,
donde E es un espacio de Banach. Durante el primer tercio del siglo XX,
RADON y NIKODYM estudiaron el comportamiento, como medida, de la
integral de una funcion no negativa sobre un conjunto medible arbitrario.
El objeto de este tema es dar unas nociones y resultados sobre la teorıa
abstracta de la medida e integracion. No todas las demostraciones seran
dadas, aunque se esbozaran las de los resultados mas interesantes. Esto se
hara tambien en el Capıtulo 2.
TEORIA DE LA MEDIDA 5
1.2. Conjuntos medibles y medidas positivas
Comenzaremos destacando el tipo de familias de subconjuntos de un
conjunto dado a los que se les puede aplicar una medida. Se parte de un
conjunto X = ∅. Se denota por P(X) la familia de todos los subconjuntos
de X.
Si M ⊂ P(X), diremos que M es una σ-algebra sobre X cuando verifica
las tres propiedades siguientes:
1. X ∈ M.
2. A ∈ M ⇒ Ac := X \ A ∈ M.
3. Si An ∈ M para todo n ∈ N := 1, 2, ..., entonces∞∪n=1
An ∈ M.
Al par (X,M) se le llama espacio medible, y a los elementos de M,
conjuntos medibles. Obtenemos facilmente las siguientes consecuencias:
∅ ∈ M.
Si An ∈ M para todo n ∈ N, entonces∞∩n=1
An ∈ M.
Si An ∈ M para todo n ∈ 1, . . . , N, entoncesN∪n=1
An ∈ M y
N∩n=1
An ∈ M.
Si A,B ∈ M, entonces A \B ∈ M.
Como ejemplos triviales, se tiene que ∅, X y P(X) son σ-algebras sobre
X. Es facil ver que si Mii∈I es una familia de σ-algebras sobre X, entonces
su interseccion∩i∈I
Mi es tambien una σ-algebra sobre X.
Si N ⊂ P(X), se llama σ-algebra generada por N , denotada σ(N ), a la
interseccion de todas las σ-algebras M sobre X tal que N ⊂ M. Por tanto,
σ(N ) es la menor σ-algebra que contiene a N .
6 Luis Bernal Gonzalez
Ejemplo. Si (X, T ) es un espacio topologico, la σ-algebra de Borel de (X, T )
es B = σ(T ). Sus elementos se llaman conjuntos de Borel, o simplemente
borelianos. Por tanto, los abiertos, los cerrados, los Fσ y los Gδ (recordemos
que un subconjunto de un espacio topologico se dice que es un Fσ si es
union numerable de cerrados, y que es un Gδ si es interseccion numerable
de abiertos) son borelianos. En particular, los intervalos –de todos los tipos–
son borelianos de R.
Sea (X,M) un espacio medible. Por definicion, una medida positiva, o
simplemente una medida, sobre (X,M) es una aplicacion µ : M → [0,+∞]
tal que:
1. µ(∅) = 0.
2. La aplicacion µ es numerablemente aditiva, es decir, si Ann≥1 ⊂ My An ∩ Am = ∅ para todo par m,n con m = n, entonces µ
( ∞∪n=1
An)=
∞∑n=1
µ(An).
A la terna (X,M, µ) se la llama espacio de medida.
La denominacion de los siguientes casos especiales es aplicable tanto a µ
como a (X,M, µ):
Si µ(X) < +∞, µ se dice finita. Si µ(X) = 1, µ es una probabilidad.
Si An∞n=1 ⊂ M es tal que µ(An) < +∞ para todo n ∈ N y X =∞∪n=1
An, µ se dice σ-finita.
Si [A ∈ M, B ⊂ A y µ(A) = 0] implica que B ∈ M, entonces se dice
que µ es completa.
Si S ∈ M, entonces MS := A ∈ M : A ⊂ S es una σ-algebra sobre
S y µ|MSes una medida sobre (S,MS). A la terna (S,MS, µ|MS
) se le
llama espacio de medida inducido.
TEORIA DE LA MEDIDA 7
Ejemplo. Sea X un conjunto y consideremos la aplicacion µ : P(X) →[0,+∞] dada por µ(A) = card(A) si A es finito, y µ(A) = +∞ si A es
infinito. Entonces µ es una medida positiva. Ademas, µ es finita si y solo si
X es finito, y µ es σ-finita si y solo si X es numerable. Diremos que µ es la
medida cardinal sobre X.
En la siguiente proposicion se reunen algunas propiedades operacionales
basicas de las medidas.
Proposicion 1.2.1. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Se verifica:
1. µ es finitamente aditiva, es decir, si A1, . . . , An ∈ M son dos a dos
disjuntos, entonces µ( N∪n=1
An)=
N∑n=1
µ(An).
2. µ es monotona, es decir, si A,B ∈ M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤µ(B).
3. Si A,B ∈ M con A ⊂ B y µ(A) < +∞ entonces µ(B \ A) = µ(B) −µ(A).
4. Si An∞n=1 ⊂ M, entonces µ( ∞∪n=1
An)≤
∞∑n=1
µ(An).
5. Si An∞n=1 ⊂ M es creciente, es decir, si An ⊂ An+1 para todo n ∈ N,
entonces lımn→∞
µ(An) = µ( ∞∪n=1
An).
6. Si An∞n=1 ⊂ M es decreciente, es decir, si An+1 ⊂ An para todo
n ∈ N y µ(A1) < +∞, entonces lımn→∞
µ(An) = µ( ∞∩n=1
An).
Damos ahora unas definiciones y establecemos algunos convenios, que en
parte han podido ya haber sido usados implıcitamente. Se define la recta real
completa, R, como R = R∪+∞,−∞ = [−∞,+∞], y se le dota de un orden
estricto, <, que extiende el orden de R, de modo que −∞ < x < +∞ para
todo x ∈ R. Las operaciones de suma y producto se extienden parcialmente:
8 Luis Bernal Gonzalez
(+∞)+ (+∞) = +∞, (−∞)+ (−∞) = −∞, a+(+∞) = +∞ = (+∞)+ a,
a+ (−∞) = −∞ = (−∞) + a para todo a ∈ R; a · (±∞) = ±∞ = (±∞) · a(resp.) para todo a > 0, y analogamente con el correspondiente cambio de
signo para los numeros a < 0. Ademas, 0 · (±∞) = 0, pero este convenio se
emplea solo en teorıa de la medida, ya que en general esa operacion es una
indeterminacion.
1.3. Medidas exteriores
Un concepto proximo al de medida positiva es el siguiente. Se llama
medida exterior sobre un conjunto X a una aplicacion µ∗ : P(X) → [0,+∞]
nula sobre el conjunto vacıo, monotona y numerablemente subaditiva, es
decir:
1. µ∗(∅) = 0.
2. A ⊂ B ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).
3. An∞n=1 ⊂ P(X) ⇒ µ∗( ∞∪n=1
An)≤
∞∑n=1
µ∗(An).
Un ejemplo importante es el de medida exterior de Lebesgue, que recor-
daremos a continuacion. A partir de ella se construira la medida de Lebesgue,
generalizacion adecuada del volumen N -dimensional.
Sean a = (a1, . . . , aN) y b = (b1, . . . , bN) dos puntos de RN tales que
aj ≤ bj para todo j ∈ 1, . . . , N. El conjunto I = [a1, b1]× · · · × [aN , bN ] se
denomina N-rectangulo cerrado o N-intervalo cerrado. Su volumen se define
como vol(I) =N∏j=1
(bj − aj). Si aj = bj para algun j, diremos que I es un
rectangulo degenerado. Es evidente que I es degenerado ⇔ vol(I) = 0. Se
dice que dos rectangulos I, J no se superponen cuando I∩J = ∅, donde porA denotamos el interior de un subconjunto A de RN . Si I1, . . . , Ip son N -
rectangulos que no se superponen, y J es un rectangulo tal que J =p∪
k=1
Ik,
TEORIA DE LA MEDIDA 9
se dice que I1, . . . , Ip es una particion de J . Una particion de J se dice
simple cuando proviene de una particion de cada uno de sus lados.
Proposicion 1.3.1. Si P = I1, . . . , Ip es una particion de un N-rectangulo
J , entonces vol(J) =p∑
k=1
vol(Ik).
La prueba es elemental si P es simple. Si P es una particion arbitraria,
se obtiene de ella una particion simple por prolongaciones de los lados de los
elementos de P , y a cada uno de estos se le aplica el caso anterior. Como
consecuencia, si J, I1, . . . , Ip son N -rectangulos tales que J ⊂p∪
k=1
Ik, entonces
vol(J) ≤p∑
k=1
vol(Ik).
Si A ⊂ RN , la medida exterior de Lebesgue de A se define como
m∗(A) = ınf
∞∑k=1
vol(Ik) : Ik son N-rectangulos cerrados tales que A ⊂∞∪k=1
Ik
.
Usando las observaciones anteriores, es posible probar que m∗ : P(RN) →[0,+∞] es en efecto una medida exterior sobre RN . Puede probarse que no
es numerablemente aditiva, luego no es una medida: en efecto, para N = 1,
basta considerar la igualdad [0, 1] = V ∪ ([0, 1] \ V ), donde V es el llamado
“conjunto de Vitali”, que se definira mas adelante.
Otra propiedad de m∗ es que si I es un N -rectangulo abierto, cerrado,
cerrado-abierto, etc, entonces m∗(I) = vol (I), donde por A entendemos la
clausura de un subconjunto A de RN .
1.4. Procedimiento de Caratheodory
El siguiente resultado general muestra el ası denominado procedimiento
de Caratheodory para generar una medida positiva a partir de una medida
exterior.
10 Luis Bernal Gonzalez
Teorema 1.4.1. Sea µ∗ una medida exterior sobre un conjunto X. Consi-
deremos la familia
M = M ⊂ X : µ∗(A) = µ∗(A ∩M) + µ∗(A \M) ∀A ⊂ X
Entonces M es una σ-algebra sobre X y µ := µ∗|M es una medida completa
sobre M.
La familia M definida anteriormente se denomina la σ-algebra de los
conjuntos medibles-Caratheodory relativos a la medida exterior µ∗.
Demostracion del teorema. Ya que µ∗(∅) = 0, se tiene que ∅ ∈ M. Ya que la
definicion de M es simetrica para M y M c resulta que M c ∈ M si M ∈ M.
En particular, X ∈ M.
Sean ahora M,N ∈ M, y sea A ⊂ X. Tenemos:
µ∗(A) = µ∗(A ∩M) + µ∗(A ∩M c)
= µ∗(A ∩M ∩N) + µ∗(A ∩M ∩N c) + µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩M c ∩N c).
Como M,N ∈ M, resulta que
µ∗(A ∩ (M ∩N)c) = µ∗(A ∩ (M ∩N)c ∩N) + µ∗(A ∩ (M ∩N)c ∩N c)
= µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩N c)
= µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩M ∩N c) + µ∗(A ∩M c ∩N c),
de donde obtenemos que
µ∗(A) = µ∗(A ∩ (M ∩N)) + µ∗(A ∩ (M ∩N)c),
luegoM∩N ∈ M. Por tanto,M∪N = (M c∩N c)c ∈ M yM \N =M∩N c ∈M. Resulta tambien, por induccion, queM1∪ . . .∪Mp y M1∩ . . .∩Mp estan
en M si M1, . . . ,Mp ∈ M.
TEORIA DE LA MEDIDA 11
Asimismo, se prueba facilmente por induccion que
µ∗(A) =
p∑j=1
µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩( p∪j=1
Mj
)c)[1]
para todo A ⊂ X y todo sistema de elementos M1, . . . ,Mp de M dos a dos
disjuntos.
Sean ahora Mn ∈ M con n ∈ N. Para probar que∞∪n=1
Mn ∈ M, pode-
mos suponer que los Mn son dos a dos disjuntos (basta sustituir la sucesion
M1,M2,M3, . . . por la sucesionM1,M2 \M1,M3 \ (M1∪M2), . . . , cuya union
es tambien∞∪n=1
Mn). Por [1], si A ⊂ X, resulta que, para todo n ∈ N,
µ∗(A) =n∑j=1
µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩( n∪j=1
Mj
)c)
≥n∑j=1
µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩( ∞∪j=1
Mj
)c),
lo que implica que
µ∗(A) ≥∞∑j=1
µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩( ∞∪j=1
Mj
)c)
≥ µ∗(A ∩( ∞∪j=1
Mj
))+ µ∗(A ∩
( ∞∪j=1
Mj
)c) ≥ µ∗(A),
donde hemos usado dos veces la subaditividad. Por tanto,
µ∗(A) = µ∗(A ∩( ∞∪j=1
Mj
))+ µ∗(A ∩
( ∞∪j=1
Mj
)c)para todo A ⊂ X,
de donde deducimos que∞∪n=1
Mn ∈ M. Hemos probado que M es una σ-
algebra.
Denotemos µ := µ∗|M. Entonces µ(∅) = µ∗(∅) = 0. En cuanto a la σ-
aditividad de µ, tomemos Mn ∈ M (n ∈ N) dos a dos disjuntos. Haciendo
12 Luis Bernal Gonzalez
A =∞∪n=1
Mn en el razonamiento anterior, obtenemos –todas las desigualdades
deben ser igualdades– que
µ( ∞∪n=1
Mn
)=
∞∑n=1
µ(Mn) + µ(∅) =∞∑n=1
µ(Mn).
Resta probar que µ es completa: esto resulta de que siM ⊂ X y µ∗(M) =
0, entonces M ∈ M. A su vez, esto es evidente porque si A ⊂ X, entonces
A ∩ M ⊂ M , luego µ∗(A ∩ M) = 0, ası que µ∗(A) ≤ µ∗(A \ M) + 0 por
sub-aditividad, mientras que µ∗(A) ≥ µ∗(A \M) por monotonıa. 2
1.5. Medida de Lebesgue
La σ-algebra de los conjuntos medibles-Lebesgue MN (en RN) es, por
definicion, la σ-algebra de los conjuntos medibles-Caratheodory generada por
la medida exterior de Lebesgue m∗. La medida de Lebesgue es, por definicion,
la medida m : MN → [0,+∞] dada por m := m∗|MN. Observemos las
siguientes propiedades de la medida de Lebesgue:
m es completa y σ-finita: En efecto, m se elabora mediante un proce-
dimiento de Caratheodory, y RN =∞∪n=1
[−n, n]N , con m([−n, n]N
)=
(2n)N < +∞ para todo n ∈ N.
MN ⊃ BN := la σ-algebra de Borel de RN . En efecto, cada rectangulo
cerrado pertenece a MN . Ahora bien, cada abierto es union numerable
de rectangulos, luego cada abierto esta en MN . Como BN es la menor
σ-algebra que contiene a cada abierto, BN ⊂ MN . En particular, todos
los cerrados, Fσ, Gδ, etc, estan en MN .
m es invariante por traslaciones y homogenea de grado N , es decir, para
todo λ ∈ RN , todo c ∈ R y todo A ∈ MN se tiene m(λ + A) = m(A)
y m(cA) = |c|Nm(A). La prueba se basa en que la propiedad es cierta
TEORIA DE LA MEDIDA 13
para m∗, lo cual, a su vez, se obtiene de la definicion de m∗ y de
que la propiedad es valida para rectangulos. Hemos usado la notacion
λ+ A = λ+ x : x ∈ A, cA = cx : x ∈ A.
Denotemos por ♯ (A) la cardinalidad de un conjuntoA, y por ℵ la cardinalidad
del continuo, es decir, ℵ = ♯ (R). Puede probarse que ♯(BN) = ℵ. Ya que
existen en R conjuntos medibles no numerables de medida de Lebesgue nula
(por ejemplo, el conjunto de Cantor), y ya que m es completa, se deduce que
♯(MN) ≥ ♯(P(RN)) > ℵ, es decir, hay “muchos mas” medibles-Lebesgue que
borelianos en RN .
El siguiente resultado caracteriza los conjuntos medibles-Lebesgue.
Teorema 1.5.1. Sea A ⊂ RN . Son equivalentes:
(a) A ∈ MN .
(b) Para cada ε > 0 existe un subconjunto abierto G ⊂ RN tal que A ⊂ G
y m∗(G \ A) < ε.
(c) A = H \B, donde H es un Gδ y m∗(B) = 0.
(d) Para cada ε > 0 existe un subconjunto cerrado F ⊂ RN tal que F ⊂ A
y m∗(A \ F ) < ε.
(e) A = K ∪ C, donde K es un Fσ y m∗(C) = 0.
Demostracion. (a) ⇒ (b): Partimos de que A ∈ MN . Supongamos que
m(A) < +∞. Por la definicion de m∗, existe una sucesion de rectangulos
cerrados In∞n=1 tal que A ⊂∞∪n=1
In y m(A) + ε2>
∞∑n=1
vol(In). Estirando
levemente los lados de cada uno de los rectangulos In, podemos obtener una
sucesion de rectangulos abiertos Jn (n ∈ N) tales que Jn ⊃ In y m∗(Jn) <
vol(In) +ε
2n+1 .
14 Luis Bernal Gonzalez
Llamemos G :=∞∪n=1
Jn. Entonces G es abierto [luego G\A ∈ MN ], A ⊂ G
y, como m(A) < +∞, se tiene que m∗(G\A) = m(G\A) = m(G)−m(A) ≤∞∑n=1
m∗(Jn)−∞∑n=1
vol(In) +ε2<
∑∞n=1
ε2n+1 +
ε2= ε.
Si fuese m(A) = +∞, existirıa una sucesion Aj∞j=1 ⊂ MN tal que
m(Aj) < +∞ para todo j y A =∞∪j=1
Aj. Fijado ε > 0, existe para cada
j ∈ N un abierto Gj tal que Aj ⊂ Gj y m(Gj \ Aj) < ε2j. Sea ahora, por
definicion, G :=∞∪j=1
Gj. Entonces G es abierto, A ⊂ G y G\A ⊂∞∪j=1
(Gj \Aj),
luego m∗(G \ A) = m(G \ A) ≤∞∑j=1
m(Gj \ Aj) <∞∑j=1
ε2j
= ε.
(b) ⇒ (c): Para ε = 1j, elegimos un abierto Gj con A ⊂ Gj tal que
m∗(Gj \ A) < 1/j. Llamemos H :=∞∩j=1
Gj. Entonces H es un Gδ, H ⊃ A
y m∗(H \ A) ≤ m∗(Gj \ A) < 1/j para todo j ∈ N. Por tanto, si llamamos
B := H \ A, resulta que m∗(B) = 0 y A = H \B.
(a) ⇒ (d): Como RN \ A ∈ MN y ya se tenıa [(a) ⇒ (b)], conseguimos
que dado ε > 0 podemos encontrar un abierto G tal que RN \ A ⊂ G y
m(G\ (RN \A)) < ε. En consecuencia, si definimos F := RN \G, resulta que
F es cerrado, F ⊂ A y m∗(A \ F ) = m(A \ F ) = m(G \ (RN \ A)) < ε.
(c) ⇒ (a): Tenemos por hipotesis que A = H \ B, con H un Gδ [luego
H ∈ MN ] y m∗(B) = 0 [luego B ∈ MN ], ası que A ∈ MN .
(e) ⇒ (a): Similar a la implicacion anterior.
(d) ⇒ (e): Similar a la implicacion [(b)⇒ (c)]. 2
Como ejemplo de conjunto que no es medible-Lebesgue, tenemos el con-
junto de Vitali, que describiremos a continuacion.
En el intervalo [0, 1], definimos la relacion de equivalencia:
x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈ Q.
TEORIA DE LA MEDIDA 15
Sea V un conjunto –que va a ser nuestro conjunto de Vitali– formado eligiendo
un elemento en cada clase de equivalencia. Sea rn∞n=1 una enumeracion de
los numeros racionales de [−1, 1] (de modo que la aplicacion n ∈ N 7→ rn ∈Q ∩ [−1, 1] es biyectiva), y llamemos Vn := rn + V (usamos la notacion
a + S = a + x : x ∈ S). Veamos que Vn ∩ Vm = ∅ si n = m: en efecto, si
x ∈ Vn∩Vm, entonces existen α, β ∈ V tales que x = rn+α = rm+β. Por tanto
β − α = rn − rm ∈ Q, ası que β ∼ α, lo que implica que β = α y, por tanto
rn = rm. Luego n = m, lo que es una contradiccion. Ademas, [0, 1] ⊂∞∪n=1
Vn.
En efecto, si x ∈ [0, 1], debe estar en alguna clase de equivalencia, luego existe
α ∈ V tal que x ∼ α. Por tanto x − α ∈ Q ∩ [−1, 1], ası que existe n ∈ N
tal que x − α = rn, de donde deducimos que x = α + rn ∈ rn + V = Vn.
En consecuencia, [0, 1] ⊂∞∪n=1
Vn ⊂ [−1, 2]. Si V fuese medible, Vn tambien lo
serıa y m(Vn) = m(V ), luego 1 ≤∞∑n=1
m(V ) ≤ 3. Entonces m(V ) > 0 de la
primera desigualdad, mientras que de la segunda se obtiene que m(V ) = 0, lo
que provoca contradiccion. Por tanto V /∈ M1, como querıamos demostrar.
1.6. Medidas absolutamente continuas
A veces nos encontramos con dos medidas sobre una misma σ-algebra,
que estan relacionadas de forma que una es pequena cuando lo es la otra.
Esto motiva el siguiente concepto. Si (X,M) es un espacio medible y µ, ν
son dos medidas sobre el, decimos que ν es µ-continua o absolutamente
continua respecto de µ, y lo denotaremos como ν ≪ µ, cuando para cada
ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 de modo que
[A ∈ M y µ(A) < δ ⇒ ν(A) < ε].
Mas adelante se vera que la integracion genera, de manera natural, medidas
absolutamente continuas. Por el momento, damos una caracterizacion parcial.
16 Luis Bernal Gonzalez
Proposicion 1.6.1. Sean µ y ν dos medidas sobre un mismo espacio medible
(X,M), con ν finita. Entonces ν ≪ µ ⇐⇒ [A ∈ M y µ(A) = 0 ⇒ν(A) = 0].
Demostracion. ⇒: Evidente, incluso sin la hipotesis de que ν sea finita.
⇐: Por reduccion al absurdo, supongamos que se verifica la condicion
encerrada entre corchetes, pero tambien que existe ε0 > 0 con la propiedad
de que, para cada δ > 0 existe Aδ ∈ M tal que µ(Aδ) < δ y ν(Aδ) ≥ ε0.
En particular, para cada n ∈ N existe An ∈ M tal que µ(An) < 1/2n y
ν(An) ≥ ε0. Sea A := lım supn→∞
An =∞∩n=1
∞∪k=n
Ak ∈ M. Entonces µ(A) = 0 (se
ha aplicado el Lema de Borel-Cantelli, vease Ejercicio 10) pero, para cada
n, se tiene ν( ∞∪k=n
Ak)≥ ε0, luego, ya que ν es finita y la sucesion de los
Bn :=∞∪k=n
Ak es decreciente, resulta por la Proposicion 1.2.1 que ν(A) =
lımn→∞
ν(Bn) ≥ ε0 > 0, lo que contradice la hipotesis. 2
1.7. Medida de Lebesgue–Stieltjes
Estudiemos ahora la medida de Lebesgue–Stieltjes. Esta tiene su punto
de partida en la consideracion de una distribucion de masa positiva sobre R.
Tal distribucion puede representarse mediante una funcion φ : R → R tal que
φ(x) designe la masa del intervalo (−∞, x]. Entonces φ es creciente y continua
a la derecha. Si en un punto x0 hay localizada una masa positiva, φ no es
continua a la izquierda en x0. La masa de cada intervalo (a, b] es φ(b)−φ(a),y en cada punto x0 se define por φ(x0) − φ(x−0 ). Estas consideraciones nos
llevan a la construccion dada en la siguiente proposicion, cuya prueba se
omite por basarse solo en las definiciones.
TEORIA DE LA MEDIDA 17
Proposicion 1.7.1. Sea φ : R → R creciente y continua a la derecha.
Entonces la aplicacion
A ∈ P(R) 7→ m∗φ(A) := ınf
∞∑k=1
(φ(bk)−φ(ak)) : A ⊂∞∪k=1
(ak, bk]∈ [0,+∞]
es una medida exterior en R.
La medidamφ que se obtiene a partir de m∗φ mediante el procedimiento de
Caratheodory se llama medida de Lebesgue–Stieltjes asociada a φ. Si φ = Id,
obtenemos la medida de Lebesgue. Resulta que la σ-algebra sobre la que
mφ esta definida contiene al conjunto de los borelianos (por contener a los
conjuntos (a, b], luego tambien contiene a los abiertos), pero no coincide en
general con M1.
1.8. Funciones simples
Antes de considerar funciones medibles, nos sera util tratar las funciones
simples con vistas a la integracion.
Notaciones conjuntistas como [f ≤ α], [f ≥ α], [f = α], [f = g] y
ası sucesivamente, donde f, g : X → [−∞,+∞] y α ∈ [−∞,+∞], signi-
fican x ∈ X : f(x) ≤ α, x ∈ X : f(x) ≥ α, x ∈ X : f(x) = α y
x ∈ X : f(x) = g(x), respectivamente.
Recordemos que siX es un conjunto y A ⊂ X, la funcion caracterıstica de
A se define como la funcion χA : X → R dada por χA(x) =
1 si x ∈ A
0 si x ∈ A.
Algunas propiedades elementales son las siguientes, validas para todos los
subconjuntos A,B ⊂ X :
χ∅ ≡ 0 y χX ≡ 1.
χAχB = χA∩B.
18 Luis Bernal Gonzalez
[χA = 1] = A y [χA = 0] = X \ A.
χX\A = 1− χA.
Definicion 1.8.1. Diremos que una funcion φ : X → R es simple cuando
φ(X) es un conjunto finito.
Es facil ver que las funciones simples constituyen un espacio vectorial, y
que una funcion φ : X → R es simple si y solo si existen a1, . . . , ap ∈ R y exis-
ten A1, . . . , Ap ⊂ X tales que φ =p∑i=1
aiχAi. Por supuesto, la representacion
p∑i=1
aiχAino es unica, pero puede asociarse a cada funcion simple φ una “re-
presentacion canonica”. A saber, si φ(X) = a1, . . . , ap, donde los ai son
distintos entre sı, entonces φ =p∑i=1
aiχ[φ=ai].
1.9. Funciones medibles
Procedemos seguidamente a definir la clase de funciones sobre las cuales
tiene sentido la integracion respecto de una medida. Pero antes es conveniente
detallar la topologıa que vamos a considerar en [−∞,+∞]. A saber, una base
de entornos de cada punto α ∈ R es (α − δ, α + δ) : δ > 0. Una base de
entornos de +∞ es (c,+∞] : c ∈ R, y una base de entornos de −∞es [−∞, c) : c ∈ R. Por tanto, los abiertos de R son tambien abiertos de
[−∞,+∞]. Esto no es valido para los cerrados, ya que por ejemplo, R es un
cerrado en R pero no lo es en [−∞,+∞].
Definicion 1.9.1. Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [−∞,+∞]
una funcion. Se dice que f es medible cuando f−1(G) ∈ M para cualquier
subconjunto abierto G de [−∞,+∞].
Se prueba sin dificultad que f es medible ⇔ [f < a] ∈ M para todo
a ∈ R ⇔ [f ≤ a] ∈ M para todo a ∈ R ⇔ [f > a] ∈ M para todo a ∈ R
⇔ [f ≥ a] ∈ M para todo a ∈ R.
TEORIA DE LA MEDIDA 19
En particular, supongamos que X ∈ MN (recordemos que MN denota la
familia de los conjuntos medibles-Lebesgue de RN) y que sobre X tenemos
el espacio medible inducido M := A ⊂ X : A ∈ MN. Resulta que, si
f : X → [−∞,+∞] es continua, entonces f es medible.
En el siguiente teorema se enumeran algunas propiedades de las funciones
medibles. Recordemos que f+ y f− denotan, respectivamente, la parte posi-
tiva y la parte negativa de una funcion real f , es decir, f+ = maxf, 0 y
f− = max−f, 0.
Teorema 1.9.1. Sea (X,M) un espacio medible y sean f, g : X → [−∞,+∞]
un par de funciones. Se verifica:
1. Si f es constante, entonces f es medible.
2. Si f y g son medibles, los conjuntos [f < g], [f ≤ g] y [f = g] son
medibles.
3. Si f es medible y S ∈ M, entonces la restriccion f |S : (S,MS) →[−∞,+∞] es medible.
4. Si X =∞∪n=1
An con An ∈ M para todo n ∈ N y cada f |An es medible,
entonces f es medible.
5. Si f y g son medibles, tambien lo son maxf, g, mınf, g, f+, f−,
f 2, 1/f y |f |.
6. Si fn : X → [−∞,+∞] (n ∈ N) es una sucesion de funciones medi-
bles, entonces las funciones supn≥1
fn, ınfn≥1
fn, lım supn→∞
fn y lım infn→∞
fn son
medibles.
7. Si f, g : X → R son medibles y λ ∈ R, entonces f + g, λf y f · g son
medibles. Es decir, con las operaciones usuales de funciones, la familia
de las funciones medibles reales es un algebra.
20 Luis Bernal Gonzalez
8. Si f es simple, se tiene: f es medible ⇔ [f = a] ∈ M para todo a ∈ R
⇔ f es una combinacion lineal finita de funciones caracterısticas de
conjuntos medibles.
9. Supongamos que las funciones fn : X → [−∞,+∞] (n ∈ N) son me-
dibles. Sea A := x ∈ X : ∃ lımn→∞
fn(x). Denotemos por f la funcion
f : x ∈ A 7→ lımn→∞
fn(x) ∈ [−∞,+∞]. Entonces A ∈ M y f es medible.
Demostracion. Se dara solo una idea. Usar que f = f+−f− y |f | = f++f−,
y que f+ = f · χx : f(x)>0 y f− = −f · χx : f(x)<0. Utilizar tambien que
[f < g] =∪q∈Q
([f < q] ∩ [q < g]). Observar asimismo que f · g = (1/2)((f +
g)2 − f 2 − g2). Ademas, si f = supn≥1
fn, entonces [f ≤ a] =∩n∈N
[fn ≤ a]. Por
ultimo, lım supn→∞
fn = ınfnsupk≥n
fk y lım infn→∞
fn = supn
ınfk≥n
fk, y existe lımn→∞
fn(x) si
y solo si lım supn→∞
fn(x) = lım infn→∞
fn(x). 2
Veamos ahora que cada funcion medible se puede aproximar por funciones
simples medibles.
Teorema 1.9.2. (a) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [0,+∞]
medible. Entonces existe una sucesion creciente φn∞n=1 de funciones simples
medibles no negativas tales que lımn→∞
φn(x) = f(x) para todo x ∈ X.
(b) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [−∞,+∞] medible. En-
tonces existe una sucesion φn∞n=1 de funciones simples medibles tales que
lımn→∞
φn(x) = f(x) para todo x ∈ X. Si f es acotada, la convergencia puede
conseguirse uniforme.
Demostracion. Supuesto probado (a), la parte (b) es inmediata. En efecto:
f = f+ − f− con f+, f− : X → [0,+∞] medibles. Entonces existen φn, ψn
(n ∈ N) simples y medibles de X en [0,+∞] tales que φn(x) ↑ f+(x) y
ψn(x) ↑ f−(x) para todo x ∈ X. Luego φn − ψn∞n=1 es una sucesion de
funciones simples y medibles tales que φn(x)− ψn(x) → f(x) (n→ ∞) para
TEORIA DE LA MEDIDA 21
todo x ∈ X. La parte de la convergencia uniforme se deduce de la prueba de
(a), donde se vera la misma propiedad en el caso de f ≥ 0 con f acotada.
Basta observar que si f : X → R es acotada, entonces f = f+ − f− con f+
y f− acotadas.
Probemos (a). Sea f ≥ 0 y medible. Entonces los conjuntos En,i :=
f−1([ i−12n, i2n)) (1 ≤ i ≤ n2n, n ∈ N) y Fn := f−1([n,+∞]) (n ∈ N) son
medibles, al serlo f . Se deduce que, para cada n ∈ N, la funcion
φn :=n2n∑i=1
i− 1
2nχEn,i
+ nχFn
es no negativa, simple y medible.
Fijemos ahora n ∈ N, y x ∈ X. Tenemos:
Si f(x) ≥ n, entonces φn(x) = n ≤ f(x).
Si f(x) < n, entonces existe i ∈ 1, 2, . . . , n2n tal que i−12n
≤ f(x) < i2n,
luego φn(x) =i−12n
≤ f(x).
En ambos casos obtenemos que φn(x) ≤ f(x). Probemos ahora que
φn(x)n≥1 es creciente para cada x ∈ X.
Si f(x) ≥ n+ 1 entonces φn(x) = n ≤ n+ 1 = φn+1(x).
Si n ≤ f(x) < n + 1 entonces φn(x) = n y φn+1(x) = i−12n+1 , donde
i ∈ 1, . . . , (n + 1)2n+1 es tal que i−12n+1 ≤ f(x) < i
2n+1 . Por tanto
n < i2n+1 , luego n2n+1 < i. Se deduce que n2n+1 ≤ i − 1, ası que
φn(x) = n ≤ i−12n+1 = φn+1(x).
Si f(x) < n, se tiene que f(x) < n + 1, luego existe i ∈ 1, . . . , n2ny existe j ∈ 1, . . . , (n + 1)2n+1 tales que i−1
2n≤ f(x) < i
2ny j−1
2n+1 ≤f(x) < j
2n+1 , de donde resulta φn(x) =i−12n
y φn+1(x) =j−12n+1 . Pero de las
desigualdades anteriores obtenemos que i−12n
< j2n+1 , luego 2(i− 1) < j,
ası que 2(i− 1) ≤ j − 1, y por tanto φn(x) =i−12n
≤ j−12n+1 = φn+1(x).
22 Luis Bernal Gonzalez
En todos los casos obtenemos que φn(x) ≤ φn+1(x).
Por ultimo, probemos que lımn→∞
φn(x) = f(x) para todo x ∈ X.
Si f(x) = +∞, entonces φn(x) = n para todo n ∈ N, de donde
lımn→∞
φn(x) = f(x).
Si f(x) < +∞, existe n0 ∈ N tal que f(x) < n0, luego, para todo n ≥n0, se tiene que φn(x) =
in−12n
≤ f(x) < in2n
con in ∈ 1, . . . , n2n. Estoimplica que |φn(x)− f(x)| = f(x)−φn(x) <
12n
→ 0. En consecuencia,
φn(x) → f(x) (n→ ∞).
Notemos finalmente que, si f es acotada, el n0 obtenido anteriormente no
depende de x, con lo que tendrıamos que, para todo n ≥ n0, supx∈X
|φn(x) −
f(x)| ≤ 12n
→ 0, de donde obtenemos la convergencia uniforme. 2
1.10. Integral de una funcion
El concepto de integral de una funcion sobre un espacio de medida es
la extension del concepto de integral de Riemann, el cual a su vez abstrae la
idea de area definida por la grafica de una funcion. Comencemos definiendo
la integral de funciones medibles no negativas.
1.10.1. Integral de funciones medibles no negativas
En primer lugar, definimos el concepto para las funciones simples.
Definicion 1.10.1. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida, y
que φ : X → [0,+∞) es una funcion no negativa, simple y medible, digamos
φ =N∑i=1
aiχAicon ai ≥ 0 y Ai ∈ M, i ∈ 1, . . . , N. La integral de φ sobre
X respecto de µ se define como∫X
φdµ :=N∑i=1
aiµ(Ai).
TEORIA DE LA MEDIDA 23
Si E ∈ M, la integral de φ sobre E respecto de µ se define como∫E
φdµ =
∫X
φ · χE dµ =N∑i=1
aiµ(Ai ∩ E).
Notemos que estas definiciones tienen sentido y son independientes de la
expresion de φ. Las propiedades establecidas en la siguiente proposicion son
de facil demostracion.
Proposicion 1.10.1. Sean φ, ψ dos funciones simples medibles y positivas,
y sea λ ≥ 0. Se verifica:
(a)∫X(φ+ ψ) dµ =
∫Xφdµ+
∫Xψ dµ y
∫Xλφdµ = λ
∫Xφdµ.
(b) Si φ ≤ ψ, entonces∫Xφdµ ≤
∫Xψ dµ.
(c) La aplicacion ν : E ∈ M 7→∫Eφdµ ∈ [0,+∞] es una medida positiva.
Inspirados en el teorema de aproximacion de funciones medibles, parece
natural dar la siguiente definicion para funciones no negativas.
Definicion 1.10.2. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida y
que f : X → [0,+∞] es una funcion medible. Se define la integral de f sobre
X respecto de µ como∫X
f dµ = sup
∫X
φdµ : φ simple y medible con 0 ≤ φ ≤ f
.
Si E ∈ M, la integral de f sobre E se define como∫Ef dµ =
∫Xf · χE dµ.
Observemos que∫Xf dµ ∈ [0,+∞] y que la definicion de integral es
coherente con el caso en que f sea simple y medible. Veamos ahora algunas
propiedades elementales.
Proposicion 1.10.2. Sean f, g : X → [0,+∞] medibles y A,B ∈ M, donde
se supone que (X,M, µ) es un espacio de medida. Se verifican las siguientes
propiedades:
(a) Si f ≤ g en X, entonces∫Xf dµ ≤
∫Xg dµ.
24 Luis Bernal Gonzalez
(b) Si A ⊂ B entonces∫Af dµ ≤
∫Bf dµ.
(c)∫X(f + g) dµ =
∫Xf dµ+
∫Xg dµ.
(d) Si λ ≥ 0, entonces∫Xλf dµ = λ
∫Xf dµ.
(e) Si o bien f ≡ 0 en A o bien µ(A) = 0, entonces∫Afdµ = 0.
(f) Si µ(B) = 0 entonces∫Xfdµ =
∫X\B f dµ.
1.10.2. Conjuntos de medida nula
La ultima propiedad de la proposicion anterior nos viene a decir que
los conjuntos de medida nula son “despreciables” para la integracion. Ob-
servando esta propiedad, tenemos que si B ∈ M, con µ(B) = 0, y f :
X \ B → [0,+∞] es medible (en el espacio de medida inducido), podrıa
definirse∫Xf dµ :=
∫XF dµ, donde F : X → [0,+∞] es la funcion definida
como F (x) :=
f(x) si x ∈ X \B0 si x ∈ B.
Asimismo, tambien debido a la ultima propiedad, parece importante es-
tudiar mas detenidamente los conjuntos de medida nula en relacion con la
integracion.
Definicion 1.10.3. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y P (·)una propiedad definida sobre los elementos de X. Si A ∈ M, se dice que P
se verifica en casi todo A (ect A) cuando el conjunto N := x ∈ A : P (x) no
se verifica ∈ M y µ(N) = 0.
Por ejemplo, la expresion “f = g ect X” significa que x ∈ X : f(x) =g(x) es medible y que su medida es nula. En tal caso se dice que f y g son
µ-equivalentes.
El siguiente resultado muestra que la medibilidad de una funcion se
mantiene por equivalencia y por convergencia ect.
TEORIA DE LA MEDIDA 25
Proposicion 1.10.3. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida
completo.
(a) Si f, g : X → [−∞,+∞] son tales que f es medible y f = g ect,
entonces g es tambien medible.
(b) Si fn, f : X → [−∞,+∞] (n ∈ N) son tales que cada fn es medible y
lımn→∞
fn(x) = f(x) ect X, entonces f es medible.
Demostracion. (a) Llamemos N := x ∈ X : f(x) = g(x). Hemos de
probar que, dado a ∈ R, el conjunto A := x ∈ X : g(x) < a ∈ M.
Tenemos A = (A ∩ N) ∪ (A ∩ N c) ∈ M, ya que A ∩ N ∈ M porque µ es
completa, y como N c ∈ M y A ∩N c = x ∈ X : f(x) < a ∩N c, se tiene
tambien que A ∩N c es medible.
(b) Llamemos N = x ∈ X : fn(x) 9 f(x). Entonces N ∈ M y µ(N) = 0.
Denotemos g(x) := lım supn→∞
fn(x). Sabemos que g es medible. Por otra parte,
el conjunto x ∈ X : g(x) = f(x) esta contenido en N y µ(N) = 0. Como
µ es completa, el conjunto [g = f ] es medible de medida nula, y por tanto
g = f ect. De (a) se deduce que f es medible. 2
El siguiente resultado auxiliar es interesante por sı mismo y tendra im-
portantes consecuencias.
Lema 1.10.4. [Desigualdad de Chebyshev] Si a ∈ (0,+∞) y f : X →[0,+∞] es medible, entonces
µ([f ≥ a]) ≤ 1
a
∫X
f dµ.
Demostracion. Verificar que a · χ[f≥a] ≤ f e integrar. 2
Corolario 1.10.5. Sean f : X → [0,+∞] una funcion medible y A ∈ M.
Se tiene:
(1) Si∫Af dµ = 0, entonces f = 0 ect A.
26 Luis Bernal Gonzalez
(2) Si∫Af dµ < +∞ entonces f < +∞ ect A.
Demostracion. (1) El conjunto N := x ∈ A : f(x) = 0 es medible. Hemos
de probar que µ(N) = 0. Notemos que N = x ∈ A : f(x) > 0 =∞∪n=1
x ∈
A : f(x) ≥ 1n. Por reduccion al absurdo, si fuese µ(N) > 0, existira algun
m ∈ N tal que µ(x ∈ A : f(x) ≥ 1m) > 0. Por la desigualdad de Chebyshev,
se tiene 0 < m ·∫Af dµ. Por tanto
∫Af dµ > 0, lo cual es una contradiccion.
(2) Hemos de probar esta vez que el conjunto medible N := x ∈ A : f(x) =
+∞ cumple µ(N) = 0. Ahora bien, N =∞∩n=1
x ∈ A : f(x) ≥ n. Por
la desigualdad de Chebyshev, µ(x ∈ A : f(x) ≥ n) ≤ 1n
∫Af dµ → 0
(n→ ∞). Entonces, ya que cada conjunto x ∈ A : f(x) ≥ n tiene medida
finita y la interseccion anterior es decreciente, se obtiene de la Proposicion
1.2.1 que µ(N) = lımn→∞
µ(x ∈ A : f(x) ≥ n) = 0. 2
1.10.3. Funciones integrables
Consideramos ahora el caso de una funcion medible general.
Definicion 1.10.4. Consideremos un espacio de medida completo (X,M, µ).
Sean f : X → [−∞,+∞] medible y A ∈ M. Se dice que f es integrable sobre
A cuando ambas integrales∫Af+ dµ y
∫Af− dµ son finitas o, equivalente-
mente, cuando∫A|f | dµ < +∞. En tal caso, se define la integral de f en A
como el numero real∫Af dµ :=
∫Af+ dµ−
∫Af− dµ.
Se denotara por L1A(µ), o bien por L1
µ(A) o L1(µ,A), el conjunto de las
funciones integrables sobre A respecto de µ.
Cuando conviene hacer explıcita la variable de la funcion que se inte-
gra, se denotara la integral de la definicion anterior mediante la expresion∫Af(x) dµ(x) o similar. Esto sera especialmente util cuando tratemos con
medidas producto (ver Seccion 16).
TEORIA DE LA MEDIDA 27
Proposicion 1.10.6. Se verifican las siguientes propiedades:
Si f ∈ L1A(µ), entonces
∫A|f | dµ =
∫Af+ dµ+
∫Af− dµ.
Si f ∈ L1A(µ), entonces f es finita ect A.
Si f es medible y |f | ≤ g en A con g ∈ L1A(µ), entonces f ∈ L1
A(µ).
En particular, las funciones medibles y acotadas son integrables en con-
juntos de medida finita, y las funciones continuas de RN en R son
Lebesgue-integrables en cada subconjunto compacto de RN .
Si f = 0 ect A o si µ(A) = 0, entonces∫Af dµ = 0. En consecuencia,
si f y g son funciones medibles µ-equivalentes, entonces∫Af dµ =∫
Ag dµ.
L1A(µ) es un espacio vectorial. Especıficamente, si f, g ∈ L1
A(µ) y λ ∈R, entonces f + g y λf ∈ L1
A(µ), y ademas∫A(f + g) dµ =
∫Af dµ+∫
Ag dµ y
∫Aλf dµ = λ
∫Af dµ.
Si f y g son integrables y f ≤ g ect A, entonces∫Af dµ ≤
∫Ag dµ.
Si f ∈ L1A(µ), entonces
∣∣∫Af dµ
∣∣ ≤ ∫A|f | dµ.
Si f ∈ L1X(µ) y
∫Bf dµ = 0 para todo B ∈ M, entonces f = 0 ect X.
Se denotara por L1(µ) la familia de las funciones f : X → [−∞,+∞]
integrables en X, donde se identifican dos funciones f, g cuando son µ-equiva-
lentes; ası que, estrictamente hablando, L1(µ) consta de clases de equivalencia
[es facil probar que la relacion “f = g ect X” es de equivalencia en L1X(µ)].
Por otra parte, λf , f + g tienen sentido para f, g ∈ L1(µ) y λ ∈ R, pues f y
g son finitas ect X.
La proposicion anterior, junto con la desigualdad |f + g| ≤ |f | + |g|,permiten establecer el siguiente teorema.
28 Luis Bernal Gonzalez
Teorema 1.10.7. L1(µ) es un espacio vectorial, la aplicacion f ∈ L1(µ) 7→∫Xf dµ ∈ R es una forma lineal en el, y la aplicacion ∥ · ∥1 : f ∈ L1(µ) 7→∫
X|f | dµ ∈ [0,+∞) es una norma.
1.11. Teoremas de convergencia
Existen varios teoremas de convergencia cuyo objetivo es intercambiar
las operaciones de lımite e integracion.
Teorema 1.11.1. [Teorema de convergencia monotona de B. Levi]
Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y fn : X → [−∞,+∞] (n ∈ N)
una sucesion de funciones medibles tales que fn(x) ≤ fn+1(x) para todo n ∈ N
ect x ∈ X. Llamemos f := lımn→∞
fn = supn∈N
fn, definida ect X. Se tiene:
(a) Si fn ≥ 0 para todo n ∈ N, entonces lımn→∞
∫Xfn dµ =
∫Xf dµ.
(b) Si fn ∈ L1(µ) para todo n ∈ N y supn≥1
∫Xfn dµ < +∞, entonces f ∈
L1(µ) y lımn→∞
∫Xfn dµ =
∫Xf dµ.
Demostracion. En cuanto a (b), basta aplicar (a) a la sucesion fn − f1 y
a su lımite f − f1.
Probemos (a). Sea L := x ∈ X : ∃ lımn→∞
fn(x) ∈ [0,+∞]. Entonces L y
X \ L son medibles y µ(X \ L) = 0 y f esta definida en L, es medible y no
negativa. Como µ(X \ L) = 0, podemos suponer que fn → f puntualmente
en todo X, ya que∫Xf dµ =
∫Lf dµ [definiendo f por ejemplo como 0 en
X \L] y lo mismo para las fn. Hemos de probar que lımn→∞
∫Xfn dµ =
∫Xf dµ.
Como fn ≤ fn+1, la sucesion ∫Xfn dµ∞n=1 es tambien creciente, luego su
lımite siempre existe y es igual al supn∈N
∫Xfn dµ. Como fn ≤ sup
jfj = f , la
desigualdad “≤” es evidente.
Probemos “≥”: Fijado n ∈ N, existe una sucesion φn,m∞m=1 de funciones
simples y medibles tales que 0 ≤ φn,m ↑ fn(x) para todo x ∈ X y todo
TEORIA DE LA MEDIDA 29
n ∈ N. Entonces es facil ver que ψn := maxφ1,n, . . . , φn,n es una sucesion
de funciones simples medibles no negativas tales que ψn(x) ↑ f(x) y ψn(x) ≤fn(x) para todo x ∈ X y todo n ∈ N.
Por tanto,∫Xψn(x) dµ ≤
∫Xfn dµ para todo n ∈ N, luego es suficiente
demostrar que∫Xf dµ ≤ lım
n→∞
∫Xψn dµ, para lo cual, a su vez, basta fijar una
funcion simple medible φ con 0 ≤ φ ≤ f y probar que∫X
φdµ ≤ lımn→∞
∫X
ψn dµ. [2]
Probemos primero la desigualdad [2] en el caso en que que φ ≡ c = constante
∈ [0,+∞). Si c = 0, es trivial. Si c > 0, fijemos a ∈ (0, c). Ya que φ ≤ f =
supn∈N
ψn, resulta que para cada x ∈ X, existe n0 ∈ N tal que ψn(x) > a para
todo n ≥ n0. Sea An := [ψn > a]. Entonces la sucesion An∞n=1 es creciente
y X =∞∪n=1
An. Por tanto µ(An) ↑ µ(X). Por otra parte, a · χAn ≤ ψn,
luego a ·µ(An) ≤∫Xψn dµ, de donde deducimos que aµ(X) ≤ lım
n→∞
∫Xψn dµ,
ası que∫Xφdµ = cµ(X) ≤ lım
n→∞
∫Xψn dµ, que es la desigualdad [2] en este
caso.
En el caso general, se tiene que φ =p∑i=1
ci ·χEicon ci ∈ [0,+∞) y Ei ∈ M
dos a dos disjuntos con X =p∪i=1
Ei. Aplicamos entonces el resultado a cada
funcion ci · χEiy obtenemos:∫
X
φdµ =
p∑i=1
∫X
ci · χEidµ =
p∑i=1
∫Ei
φdµ
≤p∑i=1
lımn→∞
∫Ei
ψn dµ = lımn→∞
p∑i=1
∫Ei
ψn dµ = lımn→∞
∫X
ψn dµ,
como querıamos demostrar. 2
Corolario 1.11.2. Sean f, fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) funciones medibles
definidas en un espacio de medida completo (X,M, µ). Se verifica:
(a)∫X
∞∑n=1
fn dµ =∞∑n=1
∫Xfn dµ.
30 Luis Bernal Gonzalez
(b) La aplicacion ν : E ∈ M 7→ ν(E) =∫Ef dµ ∈ [0,+∞] es una medida
positiva.
Demostracion. (a) Aplicar el teorema de la convergencia monotona a la
sucesion gn∞n=1 dada por gn :=n∑i=1
fi (n ∈ N).
(b) Aplicar el apartado (a) a las funciones fn := f · χAn (n ∈ N), donde los
An son conjuntos medibles disjuntos. 2
La parte (b) del corolario anterior nos da una manera de generar medidas
a partir de una funcion medible y de otra medida. Ademas, ν(E) = 0 si
µ(E) = 0. Mas adelante (Teorema de Radon-Nikodym) veremos que tales
medidas ν se generan siempre ası.
Teorema 1.11.3. [Lema de Fatou] Sea fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) una
sucesion de funciones medibles definidas en un espacio de medida completo
(X,M, µ). Entonces ∫X
lım infn→∞
fn dµ ≤ lım infn→∞
∫X
fn dµ.
Demostracion. Definimos gk := ınffk, fk+1, . . . para cada k ∈ N. Entonces
cada gk es medible y no negativa, la sucesion gkk≥1 es creciente, lımk→∞
gk =
lım infn→∞
fn y gk ≤ fk para todo k ∈ N. Del teorema de la convergencia
monotona se deduce que lımk→∞
∫Xgk dµ =
∫X
lımk→∞
gk dµ =∫Xlım infn→∞
fn dµ. Por
otra parte, lımn→∞
∫Xgn dµ = lım inf
n→∞
∫Xgn dµ ≤ lım inf
n→∞
∫Xfn dµ, pues gn ≤ fn.
De aquı deducimos el resultado. 2
A continuacion, establecemos el que quizas sea el resultado mas impor-
tante de intercambio de las operaciones de lımite e integracion.
Teorema 1.11.4. [Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada]
Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo, y sean f, fn : X → [−∞,+∞]
(n ∈ N) y g : X → [0,+∞] funciones tales que cada fn es medible, |fn| ≤
TEORIA DE LA MEDIDA 31
g ect X (n ∈ N), g ∈ L1X(µ) y f(x) = lım
n→∞fn(x) ect x ∈ X. Entonces
f ∈ L1X(µ) y fn → f en ∥ · ∥1. En particular,∫
X
f dµ = lımn→∞
∫X
fn dµ.
Demostracion. Ya que el conjunto Z := x ∈ X : fn(x) 9 f(x)∪∞∪n=1
[|fn| >
g] es medible y µ(Z) = 0, podemos suponer que todos los lımites y desigual-
dades de la hipotesis son “en todo x ∈ X”.
Tenemos pues que f es medible y |f | ≤ g ∈ L1X(µ), ası que
∫X|f | dµ ≤∫
Xg dµ < +∞, de donde inferimos que f ∈ L1
X(µ).
Probemos ahora que fn → f en la norma ∥ · ∥1 de L1(µ), es decir,
lımn→∞
∫X
|fn − f | dµ = 0. [3]
De aquı se deduce que∫Xf dµ = lım
n→∞
∫Xfn dµ (y la demostracion habra acaba-
do), pues |∫Xfndµ−
∫Xf dµ| = |
∫X(fn − f) dµ| ≤
∫X|fn − f | dµ.
Demostremos pues [3]. En primer lugar, |fn − f | ≤ |fn|+ |f | ≤ 2g, luego
2g − |fn − f | ≥ 0. Por el Lema de Fatou,∫X
lımn→∞
(2g − |fn − f |) dµ ≤ lım infn→∞
∫X
(2g − |fn − f |) dµ.
Si usamos ahora la linealidad de la integral y el hecho de que lım infn→∞
(−αn) =− lım sup
n→∞(αn) (valido para cualquier sucesion αnn≥1 de numeros reales),
resulta que lım supn→∞
∫X|fn− f | dµ ≤ 0. Pero lım inf
n→∞
∫X|fn− f | dµ ≥ 0, porque
|fn − f | ≥ 0 para todo n ∈ N, luego∫X|fn − f | dµ ≥ 0 para todo n ∈ N. De
las dos ultimas desigualdades sobre lım supn→∞
, lım infn→∞
se deduce [3]. 2
Como consecuencia, obtenemos el siguiente resultado de intercambio de
series con integrales.
Teorema 1.11.5. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y sea fn∞n=1
⊂ L1X(µ) una sucesion tal que
∞∑n=1
∥fn∥1 < +∞. Entonces∞∑n=1
fn(x) converge
32 Luis Bernal Gonzalez
absolutamente en casi todo x ∈ X a cierto valor real S(x), la funcion S es
integrable y ∫X
S dµ =∞∑n=1
∫X
fn dµ.
Demostracion. Aplicar el Corolario 1.11.2(a) a las funciones |fn|, despues elCorolario 1.10.5(2) a la funcion
∑∞n=1 |fn|, y a continuacion el teorema de
la convergencia dominada a la sucesion de sumas parciales de la sucesion
fnn≥1. 2
Del teorema de la convergencia dominada podemos tambien deducir que la
integral de una funcion integrable esta casi toda concentrada en un conjunto
de medida finita. Antes necesitamos un lema.
Lema 1.11.6. Si (X,M, µ) es un espacio de medida completo y f ∈ L1µ(X),
entonces f es nula fuera de un conjunto σ-finito.
Demostracion. Observar que [f = 0] =∪∞n=1[|f | ≥ 1/n]. Por la desigualdad
de Chebyshev, µ([|f | ≥ 1/n]) ≤ n∫X|f | dµ < +∞.
Proposicion 1.11.7. Sean (X,M, µ) un espacio de medida completo, ε > 0
y f ∈ L1X(µ). Entonces existe A ∈ M tal que µ(A) < +∞ y
∣∣ ∫Xf dµ −∫
Af dµ
∣∣ < ε.
Demostracion. Por el lema anterior, podemos escribir X = Y ∪∞∪n=1
An, con
f |Y = 0, An∞n=1 una sucesion creciente de conjuntos medibles y µ(An) <
+∞ para todo n ∈ N. Considerar fn := fχAn∞n=1 y aplicar el Teorema
1.11.4. 2
1.12. Relacion con la integral de Riemann
Comentaremos ahora la importante relacion entre la integral de Rie-
mann y la de Lebesgue. Sea [a, b] ⊂ R un intervalo compacto y P = P [a, b]
TEORIA DE LA MEDIDA 33
el conjunto de las particiones P = a = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b].
Si f : [a, b] → R es una funcion acotada y P es una particion como la ante-
rior, se definen la suma superior de Riemann y la suma inferior de Riemann
de f relativas a P como los numeros U(f, P ) =n∑k=1
sup[tk−1,tk]
f · (tk − tk−1) y
L(f, P ) =n∑k=1
ınf[tk−1,tk]
f · (tk − tk−1), respectivamente.
Definicion 1.12.1. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Se define la inte-
gral superior de Darboux de f sobre [a, b] como el valor I(f) = ınfU(f, P ) :
P ∈ P. Se define la integral inferior de Darboux de f sobre [a, b] como el
valor I(f) = supL(f, P ) : P ∈ P.
Es evidente que se tiene I(f) ≤ I(f) para cada f acotada.
Definicion 1.12.2. Se dice que una funcion f : [a, b] → R es Riemann-
integrable en [a, b], y escribiremos f ∈ R[a, b], cuando f es acotada e I(f) =
I(f). En tal caso, al valor comun∫ baf(x) dx := I(f) = I(f) se le denomina
integral de Riemann de f en [a, b].
Denotemos por C[a, b] el espacio de las funciones continuas en [a, b] con
valores en R. Recordemos que C[a, b] ⊂ R[a, b]. Ademas, se verifica la ası lla-
mada condicion de integrabilidad de Riemann: Sea f : [a, b] → R. Entonces
f ∈ R[a, b] ⇐⇒ [f es acotada y, para cada ε > 0, existe P ∈ P tal que
U(f, P )− L(f, P ) < ε].
Usando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, puede pro-
barse el siguiente criterio de Lebesgue de Riemann-integrabilidad.
Teorema 1.12.1. Sea f : [a, b] → R, y denotemos D(f) := x ∈ [a, b] : f es
discontinua en x. Entonces f ∈ R[a, b] ⇐⇒ f es acotada y m(D(f)) = 0.
En tal caso, f ∈ L1[a,b](m) y
∫ baf(x) dx =
∫[a,b]
f dm.
Ejemplo. El recıproco de la segunda parte del teorema es falso, por ejemplo,
f ≡ χQ esta en L1[0,1](m) pero no en R[0, 1].
34 Luis Bernal Gonzalez
Por otra parte, si f ∈ L1R(m), entonces
∫R f dm = lım
n→∞
∫[−n,n] f dm. En
efecto, basta aplicar a fn := fχ[−n,n]∞n=1 el teorema de la convergencia
dominada. Si ademas f ∈ R[a, b] para cada intervalo [a, b] ⊂ R, se tendra que∫R f dm = lım
n→∞
∫ n−n f(x) dx. Por tanto, en muchos casos, las integrales de
Lebesgue se pueden calcular usando primitivas.
1.13. Completitud de L1(µ)
Nuestro proximo objetivo es demostrar la completitud del espacio nor-
mado L1(µ), es decir, demostrar que L1(µ) es un espacio de Banach. Para
ello necesitamos algunos conceptos.
Definicion 1.13.1. Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesion de funciones
medibles definidas en un espacio de medida (X,M, µ).
(a) Se dice que fn converge a f casi uniformemente en X cuando, para
cada ε > 0 existe M = M(ε) ∈ M tal que µ(X \ M) < ε y fn → f
uniformemente en M .
(b) Diremos que fn converge a f en medida, con f medible, cuando para
cada α > 0 se tiene que lımn→∞
µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > α) = 0.
(c) Se dice que fn es de Cauchy en medida cuando, para cada α > 0 y cada
ε > 0, existe N = N(α, ε) ∈ N tal que µ(x ∈ X : |fi(x)− fj(x)| > α) < ε
para todo i, j ≥ N .
No es difıcil comprobar que si fn → f casi uniformemente, entonces fn →f ect X (luego f es medible) y fn → f en medida, y esto ultimo implica que
la sucesion fn es de Cauchy en medida. Pero que fn es de Cauchy en
medida no implica la convergencia puntual en casi todo a ninguna funcion.
No obstante, tenemos la siguiente proposicion.
TEORIA DE LA MEDIDA 35
Proposicion 1.13.1. Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesion de Cauchy en
medida. Entonces existen una funcion medible f : X → R y una subsucesion
fn(k)∞k=1 de fn tales que fn(k) → f (k → ∞) casi uniformemente.
Demostracion. Ya que (fn) es de Cauchy, resulta que, para cada k ∈ N,
podemos encontrar un n(k) ∈ N tal que µ(x ∈ X : |fi(x)−fj(x)| > 12k) <
12k
para todo i, j ≥ n(k). Podemos suponer que n(k) es estrictamente
creciente. Definimos Ek := x ∈ X : |fn(k)(x)− fn(k+1)(x)| > 12k para cada
k ∈ N. Entonces µ(Ek) < 12k. Para cada m ∈ N, se define tambien el conjunto
Pm = X \∪k>m
Ek. Tenemos que
µ(X \ Pm) = µ( ∪k>m
Ek)≤
∑k>m
µ(Ek) <∑k>m
1/2k = 1/2m.
Si x ∈ Pm entonces, para i > j ≥ m, resulta que |fn(i)(x) − fn(j)(x)| ≤i−1∑k=j
|fn(k)(x)−fn(k+1)(x)| ≤ 12j−1 , y de aquı se deduce que la sucesion fn(k)(x)k≥1
es de Cauchy uniformemente en Pm, es decir, fijado ε > 0, existe N =
N(ε,m) ∈ N tal que
supx∈Pm, i,j≥N
|fn(i)(x)− fn(j)(x)| ≤ ε. [4]
Sea P :=∞∪m=1
Pm. Entonces µ(X \ Pm) → µ(X \ P ) = 0 y, para cada x ∈ P ,
fn(k)(x) es de Cauchy, luego converge a cierto valor f(x) ∈ R. Definiendo f
como 0 en X \P , resulta que f es medible. Ahora bien, para cada k,m ∈ N se
tiene supx∈Pm
|fn(k)(x) − f(x)| = lımj→∞
supx∈Pm
|fn(k)(x) − fn(j)(x)|, y esta expresion
tiende a 0 por [4]. En consecuencia, fn(k) → f uniformemente en Pm. Pero,
para cada ε > 0 existe un m ∈ N tal que µ(X \ Pm) < ε. En consecuencia,
fn(k) → f casi uniformemente en X. 2
Teorema 1.13.2. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo. Entonces
el espacio L1(µ) es de Banach.
36 Luis Bernal Gonzalez
Demostracion. Supongamos que fnn≥1 ⊂ L1(µ) es una sucesion de Cauchy
en la norma ∥ · ∥1. Se ha de probar que existe f ∈ L1(µ) tal que fn → f en
∥ · ∥1.
Probemos primero que fn es de Cauchy en medida. Si no lo fuese,
existirıan ε, α > 0 tales que para cada n existen i, j ≥ n con µ(Ei,j) ≥ ε,
donde Ei,j := x ∈ X : |fi(x)− fj(x)| > α. Entonces ∥fi − fj∥1 =∫X|fi −
fj| dµ ≥∫Ei,j
|fi − fj| dµ ≥ αε, luego fn no serıa de Cauchy en ∥ · ∥1.Esta contradiccion muestra que fn es de Cauchy en medida. Entonces,
por la proposicion anterior, existen una funcion medible f : X → R y una
subsucesion fn(k) ⊂ fn tales que fn(k) → f ect X.
Puesto que |fn(k)(x)| → |f(x)| ect x ∈ X, se obtiene, utilizando el Lema
de Fatou, que ∫X
|f | dµ ≤ lım infn→∞
∥fn(k)∥1 < +∞,
porque la sucesion fn esta acotada en ∥ · ∥1, ya que es de Cauchy en ∥ · ∥1.Por tanto, f ∈ L1(µ).
Fijado h ∈ N, resulta lımk→∞
|fn(k) − fn(h)| = |f − fn(h)| ect X y, otra vez
por el Lema de Fatou, obtenemos
∥f − fn(h)∥1 ≤ lım infk→∞
∥fn(k) − fn(h)∥1.
Ya que fn(k) es tambien de Cauchy en ∥ · ∥1, se deduce que, dado ε > 0,
existe h0 ∈ N tal que ∥fn(k) − fn(h)∥1 < ε para todo k, h ≥ h0. De lo anterior
se infiere que ∥f − fn(h)∥1 ≤ ε para todo h ≥ h0, luego fn(k) → f en ∥ · ∥1 y
fk es de Cauchy en ∥ · ∥1. Ahora bien, en cualquier espacio metrico, si una
sucesion de Cauchy tiene alguna subsucesion convergente, la propia sucesion
es convergente. En consecuencia, fk → f en ∥ · ∥1. 2
TEORIA DE LA MEDIDA 37
1.14. Medidas signadas
Otro instrumento util en la Teorıa de la Medida, que surge de manera
natural cuando se considera la diferencia µ− ν de dos medidas positivas, es
el de las medidas con signo.
Definicion 1.14.1. Sea (X,M) un espacio medible. Se llama medida con
signo, o bien medida signada, sobre (X,M) a una aplicacion µ : M →(−∞,+∞] numerablemente aditiva tal que µ(∅) = 0. La terna (X,M, µ)
se llama espacio de medida con signo. La medida µ se dice que es finita si
µ(X) ∈ R, y se dice que es σ-finita cuando existe An∞n=1 ⊂ M tal que
X =∞∪n=1
An y µ(An) ∈ R para todo n ∈ N.
Por ejemplo, si µ es una medida positiva y f ∈ L1(µ), entonces la apli-
cacion ν : A ∈ M 7→∫Af dµ ∈ R es una medida con signo finita.
Una medida signada µ no tiene por que ser monotona, pero de la aditivi-
dad finita se deduce que, si A,B ∈ M con A ⊂ B y µ(B) < +∞, entonces
µ(A) < +∞. Por ello a una medida signada finita se la llama tambien medida
real. Se llama medida compleja sobre (X,M) a una aplicacion µ : M → C
numerablemente aditiva tal que µ(∅) = 0. Es facil ver que µ es una medida
compleja si y solo si existen dos medidas reales µ1 y µ2 tales que µ = µ1+iµ2.
Podrıa suceder que un conjunto de medida finita tuviese subconjuntos con
medida de valor absoluto arbitrariamente grande. La siguiente proposicion
prueba que, sin embargo, esto no es ası. La notacion A = B ⊔C significa que
A, B y C son conjuntos tales que A = B ∪ C y B ∩ C = ∅.
Proposicion 1.14.1. Sea (X,M, µ) un espacio de medida con signo y E ∈M tal que µ(E) < +∞. Entonces
sup|µ(P )| : P ⊂ E, P ∈ M < +∞.
38 Luis Bernal Gonzalez
Demostracion. Para cada A ∈ M, llamaremos S(A) := sup|µ(P )| : P ⊂A, P ∈ M. Hemos de probar que S(E) < +∞.
Por reduccion al absurdo, supongamos que S(E) = +∞. Entonces existe
P ∈ M tal que P ⊂ E y 1+ |µ(E)| ≤ |µ(P )| < +∞. Por tanto |µ(E \P )| =|µ(E)− µ(P )| ≥ 1. De esta forma, obtenemos: E = P ⊔ (E \ P ), µ(P ) ∈ R,
µ(E \ P ) ∈ R y |µ(P )| ≥ 1 ≤ |µ(E \ P )|. Ya que E = P ⊔ (E \ P ), uno de
estos dos subconjuntos, sea T1 (= P o E\P ) cumple S(T1) = +∞. Aplicando
a T1 el mismo razonamiento anterior, obtenemos un conjunto T2 ∈ M tal que
T2 ⊂ T1, +∞ > |µ(T2)| ≥ 2 y S(T2) = +∞. Por induccion, conseguimos una
sucesion de conjuntos Tk∞k=1 ⊂ M tales que Tk+1 ⊂ Tk, S(Tk) = +∞ >
|µ(Tk)| ≥ k para todo k ∈ N. Llamemos A :=∞∪n=1
(Tn \ Tn+1) ∈ M.
Resulta que |µ(A)| =∣∣∣∣ ∞∑n=1
[µ(Tn)− µ(Tn+1)]
∣∣∣∣ = ∣∣ lımn→∞
[µ(T1) − µ(Tn)]∣∣ =
+∞ ya que µ(Tn)∞n=1 no esta acotada. Hemos obtenido una contradiccion
porque A ⊂ E y µ(E) < +∞. 2
A una medida signada µ se le puede asociar de manera natural un par de
medidas positivas, a saber, µ+ := parte positiva de µ y µ− := parte negativa
de µ, definidas, para cada A ∈ M, como µ+(A) = supµ(P ) : P ⊂ A, P ∈M y µ−(A) = − ınfµ(P ) : P ⊂ A, P ∈ M. Esto se expresa en el
siguiente teorema de descomposicion de una medida con signo.
Teorema 1.14.2. [Teorema de descomposicion de Jordan]
Sea (X,M, µ) un espacio de medida con signo. Se verifica:
(a) µ+ y µ− son medidas positivas.
(b) µ− es finita.
(c) Si µ es finita (σ-finita) entonces µ+ es finita (σ-finita, resp.).
(d) µ = µ+ − µ−.
TEORIA DE LA MEDIDA 39
Demostracion. De ser µ(∅) = 0 se deduce que µ+(∅) = 0 = µ−(∅) y que
µ+, µ− ≥ 0. De la proposicion anterior, se obtiene (c).
Probemos la aditividad numerable de µ+. Sean An ∈ M (n ∈ N) dos a
dos disjuntos, y sea A :=∞∪n=1
An.
Si µ+(A) < +∞, entonces µ+(An) < +∞ para todo n y, fijado ε > 0,
existe una sucesion Bnn≥1 ⊂ M tal que Bn ⊂ An y µ(Bn) ≥ µ+(An)− ε2n
para todo n. Como A ⊃∞∪n=1
Bn, resulta que
µ+(A) ≥ µ( ∞∪n=1
Bn
)=
∞∑n=1
µ(Bn) ≥∞∑n=1
µ+(An)− ε,
de donde µ+(A) ≥∞∑n=1
µ+(An). Para la desigualdad opuesta, se considera,
para cada ε > 0, un conjunto B ⊂ A tal que B ∈ M y µ+(A) ≤ ε + µ(B).
Entonces µ+(A) ≤ ε+µ( ∞∪n=1
(B∩An))= ε+
∞∑n=1
µ(B∩An) ≤ ε+∞∑n=1
µ+(An).
Por tanto µ+(A) ≤∞∑n=1
µ+(An).
Si µ+(A) = +∞, entonces para cadaM > 0 existe B ∈ M tal que B ⊂ A
y µ(B) ≥M , lo que implica que
M ≤ µ( ∞∪n=1
(B ∩ An))=
∞∑n=1
µ(B ∩ An) ≤∞∑n=1
µ+(An),
luego∞∑n=1
µ+(An) ≥ M para todo M > 0. En consecuencia,∞∑n=1
µ+(An) =
+∞ = µ+(A).
Analogamente a la primera parte, se obtiene que µ− es numerablemente
aditiva si µ−(X) < +∞. Si probamos que no hay otra posibilidad, tendrıamos
(a) y (b).
Por reduccion al absurdo, supongamos que µ−(X) = +∞. Entonces exis-
tirıa E1 ∈ M tal que R ∋ µ(E1) < −1. Usando la proposicion anterior y la
notacion en su demostracion obtenemos que S(E1) < +∞. Por la definicion
40 Luis Bernal Gonzalez
de µ−, resulta que µ−(X \ E1) = +∞, luego existe E2 ∈ M tal que R ∋µ(E2) < −1 y E2 ⊂ X \ E1 (≡ E1 ∩ E2 = ∅). Por induccion, tenemos que
existen En (n ∈ N) medibles disjuntos tales que µ(En) < −1 para todo
n ∈ N. Se deduce que µ( ∞∪n=1
En)=
∞∑n=1
µ(En) = −∞, lo que es absurdo.
Queda probar (d). De lo anterior se deduce que µ+(E)− µ−(E) esta
bien definido para todo E ∈ M. Se trata ahora de demostrar que µ(E) =
µ+(E)− µ−(E), lo cual es evidente si µ(E) = +∞. Si µ(E) < +∞, tambien
µ+(E), µ−(E) < +∞ por la proposicion anterior. Sea P ∈ M tal que P ⊂ E.
Se verifica µ(P ) = µ(E)−µ(E\P ) y −µ−(E) ≤ µ(E\P ) ≤ µ+(E), de donde
se obtiene que µ(P ) ≥ µ(E)−µ+(E) y µ(P ) ≤ µ(E)+µ−(E). Por definicion
de µ+ y µ−, resulta que −µ−(E) ≥ µ(E)−µ+(E) y µ+(E) ≤ µ(E)+µ−(E).
En consecuencia, µ(E) = µ+(E)− µ−(E), como se querıa demostrar. 2
Definicion 1.14.2. Si µ es una medida signada, se llama variacion total de
µ a la medida positiva |µ| := µ+ + µ−.
Es claro que |µ| es finita o σ-finita si µ lo es. Se puede probar que, para
cada medida signada µ y cada A ∈ M, se verifica
|µ|(A) = sup n∑k=1
|µ(Ek)| : A = E1 ⊔ · · · ⊔ En, E1, . . . , En ⊂ M, n ∈ N.
Definicion 1.14.3. Si µ y ν son dos medidas con signo definidas sobre la
misma σ-algebra M, se dice que ν es absolutamente continua respecto de µ,
ν ≪ µ, cuando |ν| ≪ |µ|.
Por tanto, de la Proposicion 1.6.1 obtenemos que si ν es finita, entonces
ν ≪ µ ⇐⇒ [A ∈ M y |µ|(A) = 0 ⇒ |ν|(A) = 0].
Puede demostrarse que, si µ es una medida con signo, entonces µ+, µ−
son las menores medidas positivas tales que µ = µ+ − µ−. Por otra parte, es
obvio que una medida signada µ es una medida positiva ⇐⇒ µ− = 0 ⇐⇒µ = µ+ ⇐⇒ |µ| = µ.
TEORIA DE LA MEDIDA 41
Probemos ahora que cuando µ es σ-finita el espacio base puede descom-
ponerse en dos espacios medibles tales que los subconjuntos medibles de uno
tienen medida positiva o nula, mientras que los del otro tienen medida nega-
tiva o nula. Recordemos que la diferencia simetrica de dos conjuntos A y B
se define como el conjunto A B = (A \B) ∪ (B \ A).
Teorema 1.14.3. [Teorema de descomposicion de Hahn]
Sea (X,M, µ) un espacio de medida σ-finita con signo. Entonces existen A
y B medibles tales que:
(a) X = A ∪B y A ∩B = ∅.
(b) µ(E) ≥ 0 para cada E medible con E ⊂ A, mientras que µ(E) ≤ 0 para
cada E medible con E ⊂ B.
(c) µ+(E) = µ(E ∩ A) y µ−(E) = −µ(E ∩B) para cada E ∈ M.
(d) A y B son esencialmente unicos, es decir, si A, B satisfacen (a),(b),(c),
entonces |µ|(A A) = 0 = |µ|(B B).
Demostracion. Supongamos primero que µ(X) ∈ R. Entonces µ+(X) < +∞,
luego existe una sucesion Ek∞k=1 ⊂ M tales que µ(Ek) ≥ µ+(X)−2−k para
todo k ∈ N. Por tanto
µ+(X) = µ+(Ek)+µ+(X\Ek) ≥ µ(Ek)+µ
+(X\Ek) ≥ µ+(X)− 1
2k+µ+(X\Ek),
de donde µ+(X \ Ek) ≤ 2−k para todo k ∈ N.
Se verifica tambien µ+(Ek) − µ−(Ek) = µ(Ek) ≥ µ+(X) − 2−k, luego
µ−(Ek) ≤ 2−k + µ+(Ek)− µ+(X) ≤ 2−k. Llamemos
A := lım infn→∞
En =∪n≥1
∩k≥n
Ek y B := X \ A = lım supn→∞
Ecn =
∩n≥1
∪k≥n
Eck.
Entonces µ−(A) = 0 = µ+(B), de donde resultan (a) y (b).
42 Luis Bernal Gonzalez
Sea ahora E ∈ M. Si P ∈ M y P ⊂ E, se deduce de (a),(b) y la aditividad
de µ que µ(E ∩ B) ≤ µ(P ) ≤ µ(E ∩ A). En efecto, ya que µ(P ∩ B) ≤ 0
y µ((E \ P ) ∩ A) ≥ 0 [por (b)], resulta µ(P ) = µ(P ∩ A) + µ(P ∩ B) ≤µ(E ∩A)−µ((E \P )∩A) ≤ µ(E ∩A), y obtenemos la desigualdad derecha.
La desigualdad izquierda es analoga. De aquı, junto con la definicion de µ+ y
µ− y el hecho de que µ+ ≥ µ y µ− ≤ µ obtenemos (c). En efecto, tenemos
que µ+(E) = supµ(P ) : P ∈ ME ≤ µ(E ∩ A), y µ+(E) ≥ µ+(E ∩ A) ≥µ(E∩A), luego µ+(E) = µ(E∩A). De analoga forma se probarıa la igualdad
µ−(E) = −µ(E ∩B).
Supongamos ahora que A y B son medibles tales que (a), (b) y (c) se
cumplen. Hemos de probar:
µ−(A \ A) = 0 = µ−(A \ A): se deriva de (b).
µ+(B \B) = 0 = µ+(B \ B): se deriva de (b).
µ+(A \ A) = 0: resulta de µ+(A \ A) = µ+(A ∩ B) = µ(A ∩ B ∩ A) =µ(∅) = 0. Hemos usado (c) en la segunda igualdad.
µ+(A \ A) = µ−(B \B) = 0 = µ−(B \ B): resultan, analogamente, del
apartado (c).
Por tanto tenemos (d).
Finalmente, cuando µ es σ-finita, existen conjuntos Xn ∈ M (n ∈ N) dos
a dos disjuntos tales que µ(Xn) ∈ R para todo n y X =∞∪n=1
Xn. A cada Xn
aplicamos el resultado anterior y obtenemos una descomposicion en An, Bn.
Basta tomar ahora A :=∞∪n=1
An y B :=∞∪n=1
Bn. 2
1.14.1. Medidas ortogonales
Presentamos ahora un concepto que es, en cierto modo, opuesto al de
continuidad absoluta.
TEORIA DE LA MEDIDA 43
Definicion 1.14.4. Si α y β son dos medidas con signo sobre un mismo
espacio medible (X,M), se dice que α es singular respecto de β o que α y
β son ortogonales, α ⊥ β, cuando existen A,B ∈ M tales que A ∩ B = ∅,A ∪B = X y |α|(B) = 0 = |β|(A).
Es facil probar que ⊥ es una relacion simetrica. El siguiente teorema
muestra que cada medida con signo σ-finita puede descomponerse en suma
de otras dos, que son respectivamente absolutamente continua y singular
respecto a otra dada.
Teorema 1.14.4. [Teorema de descomposicion de Lebesgue]
Sean µ y ν dos medidas con signo definidas sobre un mismo espacio medible
(X,M), de modo que ν es σ-finita. Entonces existen dos medidas con signo
α, β sobre (X,M) tales que α≪ µ, β ⊥ µ, α ⊥ β y ν = α+ β. Si ademas ν
es positiva, entonces α y β pueden tomarse positivas.
Demostracion. La ultima parte se deduce del propio proceso demostrativo.
Ademas, podemos partir de que ν es finita. El caso general en que ν es σ-
finita se deduce de la forma habitual, descomponiendo X =∞⊔n=1
Xn con Xn
medibles y ν(Xn) ∈ R para todo n, y aplicando a cada Xn el caso de ν finita.
Sea pues ν finita, y supongamos ademas que ν ≥ 0. Sea ω := supν(E) :
E ∈ M, |µ|(E) = 0 < +∞ (porque ν es finita). Entonces para cada k ∈ N
existe Ek ∈ M tal que |µ|(Ek) = 0 y ν(Ek) > ω − 1k. Definimos ahora
B :=∞∪k=1
Ek, A := X \B, α(E) := ν(E ∩ A) y β(E) := ν(E ∩B)
para cada E ∈ M. Es claro que |µ|(B) = 0 y que ν(B) = ω.
Se tiene entonces que α y β son medidas no negativas y finitas, y que
α ⊥ β, β ⊥ µ, y ν = α + β. Por otra parte α ≪ µ. En efecto, de no ser ası,
existirıa E ∈ M tal que |µ|(E) = 0 y α(E) > 0. Sea M := (E ∩ A) ∪ B.
Se verifica que ν(M) = ν(E ∩ A) + ν(B) = α(E) + ω > ω y |µ|(M) =
|µ|(E ∩ A) + |µ|(B) = 0, lo cual contradice la definicion de ω.
44 Luis Bernal Gonzalez
Por ultimo, si ν es una medida con signo finita, se considera la descomposi-
cion ν = ν+ − ν− y se aplica a cada medida ν+, ν− la construccion anterior,
de modo que ν+ = α′ + β′ y ν− = α′′ + β′′. Definir entonces α = α′ − α′′ y
β = β′ − β′′. 2
De la Proposicion 1.6.1 y del Corolario 1.11.2 se deduce que si µ es una
medida positiva y completa sobre un espacio de medida (X,M), y f ∈ L1(µ),
entonces la expresion ν(E) :=∫Ef dµ (E ∈ M) define una medida signada
finita tal que ν ≪ µ. Para probarlo, aplıquese el Corolario 1.11.2(b) a f+ y
f−, y probar que |ν|(E) =∫E|f | dµ para todo E ∈ M.
1.14.2. Teorema de Radon-Nikodym
Parece natural ahora plantear el problema inverso, es decir, si cualquier
medida absolutamente continua respecto de otra se genera a partir de esta
por integracion. Para ser mas preciso:
Si ν ≪ µ, ¿existe f ∈ L1(µ) tal que ν(E) =∫Ef dµ para todo E ∈ M?
El siguiente resultado fundamental muestra que la respuesta es afirmativa.
Teorema 1.14.5. [Teorema de Radon-Nikodym] Sea (X,M, µ) un espacio
de medida completo y σ-finito, con µ positiva, y sea ν una medida finita
con signo sobre (X,M) tal que ν ≪ µ. Entonces existe una unica funcion
f ∈ L1(µ) tal que ν(E) =∫Ef dµ para cada E ∈ M.
Nota. De la prueba se deducira que f ≥ 0 si ν ≥ 0. A la funcion f se la
denomina funcion de densidad de ν respecto de µ, o tambien la derivada de
Radon-Nikodym de ν respecto de µ. Se denota f = dν/dµ.
Demostracion del teorema. La unicidad se deduce de la Proposicion 1.10.6.
Probemos la existencia. Considerando ν = ν+ − ν− y X =∞∪k=1
Xk con los Xk
medibles y dos a dos disjuntos tales que µ(Xk) < +∞ para todo k, podemos
partir de que µ y ν son finitas y positivas.
TEORIA DE LA MEDIDA 45
Consideremos la familia F = funciones medibles g : X → [0,+∞] :∫Eg dµ ≤ ν(E) ∀E ∈ M. Es obvio que F ⊂ L1(µ). Es facil probar (usan-
do induccion) que maxα1, . . . , αp ∈ F para cualquier subfamilia finita
α1, . . . , αp ⊂ F . Para cada k ∈ N, tomemos una funcion gk ∈ F tal
que ∥gk∥1 > sup∥g∥1 : g ∈ F − 1/k.
Sea f := lımk→∞
fk, donde fk := maxg1, . . . , gk. Notar que la sucesion
fk es creciente. Del teorema de la convergencia monotona se deduce que
f ∈ F . Ademas, puesto que ∥f∥1 ≥ ∥fk∥1 ≥ ∥gk∥1 para todo k, resulta que
∥f∥1 = sup∥g∥1 : g ∈ F.
Para cada E ∈ M, sabemos que ν(E) ≥∫Ef dµ. Supongamos, por re-
duccion al absurdo, que no se da la igualdad. Entonces existiran ε > 0 y
P ∈ M tales que ν(P ) −∫Pf dµ > εµ(P ). Por tanto, la funcion σ definida
en M mediante σ(E) = ν(E) −∫Efdµ − εµ(E) es una medida con signo
tal que σ(P ) > 0. Por el Teorema de Hahn (Teorema 1.14.3), existe A ∈ Mtal que σ(A) > 0 y todos los subconjuntos medibles de A tienen σ-medida
no negativa, luego debe ser µ(A) > 0, pues si fuera µ(A) = 0, tambien serıa
ν(A) = 0 (luego σ(A) = 0: contradiccion) ya que ν ≪ µ.
Se considera ahora la funcion F := f + εχA. Ya que σ(E ∩ A) ≥ 0 para
todo E ∈ M y∫E\A f dµ ≤ ν(E \ A) (pues f ∈ F), resulta:
∫E
F dµ =
∫E\A
f dµ+
∫E∩A
(f + εχA) dµ
=
∫E\A
f dµ+
∫E∩A
f dµ+ εµ(E ∩ A)
=
∫E\A
f dµ+ ν(E ∩ A)− σ(E ∩ A) ≤ ν(E \ A) + ν(E ∩ A) = ν(E)
para todo E ∈ M, lo que implica que F ∈ F . Pero ∥F∥1 = ∥f∥1 + εµ(A) >
sup∥g∥1 : g ∈ F, lo que nos lleva a contradiccion. 2
46 Luis Bernal Gonzalez
1.15. Espacios Lp(µ)
Estudiaremos en esta seccion los espacios Lp(µ) de funciones integrables
de orden p. Es probable que el estudiante conozca estos espacios de cursos
mas elementales, al menos en el caso µ = m = la medida de Lebesgue.
Sea µ una medida completa sobre un espacio medible (X,M). El caso
p = 1 ya ha sido estudiado. Si 1 ≤ p < +∞, se designa por Lp(µ) al conjunto
de las clases de equivalencia [con respecto a la relacion f(x) = g(x) ect
x ∈ X] de funciones medibles f tales que |f |p ∈ L1(µ). Para p = +∞, se
define L∞(µ) como el conjunto de las clases de equivalencia de funciones
medibles esencialmente acotadas, es decir, funciones f para las que existe
alguna constante α ∈ (0,+∞) tal que µ([|f | > α]) = 0.
1.15.1. La norma en el espacio Lp
Es facil ver que Lp(µ) es un espacio vectorial. En efecto, para p = ∞es inmediato, mientras que para 1 ≤ p < +∞ basta usar que |f + g|p ≤2p(|f |p + |g|p).
Definicion 1.15.1. Si f ∈ Lp(µ) con 1 ≤ p < +∞, se define la norma de
f como ∥f∥p := ∥|f |p∥1/p1 =( ∫
X|f |p dµ
)1/p, mientras que si f ∈ L∞(µ), se
define su norma como ∥f∥∞ := ınfα > 0 : µ([|f | > α]) = 0.
Se vera que, en efecto, las aplicaciones anteriores son una norma en cada
espacio Lp, L∞ respectivamente.
En el intervalo [1,+∞] definimos una importante relacion simetrica. A
saber, se dice que dos numeros p, p′ ∈ [1,+∞] son conjugados si 1p+ 1
p′= 1.
En el resultado que viene a continuacion, establecemos la desigualdad
triangular para cada Lp(µ), ası como diversas relaciones entre distintos espa-
cios Lp(µ).
TEORIA DE LA MEDIDA 47
Teorema 1.15.1. (a) [Desigualdad de Holder] Si p y p′ son conjugados,
f ∈ Lp(µ) y g ∈ Lp′(µ), entonces fg ∈ L1(µ) y ∥fg∥1 ≤ ∥f∥p∥g∥p′.
(b) [Desigualdad de Minkowski] Si p ∈ [1,+∞] y f, g ∈ Lp(µ), entonces
∥f + g∥p ≤ ∥f∥p + ∥g∥p.
(c) Si µ es finita y 1 ≤ p < q < +∞, entonces L∞(µ) ⊂ Lq(µ) ⊂ Lp(µ).
Demostracion. (a) El caso p = 1, p′ = +∞ se prueba facilmente. Sea pues
p ∈ (1,+∞), ası que p′ ∈ (1,+∞). Usando derivacion, observamos que, para
cada s ∈ (0, 1), la funcion v : t ∈ (1,+∞) 7→ ts − st + s − 1 ∈ R cumple
v(t) ≤ 0 para todo t > 1. Haciendo s = 1py t = a
b(a > b > 0) obtenemos
que a1p · b
1p′ ≤ a
p+ b
p′para todo a, b ≥ 0 [el caso b = 0 es trivial]. Aplicar
ahora esta desigualdad a los numeros a = |f(x)|p∥f∥pp
, b = |g(x)|p′
∥g∥p′
p′, que son finitos
ect x ∈ X [de nuevo, el caso ∥f∥p = 0 o ∥g∥p′ = 0 es trivial]. Se tiene que f ·ges medible, e integrando y teniendo en cuenta que 1/p+1/p′ = 1, obtenemos
lo deseado.
(b) Los casos p = 1 y p = +∞ se obtienen facilmente. Si p ∈ (1,+∞), se
puede suponer en primer lugar que f, g ≥ 0 [ya que |f + g|p ≤ (|f | + |g|)p y∥F∥p = ∥|F |∥p] y que ∥f + g∥p = 0 [el caso ∥f + g∥p = 0 es trivial].
Denotemos h := (f + g)p−1. Si p′ es el conjugado de p, obtenemos que
∥h∥p′
p′ = ∥f + g∥pp y que∫X(f + g)p dµ =
∫Xfh dµ +
∫Xgh dµ. Aplicando la
desigualdad de Holder a fh y a gh, resulta
∥f + g∥pp ≤ (∥f∥p + ∥g∥p)∥f + g∥pp′p .
Basta multiplicar ahora por ∥f + g∥−p/p′
p .
(c) Supongamos ahora que µ es finita y que 1 ≤ p < q < +∞. Sea f ∈ L∞(µ).
Entonces f es medible y existe α ∈ (0,+∞) tal que |f(x)| ≤ α ect x ∈ X.
Entonces, ect x ∈ X, se tiene |f |q ≤ αqχX ∈ L1(µ) (lo ultimo porque µ es
finita), luego |f |q ∈ L1(µ), ası que f ∈ Lq(µ) y obtenemos L∞ ⊂ Lq.
48 Luis Bernal Gonzalez
En cuanto a la segunda contencion, fijemos f ∈ Lq(µ). Entonces f es me-
dible, y se ha de demostrar que ∥f∥pp < +∞. Denotemos α := q/p ∈ (1,+∞),
y sea α′ su conjugado. Por la desigualdad de Holder, ∥f∥pp =∫X|f |p · 1 dµ ≤( ∫
X|f |αp dµ
) 1α ·
( ∫X1α
′dµ
) 1α′ = ∥f∥pq · µ(X)
1α′ < +∞, lo que implica que
∥f∥pp < +∞. Ası que f ∈ Lp(µ). 2
De la desigualdad de Minkowski se deduce facilmente que ∥ · ∥p es una
norma sobre Lp(µ). Ahora, usando tecnicas parecidas a las de la demostracion
del Teorema 1.13.2, podemos probar la generalizacion de este a los espacios
Lp(µ). La prueba se omite.
Teorema 1.15.2. Para cada p ∈ [1,+∞], el espacio Lp(µ) dotado de la
norma ∥ · ∥p es un espacio de Banach.
Por otra parte, en el caso p = 2 (en el que p′ = 2), es facil ver que la
aplicacion (f, g) ∈ L2(µ) × L2(µ) 7→∫Xfg dµ ∈ R es una forma bilineal
simetrica definida positiva, es decir, un producto escalar. Por tanto L2(µ) es
un espacio de Hilbert.
1.15.2. Aproximacion por funciones escalonadas
Finalmente, veremos que cada funcion de Lp(µ) con p < +∞ se puede
aproximar en la norma ∥ · ∥p por funciones simples medibles, que incluso
se anulan fuera de un conjunto de medida finita. Estas son las funciones
escalonadas.
Definicion 1.15.2. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Una funcion es-
calonada sobre dicho espacio es una funcion de la forma f =N∑k=1
αkχEk, con
N ∈ N, αk ∈ R y Ek ∈ M tales que µ(Ek) < +∞ para todo k = 1, . . . , N .
Es facil ver que∫Xf dµ =
N∑k=1
αkµ(Ek) y que para cada p ∈ [1,+∞], el
conjunto S de la funciones escalonadas es un subespacio vectorial de Lp(µ).
TEORIA DE LA MEDIDA 49
Notemos que, en general S no es denso en L∞(µ) si µ no es finita: con-
siderar g ≡ 1 y observar que ∥g− f∥∞ ≥ 1 para toda f ∈ S. Sin embargo, el
resultado es positivo si p < +∞.
Teorema 1.15.3. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo. Para cada
p ∈ [1,+∞) el conjunto S es denso en Lp(µ).
Demostracion. Fijemos f ∈ Lp(µ) y ε > 0. Como |f |p ∈ L1(µ), de la
Proposicion 1.11.7 resulta que existe E1 ∈ M tal que µ(E1) < +∞ y∫X\E1
|f |p dµ < ε/3.
Usando la desigualdad de Chebyshev, obtenemos que lımk→∞
µ(x ∈ E1 :
|f(x)|p > k) = 0. Si ahora tenemos en cuenta que la medida ν(A) :=∫A|f |p dµ cumple ν ≪ µ, resulta que existe m ∈ N tal que
∫E2
|f |p dµ < ε/3,
donde E2 := x ∈ E1 : |f(x)|p > m. Definimos E := E1 \ E2 = x ∈ E1 :
|f(x)|p ≤ m ∈ M. Entonces∫X\E |f |p dµ < 2ε/3.
Aplicando el teorema de aproximacion de funciones medibles (Teorema
1.9.2), podemos encontrar una funcion g ∈ S que se anula fuera de E tal que
|g(x)− f(x)| <(
ε3µ(E)
) 1p para todo x ∈ E (tener en cuenta que f es acotada
en E, luego se puede conseguir una sucesion de funciones simples medibles
que convergen uniformemente a f en E). Por ultimo,∫X
|g − f |p dµ =
∫X\E
|f |p dµ+
∫E
|g − f |p dµ < 2ε
3+ε
3= ε.
Esto implica que ∥g − f∥pp < ε y, en consecuencia, S es denso en Lp(µ). 2
En el caso de la medida de Lebesgue sobre un abierto G de RN , se puede
deducir que las funciones de Lp(G) := Lp(m|G) pueden aproximarse por
funciones continuas con soporte compacto. Diremos que una funcion f : G→R tiene soporte compacto cuando existe un compactoK = K(f) ⊂ G tal que
f(x) = 0 para todo x ∈ G \K. Denotaremos por C0(G) el espacio vectorial
de las funciones continuas f : G→ R con soporte compacto. Es facil ver que
C0(G) es un subespacio vectorial de Lp(G).
50 Luis Bernal Gonzalez
Teorema 1.15.4. El conjunto C0(G) es denso en el espacio Lp(G).
Demostracion. Se dara solo una idea de la misma. Por el teorema anterior,
bastarıa aproximar cada funcion f ∈ S por funciones de C0(G). A su vez,
usando el metodo de la prueba del teorema de caracterizacion de los conjuntos
medibles-Lebesgue (Teorema 1.5.1), se puede suponer que f =∑m
i=1 αiχRi,
donde los Ri son N -rectangulos cerrados. Por ultimo, aproximar cada χRi
por una funcion de C0(G). 2
1.16. Medidas producto
Los conceptos y resultados de esta seccion pueden extenderse a un
numero finito N de medidas, pero las ideas basicas quedan suficientemente
claras al estudiar N = 2. Ası que consideraremos dos espacios de medida
positiva (X,A, µ) e (Y,B, ν). Se supone que µ y ν son σ-finitas y completas.
Se pretende construir un espacio de medida sobre X ×Y , definiendo los pro-
ductos A×B y µ×ν. Se estudiara la relacion que existe entre las propiedades
de medibilidad e integrabilidad en el espacio producto y en los espacios de
partida.
1.16.1. σ-algebra y medida sobre el espacio producto
Para definir una σ-algebra sobre X × Y , parece natural exigir que
pertenezcan a ella todos los rectangulos medibles, es decir, todos los conjuntos
E×F con E ∈ A y F ∈ B. La familia E de las uniones finitas de rectangulos
medibles es un algebra (ver definicion en el Ejercicio 11) sobre X × Y , pero
no es una σ-algebra en general. Definimos A×B como la σ-algebra generada
por la familia de rectangulos medibles. Es claro que A× B ⊃ E .
Si Z es un conjunto, una clase monotona sobre Z es una familia C ⊂ Z
de modo que∪∞n=1Cn ∈ C y
∩∞n=1Dn ∈ C para cada sucesion creciente
TEORIA DE LA MEDIDA 51
Cnn≥1 ⊂ C y cada sucesion decreciente Dnn≥1 ⊂ C. Si F ⊂ P(Z), deno-
taremos por M(F) la menor clase monotona que contiene a F . El siguiente
resultado se utilizara mas adelante.
Proposicion 1.16.1. Con las notaciones anteriores, se tiene que M(E) =A× B.
Demostracion. La inclusion “⊂” es clara, pues E ⊂ A × B y toda σ-algebra
es una clase monotona. Si se demuestra que M := M(E) es una σ-algebra,quedara probada la inclusion contraria. Para ello, es suficiente fijar P,Q ∈ My probar que P \Q y P ∪Q pertenecen a M. Definimos τ(P ) := T ⊂ X×Y :
P \T, T \P y P ∪T ∈ M. Es facil probar que τ(P ) es una clase monotona,
y que Q ∈ τ(P ) si y solo si P ∈ τ(Q). Si P ∈ E se tiene que E ⊂ τ(P ), debido
a que las diferencias y la union de dos elementos de E estan tambien en E .Luego M ⊂ τ(P ) cuando P ∈ E . Sea ahora Q ∈ M. Resulta de lo anterior
que, para cada P ∈ E , se verifica que Q ∈ τ(P ) y P ∈ τ(Q). Esto significa
que E ⊂ τ(Q) y, por ser τ(Q) una clase monotona y M = M(E), se deduce
que M ⊂ τ(Q). Pero esto es justamente lo que se querıa probar. 2
A partir de miembros de A×B y de funciones medibles en X × Y pode-
mos obtener, de manera natural, conjuntos medibles y funciones medibles,
respectivamente, en los espacios factores X e Y . Si P ⊂ X × Y , x ∈ X e
y ∈ Y , se definen las secciones de P por Px := t ∈ Y : (x, t) ∈ P y
P y := t ∈ X : (t, y) ∈ P.
Proposicion 1.16.2. Sean P ∈ A × B, x0 ∈ X, y0 ∈ Y , y f una funcion
medible respecto de A× B. Se tiene:
(a) Px0 ∈ B y P y0 ∈ A.
(b) La funcion y 7→ f(x0, y), definida en Y , es B-medible, y la funcion x 7→f(x, y0), definida en X, es A-medible.
52 Luis Bernal Gonzalez
Demostracion. En cuanto a (a), es suficiente probar que la familia P de
elementos P de A×B para los que la proposicion es cierta es una σ-algebra
y que cada rectangulo medible pertenece a P . Ambas cosas se prueban sin
dificultad. El apartado (b) resulta facilmente sin mas que considerar que,
para cada α ∈ R, y ∈ Y : f(x0, y) > α = (t, y) ∈ X × Y : f(t, y) > αx0y x ∈ X : f(x, y0) > α = (x, t) ∈ X × Y : f(t, y) > αy0 2
Se trata ahora de definir una medida µ× ν sobre A× B. A esta medida
parece natural exigirle que (µ×ν)(A×B) = µ(A)ν(B) para cada rectangulo
medible A × B. Por otra parte, la medida de un conjunto P ∈ A × B debe
depender de las medidas de sus secciones ν(Px) y µ(Py).
Teorema 1.16.3. Para cada P ∈ A × B, las funciones x ∈ X 7→ ν(Px) y
y ∈ Y 7→ µ(P y) son medibles y∫X
ν(Px) dµ(x) =
∫Y
µ(P y) dν(y).
El valor comun anterior coincide con µ(A)ν(B) si P = A× B con A ∈ A y
B ∈ B.
A la vista de este resultado, es natural definir la medida producto µ× ν :
A× B → [0,+∞] por
(µ× ν)(P ) :=
∫X
ν(Px) dµ(x) =
∫Y
µ(P y) dν(y).
Demostracion del teorema. Por ser µ y ν σ-finitas, existen familias nume-
rables (Xi) e (Yj) de conjuntos medibles tales que los Xi son disjuntos de
µ-medida finita y su union es X, y los Yj son disjuntos de ν-medida finita
y su union es Y . Entonces X × Y se puede descomponer en los rectangulos
medibles disjuntos Xi × Yj. Supongamos probado que para cada par i, j
todos los conjuntos medibles contenidos en Xi × Yj verifican el teorema.
Entonces, si P ∈ A×B, si Pi,j = P ∩ (Xi× Yj), y si Pk =∪i,j≤k Pi,j, resulta
TEORIA DE LA MEDIDA 53
obviamente que cada Pk verifica el teorema, y para demostrar que P tambien
lo verifica es suficiente observar que ν((Pk)x)k≥1 y µ((Pk)y)k≥1 convergen
respectivamente a ν(Px) y µ(P y), y utilizar el teorema de la convergencia
monotona.
Ası pues podemos partir de que µ y ν son finitas. Gracias a la Proposicion
1.16.1, basta probar que la familia P de elementos de A × B que verifican
el teorema es una clase monotona que contiene a E . Si P = A × B es un
rectangulo medible, resulta trivialmente que ν(Px) y µ(P y) son medibles y
que∫Xν(Px) dµ(x) =
∫Yµ(P y) dν(y) = µ(A)ν(B). Puesto que cada elemen-
to de E es union finita de rectangulos medibles disjuntos, se obtiene facilmente
que E ⊂ P . Consideremos ahora una sucesion monotona (Pk) de elementos de
P , y sea P su lımite (es decir, su union si (Pk) es creciente, o su interseccion
si es decreciente). Es claro que las funciones x 7→ ν(Px) e y 7→ µ(P y) son
medibles, por ser, respectivamente, el lımite de las sucesiones monotonas de
funciones medibles ν((Pk)x) y µ((Pk)y) (ver Teorema 1.9.1). Finalmente,
ya que cada Pk ∈ P, se obtiene∫X
ν(Px) dµ(x) = lımk→∞
∫X
ν((Pk)x) dµ(x)
= lımk→∞
∫Y
µ((Pk)y) dν(y) =
∫Y
µ(P y) dν(y),
puesto que podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada gracias
a la finitud de µ y ν. Luego P ∈ P y P es una clase monotona. 2
Es facil probar que µ × ν es una medida σ-finita. Pero µ × ν no es,
en general, completa. Por ejemplo, llamemos mN a la medida de Lebesgue
sobre la σ-algebra MN de los conjuntos medibles-Lebesgue de RN . Nos cen-
tramos en el caso N = 1, aunque lo siguiente se extiende facilmente al
caso general. Fijemos un conjunto no medible A ⊂ [0, 1]. Entonces P :=
A× 0 /∈ M1 ×M1 porque P 0 = A /∈ M1. Sin embargo P ⊂ [0, 1]× 0 y
(m1 ×m1)([0, 1]× 0) = 0, ası que m1 ×m1 no es completa. En general, se
54 Luis Bernal Gonzalez
tiene que (Rk+l,Mk+l,mk+l) es la complecion (ver Ejercicio 4) del espacio de
medida (Rk×Rl,Mk×Ml,mk×ml). De hecho, la hipotesis de completitud
de la medida se hacıa en la seccion 10 porque simplificaba la prueba de algu-
nas propiedades de la integral, pero no es necesaria en absoluto. Ademas, no
es difıcil probar (usar, por ejemplo, aproximacion por funciones escalonadas)
que si (X,M, µ) es un espacio de medida σ-finito, (X,M, µ) es su comple-
cion y f : X → [−∞,∞], entonces f ∈ L1(µ,X) si y solo si f ∈ L1(µ, X),
y que en tal caso∫Xf dµ =
∫Xf dµ. En particular, esto sera util cuando
integremos respecto de mk+l una funcion Rk+l → [−∞,∞] mediante una
iteracion de integrales sobre Rk y Rl.
1.16.2. Teoremas de Fubini y de Tonelli
Concluimos esta seccion con estos dos utiles resultados. El primero
afirma que la integral de una funcion integrable sobre un producto puede
calcularse iterando en cualquier orden la integral sobre los espacios factores.
El segundo proporciona una condicion suficiente sencilla de integrabilidad
sobre un espacio producto.
Teorema 1.16.4. [Teorema de Fubini] Sea f una funcion medible definida
en casi todo punto del producto X × Y . Se tiene:
(a) Si f ≥ 0, las funciones φ(x) :=∫Yf(x, y) dν(y) y ψ(y) :=
∫Xf(x, y) dµ(x),
definidas en casi todo punto respectivamente en X e Y , son medibles
no negativas y se verifica∫X×Y
f d(µ× ν) =
∫X
φdµ =
∫Y
ψ dν ≤ ∞.
(b) Si f ∈ L1(µ × ν), la funcion y 7→ f(x, y) pertenece a L1(ν) para casi
todo x ∈ X, y la funcion x 7→ f(x, y) pertenece a L1(µ) para casi todo
TEORIA DE LA MEDIDA 55
y ∈ Y . En particular, las funciones φ y ψ estan bien definidas y son
finitas en casi todo punto. Ademas, φ y ψ son integrables y verifican∫X×Y
f d(µ× ν) =
∫X
φ dµ =
∫Y
ψ dν <∞.
Demostracion. De la definicion de medida producto y del Teorema 1.16.3
resulta que (a) se verifica cuando f es la funcion caracterıstica de un conjunto
medible. Es facil probar que tambien se verifica (a) cuando f es una funcion
simple medible. Si ahora f es cualquier funcion medible y no negativa, sea
(ak) una sucesion creciente de funciones simples no negativas que converge
ect a f . Para cada k resulta que la funcion φk definida ect X mediante
φk(x) =∫Yak(x, y) dν(y) es medible y verifica
∫X×Y ak d(µ× ν) =
∫Xφk dµ.
Utilizando el teorema de la convergencia monotona se obtiene que φ es me-
dible por ser el lımite de (φk), y que∫X×Y
f d(µ× ν) = lımk→∞
∫X×Y
ak d(µ× ν) = lımk→∞
∫X
φk dµ =
∫X
φdµ.
Analogamente se prueba que ψ es medible y verifica∫X×Y f d(µ × ν) =∫
Yψ dν. Esto completa la demostracion de (a).
Para probar (b), supongamos que f ∈ L1(µ × ν). Entonces se puede
aplicar (a) a f+ y f−, de donde se obtienen las siguientes igualdades, donde
todos los miembros son finitos:∫X×Y
f+ d(µ× ν) =
∫X
φ1 dµ =
∫Y
ψ1 dν,∫X×Y
f− d(µ× ν) =
∫X
φ2 dµ =
∫Y
ψ2 dν,
siendo φ1 y ψ1 (φ2 y ψ2, resp.) las funciones asociadas a f+ (a f−, resp.).
Esto significa que las cuatro funciones medibles φ1, ψ1, φ2, ψ2 son finitas en
casi todo punto, por lo cual estan definidas, son medibles y finitas en casi
todo punto las diferencias φ1 − φ2 y ψ1 − ψ2, es decir, φ y ψ. Es suficiente
restar las relaciones anteriores para obtener (b). 2
56 Luis Bernal Gonzalez
La simple existencia de integrales iteradas no implica su igualdad. Se da
un ejemplo en el Ejercicio 45.
Teorema 1.16.5. [Teorema de Tonelli] Sea f una funcion medible definida
en casi todo punto del producto X × Y . Supongamos que, para casi todo
y ∈ Y , la funcion x 7→ |f(x, y)| pertenece a L1(µ), y que la funcion y 7→∫X|f(x, y)| dµ(x) pertenece a L1(ν). Entonces f ∈ L1(µ× ν).
Demostracion. De los Teoremas 1.9.2 y 1.15.3 y de sus pruebas se deduce
la existencia de una sucesion (φn) de funciones escalonadas tales que 0 ≤φn(x, y) ≤ φn+1(x, y) para todo n ∈ N y todo (x, y) ∈ X × Y , y φn → |f | encasi todoX×Y . En particular, cada φn es integrable. Como f es medible, bas-
ta demostrar que |f | es integrable. A su vez, por el teorema de la convergen-
cia monotona, es suficiente demostrar que supn∈N∫X×Y φn d(µ × ν) < +∞.
Por una parte, tenemos que∫Xφn(x, y) dµ(x) ≤
∫X|f(x, y)| dµ(x). Por otra
parte, si aplicamos el Teorema de Fubini a cada φn y aplicamos las hipotesis
sobre f , obtenemos que∫X×Y φn d(µ × ν) =
∫Y(∫Xφn(x, y) dµ(x)) dν(y) ≤∫
Y(∫X|f(x, y)| dµ(x)) dν(y) < +∞. Esto concluye la demostracion. 2
Por supuesto, un enunciado analogo se obtiene intercambiando las varia-
bles x, y y las medidas µ, ν.
Terminamos estableciendo, sin demostracion, dos resultados de integracion
por cambio de variables en RN . En sus pruebas interviene de una u otra for-
ma el Teorema de Fubini. Por detDh denotaremos el determinante de la
matriz jacobiana o matriz de derivadas parciales de h. En el segundo teore-
ma, se obtiene la integral de una funcion que solo depende radialmente de
sus argumentos.
Teorema 1.16.6. Sean Ω y G dos abiertos de RN , h : G → Ω un difeo-
morfismo de clase C1 y f : Ω → R. Entonces f ∈ L1(mN ,Ω) si y solo si
TEORIA DE LA MEDIDA 57
(f h)|detDh| ∈ L1(mN , G), en cuyo caso∫Ω
f dmN =
∫G
(f h)|detDh| dmN .
Teorema 1.16.7. Para cada x = (x1, . . . , xN) ∈ RN denotamos r(x) =
∥x∥2 = (x21 + · · ·+ x2N)1/2. Sea f : [0,+∞) → R y g := f r. Entonces g es
Lebesgue-integrable en RN si y solo si la funcion t 7→ f(t)tN−1 es Lebesgue-
integrable en [0,+∞), en cuyo caso∫RN
g dmN = n · πN/2
Γ(1 + N2)·∫ +∞
0
f(t)tN−1 dt.
Ejercicios
1. Dar un ejemplo de una σ-algebra M tal que existan dos conjuntos
A,B ∈ M de modo que A ∪B sı sea medible.
2. Si µ es la medida cardinal sobre un conjunto infinito X, demostrar que
existe una sucesion decreciente An∞n=1 ⊂ P(X) tal que∞∩n=1
An = ∅
pero lımn→∞
µ(An) = 0.
3. Demostrar la Proposicion 1.2.1.
4. En este ejercicio se describe la complecion de una medida. Para cada
espacio de medida (X,M, µ), demostrar que existe un espacio de me-
dida completo (X,M, µ) tal que M ⊂ M y µ|M = µ.
Indicacion: Definir M := E ∪N : E ∈ M y existe Z ∈ M tal que
µ(Z) = 0 y N ⊂ Z y µ(E ∪N) := µ(E).
5. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Para cada A ⊂ X se define
µ∗(A) := ınfµ(E) : E ∈ M, A ⊂ E. Probar que µ∗ es una me-
dida exterior sobre X.
6. (a) Para cada ε > 0, hallar un abierto denso G ⊂ R tal que m(G) < ε.
58 Luis Bernal Gonzalez
(b) Hallar un conjunto Gδ, sea M , denso en R, tal que m(M) = 0.
7. Demostrar que el conjunto ternario de Cantor C es compacto, no nu-
merable y de medida nula. El conjunto C se forma suprimiendo de [0, 1]
el tercio central abierto (1/3, 2/3), despues, suprimiendo los tercios cen-
trales abiertos de los dos subintervalos que quedan, y ası sucesivamente.
8. Sea (X,M, P ) un espacio de probabilidad donde cada suceso no vacıo
tiene probabilidad positiva. Demostrar que la formula
d(A,B) = P (A B) (A,B ∈ M)
define una distancia en la σ-algebra M de los sucesos.
9. Si (X,M, µ) es un espacio de medida finita, demostrar que
|µ(A)− µ(B)| ≤ µ(A B) para todo A y B ∈ M.
10. [Lema de Borel–Cantelli] (a) Si (X,M, µ) es un espacio de medida y
Ann≥1 ⊂ M es una sucesion tal que∞∑n=1
µ(An) < +∞, demostrar que
µ(lım supn→∞
An) = 0.
(b) Sea µ una medida de probabilidad y Ann≥1 una sucesion de suce-
sos independientes, es decir, para todo p ∈ N y todos los ındices natu-
rales i1, . . . , ip dos a dos distintos, se verifica
µ(Ai1 ∩ . . . ∩ Aip) = µ(Ai1) · · ·µ(Aip).
Si∞∑n=1
µ(An) = +∞, demostrar que µ(lım supn→∞
An) = 1.
Indicacion: Usar que 1− t ≤ e−t para todo t ≥ 0.
11. [Teorema de extension de Hahn] Supongamos queA es un algebra sobre
un conjunto X, es decir, ∅ ∈ A y, siempre que A,B ∈ A, se tiene que
A \B ∈ A y A∪B ∈ A. Sea µ : A → [0,+∞] una medida sobre A, es
decir, µ(∅) = 0 y, siempre que An ∈ A (n = 1, 2, . . . ) y∪∞n=1An ∈ A,
TEORIA DE LA MEDIDA 59
con los An dos a dos disjuntos, se verifica µ(∪∞n=1An) =
∑∞n=1 µ(An).
Demostrar que existe una medida ν sobre (X, σ(A)) tal que ν|A = µ.
Indicacion: Defınase ν : P(X) → [0,+∞] como
ν(A) = ınf∞∑n=1
µ(An) : A ⊂∞∪n=1
An y An ∈ A (n = 1, 2, . . . ),
entendiendose que ınf ∅ = +∞. Probar que ν es una medida exterior so-
bre X cuya restriccion a A coincide con µ. Finalmente, probar que la σ-
algebra asociada a ν construida por el procedimiento de Caratheodory
contiene a A.
12. Sea f : R → R continua tal que trasforma conjuntos medibles-Lebesgue
de medida nula en conjuntos medibles-Lebesgue de medida nula. Probar
que f trasforma conjuntos medibles en medibles.
13. Se define φ : R → R como φ(x) =
0 si x < 0
log(1 + x) si x ≥ 0,y se
considera la medida de Lebesgue–Stieltjes mφ. Calcular mφ(C), donde
C es el conjunto de Cantor.
14. Construyase una funcion f no medible tal que |f | sı es medible.
15. Sea E ⊂ R un subconjunto medible-Lebesgue y f : E → R una funcion
continua ect x ∈ E. Demostrar que f es medible.
16. Pruebese que cada funcion f : R → R creciente es medible.
17. Se considera una base de Hamel aαα∈A de R como espacio vectorial
sobre Q, y se define la funcion f : R → R mediante f(aα) = aα + 1
para cada α ∈ A y f(∑α
λαaα)=
∑α
λαf(aα) para cada combinacion
lineal finita∑α
λαaα de coeficientes racionales λα. Pruebese:
(a) f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈ R.
60 Luis Bernal Gonzalez
(b) f no es lineal.
(c) f no es medible-Lebesgue.
(d) La grafica de f es densa en R2.
18. Sea µ la medida de Lebesgue sobre X = [0,+∞), y sea, para cada
n ∈ N,
fn(x) :=
2x/n2 si x ≤ n
0 si x > n.
¿Es lımn→∞
∫Xfn dµ =
∫X
lımn→∞
fn dµ?
Idem con X = [0, 1] y
fn(x) :=
2n si x ≤ 2−n
0 si x > 2−n.
19. Sean fn, f : X → R (n ∈ N) funciones medibles, donde (X,M, µ) es
un espacio de medida completa.
(a) Probar que si fn → f casi uniformemente, entonces fn → f ect X
y en medida.
(b) Si fn → f en medida, probar que fn es de Cauchy en medida.
(c) Con el ejemplo X = [0, 1], µ = m y fn definida como fn =
χ[2−kh,2−k(h+1)], con n = 2k + h, k ∈ N y h = 0, 1, . . . , 2k − 1,
verificar que ser de Cauchy en medida no implica convergencia
puntual ect X.
(d) Demostrar que si fn es de Cauchy en medida, existe f medible
tal que fn → f en medida.
20. Consideremos el intervalo [0, 1] con la medida de Lebesgue m. Se define
fn := 2nχ[0,2−n]. Pruebese que fn → 0 puntualmente en casi todo, en
TEORIA DE LA MEDIDA 61
medida y casi uniformemente, pero no converge ni uniformemente ni
en la norma de L1(m).
21. Consideremos la funcion F : [0,+∞) → R dada por
F (x) =
senxx
si x > 0
1 si x = 0.
Demostrar que F ∈ L1m([0,+∞)) y, sin embargo, F es Riemann-integrable
impropiamente en [0,+∞), es decir, F ∈ R[a, b] para todo [a, b] ⊂[0,+∞) y existe lım
R→+∞
∫ R0F (x) dx ∈ R.
22. Calcula, razonadamente, los siguientes lımites de integrales, entendi-
das estas como respecto de la medida de Lebesgue en los intervalos
indicados:
(a) lımn→∞
∫ 1
0arctan(n
xlog x) dx.
(b) lımn→∞
∫ +∞0
arctan(x/n)x√x
dx.
(c) lımn→∞
∫∞1
n1+nx2
e−x2
n dx.
(d) lımn→∞
∫ 1
0
n log(1+√
xn
)
xdx.
(e) lımn→∞
∫ e1
[1−(log x)n]x√x2−1
dx.
(f) lımn→∞
∫ +∞0
(senx)n+1
x(x+1)dx.
(g) lımn→∞
∫ +∞0
11+x2
log(x2+2nx2+n
)dx.
(h) lımn→∞
∫ +∞0
nxn+x2
e−nx dx.
23. Decidir razonadamente si las funciones siguientes son integrables-Lebesgue
o no, en los conjuntos que se indican:
(a) 1−cosxx(1+x2)
en (0,+∞).
(b) x·arctanx1+x2
en [1,+∞).
62 Luis Bernal Gonzalez
(c) log(1+x2)
x√1−x2 en (0, 1).
(d) e−x2log x en (0,+∞).
24. Se considera el conjunto N de los numeros naturales y la medida car-
dinal µ(A) = card(A), A ⊂ N. Se pide:
(a) Determinar que funciones f : N → R son integrables.
(b) Probar que la sucesion fk(x) :=
1ksi 1 ≤ x ≤ k
0 si x > kconverge uni-
formemente, pero no converge en L1(µ).
(c) Probar que la sucesion fk(x) :=
1x
si 1 ≤ x ≤ k
0 si x > kconverge uni-
formemente a una funcion no integrable.
25. Existe una teorıa analoga de medidas signadas si se admite que µ toma
valores en [−∞,+∞). No obstante, se podrıa plantear si podemos ad-
mitir que µ tome valores en la recta real extendida. Este ejercicio pre-
tende mostrar la imposibilidad de esto ultimo. En concreto, se pide
probar que una funcion µ : M → [−∞,+∞] definida en una σ-algebra
M no puede ser aditiva si existen P,Q ∈ M tales que µ(P ) = +∞ y
µ(Q) = −∞.
26. Sea fkk≥1 ⊂ Lp(µ) con 1 ≤ p < +∞ tal que∞∑k=1
∥fk∥p < +∞. Probar
que la serie∞∑k=1
fk define una funcion f ∈ Lp(µ) y que ∥f∥p ≤∞∑k=1
∥fk∥p.
27. Si 1 ≤ r < p < s ≤ +∞, probar que Lr(µ) ∩ Ls(µ) ⊂ Lp(µ).
28. Se supone que f ∈ L∞ ∩ Lp para algun p < +∞. Demuestrese que
f ∈ Lq para todo q > p y que ∥f∥q → ∥f∥∞ (q → +∞).
29. Sean µ y ν dos medidas positivas sobre un mismo espacio medible
(X,M), de modo que µ es σ-finita, ν es finita y ν ≪ µ. Pruebese que
TEORIA DE LA MEDIDA 63
existe una funcion integrable g que cumple la siguiente propiedad: f
es ν-integrable si y solo si fg es µ-integrable. En tal caso, resulta que∫Ef dν =
∫Efg dµ para cada E ∈ M.
30. Sea X = [0, 1] con la medida de Lebesguem, y φ la funcion “escalera de
Cantor”, definida como el lımite de la sucesion de funciones continuas
fn (n ≥ 1) determinadas de la siguiente manera. Como f1 tomamos la
funcion valorada como 0, 1 en los puntos 0, 1 respectivamente; f1 vale
1/2 en el intervalo (1/3, 2/3) y es lineal afın en los intervalos [0, 1/3]
y [2/3, 1]. Como f2 tomamos la funcion definida como 1/4, 1/2, 3/4 en
los intervalos (1/9, 2/9), (1/3, 2/3), (7/9, 8/9) respectivamente, y lineal
en los intervalos restantes. De esta forma se procede sucesivamente. Es
facil ver fn = fn+1 en cada intervalo donde fn es constante, que el
lımite puntual φ existe, que fn → φ uniformemente en [0, 1] (luego φ
es continua), que φ es no decreciente (pues cada fn es no decreciente)
y que φ es constante en cada subintervalo del complemento en [0, 1]
del conjunto ternario de Cantor. Sea ν la medida asociada a φ, dada
por ν(A) =∫Aφdm para cada conjunto medible-Lebesgue A ⊂ [0, 1].
Calcular∫Xf dν, con f(x) := x. Indicacion: Usar el ejercicio anterior.
31. Sea (X,M, µ) un espacio de medida con signo. Demostrar que
|µ|(A) = sup n∑k=1
|µ(Ek)| : A = E1⊔· · ·⊔En, E1, . . . , En ⊂ M, n ∈ N
para cada A ∈ M.
32. (a) Sea µ una medida con signo. Demuestrese que µ+ y µ− son singu-
lares entre sı, y que ambas son absolutamente continuas respecto de µ.
(b) Si µ y ν son medidas con signo tales que ν es absolutamente con-
tinua y singular respecto de µ, probar que ν = 0.
64 Luis Bernal Gonzalez
33. Sea µ una medida completa sobre un espacio medible (X,M). Sea f ∈L1(µ) y consideremos la medida son signo ν(E) :=
∫Ef dµ (E ∈ M).
Demostrar que |ν|(E) =∫E|f | dµ para cada E ∈ M.
34. Dar un ejemplo de dos medidas positivas µ, ν sobre un mismo espacio
medible (X,M), tales que [µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0] para todo A ∈ M,
pero ν no sea absolutamente continua respecto de µ.
35. Sean φ : [0, 1] → R la funcion escalera de Cantor, m la medida de
Lebesgue en [0, 1] y mφ la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a φ.
Pruebese que m ⊥ mφ.
36. Sean p ∈ [1,+∞), I = [0, 1] y f ∈ Lp(I). Para cada α > 0 se define
fα : I → R mediante fα(x) =12α
∫(x−α,x+α) f dm. Pruebese que fα es
continua, que ∥fα∥p ≤ ∥f∥p para todo α > 0 y que lımα→0
∥f − fα∥p = 0.
37. Detallar la demostracion del Teorema 1.15.4.
38. Si I es un intervalo de R y p ∈ [1,+∞), demostrar que el espacio Lp(I)
es separable, es decir, contiene algun subconjunto denso y numerable.
39. Demostrar el Teorema de Egoroff, el cual afirma que lo siguiente. Su-
pongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida, que µ es finita, que
fn : X → R (n ∈ N) es una sucesion de funciones medibles, y que
f : X → R es una funcion tal que fn(x) → f(x) ect x ∈ X. Entonces
fn → f casi uniformemente. Indicacion: Probar primero que se puede
suponer que fn(x) → f(x) para todo x ∈ X. Para cada n, k ∈ N,
definir En,k =∪i≥nx ∈ X : |fi(x) − f(x)| ≥ 1/k. Observar que∩∞
n=1En,k = ∅ para cada k. Aplicar la Proposicion 1.2.1(6) para probar
que, fijados ε > 0 y k ∈ N, existe n(k) ∈ N con µ(En(k),k) < ε/2k.
Considerar el conjunto F =∪∞n=1En(k),k.
TEORIA DE LA MEDIDA 65
40. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo, p ∈ (0,+∞) y (φn) ⊂Lp(µ). Sea φ ∈ Lp(µ) tal que φn(x) → φ(x) ect x ∈ X y ∥φn∥p →∥φ∥p (n → ∞). Demostrar que ∥φn − φ∥p → 0. Indicacion: Aplicar el
Lema de Fatou a la sucesion (|φn|p + |φ|p + |φn − φ|p).
41. Consideremos la funcion f(x, t) :=1
(1 + x2t2)(1 + y2t2)con y > 0.
(a) Demostrar que∫ 1
0(∫∞0f(x, t) dt) dx =
∫∞0(∫ 1
0f(x, t) dx) dt.
(b) Demostrar que la funcion g(y, t) := arctan tt(1+y2t2)
satisface∫ 1
0(∫∞0g(y, t) dt) dy =
∫∞0(∫ 1
0g(y, t) dy) dt.
(c) Combinando los resultados anteriores, deducir que∫∞0(arctan t
t)2 dt = π log 2.
42. Si f ∈ L1(X,µ) y g ∈ L1(Y, ν), demostrar que la funcion h(x, y) :=
f(x)g(y) es integrable sobre X × Y respecto de la medida producto
µ× ν y que su integral es el producto de las integrales de f y g.
43. Representemos por An el conjunto de los puntos de [0, 1] tales que en
su desarrollo decimal 0, a1a2 . . . an . . . sea an la primera cifra decimal
igual a 1. Se define la aplicacion f : [0, 1]2 → R mediante
f(x, y) =
mn si x ∈ Am, y ∈ An
0 en otro caso.
Demostrar que f es integrable y que su integral vale 100.
44. Demostrar que si cn designa la medida de Lebesgue de la bola unidad
de Rn, entonces cn = cn−1
∫ π/2−π/2 cos
n t dt para todo n ≥ 2. Deducir que
cn = πn/2
Γ(n2+1)
para todo n ≥ 1.
66 Luis Bernal Gonzalez
45. Consideremos la medida cardinal µ sobre P(N), ası como la funcion
f : N× N → R dada por
f(x, y) =
2− 2−x si x = y
−2 + 2−x si x = y + 1
0 en otro caso.
Compruebese, mediante el Teorema de Fubini, que f /∈ L1(µ× µ).
46. Se considera la funcion f : R2 → R definida mediante
f(x, y) =
x2−y2x2+y2
si x, y ∈ (0, 1)
0 en otro caso.
Pruebese que f ∈ L1(R2), y calculese∫ ∫
R2 f(x, y) dxdy utilizando el
Teorema de Fubini.
47. Sean (X,M) e (Y,N ) dos espacios medibles, y sea f : X → Y una apli-
cacion medible, es decir, φ−1(N) ∈ M para cada N ∈ N . Supongamos
que µ es una medida sobre (X,M) y que f : Y → [−∞,∞] es una
funcion medible. Definimos la aplicacion φµ : N → [0,+∞] mediante
(φµ)(N) = µ(φ−1(N)).
(a) Demostrar que φµ es una medida sobre (Y,N ). Recibe el nombre
de medida imagen de µ por φ.
(b) Probar que la funcion f φ es medible.
(c) Demostrar que f ∈ L1(φµ) si y solo si f φ ∈ L1(µ), en cuyo caso∫Yf d(φµ) =
∫Xf φ dµ.
48. Se pretende establecer la desigualdad integral de Jensen. Supongamos
que (X,M, µ) es un espacio de probabilidad completo y que I ⊂ R es
un intervalo abierto. Sean f : X → I y φ : I → R dos funciones, de
modo que f ∈ L1(µ), φ es convexa y φ f ∈ L1(µ). Demostrar que
φ
(∫X
f dµ
)≤
∫X
φ f dµ.
Capıtulo 2
Espacios de funciones analıticas
2.1. Introduccion
En este capıtulo, estudiaremos diversos espacios de funciones analıticas
u holomorfas, dotandolos de una estructura lineal y topologica. Al considerar
unos como subespacios de otros, compararemos las diversas convergencias. En
concreto, efectuaremos una recapitulacion de conocimientos sobre el espacio
H(G) de las funciones holomorfas e introduciremos los espacios de Hardy Hp
y los de Bergman Bp del disco unidad. Algunos espacios mas se veran como
ejemplos o ejercicios.
2.2. Funciones holomorfas
Recordemos los conceptos de funcion holomorfa y de funcion analıtica.
Definicion 2.2.1. Sea G ⊂ C un subconjunto abierto del plano complejo,
y sean f : G → C una funcion y a ∈ G. Se dice que f es holomorfa en
a cuando es C-diferenciable en tal punto, es decir, cuando existe f ′(a) :=
lımh→0
f(a+h)−f(a)h
∈ C. Se dice que f es holomorfa en G cuando es holomorfa
67
68 Luis Bernal Gonzalez
en cada punto de G. Mediante H(G) se denota la familia de las funciones
holomorfas en G.
Es facil ver que H(G) es un espacio vectorial. De hecho, es un algebra, si
se incorpora la operacion de producto puntual.
Definicion 2.2.2. Sean G ⊂ C un abierto y f : G → C una funcion. Se
dice que f es analıtica en a cuando es desarrollable en serie de potencias en
torno a dicho punto, es decir, existe r > 0 y existe an∞n=0 ⊂ C tales que
B(a, r) ⊂ G y f(z) =∞∑n=0
an(z − a)n para todo z ∈ B(a, r).
En tal caso, tal serie de potencias es unica, existe f (n)(a) ∈ C para todo
n ∈ N y an = f (n)(a)n!
para todo n ≥ 0. Dicha unica serie de potencias se
denomina la serie de Taylor de f en a.
Si f = u + iv : G → C, con u = Re f y v = Im f , se tiene que f
es holomorfa en a ⇐⇒ [u y v son diferenciables en a, y se cumplen las
ası llamadas ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann: ux(a) = vy(a) y
uy(a) = −vx(a)].
Un teorema debido a Cauchy asegura la equivalencia de holomorfıa y
analiticidad, es decir, H(G) = funciones G → C analıticas en G. Otra
propiedad importante es que si f es holomorfa en G, entonces Re f e Im f
son funciones armonicas en G. Recordemos que una funcion h : G → R se
dice armonica cuando es de clase C2 y hxx + hyy = 0 en G. Denotaremos
por Arm(G) el espacio vectorial de las funciones armonicas en el abierto G.
Tanto las funciones holomorfas como las armonicas cumplen la ası denomi-
nada propiedad del valor medio: si f ∈ H(G), u ∈ Arm(G) y B(a, r) ⊂ G,
entonces
f(a) =1
2π
∫ 2π
0
f(a+ reiθ) dθ y u(a) =1
2π
∫ 2π
0
u(a+ reiθ) dθ.
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 69
Definicion 2.2.3. Se dice que un subconjunto G ⊂ C es una region si es
abierto, conexo y no vacıo. Una region se dice simplemente conexa cuando
no tiene agujeros, es decir, cuando C∞ \G es conexo.
Por C∞ hemos denotado el plano complejo extendido C ∪ ∞, el cualpuede identificarse con la esfera unidad S2 := (x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x22 +
x23 = 1 sin mas que usar la proyeccion estereografica.
En la mayorıa de los casos que consideremos, G va a ser una region. Un
importante resultado de unicidad es el ası llamado principio de prolongacion
analıtica: si G es una region y f, g ∈ H(G), de modo que f(z) = g(z) para
todo z ∈ A, donde A ⊂ G y A′ ∩ G = ∅ [es decir, A tiene algun punto de
acumulacion en G], entonces f = g en toda la region G.
Recordemos que el teorema de la integral de Cauchy asegura que, si G es
una region simplemente conexa, f ∈ H(G) y Γ ⊂ G es una curva cerrada de
Jordan rectificable, entonces∮Γf = 0. La formula de la integral de Cauchy
nos dice que, en las mismas condiciones, f (n)(a) =n!
2πi
∮Γ
f(z)
(z − a)n+1dz para
todo n ≥ 0 y todo a ∈ Int (Γ), el interior geometrico de Γ.
Recordemos tambien el teorema del isomorfismo de Riemann, que afirma
que cada region simplemente conexa G = C es isomorfa al disco unidad
abierto D := z ∈ C : |z| < 1, es decir, existe una funcion f : G → D
holomorfa y biyectiva.
2.2.1. Topologıa compacta-abierta
Recordemos como se dotaba a H(G) de una topologıa natural, llama-
da topologıa de la convergencia uniforme en compactos de G o simplemente
topologıa compacta-abierta. La denotaremos por Tuc.
70 Luis Bernal Gonzalez
Partimos de un abierto G ⊂ C. Consideremos el espacio vectorial C(G) :=
funciones G→ C continuas. Los subconjuntos de la forma
V (f,K, ε) := g ∈ C(G) : |g(z)− f(z)| < ε ∀z ∈ K,
donde f ∈ C(G), ε > 0 y K es un compacto contenido en G, constituyen
una base para una topologıa sobre C(G), que es por definicion Tuc. Se verifica
que fnTuc−→n→∞
f ⇐⇒ [para cada compacto K ⊂ G, fn −→n→∞
f uniformemente
en K]. De ahı el nombre de la topologıa.
Recordemos que un espacio vectorial topologico es un espacio vectorial
X sobre K (= R o C) dotado de una topologıa tal que las aplicaciones
(x, y) ∈ X ×X 7→ x + y ∈ X y (λ, x) ∈ K×X 7→ λx ∈ X son continuas.
Un espacio localmente convexo es, por definicion, un espacio topologico cuyo
origen posee una base de entornos formada por conjuntos convexos. Un espa-
cio topologico se dice metrizable cuando su topologıa es inducida por alguna
metrica. Un espacio de Frechet es un espacio localmente convexo, metrizable
y completo. Por ejemplo, C(G) es un espacio de Frechet. Solo detallaremos
la metrizabilidad. Resulta que la aplicacion D : C(G) × C(G) → [0,+∞)
dada por
D(f, g) =∞∑n=1
1
2n∥f − g∥Kn
1 + ∥f − g∥Kn
es una metrica sobre C(G) para la cual este espacio es completo, y ademas
D genera Tuc. Aquı Kn∞n=1 es una sucesion exhaustiva de subconjuntos
compactos de G, es decir, G =∞∪n=1
Kn y Kn ⊂ Kn+1 para todo n ∈ N y, para
cada compacto K ⊂ G,
∥f∥K := max|f(z)| : z ∈ K.
Es evidente que H(G) ⊂ C(G).
Teorema 2.2.1. [Teorema de convergencia de Weierstrass]
Si fn∞n=1 ⊂ H(G) y f : G → C es una funcion tal que fn → f uni-
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 71
formemente en compactos de G, entonces f ∈ H(G) y ademas f(k)n → f (k)
(n→ ∞) uniformemente en compactos de G, para todo k ∈ N.
En particular, si sobre H(G) consideramos la topologıa inducida por Tuc,
entonces H(G) es cerrado en C(G), y por tanto es tambien un espacio de
Frechet. Sin embargo, puede probarse que ni C(G) ni H(G) son normables.
La teorıa de la compacidad de familias de funciones analıticas es suma-
mente util y se aplica, entre otras cuestiones, a la demostracion del teorema
del isomorfismo de Riemann, del teorema de Picard y del teorema de analitici-
dad de integrales parametricas con hipotesis bastante generales sobre la curva
de integracion de la funcion integrando. Vamos a recordar algunas ideas y
resultados.
Definicion 2.2.4. Si X es un espacio topologico, un subconjunto A ⊂ X se
llama relativamente compacto cuando A es compacto.
Del mismo modo, una familia F ⊂ C(G) (⊂ H(G), resp.) se dice que es
relativamente compacta cuando FTuces un subconjunto compacto de C(G)
(de H(G), resp.), es decir, cuando de cada sucesion (fn) ⊂ F puede extraerse
alguna subsucesion (fnk) tal que existe f ∈ C(G) (∈ H(G), resp.) de modo
que fnk→ f uniformemente en compactos de G.
En el espacio de las funciones continuas, la compacidad relativa esta ca-
racterizada por el teorema de Ascoli-Arzela, que estableceremos tras las si-
guientes definiciones.
Definicion 2.2.5. Sea F una familia de funciones G→ C, y sea A ⊂ G. Se
dice que F es equicontinua en A si para cada ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal
que, si z, z′ ∈ A, |z − z′| < δ y f ∈ F , entonces |f(z)− f(z′)| < ε.
Definicion 2.2.6. Sea F una familia de funciones G→ C, y sea A ⊂ G. Se
dice que F es uniformemente acotada en A si existe M =MA ∈ (0,+∞) tal
que |f(z)| ≤M para todo z ∈ A y toda funcion f ∈ F .
72 Luis Bernal Gonzalez
Teorema 2.2.2. [Teorema de Ascoli–Arzela] Si F ⊂ C(G), entonces Fes relativamente compacta si y solo si para cada compacto K ⊂ G, F es
equicontinua en K y uniformemente acotada en K.
El uso conjunto del Teorema de Ascoli-Arzela y de la formula de la integral
de Cauchy nos conduce al siguiente importante resultado.
Teorema 2.2.3. [Teorema de Montel] Sean G ⊂ C un abierto y F ⊂ H(G).
Entonces la familia F es relativamente compacta si y solo si F es uniforme-
mente acotada en cada subconjunto compacto de G.
Una combinacion del Teorema de Montel y del principio de prolongacion
analıtica prueban lo siguiente.
Teorema 2.2.4. [Teorema de Vitali] Sean G ⊂ C una region y (fn) ⊂ H(G)
una sucesion uniformemente acotada en compactos de G tal que existe S ⊂ G
con S ′ ∩ G = ∅ de modo que (fn) converge puntualmente en S. Entonces
existe una funcion f ∈ H(G) tal que fn → f (n → ∞) uniformemente en
compactos de G.
Consideremos ahora la densidad y la separabilidad. Ya que C(G) es se-
parable y es un espacio metrico, H(G) es tambien separable. Si el conjunto
de los polinomios fuese denso en H(G), el conjunto de los polinomios con
coeficientes racionales serıa un subconjunto denso y numerable de H(G).
Pero, en general, los polinomios no son densos en H(G): tomar, por ejemplo,
G = D \ 0. Una condicion para que se de la densidad del conjunto de los
polinomios, es decir, para que cada funcion holomorfa en una region pueda
aproximarse uniformemente en compactos por polinomios, la proporciona el
siguiente resultado.
Teorema 2.2.5. [Teorema de Aproximacion de Runge]
(a) Sean K ⊂ C un compacto, ε > 0, G un abierto que contiene a K,
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 73
f ∈ H(G) y A un conjunto que contiene exactamente un punto de cada com-
ponente conexa de C∞ \ K. Entonces existe una funcion racional R cuyos
polos estan en A tal que |f(z)−R(z)| < ε para todo z ∈ K.
(b) Si G ⊂ C es una region y f ∈ H(G), existe una sucesion (Rn) de fun-
ciones racionales con polos fuera de G tales que Rn → f uniformemente en
compactos en G.
(c) Si G ⊂ C es una region simplemente conexa, el conjunto de los polinomios
es denso en H(G).
2.3. Espacios de Bergman
Seguidamente vamos a estudiar un espacio de funciones analıticas en
una region G ⊂ C, el cual va a tener una topologıa estrictamente mas fuerte
que la inducida por H(G). Ademas, tal topologıa va a venir dada por su
estructura de espacio de Hilbert.
Consideremos el espacio vectorial L2(G) := f : G → C : f es medible-
Lebesgue y∫ ∫
G|f(x + iy)|2 dxdy < +∞. Gracias a la desigualdad de
Cauchy-Schwarz, se tiene que la aplicacion
(f, g) ∈ L2(G)× L2(G) 7→ ⟨f, g⟩ =∫ ∫
G
f(z) · g(z) dxdy ∈ C
esta bien definida. Ademas, si en L2(G) identificamos dos funciones cuan-
do son iguales en casi todo, se prueba facilmente que ⟨·, ·⟩ es una forma
sesquilineal (lineal en la primera variable y anti-lineal en la segunda varia-
ble) hermıtica (es decir, ⟨f, g⟩ = ⟨g, f⟩) definida positiva (esto es, ⟨f, f⟩ ≥ 0
para toda f , y se tiene que ⟨f, f⟩ = 0 si y solo si f = 0). En otras pala-
bras, ⟨·, ·⟩ es un producto escalar y L2(G) es un espacio prehilbertiano. En
particular, la aplicacion
f ∈ L2(G) 7→ ∥f∥2 := ⟨f, f⟩1/2 =( ∫ ∫
G
|f |2 dxdy)1/2 ∈ [0,+∞)
74 Luis Bernal Gonzalez
es una norma en L2(G), llamada norma cuadratica, la cual genera la distancia
d(f, g) := ∥f − g∥2, llamada la distancia cuadratica.
Vamos a tratar con las funciones de L2(G) que son analıticas en G. En
tal caso no es necesaria la identificacion de funciones hecha anteriormente en
L2(G), ya que si f y g son funciones continuas en G y f = g ect G, entonces
f ≡ g en G. Aparte de comparar las dos topologıas que surgen, estudiaremos
los sistemas ortonormales, especialmente los formados por polinomios cuando
G es acotada.
Definicion 2.3.1. Se llama espacio de Bergman de G al espacio vectorial
B2(G) := L2(G) ∩H(G).
Otra notacion es L2a(G). Al ser un subespacio vectorial tanto de H(G) co-
mo de L2(G), hereda de manera natural dos topologıas: la de la convergencia
compacta y la de la convergencia cuadratica. Por supuesto, la aplicacion ⟨·, ·⟩anterior es tambien un producto escalar sobre B2(G). El resultado siguiente
muestra la estructura de este espacio.
Teorema 2.3.1. (a) Sean f, fn ∈ B2(G) (n ∈ N) funciones tales que
fn → f (n → ∞) en media cuadratica. Entonces fn → f (n → ∞)
compactamente en G. En particular, la topologıa sobre B2(G) que deri-
va del producto escalar ⟨·, ·⟩ es mas fuerte que la que proviene de H(G).
(b) El par (B2(G), ⟨·, ·⟩) es un espacio de Hilbert.
Para realizar la demostracion de este teorema, necesitamos un lema pre-
vio, que es interesante por sı mismo.
Lema 2.3.2. SeaK ⊂ G un compacto. Entonces existe una constante α(K) ∈(0,+∞) tal que sup
K|f | ≤ α(K)∥f∥2 para toda funcion f ∈ H(G).
Demostracion. Llamemos δ(K) = 12d(K, ∂G) si G = C y δ(K) = 1 si G = C.
Fijemos un punto a ∈ K. Entonces B(a, δ(K)) ⊂ G y en esta bola la funcion
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 75
f tiene un desarrollo de Taylor uniformemente convergente, digamos f(z) =∞∑k=0
ak(z−a)k, donde a0 = f(a). Pasando a coordenadas polares, tenemos que
z− a = reiθ (0 ≤ r ≤ δ, 0 ≤ θ ≤ 2π) en dicha bola y, teniendo en cuenta que
el jacobiano de la transformacion de coordenadas polares a cartesianas es r,
resulta que
|f(z)|2 = f(z)f(z) =∞∑k=0
ak(z − a)k∞∑l=0
al(z − a)l =∞∑
k,l=0
akalrk+lei(k−l)θ.
Por tanto
∥f∥22 =∫ ∫
G
|f(z)|2 dxdy ≥∫ ∫
B(a,δ(K))
|f(z)|2 dxdy
=
∫ δ(K)
0
∫ 2π
0
r
∞∑k,l=0
akalrk+lei(k−l)θ drdθ.
En la ultima expresion podemos intercambiar la serie con la integral debido a
la convergencia uniforme de la serie de Taylor en cada bola cerrada contenida
en el disco de convergencia. Ademas, gracias al teorema de Fubini, podemos
integrar iteradamente. Observando, por ultimo, que∫ 2π
0eimθ dθ vale 2π o 0
segun que m = 0 o m ∈ Z \ 0 (respectivamente), obtenemos que
∥f∥22 ≥ 2π
∫ δ(K)
0
∞∑k=0
|ak|2r2k+1 dr = π∞∑k=0
|ak|2δ(K)2k+2
k + 1
≥ πδ(K)2|a0|2 = πδ(K)2|f(a)|2,
de lo cual inferimos que πδ(K)2|f(a)|2 ≤ ∥f∥22. Luego, para todo a ∈ K, se
tiene que |f(a)| ≤ ∥f∥2δ(K)
√π, de donde se deduce lo que queremos, sin mas que
escoger α(K) = 1δ(K)
√π. 2
Demostracion del Teorema 2.3.1. (a) Si f y fn (n ∈ N) son como en el
enunciado, entonces ∥fn − f∥2 → 0. Fijemos un compacto K ⊂ G. Debido
al lema, se tiene que supK
|fn − f | ≤ α(K)∥fn − f∥2 para todo n ∈ N, luego
supK
|fn − f | → 0. En consecuencia, fn → f compactamente en G.
(b) Sea (fn) una sucesion de Cauchy en B2(G) para la distancia cuadratica.
Por el lema, aplicado a fm− fn, tenemos que (fn) es de Cauchy en el espacio
76 Luis Bernal Gonzalez
metrico completo H(G), luego existe f ∈ H(G) tal que fn → f compacta-
mente. Por otra parte, (fn) es una sucesion de Cauchy en L2(G), que es
tambien un espacio metrico completo. Entonces existe g ∈ L2(G) tal que
∥fn− g∥2 → 0. Ahora bien, sabemos que existe una subsucesion (fnk) ⊂ (fn)
tal que fnk→ g ect G. Pero fnk
(z) → f(z) para todo z ∈ G. Por la unicidad
del limite puntual, f = g ect G, lo que implica que f ∈ L2(G) ∩ H(G) =
B2(G) y ∥fn−f∥2 = ∥fn−g∥2 → 0. Por tanto fn → f en ∥ ·∥2. Esto prueba
que B2(G) es completo. 2
Ejemplos sencillos muestran que la convergencia cuadratica es estricta-
mente mas fuerte que la convergencia uniforme en compactos, vease la seccion
de Ejercicios.
Apuntamos que B2(G) es separable, pues esta contenido en L2(G), el cual
es separable con la distancia cuadratica.
2.3.1. Ortonormalidad
Recordemos algunos conceptos y resultados sobre ortonormalidad.
Definicion 2.3.2. Supongamos que (X, ⟨·, ·⟩) es un espacio prehilbertiano.
Decimos que una sucesion φn∞n=0 ⊂ X es un sistema ortogonal si ⟨φn, φk⟩ =0 para todo n, k con n = k. Si, ademas, ∥φn∥2 = 1 para todo n ≥ 0 [equi-
valentemente, si ⟨φn, φk⟩ = δn,k para todo n, k], diremos que φn∞n=0 es un
sistema ortonormal. En este caso, si x ∈ X, los numeros ⟨x, φn⟩ se denomi-
nan los coeficientes de Fourier de x relativos a φn, mientras que la serie∞∑n=0
⟨x, φn⟩φn se llama serie de Fourier de x relativa a φn.
Un problema general es si la serie de Fourier de x converge, y si cada
vector x ∈ X es la suma cuadratica de su serie de Fourier, para un sistema
ortonormal dado φn. Todo sistema ortonormal es linealmente independien-
te y, usando el conocido metodo de ortonormalizacion de Gram–Schmidt, se
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 77
tiene que, dado un sistema linealmente independiente xn∞n=0 ⊂ X, existe
un unico sistema ortonormal φn∞n=0 tal que:
(a) Para cada n ≥ 0, φn ∈ L(xjnj=0) [por L(A) denotamos el subespacio
vectorial generado por un subconjunto A ⊂ X]. En particular, xn y
φn general el mismo subespacio vectorial.
(b) Para cada n ≥ 0, si φn = αnxn+αn−1xn−1+· · ·+α0x0, entonces αn > 0.
Definicion 2.3.3. Un subconjunto A ⊂ X se dice total cuando L(A) = X,
y se dice que es completo cuando [⟨x, a⟩ = 0 para todo a ∈ A ⇒ x = 0]. Se
dice que un sistema ortonormal φn es una base ortonormal cuando para
todo x ∈ X se tiene que∞∑n=0
⟨x, φn⟩φn = x cuadraticamente.
Recordemos el siguiente importante resultado.
Teorema 2.3.3. Sea φn∞n=0 un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert
X. Son equivalentes:
(a) φn es total.
(b) φn es completo.
(c) φn es una base ortonormal.
(d) Para cada x ∈ X se cumple la “identidad de Parseval”∞∑n=0
|⟨x, φn⟩|2 =
∥x∥22.
2.3.2. Espacios de Bergman de regiones acotadas
Volvamos a nuestro espacio de Bergman B2(G), pero ahora en el caso
especial de que la region G es acotada. Es evidente que polinomios ⊂B2(G).
78 Luis Bernal Gonzalez
Aplicando el metodo de Gram-Schmidt al sistema libre zn∞n=0, obtene-
mos un unico sistema ortonormal Pnn≥0 de polinomios tales que grado(Pn)
= n para todo n ≥ 0 y sus coeficientes lıderes son positivos. Por el teo-
rema anterior, se tiene que Pnn≥0 es una base ortonormal de B2(G) si y
solo si el conjunto de los polinomios es denso en B2(G), ya que L(Pnn≥0) =
polinomios. Como B2(G) es un espacio de Hilbert separable, siempre tiene
una base ortonormal, pero no es seguro que posea una formada por poli-
nomios. Daremos seguidamente una sencilla condicion suficiente, de caracter
topologico, para que esto ocurra.
Definicion 2.3.4. Un dominio de Caratheodory es una region G ⊂ C simple-
mente conexa y acotada tal que ∂G = ∂G∞, donde G∞ denota la componente
conexa no acotada de C \G.
Por ejemplo D –y en general, cada region de Jordan– es un dominio de
Caratheodory; pero D \ [0, 1] no lo es, aunque es acotada y simplemente
conexa. Una “serpiente exterior” (una figura concebida como el interior de
una serpiente plana infinitamente enroscada alrededor de su huevo –mate-
rializado en el disco unidad cerrado– acercandose cada vez mas a el pero sin
llegar nunca a tocarlo) es un dominio de Caratheodory, pero no es una region
de Jordan porque su frontera divide el plano en tres regiones.
Teorema 2.3.4. [de Farrell y Markushevich] Si G es un dominio de Cara-
theodory, entonces el conjunto de los polinomios es denso en B2(G).
Demostracion. Se basa en una combinacion de los teoremas de aproximacion
de Runge, del isomorfismo de Riemann, de convergencia de Weierstrass y de
convergencia dominada de Lebesgue.
Haremos uso del siguiente hecho. Fijemos cualquier punto z0 ∈ G. En-
tonces existe una sucesion Gn∞1 de regiones de Jordan tal que G ⊂ Gn+1 ⊂Gn+1 ⊂ Gn (n ∈ N) y G es la mayor region Ω tal que z0 ∈ Ω ⊂ Gn para
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 79
todo n ∈ N. Ademas, si hn : Gn → G es el unico isomorfismo dado por el
Teorema de Riemann tal que hn(z0) = z0 y h′n(z0) > 0, entonces hn(z) −→ z
(n → ∞) compactamente en G. Luego h′n −→ 1 compactamente en G, por
el teorema de convergencia de Weierstrass.
Fijemos una funcion f ∈ B2(G) y un ε > 0. Queremos hallar un polinomio
P tal que ∥P − f∥2 < 2ε. Denotemos por fn (n ∈ N) la funcion fn : Gn → C
dada por fn(z) := f(hn(z))h′n(z), y porm la medida Lebesgue bidimensional.
Por la formula del cambio de variables, tenemos que, para cada n ∈N,
∫ ∫G|fn|2 dm =
∫ ∫hn(G)
|f |2dm ≤∫ ∫
G|f |2 dm. Por otra parte, dado un
compacto K ⊂ G, fn −→ f uniformemente en K. Luego, por el teorema de
la convergencia dominada,
lım infn→∞
∫ ∫G
|fn|2 dm ≥ lım infn→∞
∫ ∫K
|fn|2 dm =
∫ ∫K
|f |2 dm.
En consecuencia, puesto que lo anterior se cumple para cada compacto K ⊂G y
∫ ∫G|f |2 dm = sup
∫ ∫K|f |2 dm : K compacto ⊂ G, obtenemos∫ ∫
G
|f |2 dm ≤ lım infn→∞
∫ ∫G
|fn|2 dm ≤ lım supn→∞
∫ ∫G
|fn|2 dm ≤∫ ∫
G
|f |2 dm,
luego∫ ∫
G|fn|2 dm −→
∫ ∫G|f |2 dm (n→ ∞). Ya que fn → f puntualmente
en G, podemos aplicar el Ejercicio 40 del Capıtulo 1. Obtenemos que fn → f
en ∥ · ∥2. Por tanto, existe N ∈ N tal que ∥fN − f∥2 < ε.
Finalmente, observemos que G es un compacto, que G ⊂ GN = una region
simplemente conexa, y que fN ∈ H(GN). Por el Teorema de Runge, existe
un polinomio P tal que |P (z) − fN(z)| < εm(G)1/2
para todo z ∈ G. Luego
∥P − f∥2 ≤ ∥fN − f∥2 + ∥P − fN∥2 < 2ε, como se requerıa. 2
Pueden definirse espacios de Bergman mas generales, a saber:
Bp(G) := f ∈ H(G) : ∥f∥p < +∞,
donde ∥f∥p :=( ∫ ∫
G|f(z)|p dxdy
)1/p. Es decir, Bp(G) = H(G)∩Lp(G). Cada
uno de ellos es un espacio de Banach bajo la norma ∥ · ∥p. Otra notacion es
80 Luis Bernal Gonzalez
Lpa(G). En el caso G = D, estos espacios se estudian de forma muy comoda,
debido a la existencia de un desarrollo de Taylor valido en todo el disco.
Tiene ciertas ventajas el usar –y ası lo haremos– la medida de Lebesgue
normalizada dA(z) = dxdyπ
. Ası que la norma es
∥f∥p =( ∫ ∫
D|f(z)|p dA(z)
)1/p.
El siguiente resultado muestra la estructura lineal y topologica de Bp(D).
Teorema 2.3.5. Sea p ∈ [1,+∞). Se tiene:
(a) Para todo z ∈ D y toda f ∈ H(D), se verifica |f(z)| ≤ ∥f∥p(1− |z|)2
.
(b) La convergencia en Bp(D) es mas fuerte que la convergencia compacta
en D.
(c) Bp(D) es un espacio de Banach, o equivalentemente, es un subespacio
cerrado en Lp(D).
Demostracion. (a) Fijemos z ∈ D y f ∈ H(D). Gracias al teorema del valor
medio para funciones analıticas, obtenemos que f(z) = 12π
∫ 2π
0f(z + reiθ) dθ
para todo r ∈ (0, 1− |z|), lo que implica que∫ 1−|z|
0
f(z)r dr =1
2π
∫ 1−|z|
0
( ∫ 2π
0
f(z + reiθ)r dθ)dr.
Podemos usar ahora el Teorema de Fubini de integracion iterada, ası como
el cambio de variables (r, θ) 7→ (x, y). Recordemos que el jacobiano de paso
de las variables polares a cartesianas es J(x,yr,θ
) = r. En consecuencia, el
segundo miembro de la igualdad anterior entre integrales se transforma en
12
∫ ∫B(z,1−|z|) f(w) dA(w), mientras que el primer miembro vale f(z) (1−|z|)2
2.
Por tanto f(z) = 1(1−|z|)2
∫ ∫B(z,1−|z|) f(w) dA(w). De aquı y de la desigualdad
de Holder, resulta
|f(z)| ≤ 1
(1− |z|)2
∫ ∫B(z,1−|z|)
|f(w)| dA(w)
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 81
≤ 1
(1− |z|)2( ∫ ∫
B(z,1−|z|)|f(w)|p dA(w)
)1/p ≤ ∥f∥p(1− |z|)2
.
(b) Sea K ⊂ D un compacto. Entonces existe r ∈ (0, 1) tal que K ⊂ B(0, r).
Del apartado (a) deducimos que supK
|f | ≤ 1(1−r)2∥f∥p. De aquı se obtiene (b).
(c) Es muy similar a la prueba de la parte (b) del Teorema 2.3.1. 2
Anotemos que si p ∈ (1,+∞) y q es el exponente conjugado de p, entonces
el dual Bp(D)∗ de Bp(D) es isomorfo a Bq(D).
2.3.3. Funciones subarmonicas
En este apartado introducimos una clase importante de funciones auxi-
liares que nos seran utiles para conseguir algunas desigualdades satisfechas
por elementos de nuestros espacios funcionales.
Definicion 2.3.5. Sea G ⊂ C un abierto y v : G→ R una funcion continua.
Decimos que v es subarmonica en G cuando, para cada bola B(a, r) ⊂ G, se
tiene
v(a) ≤ 1
2π
∫ 2π
0
v(a+ reiθ) dθ.
Ya que las funciones armonicas cumplen la propiedad del valor medio,
se tiene que toda funcion armonica es subarmonica. A continuacion, propor-
cionaremos ejemplos no triviales de funciones subarmonicas.
Teorema 2.3.6. Supongamos que G ⊂ C es un abierto, que f ∈ H(G) y que
p ∈ (0,+∞). Entonces las funciones ln+|f | y |f |p son subarmonicas en G.
Demostracion. Es claro que las funciones ln+|f | y |f |p son continuas en
G. Fijemos una bola B(a, r) ⊂ G. Si f(a) = 0, se cumple trivialmente la
desigualdad dada en la definicion de subarmonicidad para v = ln+|f | y
v = |f |p. Ası que podemos suponer que f(a) = 0. Entonces de la formula de
Jensen dada en la Proposicion 2.4.3 (ver mas adelante) inferimos que
ln |f(a)| ≤ 1
2π
∫ 2π
0
ln |f(a+ reiθ)| dθ. [1]
82 Luis Bernal Gonzalez
Ya que ln+t ≥ ln t para todo t ≥ 0, obtenemos de [1] que ln+|f(a)| ≤12π
∫ 2π
0ln+|f(a+reiθ)| dθ, porque el primer miembro vale ln |f(a)| si |f(a)| ≥
1, y vale 0 en caso contrario. Esto muestra que ln+|f | es subarmonica. En
cuanto a la subarmonicidad de |f |p, basta aplicar a ambos miembros de [1] la
funcion creciente φ(t) := ept y considerar la desigualdad integral de Jensen
para funciones convexas (ver el Ejercicio 48 del Capıtulo 1). 2
Damos ahora una caracterizacion de la subarmonicidad, aunque solo sera
enunciada la implicacion que necesitaremos mas adelante. El termino “subar-
monica” se inspira en el resultado de este teorema.
Teorema 2.3.7. Sean G ⊂ C un abierto, v : G → R una funcion sub-
armonica, K ⊂ G un subconjunto compacto, y h : K → R una funcion
continua en K tal que h ∈ Arm(K0). Si v ≤ h en ∂K, entonces v ≤ h en
K.
Demostracion. Pongamos v1 := v − h y supongamos, por reduccion al ab-
surdo, que v1(z) > 0 para algun z ∈ K0. Ya que v1 es continua en K, v1
alcanza su maximo m en K; y ya que v1 ≤ 0 en ∂K, el conjunto E := z ∈K : v1(z) = m es un subconjunto compacto no vacıo de K0. Sea z0 ∈ ∂E.
Entonces para algun r > 0 tenemos B(z0, r) ⊂ K0, pero algun subarco de
|z − z0| = r esta en Ec. Por tanto
v1(z0) = m >1
2π
∫ 2π
0
v1(z0 + reiθ) dθ,
y esto significa que v1 no es subarmonica en K0. Pero, por el teorema del
valor medio para funciones armonicas, la funcion v − h es subarmonica en
K0, lo cual es una contradiccion. 2
Corolario 2.3.8. Si v es una funcion subarmonica en D, entonces la funcion
r ∈ [0, 1) 7→ m(r) := 12π
∫ 2π
0v(reiθ) dθ ∈ R es creciente.
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 83
Demostracion. Fijemos r1, r2 tales que 0 ≤ r1 < r2 < 1. De acuerdo con el
teorema de Schwarz que da la solucion al problema de Dirichlet, existe una
(unica) funcion continua h : B(0, r2) → R tal que h es armonica en B(0, r2)
y h = v en |z| = r2. Por el teorema anterior, v ≤ h en B(0, r2). Por tanto
m(r1) =1
2π
∫ 2π
0
v(r1eiθ) dθ ≤ 1
2π
∫ 2π
0
h(r1eiθ) dθ
= h(0) =1
2π
∫ 2π
0
h(r2eiθ) dθ =
1
2π
∫ 2π
0
v(r2eiθ) dθ = m(r2),
como se querıa demostrar. 2
2.3.4. Operador de composicion
Si φ : D → D es una funcion analıtica, es facil ver que la aplicacion Cφ :
f ∈ H(D) 7→ f φ ∈ H(D) esta bien definida y es un operador sobre H(D),
es decir, es lineal y continua. Diremos que Cφ es el operador de composicion
asociado a φ. No es inmediato que Cφ sea un operador sobre Bp(D). Esto es
lo que vamos a demostrar en las siguientes lıneas.
Definicion 2.3.6. Sean f, g ∈ H(D). Se dice que f esta subordinada a g
cuando existe φ : D → D holomorfa tal que φ(0) = 0 y f = g φ.
Usaremos el siguiente resultado, debido a Littlewood, que es importante
por sı mismo. Antes de ello, recordemos que el Lema de Schwarz afirma que
si f : D → D es holomorfa y f(0) = 0, entonces |f(z)| ≤ |z| para todo z ∈ D.
Teorema 2.3.9. [Teorema de subordinacion de Littlewood]
Sean p ∈ (0,+∞) y r ∈ [0, 1). Si f esta subordinada a g, entonces∫ 2π
0
|f(reiθ)|p dθ ≤∫ 2π
0
|g(reiθ)|p dθ.
Demostracion. Por hipotesis, existe φ : D → D tal que φ ∈ H(D), φ(0) = 0
y f = g φ. Fijemos r ∈ (0, 1). Por el Teorema de Schwarz de existencia de
84 Luis Bernal Gonzalez
solucion para el problema de Dirichlet en un disco, existe h ∈ C(B(0, r)) ∩Arm(B(0, r)) tal que h||z|=r = |g|p. Ahora bien, resulta que |g(z)|p ≤ h(z)
para todo z ∈ B(0, r) porque, al ser |g| analıtica, se tiene que |g|p es sub-
armonica (Teorema 2.3.6) y podemos aplicar el Teorema 2.3.7. Por el Lema
de Schwarz, φ(B(0, r)) ⊂ B(0, r), luego |f(z)|p = |g(φ(z))|p ≤ h(φ(z)) para
todo z ∈ B(0, r). Ahora bien, h φ ∈ C(B(0, r)) ∩ Arm(B(0, r)), luego, por
la desigualdad anterior y el teorema del valor medio, deducimos
1
2π
∫ 2π
0
|f(reiθ)|p dθ ≤ 1
2π
∫ 2π
0
h(φ(reiθ)) dθ = h(φ(0))
= h(0) =1
2π
∫ 2π
0
h(reiθ) dθ =1
2π
∫ 2π
0
|g(reiθ)|p dθ,
como se querıa demostrar. 2
Teorema 2.3.10. Sean φ : D → D holomorfa, p > 0 y f ∈ H(D). Entonces∫ ∫D|f(φ(z))|p dA(z) ≤
(1 + |φ(0)|1− |φ(0)|
)2 ∫ ∫D|f(z)|p dA(z).
En particular, para cada p ∈ [1,+∞), la aplicacion Cφ es un operador sobre
el espacio de Bergman Bp(D), cuya norma ∥Cφ∥ satisface
∥Cφ∥ ≤(1 + |φ(0)|1− |φ(0)|
)2/p.
Demostracion. Para cada a ∈ D, consideremos el automorfismo φa de D dado
por φa(z) =a−z1−az . Notemos que φa(a) = 0 y que φ−1
a = φa. Sea a = φ(0) y
definamos ψ como ψ := φa φ. Entonces ψ ∈ H(D), ψ(D) ⊂ D, ψ(0) = 0 y
φ = φa ψ. Por el teorema de subordinacion de Littlewood, tenemos∫ 2π
0
|f(φ(reiθ))|p dθ =∫ 2π
0
|f φa ψ(reiθ)|p dθ ≤∫ 2π
0
|f φa(reiθ)|p dθ
para cada r ∈ (0, 1). Multiplicando por r cada miembro de la desigualdad
anterior e integrando entre 0 y 1, conseguimos que∫ ∫D|f(φ(z))|p dA(z) ≤
∫ ∫D|f φa(z)|p dA(z).
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 85
Cambiamos ahora la variable en la segunda integral. Notemos que el jaco-
biano de φa (= φ−1a ) es |φ′
a(z)|2 =(1−|a|2)2|1−az|4 . Entonces∫ ∫
D|f(φ(z))|p dA(z) ≤ (1− |a|2)2
(1− |a|)4
∫ ∫D|f(z)|p dA(z)
=(1 + |a|1− |a|
)2 ∫ ∫D|f(z)|p dA(z),
como se requerıa. 2
2.4. Funciones analıticas acotadas
A continuacion, estudiaremos el espacio vectorial H∞(D) de la fun-
ciones analıticas y acotadas en D. Es un tipo especial de espacio de Hardy,
que tiene unas connotaciones algo distintas a los espacios de Hardy clasicos
Hp(D), a estudiar mas adelante. Estudiaremos en primer lugar el importante
ejemplo de los productos de Blaschke, que son productos de automorfismos
de D. Seguidamente, factorizaremos una funcion de H∞(D) como producto
de un producto de Blaschke que engloba sus ceros y de otra funcion que no
se anula pero que mantiene la norma.
Observemos primero que para una funcion f : D → C, si denotamos
M(f, r) := supθ
|f(reiθ)| (0 ≤ r < 1), entonces f ∈ H∞(D) ⇐⇒ [f ∈ H(D)
y sup0≤r<1
M(f, r) = lımr→1−
M(f, r) < +∞]. Observemos que el supremo coincide
con el lımite pues la funcion r 7→M(f, r) es creciente debido al principio del
modulo maximo.
Se tiene queH(C) = funciones enteras ( H∞(D) ( H(D). Por ejemplo,
si f(z) = 1z−1
y g(z) = 1z−2
, entonces f ∈ H(D) \ H∞(D) y g ∈ H∞(D) \H(C).
Es facil ver, usando el teorema de convergencia deWeierstrass, queH∞(D)
es un espacio de Banach cuando se le dota de la norma del supremo, dada
86 Luis Bernal Gonzalez
por ∥f∥∞ = supz∈D
|f(z)|. De hecho, es un subespacio cerrado del espacio de
Banach (Cb(D), ∥ · ∥∞) de las funciones f : D → C continuas y acotadas. Se
puede probar que H∞(D) no es separable.
2.4.1. Productos de Blaschke
Recordemos que los automorfismos de D son las transformaciones bi-
lineales de la forma eiθ z−a1−az , |a| < 1, θ ∈ R.
Definicion 2.4.1. Un producto de Blaschke finito es o bien una constante
unimodular o bien un producto finito puntual de transformaciones bilineales
del tipo anterior, es decir, una funcion de la forma f(z) = eiθN∏n=1
z−an1−anz , con
θ ∈ R, N ∈ N0 y a1, . . . , aN ∈ D.
Es evidente que f ∈ H∞(D); de hecho, |f(z)| ≤ 1 para todo z ∈ D.
Para pasar a productos de Blaschke infinitos, necesitamos condiciones sobre
el crecimiento de los ceros an y ajustar los coeficientes eiθ en cada factor.
Pero antes de enunciar un resultado que sirve para definir los productos in-
finitos de Blaschke, vamos a recordar en la siguiente proposicion algunas
propiedades sobre convergencia de productos infinitos que usaremos en la
demostracion. Por definicion, si fn : A → C (n ∈ N) es una sucesion de fun-
ciones definidas sobre un mismo subconjunto A de C, se dice que el producto
funcional infinito∞∏n=1
fn converge normalmente en A si el producto numerico
∞∏n=1
(1 + supA |fn − 1|) converge (es decir, si los productos parciales de este
convergen). La segunda parte de la proposicion es una especie de teorema de
convergencia de Weierstrass para productos infinitos.
Proposicion 2.4.1. (a) En las condiciones de la definicion anterior, se tiene
que el producto infinito∞∏n=1
fn converge normalmente en A si y solo si la serie
∞∑n=1
supA |fn − 1| es convergente. Ademas, si tal es el caso, se tiene que los
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 87
productos parciales Pn :=n∏k=1
fk (n ∈ N) convergen uniformemente en A a
una funcion f : A→ C. Esta funcion sera denotada por f =∞∏n=1
fn.
(b) Si G ⊂ C es un abierto, fn∞n=1 ⊂ H(G) y∞∏n=1
fn converge normalmente
en cada compacto K ⊂ G, entonces f :=∞∏n=1
fn ∈ H(G). Ademas, si z0 ∈ G,
entonces el orden del cero z0 para f coincide con la suma los ordenes de z0
para las fn, es decir, orden (z0, f) =∞∑n=1
orden (z0, fn).
Teorema 2.4.2. Sean k ∈ N0, α ∈ C con |α| = 1 y an∞n=1 ⊂ D \ 0 una
sucesion tal que∞∑n=1
(1− |an|) < +∞. Entonces el producto funcional infinito
B(z) := αzk∞∏n=1
|an|an
an − z
1− anz(z ∈ D)
define una funcion B ∈ H(D) tal que |B(z)| < 1 para todo z ∈ D. En
particular, B ∈ H∞(D). Ademas, sus ceros son exactamente los puntos an
(con la multiplicidad dada por el numero de veces que cada uno de ellos
aparece en la sucesion), mas el origen si k > 0.
Por definicion, un producto de Blaschke es un producto de Blaschke finito
o bien una funcion B como la descrita en el teorema anterior, asociada a una
sucesion an∞n=1 ⊂ D\0. Por tanto, una constante unimodular es tambien
un producto de Blaschke. A la sucesion vacıa se le asocia, por convenio, el
producto de Blaschke dado por la funcion constante 1.
Demostracion del Teorema 2.4.2. Supongamos probado que, para cada r ∈(0, 1), el producto converge normalmente en B(0, r). En tal caso, convergerıa
normalmente en cada compacto de D. Ya que cada factor esta enH(D) y tiene
como (unico) cero a an, resulta de la proposicion anterior que B ∈ H(D) y que
sus ceros son los especificados en el enunciado. Puesto que cada factor tiene
modulo que menor que 1 en D, lo mismo ocurrirıa con B. Ası que, fijado un
88 Luis Bernal Gonzalez
r ∈ (0, 1), basta probar la convergencia normal en B(0, r), lo cual, de nuevo
por la proposicion anterior, equivale a probar que∞∑n=1
sup|z|<r
∣∣∣1− |an|an
an−z1−anz
∣∣∣ <+∞. Para ello, fijemos z con |z| < r y observemos que∣∣∣∣1− |an|
an
an − z
1− anz
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ an + |an|z(1− anz)an
∣∣∣∣ (1− |an|) ≤1 + r
1− r(1− |an|).
Se deduce que la suma de la serie anterior es menor o igual que 1+r1−r
∞∑n=1
(1−
|an|) < +∞, luego nuestra serie tambien converge. 2
2.4.2. Teorema de factorizacion de Riesz
El siguiente resultado, conocido como Formula de Jensen, resultara muy
util para estudiar el comportamiento de los ceros y la factorizacion en los es-
pacios de Hardy. Su prueba se basa en la aplicacion del teorema del valor
medio a una funcion armonica adecuada.
Proposicion 2.4.3. Sea f ∈ H(B(0, r))\0 con f(0) = 0, y sean a1, . . . , aN
sus ceros en B(0, r), donde r ∈ (0,+∞). Entonces
|f(0)|N∏n=1
r
|an|= exp
1
2π
∫ 2π
0
ln |f(reiθ)| dθ.
Si fuese f(0) = 0 con multiplicidad m, la formula serıa la misma salvo que
hay que sustituir en el primer miembro |f(0)| por |c|rm, donde c = lımz→0
f(z)zm
,
y los a1, . . . , aN serıan los ceros no nulos de f .
En el proximo teorema, unido al Teorema 2.4.2, se afirma que una sucesion
an∞n=1 ⊂ D es la sucesion de ceros de alguna funcion analıtica y acotada
en D si solo si se cumple la condicion de convergencia para productos de
Blaschke.
Teorema 2.4.4. Sea f ∈ H∞(D)\0 y sea an∞n=1 la sucesion de ceros de
f , enumerados segun su multiplicidad. Entonces∞∑n=1
(1− |an|) < +∞.
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 89
Demostracion. Si hay un numero finito de ceros, no hay nada que probar. Si
hay un numero infinito, debe ser |an| → 1 (por el Principio de Prolongacion
Analıtica), ası que podemos suponer, con un cambio de orden y desplazamien-
to de los ındices si es preciso, que el origen es m-multiple con m ∈ N0 y que
los ceros no nulos cumplen 0 < |a1| ≤ |a2| ≤ · · · . Llamemos c := lımz→0
f(z)zm
∈C \ 0. De acuerdo con la formula de Jensen, tomando logaritmos, tenemos
para todo r ∈ (0, 1) que∑|an|<r
ln r|an| = − ln(|c|rm) + 1
2π
∫ 2π
0ln |f(reiθ)| dθ ≤ − ln(|c|rm) + C,
donde C es una constante finita, debido a que f es acotada.
Fijemos un N ∈ N. Para cada r > |aN | tenemos queN∑n=1
ln r|an| ≤ [primer
miembro de la expresion anterior] ≤ − ln(|c|rm)+C. Haciendo r → 1, resultaN∑n=1
ln 1|an| ≤M = constante ∈ (0,+∞) para todo N ∈ N, lo que implica que
la serie∞∑n=1
ln 1|an| converge. Ya que es una serie de terminos positivos, del
hecho lımt→0
ln(1+t)t
= 1 y del criterio de comparacion por paso al lımite se
deduce que∞∑n=1
(1− |an|) tambien converge. 2
Corolario 2.4.5. Si f ∈ H∞(D) y existe una sucesion an∞n=1 ⊂ ceros def tal que
∞∑n=1
(1− |an|) = +∞ entonces f ≡ 0.
Podemos decir en conclusion que si una funcion f ≡ 0 acotada tiene
infinitos ceros en D, estos deben tender rapidamente a ∂D.
Teorema 2.4.6. [Factorizacion de Riesz en H∞ por productos de Blaschke]
Sean f ∈ H∞(D) \ 0 y B el producto de Blaschke formado con los ceros
de f . Entonces existe g ∈ H∞(D) tal que g(z) = 0 para todo z ∈ D,
∥g∥∞ = ∥f∥∞ y f = g ·B.
Demostracion. Podemos suponer que f tiene infinitos ceros (si tuviese un
numero finito de ceros, la demostracion serıa similar, pero mas sencilla), y
90 Luis Bernal Gonzalez
los disponemos en sucesion, teniendo en cuenta sus multiplicidades. Recorde-
mos que el producto B es convergente porque f es acotada. Ya que B tiene
exactamente los mismos ceros que f con las mismas multiplicidades, se tiene
que g := fB∈ H(D), y no se anula en D. Evidentemente, f = g ·B. Sea Bn el
producto de Blaschke finito formado con los n primeros ceros. Como |Bn| < 1
en D, es claro que ∥gn∥∞ ≥ ∥f∥∞ para todo n ∈ N, donde gn := fBn
. Aho-
ra bien, fijado n, se tiene que lım|z|→1
|Bn(z)| = 1. Fijemos momentaneamente
r ∈ (0, 1) y ε ∈ (0, 1). Entonces existe R ∈ (r, 1) tal que |Bn(z)| > 1 − ε si
|z| = R. Por tanto, M(gn, r) ≤ M(gn, R) ≤ ∥f∥∞1−ε , de donde se deduce que
∥gn∥∞ = sup0<r<1
M(gn, r) ≤ ∥f∥∞1−ε para cada ε ∈ (0, 1). Luego ∥gn∥∞ ≤ ∥f∥∞
y, en consecuencia, ∥gn∥∞ = ∥f∥∞.
Por otra parte, como |B| < 1 en D, resulta que ∥g∥∞ ≥ ∥f∥∞. Pero
gn → g puntualmente en D y |gn(z)| ≤ ∥f∥∞ para todo n ∈ N y todo z ∈ D,
ası que |g(z)| ≤ ∥f∥∞ para todo z ∈ D, luego ∥g∥∞ ≤ ∥f∥∞, de donde
deducimos ∥g∥∞ = ∥f∥∞. 2
2.5. Espacios de Hardy
Por ultimo, versaremos sobre los espacios de Hardy sobre el disco
unidad, denotados por Hp(D) o simplemente Hp, donde p ∈ (0,+∞). Cada
espacio de Hardy de orden p se define como el conjunto Hp = f ∈ H(D) :
sup0≤r<1
Mp(f, r) < +∞, donde Mp(f, r) :=(
12π
∫ 2π
0|f(reiθ)|p dθ
)1/p.
A partir de las definiciones y de la desigualdad de Holder, se deduce con
facilidad que H∞ ⊂ Hp ⊂ Hq con 0 < q < p < +∞.
Gracias al Teorema 2.3.6 y al Corolario 2.3.8, se tiene que, para cada f ∈H(D) y cada p ∈ (0,+∞), la funcion r 7→ Mp(f, r) es creciente. Por tanto,
∥f∥p := sup0≤r<1
Mp(f, r) = lımr→1
Mp(f, r). Entonces f ∈ Hp ⇔ ∥f∥p < +∞.
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 91
Como veremos en el proximo teorema, para p ≥ 1 se tiene que Hp es, de
hecho, un espacio de Banach. Y si p = 2, es ademas un espacio de Hilbert.
Teorema 2.5.1. (a) Si p ≥ 1, la aplicacion ∥ · ∥p es una norma sobre Hp
que hace de el un espacio de Banach.
(b) Si p ≥ 1, la convergencia en Hp es mas fuerte que la convergencia
uniforme en compactos de D.
(c) Si f(z) =∞∑n=0
anzn ∈ H(D), entonces f ∈ H2 ⇔
∞∑n=0
|an|2 < +∞.
Ademas, ∥f∥2 =( ∞∑n=0
|an|2)1/2
, y H2 es un espacio de Hilbert con el
producto escalar ⟨f, g⟩ :=∞∑n=0
anbn, donde f(z) =∞∑n=0
anzn y g(z) =
∞∑n=0
bnzn.
Demostracion. Fijemos un numero p ∈ [1,+∞), una funcion f ∈ Hp y un
compacto K ⊂ D. Entonces existe r ∈ (0, 1) tal que K ⊂ B(0, r). Escojamos
R ∈ (r, 1) y llamemos Γ a la circunferencia Γ ≡ t = Reiθ, con θ ∈ [0, 2π].
Por la formula de la integral de Cauchy, se tiene que f(z) = 12πi
∮Γf(t)t−z dt
para todo z ∈ K. Entonces, si z ∈ K, se deduce para todo R ∈ (r, 1) que
|f(z)| =∣∣∣∣ 1
2πi
∫ 2π
0
f(Reiθ)Rieiθ
Reiθ − zdθ
∣∣∣∣ ≤ 1
2π
∫ 2π
0
|f(Reiθ)|R− r
dθ =M1(f,R)
R− r≤ ∥f∥pR− r
,
para todo R ∈ (r, 1), donde la ultima desigualdad es valida por la desigualdad
de Holder. Por tanto
supz∈K
|f(z)| ≤ ∥f∥p1− r
. [2]
De aquı se deduce (b), pues si fnn≥1 ⊂ Hp ∋ f y fn → f en Hp, entonces
supz∈K
|fn(z)− f(z)| ≤ ∥fn−f∥p1−r → 0 (n→ ∞) para cada compacto K ⊂ D.
En cuanto a (a), si f, g ∈ Hp y α ∈ C, de la igualdad |αf |p = |α|p|f |p yde la desigualdad
(a+ b)p ≤ 2p(ap + bp) (a, b ≥ 0)
92 Luis Bernal Gonzalez
resulta que αf, f + g ∈ Hp y ∥αf∥p = |α| · ∥f∥p. La desigualdad ∥f +
g∥p ≤ ∥f∥p+∥g∥p se obtiene de la desigualdad de Minkowski para integrales.
Ası que Hp es un espacio vectorial y ∥ · ∥p es una norma sobre el.
Queda probar que Hp es completo para la distancia d(f, g) := ∥f − g∥p.Fijemos pues una sucesion de Cauchy (fn) ⊂ Hp para d. Ahora bien, por
la desigualdad [2], aplicada a fm − fn (m,n ∈ N), deducimos que (fn) es de
Cauchy para la metrica que genera la topologıa de H(D), que es un espacio
metrico completo, lo que implica que existe f ∈ H(D) tal que fn → f
compactamente en D. Probemos que f ∈ Hp y que fn → f en Hp. Dado
ε > 0, podemos encontrar un N ∈ N tal que ∥fn − fm∥p < ε para todo
n,m ≥ N . Por tanto, para todo r ∈ [0, 1), y todo m,n ∈ N, se tiene que
Mp(fn − fm, r) < ε. Ya que fn → f uniformemente en |t| = r, podemos
intercambiar lımn→∞
con∫ 2π
0, de donde resulta Mp(f − fm, r) ≤ ε para cada
r ∈ [0, 1) y cada m ≥ N . Haciendo m = N , obtenemos f − fN ∈ Hp, luego
f ∈ Hp. Pero tambien obtenemos (tomando sup0≤r<1
) que ∥f − fm∥p ≤ ε para
todo m ≥ N , ası que fm → f en ∥ · ∥p.
Probemos (c). Un calculo directo, usando que |f(reiθ)|2 = f(reiθ)f(reiθ) =( ∞∑n=0
anrneinθ
)( ∞∑k=0
akrke−ikθ
), prueba queM2(f, r) =
( ∞∑n=0
|an|2r2n)1/2
. Luego
∥f∥22 =∞∑n=0
|an|2, de donde se deduce que f ∈ H2 si y solo si la ultima serie
es convergente. Por el apartado (a), H2 es completo.
Que ⟨·, ·⟩ esta bien definido se ve gracias a la desigualdad de Cauchy-
Schwarz, y es inmediato comprobar que es un producto escalar. Ası que H2
es un espacio de Hilbert. 2
En el caso p ∈ (0, 1), la aplicacion ∥ · ∥p ya no es una norma, pero Hp
sigue siendo un espacio vectorial, y ademas la aplicacion d(f, g) := ∥f − g∥ppes una distancia sobre el. Para demostrarlo, se utiliza que, para todo p ∈ (0, 1)
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 93
y todo a, b ≥ 0, se tiene (a+b)p ≤ ap+bp. Puede probarse que dicha distancia
es completa.
2.5.1. Estructura de las funciones de Hp
De modo parecido a como ocurrıa con H∞, podemos “limpiar” cada
funcion Hp de sus ceros sin aumentar la norma. Recordemos que, ya que
sup0≤r<1
∫ 2π
0ln |f(reiθ)| dθ < +∞ para toda funcion f ∈ Hp, los ceros (an) de
una funcion de Hp cumplen∑
(1− |an|) < +∞ [ver la prueba del Teorema
2.4.4], luego el correspondiente producto de Blaschke esta bien definido.
Teorema 2.5.2. [Teorema de Riesz de factorizacion en Hp por productos de
Blaschke] Sean p > 0, f ∈ Hp \ 0 y B el producto de Blaschke formado
con los ceros de f . Entonces existe g ∈ Hp tal que g no se anula, f = g ·By ∥g∥p = ∥f∥p.
Demostracion. La prueba sigue las mismas lıneas del correspondiente teo-
rema para H∞. Ası que mantenemos las notaciones del mismo. Definiendo
g = fB, se tiene que g ∈ H(D) y no se anula en D. Ya que |B| < 1, resulta
que |g| ≥ |f | en D, luego ∥g∥p ≥ ∥f∥p.
Sea ahora gn := fBn
. Fijado n ∈ N, lım|z|→1
|Bn(z)| = 1, luego |Bn(reiθ)| →
1 (r → 1−) uniformemente en θ. Por tanto ∥f∥p = lımr→1
Mp(gn · Bn, r) =
lımr→1
12π
∫ 2π
0|gn(reiθ)|p|Bn(re
iθ)|p dθ1/p
. Ahora bien, fijado ε ∈ (0, 1), existe
algun r0 = r0(ε) ∈ (0, 1) tal que |Bn(reiθ)| > 1 − ε para todo θ ∈ [0, 2π]
y todo r > r0. Luego ∥f∥p ≥ (1 − ε) lımr→1
Mp(gn, r) = (1 − ε)∥gn∥p para
cada ε ∈ (0, 1), de donde inferimos que ∥f∥p ≥ ∥gn∥p para todo n ∈ N.
Pero |gn| ≥ |f | en D porque |Bn| < 1 en D, luego ∥f∥p = ∥gn∥p para cada
n ∈ N. Ahora bien, para cada z ∈ D, |gn(z)| ↑ |g(z)|, y del teorema de la
convergencia monotona se deduce que lımn→∞
Mp(gn, r) = Mp(g, r) para cada
r ∈ (0, 1). Pero Mp(gn, r) ≤ ∥gn∥p = ∥f∥p para todo n ∈ N. Esto implica que
94 Luis Bernal Gonzalez
Mp(g, r) ≤ ∥f∥p (r ∈ (0, 1)). Tomando ahora supremos en r ∈ (0, 1), resulta
∥g∥p ≤ ∥f∥p, luego g ∈ Hp y ∥g∥p = ∥f∥p. 2
Sabemos que H∞ ⊂ Hp para cada p > 0. Vamos a ver que, de hecho,
toda funcion de Hp es el cociente de algun par de funciones holomorfas y
acotadas.
Teorema 2.5.3. [de F. y R. Nevanlinna] Sea p > 0 y f ∈ Hp. Entonces
existen φ, ψ ∈ H∞ tales que ψ no se anula en D y f = φ/ψ.
Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que f ≡ 0.
Tomemos r > 0 tal que f no se anula en |z| = r. Antes de seguir, observemos
que, al ser f ∈ Hp, se tiene que M := sup0≤r<1
12π
∫ 2π
0ln+ |f(reiθ)| dθ < +∞.
Fijemos r ∈ (0, 1) y sean a1, . . . , aN los ceros de f en rD. Gracias a la
formula de Poisson-Jensen (ver Ejercicio 32), se tiene para todo z ∈ rD que
f(z) = gr(z) · exp
1
2π
∫ 2π
0
ln |f(reiθ)| · reiθ + z
reiθ − zdθ
,
donde hemos denotado gr(z) = CN∏n=1
r(an−z)r2−anz , siendo C una constante de
modulo 1. Notemos que gr(z) ∈ H(rD) y que |gr| < 1 en rD. Entonces
podemos escribir en rD que f = φr/ψr, donde
φr(z) := gr(z) · exp− 1
2π
∫ 2π
0
ln− |f(reiθ)| · reiθ + z
reiθ − zdθ
y ψr(z) := exp
− 1
2π
∫ 2π
0
ln+ |f(reiθ)| · reiθ + z
reiθ − zdθ
.
Elijamos ahora una sucesion rk ↑ 1 tal que f(z) = 0 para todo z con
|z| = rk (k ∈ N). Definamos
Φk(z) := φrk(rkz) y Ψk(z) := ψrk(rkz) (z ∈ D, k ∈ N).
Entonces Φk y Ψk ∈ H(D), |Φk| ≤ 1, |Ψk| ≤ 1 en D y f(rkz) = Φk(z)Ψk(z)
para
cada z ∈ D y cada k ∈ N. Ahora bien, por el Teorema de Montel, (Φk)
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 95
y (Ψk) son familias relativamente compactas. En consecuencia, existe una
subsucesion (kj) ⊂ N, ası como funciones φ, ψ ∈ H(D), tales que Φkj → φ
y Ψkj → ψ compactamente en D. Necesariamente, |φ| ≤ 1 y |ψ| ≤ 1 en
D. Por otra parte, f(rkjz) → f(z) compactamente en D cuando k → ∞.
Para concluir que f = φψ, basta probar que ψ ≡ 0 [pues del Teorema de
Hurwitz se deducirıa que ψ(z) = 0 para todo z ∈ D]. Para verlo, observemos
que |Ψk(0)| = |ψrk(0)| = exp− 1
2π
∫ 2π
0ln+ |f(rkeiθ)| dθ
≥ e−M = constante
> 0. Como Ψkj → ψ, resulta |ψ(0)| ≥ e−M , luego ψ ≡ 0. 2
2.5.2. Integrales de Poisson-Stieltjes
Recordemos la definicion de nucleo de Poisson del disco unidad. Es
facil verificar las igualdades que aparecen en la misma. Denotemos por T la
circunferencia unidad, es decir, T = z ∈ C : |z| = 1.
Definicion 2.5.1. La funcion nucleo de Poisson se define por las igualdades
Pr(θ) :=+∞∑
n=−∞
r|n|einθ =1− r2
1 + r2 − 2r cos θ= Re
1 + reiθ
1− reiθ(0 ≤ r < 1, θ ∈ R).
Definicion 2.5.2. Sea φ : T → R una funcion tal que φ ∈ L1(T). La
transformada de Poisson o integral de Poisson de φ se define como la funcion
P [φ] : D → R dada por
P [φ](z) :=1
2π
∫ 2π
0
φ(eiθ) · Pr(θ − α) dθ para todo z = reiα ∈ D.
De teoremas conocidos de analiticidad y derivabilidad de integrales de-
pendientes de un parametro, obtenemos que P [φ] ∈ Arm(D) para cada
φ ∈ L1(T). Como caso particular, el Teorema de Schwarz, que resuelve el
Problema de Dirichlet en un disco, afirma que, dada φ ∈ C(T), se tiene que
existe una unica funcion F ∈ C(D)∩Arm(D) tal que F |T = φ, y que F viene
96 Luis Bernal Gonzalez
dada por
F (z) =
P [φ](z) si z ∈ D
φ(z) si z ∈ T.
Notemos que, si φ ∈ C(T) y µ(θ) :=∫ θ0φ(eit) dt, entonces µ ∈ C1[0, 2π] (en
particular, µ es de variacion acotada en [0, 2π]) y P [φ](z) = 12π
∫ 2π
0Pr(θ −
α) dµ(θ).
Generalicemos esta idea. Recordemos que una funcion µ : [a, b] → R es
de variacion acotada cuando existeM ∈ (0,+∞) tal que, para toda particion
t0 = a < t1 < · · · < tn = b de [a, b], se tiene quen∑k=1
|µ(tk)− µ(tk−1)| ≤M .
El conjunto de tales funciones se denota por BV [a, b], y es facil ver que es
un espacio vectorial. Recordemos algunas propiedades.
Proposicion 2.5.4. Se verifican las siguientes propiedades:
Si µ : [a, b] → R esta en BV [a, b], existen funciones µ1, µ2 : [a, b] → R
crecientes tales que µ = µ1 − µ2. En particular, BV [a, b] es la variedad
lineal generada por las funciones monotonas.
Se cumplen las siguientes relaciones de inclusion: C[a, b] ⊂ BV [a, b],
C[a, b] ⊃ BV [a, b] y C1[a, b] ⊂ BV [a, b].
Si µ ∈ BV [a, b], entonces µ es continua salvo en un conjunto nume-
rable de puntos, donde tiene discontinuidades de salto. Ademas, existe
derivada µ′(θ) ∈ R ect θ ∈ [a, b].
Definicion 2.5.3. Consideremos dos funciones f, g : [a, b] → R. Diremos
que f es Riemann-Stieltjes integrable respecto de g en [a, b] cuando existe
un numero A ∈ R con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe una
particion P0 = P0(ε) ∈ P [a, b] tal que, para toda P = a = t0 < t1 <
· · · < tN = b ∈ P [a, b] con P ⊃ P0 y todo sistema de puntos ξk ∈ [tk−1, tk]
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 97
(k = 1, . . . , N), se tiene∣∣∣∣∣A−N∑k=1
f(ξk)(g(tk)− g(tk−1))
∣∣∣∣∣ < ε.
En tal caso, diremos que A es la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto
de g, y escribiremos∫ baf dg = A.
Es facil probar que el numero A, si existe, es unico. El conjunto de las
funciones que son Riemann-Stieltjes integrables respecto de g en [a, b] sera de-
notado por RSg[a, b].
Proposicion 2.5.5. Se verifican las siguientes propiedades:
(a) Si g(x) = x, entonces f ∈ RSg[a, b] ⇔ f ∈ R[a, b]. En tal caso,∫ b
a
f dg =
∫ b
a
f(x) dx.
(b) RSg[a, b] es un espacio vectorial. Especıficamente, si f, h ∈ RSg[a, b] y
α, β ∈ R, entonces αf + βh ∈ RSg[a, b] y∫ b
a
(αf + βh) dg = α
∫ b
a
f dg + β
∫ b
a
h dg.
(c) Si f ∈ RSg[a, b] ∩RSh[a, b] y α, β ∈ R, entonces f ∈ RSαg+βh[a, b] y∫ b
a
f d(αg + βh) = α
∫ b
a
f dg + β
∫ b
a
f dh.
(d) Si c ∈ (a, b) y f ∈ RSg[a, b], entonces f ∈ RSg[a, c] ∩RSg[c, b] y∫ b
a
f dg =
∫ c
a
f dg +
∫ b
c
f dg.
(e) Si f ∈ C[a, b] y g ∈ BV [a, b], entonces f ∈ RSg[a, b].
(f) Si f ∈ BV [a, b] y g ∈ C[a, b], entonces f ∈ RSg[a, b].
98 Luis Bernal Gonzalez
(g) Es valida la formula de integracion por partes. Especıficamente, si f ∈RSg[a, b], entonces g ∈ RSf [a, b] y∫ b
a
g df = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ b
a
f dg.
(h) Si f ∈ C[a, b] y g ∈ C1[a, b], entonces existe∫ baf dg =
∫ baf(x)g′(x) dx.
Definicion 2.5.4. Si µ ∈ BV [0, 2π], diremos que la funcion u = P [dµ] :
D → R dada por
u(z) =1
2π
∫ 2π
0
Pr(θ − α) dµ(θ) (z = reiα ∈ D)
es una integral de Poisson-Stieltjes.
En la siguiente proposicion se recuerdan algunas propiedades elementales
del nucleo de Poisson.
Proposicion 2.5.6. Para cada r ∈ (0, 1), la funcion Pr es positiva, par y
2π-periodica en R. Ademas, es estrictamente decreciente en [0, π] y
1
2π
∫ 2π
0
Pr(θ) dθ = 1.
Nos preguntamos cuando una funcion u ∈ Arm(D) es una integral de
Poisson-Stieltjes. La respuesta nos la dara un proximo resultado, el cual nos
dice que esto ocurre cuando las medias integrales de su modulo en circun-
ferencias concentricas estan acotadas. Pero antes necesitaremos el siguiente
lema, cuya prueba no sera dada. Que una familia de funciones fα : [a, b] → R
(α ∈ I) sea “uniformemente de variacion acotada” en [a, b] significa que cada
una de ellas es de variacion acotada en [a, b] pero que, ademas, la constante
“M” de la definicion no depende de α.
Lema 2.5.7. [Principio de seleccion de Helly] Sea µn : [a, b] → R (n ∈ N)
una sucesion uniformemente acotada de funciones uniformemente de variacion
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 99
acotada. Entonces existen una subsucesion (µnk) de (µn) y una funcion µ ∈
BV [a, b] tales que µnk→ µ puntualmente en [a, b] y, para cada funcion
φ ∈ C[a, b], se verifica que
lımk→∞
∫ b
a
φ(t) dµnk(t) =
∫ b
a
φ(t) dµ(t).
Teorema 2.5.8. [Caracterizacion de las integrales de Poisson-Stieltjes]
Sea u : D → R una funcion. Son equivalentes:
(a) u es una integral de Poisson-Stieltjes.
(b) Existen u1, u2 ∈ Arm(D) tales que u = u1 − u2 y u1, u2 ≥ 0 en D.
(c) u ∈ Arm(D) y sup0≤r<1
∫ 2π
0|u(reiθ)| dθ < +∞.
Demostracion. (a) ⇒ (b): Por hipotesis, existe µ ∈ BV [0, 2π] tal que u(z) =
12π
∫ 2π
0Pr(θ − α) dµ(θ) para todo z = reiα ∈ D. Ahora bien, existen µ1, µ2 :
[0, 2π] → R crecientes tales que µ = µ1 − µ2. Entonces u = u1 − u2, donde
uj(z) := 12π
∫ 2π
0Pr(θ − α) dµj(θ) (j = 1, 2) son armonicas, y ademas son
mayores o iguales a cero ya que Pr(θ) > 0 para todo θ.
(b) ⇒ (c): Por hipotesis, existen u1, u2 ∈ Arm(D) tales que u1, u2 ≥0 y u = u1 − u2. Por tanto, u ∈ Arm(D). Fijado r ∈ [0, 1), |u(reiθ)| ≤u1(re
iθ) + u2(reiθ) para todo θ ∈ [0, 2π]. Gracias a la propiedad del valor
medio, obtenemos que∫ 2π
0|u(reiθ)| dθ ≤ (u1(0)+u2(0))2π = constante< +∞
para cada r ∈ [0, 1).
(c) ⇒ (a): Sea u ∈ Arm(D) tal que sup0≤r<1
∫ 2π
0|u(reiθ)| dθ =: C < +∞.
Hemos de encontrar una funcion µ ∈ BV [0, 2π] tal que u = P [dµ]. Para cada
r ∈ (0, 1), definimos la funcion µr : [0, 2π] → R mediante
µr(t) :=
∫ t
0
u(reiθ) dθ.
100 Luis Bernal Gonzalez
Entonces µr(0) = 0 y, para cada particion 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 2π,
resulta que
n∑j=1
|µr(tj)− µr(tj−1)| ≤∫ 2π
0
|u(reiθ)| dθ ≤ C.
Entonces las funciones µr son uniformemente acotadas y uniformemente de
variacion acotada en [0, 2π]. De acuerdo con el lema anterior, existe una
sucesion creciente (rn) que tiende a 1 tal que µrn(t) → µ(t) para todo t ∈[0, 2π], donde µ ∈ BV [0, 2π]. Ademas, para cada φ ∈ C[0, 2π], se cumple
la igualdad integral dada en dicho lema. Si combinamos este hecho con la
formula de Poisson, obtenemos en definitiva que, para cada z = reiθ ∈ D,
u(z) = lımn→∞
u(rnz) = lımn→∞
1
2π
∫ 2π
0
Pr(θ − t)u(rneit) dt
= lımn→∞
1
2π
∫ 2π
0
Pr(θ − t) dµrn(t) =1
2π
∫ 2π
0
Pr(θ − t) dµ(t) = P [dµ](z),
como se requerıa. 2
De la prueba del teorema anterior se deduce la ası denominada repre-
sentacion integral de Herglotz : toda funcion u ∈ Arm(D) con u ≥ 0 es la
integral de Poisson-Stieltjes de alguna funcion creciente µ.
2.5.3. Existencia de lımites radiales
Utilizando el ultimo teorema demostrado, probaremos la existencia de
lımites radiales finitos f∗(eiθ) en casi todo θ ∈ [0, 2π] para cada f ∈ Hp (0 <
p ≤ +∞). Despues se vera como las correspondientes funciones f∗ tienen
propiedades adecuadas de integrabilidad y sirven para definir las normas en
los Hp.
Teorema 2.5.9. Sean u : D → R una funcion, µ ∈ BV [0, 2π], θ0 ∈ [0, 2π]
y φ ∈ L1(T). Se verifica:
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 101
(a) Si u = P [dµ] y existe µ′(θ0) ∈ R, entonces existe el limite radial
lımr→1
u(reiθ0) = µ′(θ0).
(b) Si u ∈ Arm(D) y sup0≤r<1
∫ 2π
0|u(reiθ)| dθ < +∞, entonces u tiene lımite
radial finito =: u∗(eiθ) ect θ ∈ [0, 2π].
(c) Si u = P [φ], entonces existe u∗(eiθ) = φ(eiθ) ect θ ∈ [0, 2π].
Demostracion. La parte (b) se deduce de (a) y del Teorema 2.5.8, ya que
una funcion de BV [0, 2π] tiene derivada finita en casi todo θ. La parte (c)
es el caso especial µ(θ) :=∫ θ0φ(eit) dt, pues en tal caso se tiene que µ es de
variacion acotada y existe µ′(θ) = φ(eiθ) ect θ ∈ [0, 2π].
Probemos (a). Podemos suponer que θ0 = 0, ası que se ha de probar que
lımr→1
u(r) = A := µ′(0). Si utilizamos que 12π
∫ π−π Pr(θ) dθ = 1 y a continuacion
usamos integracion por partes, tenemos que
u(r)− A =1
2π
∫ π
−πPr(θ) dµ(θ)− A =
1
2π
∫ π
−πPr(θ) d(µ(θ)− Aθ)
=1
2π[Pr(θ)(µ(θ)− Aθ)]θ=πθ=−π −
1
2π
∫ π
−π(µ(θ)− Aθ)P ′
r(θ) dθ.
Notemos que 12π[Pr(θ)(µ(θ)− Aθ)]θ=πθ=−π → 0 cuando r → 1.
Para cada δ ∈ (0, π) fijo, resulta que |P ′r(θ)| ≤
2r(1−r2)(1−2r cos δ+r2)2
→ 0 (r → 1)
si 0 < δ ≤ |θ| ≤ π, luego
lımr→1
1
2π
∫δ≤|θ|≤π
P ′r(θ)(µ(θ)− Aθ) dθ = 0.
Esto conlleva que, para cada δ ∈ (0, 2π), u(r) = A + α(δ, r) + I(δ, r), donde
lımr→1
α(δ, r) = 0 e
I(δ, r) := − 1
2π
∫ δ
−δ(µ(θ)−Aθ)P ′
r(θ) dθ =1
π
∫ δ
0
(µ(θ)− µ(−θ)2θ
−A)θ(−P ′
r(θ)) dθ.
Dado ε > 0, escojamos δ ∈ (0, π) tal que∣∣∣µ(θ)−µ(−θ)2θ
− A∣∣∣ ≤ ε para todo θ ∈
(0, δ). Ya que cos θ es decreciente en [0, π], tenemos que Pr(θ) es decreciente
102 Luis Bernal Gonzalez
tambien, luego |P ′r(θ)| = −P ′
r(θ) en [0, π]. Y ya que P ′r(θ) es impar en [−π, π],
resulta |P ′r(θ)| = P ′
r(θ) en [−π, 0], luego |θ||P ′r(θ)| = θ(−P ′
r(θ)) en [−π, π].Por tanto, |I(δ, r)| ≤ ε
π
∫ δ0|θ||P ′
r(θ)| dθ ≤ επ
∫ π−π θ(−P
′r(θ)) dθ. Integrando por
partes, obtenemos que
|I(δ, r)| ≤ ε
π
[−θPr(θ)]θ=πθ=−π +
∫ π
−πPr(θ) dθ
=ε
π
2π
−1 + r
1 + r+ 2π
< 2ε.
Resumiendo, u(r) = A + [un termino con valor absoluto < 2ε] + α(δ, r).
Para el ε > 0 y el δ > 0 fijados, tomemos r0 ∈ (0, 1) tal que |α(δ, r)| < ε
para todo r ∈ (r0, 1). Obtenemos finalmente que |u(r) − A| < 3ε para cada
r ∈ (r0, 1), lo que implica que lımr→1
u(r) = A. 2
Vamos a ver que podemos incluso afinar la existencia de limites radiales.
Definicion 2.5.5. Se dice que una funcion f : D → C tiene limite no-
tangencial L en un punto eiθ0 ∈ T cuando
lımz→eiθ0 , z∈Sα(θ0)
f(z) = L
para todo α ∈ (0, π2), donde Sα(θ0) := z ∈ D : | arg(eiθ0 − z)| < α.
Teorema 2.5.10. [Teorema de Fatou del lımite no tangencial]
Si f ∈ H∞, entonces el lımite radial f ∗(eiθ) := lımr→1
f(reiθ) existe ect θ ∈[0, 2π]. Ademas, si θ0 es tal que existe f ∗(eiθ0), entonces f tiene lımite
no-tangencial en eiθ0 y coincide con f ∗(eiθ0).
Demostracion. Ya que f = u + iv es acotada, lo mismo ocurre con u y
v, luego estas funciones cumplen la condicion del apartado (b) del teorema
anterior. Por tanto u∗(eiθ), v∗(eiθ) existen (y son finitas porque f es acotada)
ect θ, luego existe f ∗(eiθ) (y es finita) ect θ ∈ [0, 2π]. Sea ahora t0 = eiθ ∈ T
un punto tal que existe f ∗(t0) =: L (∈ C).
Hemos de probar que, dado α ∈ (0, π2), se tiene f(z) → L (z → t0, z ∈
Sα(θ0)). Mediante una traslacion y una rotacion, podemos suponer que f ∈
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 103
H∞(B(1, 1)), de modo que existe lımx→0+
f(x) = L. Si δ ∈ (0, 1), se tiene
δB(1, 1) ⊂ B(1, 1), luego fn(z) := f(z/n)∞n=1 ⊂ H∞(B(1, 1)), ası que (fn)
es una sucesion de funciones holomorfas uniformemente acotadas en B(1, 1).
Ademas, para cada x ∈ (0, 1), la sucesion fn(x)∞n=1 converge (a L ∈ C).
Por el Teorema de Vitali, existe una funcion F ∈ H(B(1, 1)) tal que fn → F
compactamente. Pero fn → L puntualmente en (0, 1), ası que F |(0,1) ≡ L. Por
el Principio de Prolongacion Analıtica, F ≡ L en B(1, 1). Por tanto fn → L
uniformemente en cada compacto de B(1, 1), en particular en
K := z : | arg z| ≤ α ycosα
2≤ |z| ≤ cosα (⊂ B(1, 1)),
donde α ∈ (0, π/2) se ha prefijado.
Fijemos ε > 0. Hemos de probar que lımz→0, z∈Mα
f(z) = L, donde Mα :=
z ∈ B(1, 1) : | arg z| ≤ α. Es decir, se ha de demostrar que existe δ > 0 tal
que, si z ∈ B(0, δ)∩Mα, entonces |f(z)−L| < ε. Ya que f(z/n) → L (n→ ∞)
uniformemente en K, podemos encontrar un n0 ∈ N tal que |f(z) − L| < ε
para todo z ∈∪n≥n0
1nK. Por tanto, basta tomar δ > 0 tal que δ < cosα
n0. 2
Podemos ahora establecer el siguiente resultado auxiliar, que es intere-
sante por sı mismo.
Lema 2.5.11. Si B es un producto de Blaschke con ceros an (n ≥ 1) tales
que∞∑n=1
(1− |an|) < +∞,
entonces existe el lımite radial y no tangencial B∗(eiθ) ect θ ∈ [0, 2π], y
ademas |B∗(eiθ)| = 1 ect θ ∈ [0, 2π].
Demostracion. Gracias a los Teoremas 2.4.2 y 2.5.10, se tiene la primera
parte. Es obvio que |B∗(eiθ)| ≤ 1 en aquellos θ en los que existe B∗(eiθ).
Probemos que |B∗(eiθ)| ≥ 1 ect θ.
104 Luis Bernal Gonzalez
Recordemos que la funcion r ∈ [0, 1) 7→ M1(f, r) ∈ R es creciente para
cada f ∈ H(D), luego, si f ∈ H∞, del teorema de la convergencia dominada
de Lebesgue se deduce que, para cada r ∈ [0, 1),∫ 2π
0
|f(reiθ)| dθ ≤ lıms→1
∫ 2π
0
|f(seiθ)| dθ
=
∫ 2π
0
lıms→1
|f(seiθ)| dθ =∫ 2π
0
|f ∗(eiθ)| dθ.
Aplicando este resultado a f = BBn
, donde Bn es el producto de Blaschke
parcial n-esimo, y teniendo en cuenta que |B∗n(e
iθ)| ≡ 1 para todo n ∈ N,
resulta ∫ 2π
0
∣∣∣∣ B(reiθ)
Bn(reiθ)
∣∣∣∣ dθ ≤ ∫ 2π
0
|B∗(eiθ)| dθ.
PeroBn → B (n→ ∞) uniformemente en |z| = r, luego 2π ≤∫ 2π
0|B∗(eiθ)| dθ.
Por reduccion al absurdo, supongamos que existeA ⊂ [0, 2π] medible-Lebesgue
con m(A) > 0 tal que |B∗(eiθ)| < 1 para todo θ ∈ A. Entonces 2π ≤∫A|B∗(eiθ)| dθ +
∫[0,2π]\A |B
∗(eiθ)| dθ < 2π, que es claramente una contradic-
cion. 2
El teorema de representacion de los hermanos Nevanlinna permite de-
ducir propiedades de las funciones de Hp a partir de las correspondientes
propiedades de las funciones de H∞. Por ejemplo, el comportamiento fron-
terizo puede ahora analizarse.
Teorema 2.5.12. Sean p ∈ (0,+∞) y f ∈ Hp. Tenemos:
(a) El limite no tangencial f ∗(eiθ) existe y es finito ect θ.
(b) Si f ≡ 0, entonces ln |f∗| ∈ L1(T).
(c) f ∗ ∈ Lp(T).
(d) Si f ∗(eiθ) = 0 en un subconjunto A ⊂ [0, 2π] con m(A) > 0, entonces
f ≡ 0.
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 105
Notese que del apartado (d) se deduce que si f, g ∈ Hp y f ∗ = g∗ en un
conjunto de medida de Lebesgue positiva entonces f ≡ g.
Demostracion del Teorema 2.5.12. El apartado (d) se deduce de (b) por
reduccion al absurdo. Si f ≡ 0, el apartado (a) resulta evidente.
Sea f ∈ Hp \0. Probemos (a) y (b). Debido al teorema de los hermanos
Nevanlinna, existen funciones φ, ψ ∈ H∞ tales que |φ| ≤ 1, |ψ| ≤ 1 y f = φψ.
Al ser acotadas, del Teorema de Fatou se deduce que φ y ψ tienen limites no-
tangenciales finitos φ∗(eiθ) y ψ∗(eiθ) respectivamente ect θ ∈ [0, 2π]. Ahora
bien, gracias al Lema de Fatou, y teniendo en cuenta que el lımr→1
| ln |φ(reiθ)||existe de hecho ect θ ∈ [0, 2π], obtenemos∫ 2π
0
| ln |φ∗(eiθ)|| dθ =∫ 2π
0
lım infr→1
| ln |φ(reiθ)|| dθ
≤ lım infr→1
∫ 2π
0
| ln |φ((reiθ)|| dθ = lım infr→1
−∫ 2π
0
ln |φ(reiθ)| dθ.
Pero la funcion r ∈ [0, 1) 7→∫ 2π
0ln |φ(reiθ)| dθ es creciente, por la Formula
de Jensen. Luego la funcion opuesta r ∈ [0, 1) 7→ −∫ 2π
0ln |φ(reiθ)| dθ <
+∞ (≥ 0) es decreciente a un lımite necesariamente finito. Deducimos que
ln |φ∗| ∈ L1(T) y, analogamente, ln |ψ∗| ∈ L1(T). En particular, ψ∗(eiθ) = 0
ect θ ∈ [0, 2π]. Por tanto, el limite radial (y no-tangencial) f∗(eiθ) existe y
es finito ect θ, y ademas ln |f∗| ∈ L1(T) porque ln |f ∗| = ln |φ∗| − ln |ψ∗|.
En cuanto a (c), apliquemos de nuevo el Lema de Fatou, pero esta vez
a |f∗(eiθ)|p. Teniendo en cuenta que la funcion r 7→∫ 2π
0|f(reiθ)|p dθ es cre-
ciente, resulta que∫ 2π
0
|f ∗(eiθ)|p dθ2π
=
∫ 2π
0
lım infr→1
|f(reiθ)|p dθ2π
≤ lım infr→1
∫ 2π
0
|f(reiθ)|p dθ2π
= sup0≤r<1
Mp(f, r)p = ∥f∥pp < +∞.
Por tanto f∗ ∈ Lp(T), y ademas ∥f ∗∥p ≤ ∥f∥p, donde ∥f ∗∥p :=( ∫ 2π
0|f ∗(eiθ)|p dθ
2π
)1/p.
2
106 Luis Bernal Gonzalez
Hemos visto que ∥f ∗∥p ≤ ∥f∥p para f ∈ Hp. De hecho, se da la igualdad
de normas, ası como la convergencia en media cuando r → 1 de f(reiθ) a su
funcion lımite radial.
Teorema 2.5.13. [de la convergencia en media en Hp a valores frontera]
Si p ∈ (0,+∞) y f ∈ Hp, se verifica:
(a) lımr→1
∫ 2π
0|f(reiθ)− f∗(eiθ)|p dθ = 0.
(b) ∥f∥p = ∥f ∗∥p.
Demostracion. La parte (b) se deduce de (a) junto con la desigualdad de
Minkowski.
Probemos primero (a) para p = 2. Si f(z) =∞∑n=0
anzn ∈ H2, entonces
∞∑n=0
|an|2 < +∞. Aplicando el Lema de Fatou, obtenemos, para r ∈ (0, 1),
∫ 2π
0
|f(reiθ)− f∗(eiθ)|2 dθ =∫ 2π
0
lıms→1
|f(reiθ)− f(seiθ)|2 dθ
≤ lım infs→1
∫ 2π
0
|f(reiθ)− f(seiθ)|2 dθ = lım infs→1
∫ 2π
0
∣∣ ∞∑n=0
an(rn − sn)einθ
∣∣2 dθ= lım inf
s→12π
∞∑n=1
|an|2(sn − rn)2 = 2π∞∑n=1
|an|2(1− rn)2 → 0 (r → 1−),
de donde deducimos (a) si p = 2. En la tercera igualdad, hemos usado que
|w|2 = w · w y que∫ 2π
0eikθ dθ = 0 o 2π segun que, respectivamente, k = 0 o
k ∈ Z \ 0.
Sea ahora p ∈ (0,+∞) y f ∈ Hp. Por el teorema de factorizacion por
productos de Blaschke, existe g ∈ Hp sin ceros en D tal que f = B · g,donde B es el producto de Blaschke generado por los ceros de f . Ahora bien,
gp/2 ∈ H2 [por tanto se puede aplicar el apartado (b) a esta funcion] y |B| ≤ 1
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 107
(luego |g| ≥ |f |), y por el Lema 2.5.11 se tiene que |B∗| = 1 ect θ. Resulta
entonces que, cuando r → 1,∫ 2π
0
|f(reiθ)|p dθ ≤∫ 2π
0
|g(reiθ)|p dθ →∫ 2π
0
|g∗(eiθ)|p dθ =∫ 2π
0
|f ∗(eiθ)|p dθ,
luego lım supr→1
∫ 2π
0|f(reiθ)|p dθ ≤
∫ 2π
0|f ∗(eiθ)|p dθ. Gracias al Lema de Fa-
tou, obtenemos∫ 2π
0|f ∗(eiθ)|p dθ ≤ lım inf
r→1
∫ 2π
0|f(reiθ)|p dθ, lo que implica que
existe lımr→1
∫ 2π
0|f(reiθ)|p dθ =
∫ 2π
0|f∗(eiθ)|p dθ.
Fijemos, finalmente, una sucesion (rn) ⊂ (0, 1) tal que rn → 1 y aplique-
mos el Ejercicio 40 del Capıtulo 1 a la sucesion φn : [0, 2π] → C dada por
φn(θ) := f(rneiθ) (n ∈ N). Resulta que lım
n→∞
∫ 2π
0|f(rneiθ) − f∗(eiθ)|p dθ =
0 para toda sucesion (rn) como la anterior. Por tanto, lımr→1
∫ 2π
0|f(reiθ) −
f ∗(eiθ)|p dθ = 0. 2
2.5.4. Espacio de las funciones de valores frontera
Para concluir, incluimos sin demostracion algunos resultados impor-
tante. En primer lugar, las funciones deHp son representables como integrales
de Poisson y de Cauchy de sus valores en la frontera.
Teorema 2.5.14. Sean p ∈ [1,+∞] y f ∈ H(D). Entonces f ∈ Hp si y solo
si existe φ ∈ Lp(T) tal que f = P [φ]. En este caso, se verifica que φ = f ∗
en casi todo T. Por tanto, si f ∈ Hp y z ∈ D, se tiene
f(z) =1
2π
∫ 2π
0
f∗(eiθ) Reeiθ + z
eiθ − zdθ.
Ademas, para todo z ∈ D se verifica que
f(z) =1
2πi
∮|t|=1
f ∗(t)
t− zdt.
A continuacion, consideremos el espacio vectorial Hp (0 < p ≤ +∞) de
las funciones valor frontera f∗ asociadas a funciones f de Hp. Recordemos
108 Luis Bernal Gonzalez
que Hp ⊂ Lp(T), y que dos elementos de Lp(T) se identifican cuando son
iguales en casi todo t ∈ [0, 2π]. Por los dos teoremas anteriores, se tiene que,
si p ≥ 1, la aplicacion
Φ : φ ∈ Hp 7→ P [φ] ∈ Hp
es un isomorfismo algebraico [es decir, Φ es lineal y biyectiva] e isometri-
co [pues ∥f∥p = ∥f ∗∥p ]. Por tanto, si identificasemos las funciones de Hp
en Lp(T) mediante los coeficientes de Fourier, tendrıamos tambien una ca-
racterizacion de tipo Fourier de las funciones de Hp. Tenemos el siguiente
resultado, donde tambien se establece la separabilidad de Hp y la densidad
de los polinomios en Hp.
Teorema 2.5.15. Sea p ∈ (0,+∞). Se verifica:
(a) Hp es la clausura en Lp(T) del conjunto de los polinomios en eiθ.
(b) El conjunto de los polinomios es denso en Hp.
(c) Hp es separable.
(d) Sea f(z) =∞∑n=0
anzn ∈ H1, y sea
cn(f
∗) := 12π
∫ 2π
0f∗(eiθ)e−inθ dθ
n∈Z
la sucesion de coeficientes de Fourier de la funcion de valores frontera
f ∗. Entonces cn = 0 si n < 0 y cn = an si n ≥ 0.
(e) Si p ∈ [1,+∞], entonces Hp = φ ∈ Lp(T) : cn(φ) = 0 ∀n < 0.
Finalmente, anotamos que, haciendo uso del teorema de subordinacion
de Littlewood (como se hizo con los espacios de Bergman), se puede obtener
el siguiente resultado sobre operadores de composicion en espacios de Hardy.
Teorema 2.5.16. Si p ∈ (0,+∞] y φ ∈ H(D) es tal que φ(D) ⊂ D,
entonces el operador de composicion
Cφ : f 7→ f φ
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 109
es un operador sobre Hp, es decir, Cφ(Hp) ⊂ Hp y la aplicacion Cφ : Hp →
Hp es lineal y continua. De hecho, si p ≥ 1 y ∥Cφ∥ es la norma de Cφ
como elemento de L(Hp), entonces
∥Cφ∥ ≤(1 + |φ(0)|1− |φ(0)|
)1/p
.
Ejercicios
1. Demostrar que D(f, g) :=∞∑n=1
12n
∥f−g∥Kn
1+∥f−g∥Kndefine una metrica comple-
ta en C(G), con G ⊂ C abierto y (Kn) una sucesion exhaustiva de
compactos de G. Probar que fnD→
n→∞f si y solo si fn →
n→∞f uniforme-
mente en compactos de G, y que la topologıa que define D en C(G)
coincide con la generada por los conjuntos V (f,K, ε) := g ∈ C(G) :
|g(z) − f(z)| < ε ∀z ∈ K, donde K es un subconjunto compacto de
G, f ∈ C(G) y ε > 0.
2. Sea G una region de C y K ⊂ G un compacto.
(a) Demostrar que ∥ · ∥K es una seminorma en C(G) y en H(G).
(b) Probar que ∥ · ∥K nunca es una norma en C(G).
(c) Si K es infinito, demuestrese que ∥ · ∥K es una norma en H(G).
3. Probar que ni C(G) ni H(G) son normables, donde G ⊂ C es una
region. Es decir, para X = C(G) o H(G), no existe una norma que
genere la topologıa Tuc sobre X. Indicacion: Para H(G), utilizar el
teorema de Runge.
4. Demostrar que, si fn, f ∈ C(G), entonces fn → f (en Tuc) ⇐⇒ [∀a ∈G, ∃ abierto U ⊂ G con a ∈ U tal que fn → f uniformemente en
110 Luis Bernal Gonzalez
U ]. Esto justifica que Tuc tambien se denomine la “topologıa de la
convergencia uniforme local”.
5. ¿Es la familia F = f ∈ H(D) : f(0) = 0, f ′(0) = 1 relativamente
compacta en H(D)?
6. Sean a = (an), b = (bn) dos sucesiones en (0,+∞), de modo que an ↑ 1.
Demostrar que la familia
Fa,b := f ∈ H(D) : |f(0)| ≤ 1 y sup|z|=an
|f ′(z)| ≤ bn ∀n ∈ N
es relativamente compacta en H(D).
7. Si F ⊂ H(G) es relativamente compacta, probar que cada familia Fk :=
f (k) : f ∈ F (k ∈ N) es relativamente compacta. ¿Es cierto el
recıproco?
8. Sea G ⊂ C una region y consideremos la familia F = f ∈ H(G) :∫ ∫G|f(x + iy)| dxdy ≤ 1. Demostrar que F es compacta en H(G).
Indicacion: Fijar una bola cerrada B(a, r) ⊂ G, integrar sobre ella,
pasar a coordenadas polares y usar el teorema de valor medio.
9. Si G ⊂ C es una region multiplemente conexa probar que el conjunto
de los polinomios no es denso en H(G).
10. Probar que B2(D) =f(z) =
∞∑k=0
akzk ∈ H(D) :
∞∑k=0
|ak|2k+1
< +∞.
11. Demostrar que B2(C) = 0.
12. Demostrar que la bola unidad de B2(G) para la distancia cuadratica
(es decir, el conjunto U = f ∈ H(G) : ∥f∥2 < 1) es relativamente
compacta en H(G).
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 111
13. Consideremos el conjunto A(D) := f ∈ C(D) : f ∈ H(D), denomi-
nado el algebra del disco. Si definimos ∥f∥∞ := supz∈D
|f(z)|, probar que
A(D) [dotado de las operaciones suma (+), producto por escalares (·) yproducto puntual (⊙)], es un algebra de Banach conmutativa, es decir:
(a) (A(D),+, ·) es un espacio vectorial.
(b) (A(D),+,⊙) es un anillo unitario y conmutativo.
(c) (A(D),+, ·, ∥ · ∥∞) es un espacio normado completo.
(d) α · (f ⊙ g) = (α · f)⊙ g = f ⊙ (α · g) ∀α ∈ C y ∀f, g ∈ A(D).
(e) ∥f ⊙ g∥∞ ≤ ∥f∥∞ · ∥g∥∞ ∀f, g ∈ A(D).
14. Probar que, si f ∈ H(D), entonces f ∈ B2(D) ⇔ (1 − |z|2)f ′(z) ∈L2(D).
15. Sean φ : D → D holomorfa con φ(0) = 0, p ∈ [1,+∞) y Cφ : X → X
el operador de composicion asociado a φ, donde X es cualquiera de los
espacios Bp(D) o Hp(D). Probar que ∥Cφ∥ = 1.
16. Construir, para B2(D), una base ortonormal formada por polinomios.
17. Demostrar que el conjunto de los polinomios no es denso en B2(D \[0, 1]). Indicacion: Considerar una determinacion continua de
√z.
18. Demostrar que la sucesion fn(z) = nzn (n ∈ N) converge uniforme-
mente en compactos en D, pero no cuadraticamente. Lo mismo para la
sucesion gn(z) =√n+ 1 zn (n ∈ N).
19. Demostrar quefn(z) =
1−zn1−z
n≥1
⊂ B2(D) y que (fn) converge com-
pactamente en D a una funcion que no esta en B2(D).
20. Demostrar que las funciones fn(z) =√
nπz−n−1 (n = 1, 2, . . .) forman
una base ortonormal para B2(G), donde G = z ∈ C : |z| > 1.
112 Luis Bernal Gonzalez
21. Sea f entera con |f(0)| = 1, y llamemos n(r) al numero de ceros,
contando las multiplicidades, de f en B(0, r) (r > 0). Demostrar que
n(r) ≤ lnM(er), donde M(r) = sup|f(z)| : |z| = r.Indicacion: Usar la formula de Jensen.
22. Si φ es un producto de Blaschke finito, demostrar que lım|z|→1
|φ(z)| = 1.
23. Sea (an) la sucesion de ceros de una funcion f ∈ H(D)\0, enumerados
segun su multiplicidad. Demostrar que
∞∑n=1
(1− |an|) < +∞ ⇐⇒ sup0≤r<1
∫ 2π
0
ln |f(reiθ)| dθ < +∞.
Indicacion: Ver los pasos del Teorema 2.4.4.
24. Se define el espacio de Bloch como el conjunto B := f ∈ H(D) :
supz∈D
(1− |z|2)|f ′(z)| < +∞. Demostrar:
(a) B es un espacio de Banach con la norma ∥f∥ = |f(0)| + supz∈D
(1 −
|z|2)|f ′(z)|. Indicacion: Usar la formula de Gauss-Barrow para f(z)−f(0) e integrar radialmente.
(b) Demostrar que H∞ ⊂ B. Indicacion: Usar el lema de Schwarz-Pick,
que afirma que si f ∈ H(D) y f(D) ⊂ D, entonces∣∣∣ f(z)−f(w)1−f(z)f(w)
∣∣∣ ≤ ∣∣ z−w1−zw
∣∣para todo z, w ∈ D.
(c) Probar que la funcion f(z) := logp(1−z) ∈ B\H∞ y que la funcion
g(z) := (logp(1− z))2 ∈ H(D) \ B. Aquı logp denota el valor principal
del logaritmo.
25. Sean f, g ∈ H∞ tales que f(n−1n) = g(n−1
n) para todo n ∈ N. Probar
que f ≡ g.
26. Demostrar que1
1− z∈( ∩0<p<1
Hp)\H1.
ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 113
27. Si φ : [0, 2π] → [0,+∞) es medible, se define el supremo esencial de
φ como ess supφ = ınfM ∈ (0,+∞) : φ(θ) < M ect θ ∈ [0, 2π]. Sif ∈ H∞, demostrar que ∥f∥∞ = ess sup |f∗|.
28. (a) Probar la identidad de Littlewood-Paley: Si f ∈ H2, entonces
∥f∥22 = |f(0)|2 + 1π
∫ ∫D |f
′(z)|2 ln 1|z|2 dxdy.
(b) Deducir que el producto escalar en H2 viene dado por
⟨f, g⟩ = f(0)g(0) + 1π
∫ ∫D f
′(z)g′(z) ln 1|z|2 dxdy.
Indicacion: Usar la conocida “identidad de polarizacion”,
⟨f, g⟩ = 14(∥f + g∥22 − ∥f − g∥22 + i∥f + ig∥22 − i∥f − ig∥22),
valida en cualquier espacio prehilbertiano sobre C.
29. Sean p > 0 y f ∈ Hp. Denotemos por B el producto de Blaschke
formado con los ceros de f . Demostrar:
(a) Si |z| = r < 1, entonces |f(z)| ≤ ∥f∥p(1−r)
1p.
(b) Existen f1, f2 ∈ Hp tales que f1 y f2 no tienen ceros en D, f =
f1 + f2 y ∥fi∥p ≤ ∥f∥p (i = 1, 2).
(c) [Factorizacion por funciones de H2] Si f ≡ 0, entonces existe
h ∈ H2 que no se anula en D tal que f = B ·h2/p. En consecuencia,
deducir que una funcion F esta en H1 si y solo si existen g, h ∈ H2
tales que F = g · h.
30. Sea f ∈ H(D) con Re f(z) > 0 para todo z ∈ D, y sea g(z) = 1+z1−z .
(a) Probar que, si f(0) = 1, entonces f esta subordinada a g.
(b) Sea p ∈ (0, 1). Probar que g ∈ Hp y que, asimismo, f ∈ Hp.
31. Sea f ∈ H(D) tal que lımr→1
∫ 2π
0| ln |f(reiθ)|| dθ = 0. Demostrar que f
es un producto de Blaschke. Indicacion: Usar el Teorema 2.3.6 y el
Corolario 2.3.8.
114 Luis Bernal Gonzalez
32. Demostrar la formula de Poisson-Jensen dada en la prueba del teorema
de los hermanos Nevanlinna (Teorema 2.5.3). Indicacion: Aplicar la
formula de Poisson a la funcion ln |F |, que es armonica en rD y continua
en rD, donde F (z) := f(z) ·N∏n=1
r2−anzr(an−z) .
33. Demostrar el Teorema 2.5.16.
34. Si |an| ≥ 1, para infinitos n ∈ N, demostrar que∞∑n=0
anzn ∈ H1.
Indicacion: Usar el Lema de Riemann-Lebesgue, el cual afirma que
si φ : [0, 2π] → R es una funcion Lebesgue-integrable, entonces
lımn→∞∫ 2π
0φ(x) sen(nx+ a) dx = 0 para todo a ∈ R.
35. Construir una funcion f(z) =∞∑n=0
anzn ∈ H(D) con
∞∑n=0
|an| < +∞ pero
tal que f ′ ∈ H1. Indicacion: Usar el Ejercicio 34.
36. Denotemos por Π+ el semiplano superior abierto z ∈ C : Im z > 0.Sea f ∈ H(Π+) acotada con la propiedad de que existe una sucesion
znn≥1 ⊂ Π+ tal que∞∑n=1
Im zn1 + |zn|2
< +∞ de modo que f(zn) = 0
para todo n ∈ N. Demostrar que f ≡ 0.
Bibliografıa
Existe una abundante bibliografıa introductoria a la teorıa de la medida
y a la teorıa de espacios de funciones analıticas. Los libros que a continuacion
se enumeran constituyen solo una pequena parte. Cada uno de ellos ha si-
do usado en la elaboracion de alguna o algunas secciones de estos apuntes.
Por supuesto, todos contienen mucho mas material adicional, material que
puede ayudar al estudiante tanto a profundizar en la teorıa dada aquı como
a introducirse en temas nuevos.
M. Guzman y B. Rubio, Integracion: Teorıa y Tecnicas, Alhambra,
Madrid, 1979.
A.N.K. Kolmogorov y S.V. Fomin, Elementos de la teorıa de funciones
y del analisis funcional, Mir, Moscu, 1975.
A. Markushevich, Teorıa de las funciones analıticas, 2 vols., Mir, Moscu,
1987.
O.A. Nielsen, An introduction to Integration and Measure Theory, John
Wiley and Sons, New York, 1997.
W. Rudin, Analisis real y complejo, 3a ed., MacGraw-Hill, Madrid,
1988.
K. Zhu,Operator Theory in Function Spaces, Marcel Dekker, New York,
1990.
115
Recommended