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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
J U N I O
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
ÁLGEBRA
Expresiones algebraicas* Grado de un término: absoluto y
relativo* Grado de un polinomio* Reducción de términos semejantes
Índice
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
LGEBRA
nació murió aa
Recherches fonctions elliptiques (Investigaciones en funciones elípticas),
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es un conjunto de constantes y variables con exponentes racionales, relacionados a través de las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, es un
número finito de veces.
Ejemplos: 4 x 2 + 2 x – 1
x 2 – 2 xy +
2 xy
xy –2 + x –2y + 1
ELEMENTOS DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
4 x y2 3
VariablesCoeficiente
Exponentes
CLASIFICACIÓN
MONOMIO: Un monomio de una variable es una expresión de la forma:
ax n
Donde a es una consonante (coeficiente del monomio) y n es un entero positivo.
POLINOMIO: Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos en una
cantidad finita de estos.
A los polinomios de dos términos se les denomina BINOMIOS, a los de tres términos TRINOMIOS;
a los de cuatro términos TETRANOMIO; en general se les llamará POLINOMIOS.
Ejemplos: x x
x x
x x x
2
3 2
4 2
5 6 Binomio
8 6 Trinomio Polinomio
7 3 6 4 Tetranomio
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
I. GRADOS DE UN MONOMIO
1. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)Está dado por la suma de exponentes de sus variables.
2. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)Está dado por el exponente de la variable referida.
Ejemplo:2 55
7 x y z
. . 2 5 1 8
. . 2
. . 5
. . 1
G A
G R x
G R yG R z
II . GRADOS DE UN POLINOMIO (G.A.)
1. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (G.A.)
Está dado por el MAYOR GRADO ABSOLUTO de los monomios.
2. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)
Está dado por el MAYOR DE LOS EXPONENTES de la variable referida.
Ejemplos:
A) Dado el polinomio:
3 4 2 4 6 2 45 7 2 13
x y x y x y x y
G.A=7 G.A=6 G.A=8 G.A=5
se sobreentiende queel exponente es uno
G.A.= 8
G.R.( )= 6
G.R.( )= 4
x
y
B) Dado el polinomio:4 5 2 2 4 3 7 2 5
5 6 3
. . 11 G.A. 9 G.A. 14
x y z x y z x y z
G A
. . 14
. . 7
. . 5
. . 5
G A
GR x
GR y
GR z
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS
Halla:
1 . El grado relativo de cada polinomio con respecto a la variable x .
2 . El grado absoluto de cada polinomio.
Polinomio G.R.(x)
G.A.
6 x3 – x7 – x5246
+
8 – x5 x6 – x11 643 +
7 – y x5 – y x8 – xy2 63425
16 – z y x – z y x3 23423
1b1a22 – b1a2ba y x6 y x5 – y x2 +++ +
b1a8b5a2b3a y x y x6,0 – y x4,0 +++++ +
11 – z xy6 – yz x9 – xyz 8 64389
2332 y x5 – axy9 yax6 +
532643 z y x yz x5 – yz x8 +
3432343 y x4 – y xb7 – ybx3
62423235 z y x – z y x3
1b y x
5
3+
710115109 y x6 y x2 y x3 ++
32486 5 y x4 – y x6 y x3
2+
25432 y x6nxy2 – ymx +
z y x5
7 – y x z y x 32121025 +
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS Halla:
1 . El grado relativo de cada polinomio con respecto a la variable m.
2 . El grado absoluto de cada polinomio.
a)
b)
c)
d)
e)
f )
g)
h)
i )
j )
k)
l )
m)
n)
o)
Polinomio G.R.( )m G.A.
42246 nm – nmm +
3254 bmmbmb ++
65432 bmbabma5 ++
4234 y x6 – m4m x +
ynmmn – nm7 47724 +
10951074
xab xa4 – mba9 +
4753 abm xma4 ++
765432 nm xynm2 – xnm4 +
987 mnmm ++
ynm – mm9 4779 +
879 xnm6 – xy +
6752226 y x2 y xm y x9 ++
34624 ymxmn – nm +
835974 ba5 – mabmba6 +
455763 y x5mx11 – xbca14 +
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen la misma parte variable.
Ejemplo:2 3
7
T1
x y;
4 5
T2
x y;
2 3
T3
x y;
4 4 2
T4
x y;
2 3 8
T5
x y
a) Los términos T 1 , T 3 y T 5 tienen la misma parte variable2 3
x y , por lo
tanto son SEMEJANTES.
b) Los términos T 2 y T 4 no tienen la misma parte variable, por lo tanto NO
SON SEMEJANTES.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Es un proceso que consiste en transformar dos o más términos semejantes en uno solo, sumando
o restando los coeficientes y escribiendo a continuación del resultado la misma PARTE
VARIABLE que aparece en los términos.
Ejemplos:
Reducir:
1 . 2 2 2 2 28 6 3 (8 6 3) 11 x x x x x
2 . 13 + 6 – 7 – 4 = (13 – 7) + (6 – 4) = 6 + 2m n m n m n m n
3 . 7 + 10 + 2 – 4 = (7 – 4) + (10 + 2) = 3 + 12 x y xy xy x y x y xy x y xy2 7 7 7 2 7 2 7 7 2 7 7
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS
Reduce los siguientes términos semejantes:
1 . 2 x 2y – x 2y + 3 x 2y =
2 . 18 x – 10 x – 7 x =
3 . 14m – 3m + 4m =
4 . n
2
y + 20n
2
y – 19n
2
y =5 . 43 x – 21 x =
6 . 8a + 9a – 16a =
7 . ab2 + 7ab2 + 9ab2 =
8 . m5 + 4m5 + 6m4 – 2m4 =
9 . 3 x m + 5 x m – 6 x m =
10. 26 x 3 – 8 x 3 + 9 x 2 =
11. 7 x 2y + 8 x 3y 4 – 5 x 3y 4 – 6 x 2y =
12. 5m6 + 4m5 – 2m6 =
13. 3m7n + 2m5n4 – m7n – m5n4 =
14. 5a7b2 – 3a7b2 + 10ax 5 – 5ax 5 =
15. 8 x 4y + 7 x 4y 2 – 6 x 4y – 2 x 4y 2 =
16. x 5 + 4 x 6 + 2 x 5 =
17. m5 + m4 + 3m4 =
18. 4 x + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x =
19. 7m8n4 – 5m9n8 + 2m8n –4 =
20. 4 xy 5 + 2 xy 6 – xy 5 =
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
1 . Hallar el grado relativo con respecto a la variable x .
a) x x x4 5 813 8 12 20 G.R.( x ) = ___________
b) b a b b a x y x x y+ 2 8 5 1 68, 9 G.R.( x ) = ___________
c) x x y z x y z 8 5 3 6 10 5 32 1y5 4
G.R.( x ) = ___________
2 . Hallar el grado absoluto de cada polinomio:
a) mx nxy x y6 5 4 6 3y 5 10 G.A. = ___________
b) x z x z y x y5 12 6 10 3 612 18 G.A. = ___________
c) x y x y x y z 8 5 6 3 10 3 21
3 54
G.A. = ___________
3 . Reduce:
xy x y y x x y8 3 9 8 3 9
10 2 13
4 . Reduce:
x x x x x5 4 5 4 5
10 11 3 3
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J U L I O
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
ÍndiceÁLGEBRA
Operaciones con expresiones algebraicas* Adición y sustracción
* Multiplicación de binomio por polinomios
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LGEBRA
e a
ó
(Mecánicas Analíticas, 1788),
Mecanique analytique
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1) ADICIÓN DE POLINOMIOS
* La adición suele indicarse incluyendo los sumandos dentro del paréntesis; así:
Ejemplo: Dado los polinomios:
A x xy y
B x xy y
A B x xy y x xy y
2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 5
2 2Hallar A+ B
3 3 5 2 2
Ahora colocamos todos los términos de estos polinomios unos a continuación de
otros con sus propios signos y tendremos:
A + B= x + x y + y + x – x y – y3 3 5 2 22 2 2 2
A+B = 4 x 2 + xy + 3y 2
* En la práctica, suelen colocarse los polinomios unos debajo de otros de modo que
los términos semejantes queden en columna, luego se efectúa la reducción de dichos
términos.
2 2
2 2
2 2
3 3 5
2 2
4 3
A x xy y
B x xy y
A B x xy y
OBSERVACIÓN: Un signo de agrupación del signo (+) se elimina, sin cambiar de
signo a todos los términos escritos dentro del signo de agrupación .
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
2) SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Ejemplo:Dados los polinomios
P = 6 x 4 + 4 x 2 + 4
Q=– 4 x 4 + 2 x 2 + 3
Hallar P – Q
* La sustracción se indica incluyendo el sustraendo en un paréntesis precedido delsigno – así:
P – Q= 6 x 4 + 4 x
2 + 4 – (– 4 x
4 + 2 x
2 + 3)
Ahora dejamos el minuendo con su propio signo y a continuación escribimos el
sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos.
P – Q = x + x + + x – x – 6 4 4 4 2 34 2 4 2
P – Q = 10 x 4
+ 2 x 2
+ 1
* En la práctica, suele escribirse el sustraendo con sus signos cambiados debajo del
minuendo, de modo que los términos semejantes queden en columna, luego se efectúa
la reducción de dichos términos.
4 2
4 2
4 2
6 4 4
Q 4 2 3
10 2 1
P x x
x x
P Q x x
OBSERVACIÓN: "Un signo de agrupación precedido del signo (–) se elimina,
cambiando de signo a todos los términos escritos dentro del signo de agrupación".
IMPORTANTE
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
Ejemplo:
Efectuar 8 x 2 + 7 x + 6 –(–2 x 2 + 5 x – 9).
Solución:8 7 6 2 5 9 x + x + + x – x +
2 2
210 2 15 x x
RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS
1 . Dados los polinomios:
A = 5 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 9
B = –2 x 3 – 2 x 2 – 4 x + 6
C = x 3 – 3 x 2 + 3 x – 8
Hallar A + B + C.
2 . Dados los polinomios:
A = 3 x 4 + 8 x 2 + 2 x 3 + x + 6
B = 6 x 2 – x 3 + 8 + 5 x 4
C = 9 x 4 – 7 x 2 + 13 x – 4
Calcular A + B + C.
3 . Hallar A – B sabiendo que:
A = 4 x 3 + 5 x 2 + x + 8
B = –3 x 2 + 6
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
4 . Hallar A – B sabiendo que:
A = 10 x 2 – 7 x 4 + 6 x + 9
B = 4 x 2 – 5 + 3 x
5 . Dados los polinomios:
A = 3 x 5 + 2 x 4 + 6 x + 16
B = 10 x 4 + 2 x 3 – 5 x + 4
C = 2 x 5 – 8 x 4 + x 3 + 12
Calcular A + B – C .
6 . Elimina los signos de agrupación y halla el resultado:
a) 6 x 4 – (3 x 4 – 2 x + 1) =
b) 2 x 3 – (– 4 x – 2 x 3) =
c) 7 x 4 – ( 6 x – 5 – 2 x 4) =
d) 8 x 3 – 3 x
4 + 1 + (2 x
2 + 3 x
2 + 5) =
e) 5 x 3 – (2 x 3 – 4) + (3 x 2 + 6) =
f) 3 x 4 – [– 3 x 4 + 6 x 2 + x – (2 x 4 + 3)] =
g) 8 x 4 + [– 5 x 4 – (2 x 4 – 3 x + 4)] =
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS
Resuelve en el cuaderno
1 . Dados los polinomios:
A = 3 x 5 + 2 x 4 + 7 x 2 + 8 x + 9
B = 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 – 3 x + 4
C = 2 x 5 – 2 x 2 – 6
Hallar:
a) A + B b) A + C c) A + B + C d) A – C
2 . Dados los polinomios:
A = 3 x 4 + 2 x 2 + 6 x 3 + 8
B = 7 x 2 + 9 x + 11
C = –7 x + 5 x 3
D = x 2
– 4 x 4
+ 1Hallar:
a) A + B b) B + C c) B + D
d) B – D e) A + B + C f) A – C
3 . Elimina los signos de agrupación y halla el resultado.
a) (a + b) + (b + c ) + (c + d ) + (a – c ) =
b) (5 x + 7y + 8) – (2 x + 3y – 4) =
c) (a + b + c ) + (2a + 2b – c ) =
d) (m2 + 2mn) – (mn + n2) =
e) ( x 3 + 8 xy 2 + y 3) – (5 xy 2 + x 3 – y 3) =
f) (5ab – 3bc + 4cd ) + (2ab – 3cd ) =
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar expresiones algebraicas, estudiaremos los siguientes casos:
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Se multiplican los coeficientes y las partes variables de cada monomio, si las variables son las
mismas se suman los exponentes.
Ejemplo: Multiplicar: (2a2) (3a3)
(2a2) (3a3) = 2 3 a2 a3 = 6a2+3 = 6a5
MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta, en
cada caso, la regla de los signos y se separan los productos parciales con sus propios signos.
Ejemplo: Multiplica:
(3 x 2 – 6 x + 7) (4ax 2)
(3 x 2
– 6 x + 7) (4ax 2
) = 3 x 2
(4ax 2
) – 6 x (4ax 2
) + 7 (4ax 2
)= 12ax 4 – 24ax 3 + 28ax 2
MULTIPLICACIÓN DE UN BINOMIO POR UN POLINOMIO
Se multiplican todos los términos del 1.er factor por cada uno de los términos del 2.º factor; y
SE REDUCEN LOS TÉRMINOS SEMEJANTES.
Ejemplo: Multiplica :
(a2 - 2a + a3) (a3 + 1)Existen 2 formas de desarrollar que son:
Primera forma:
(a2 – 2a + a3) (a3 + 1) =
a2 (a3) + a2 (1) – 2a (a3) – 2a (1) + a3 (a3) + a3 (1) =
a5 + a2 – 2a4 – 2a + a6 + a3
Ordenando:
a5
+ a2
– 2a4
– 2a + a6
+ a3
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
Segun da forma:
(a2 – 2a + a3) (a3 + 1) =
Ordenando:
a3 + a2 – 2a ×
a3 + 1
__________
+ a3 + a2 – 2a
a6 + a5 – 2a4
________________________
a6
+ a5
– 2a4
+ a3
+ a2
– 2a
RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS RACTIQUEMOS
Multiplicar:
1 . ( x 2+ xy + y 2) ( x + y ) 2 . (a2+b2 – 2ab) (a + b)
3 . (a2 + b2 + 2ab) (a + b) 4 . ( x 3 – 3 x 2 + 1) ( x + 3)
5 . (a3 – a + a2) (a + 1) 6 . (m4 + m2n2 + n4) (m2 + n2)
7 . ( x 3 – 2 x 2 + 3 x – 1) (2 x + 3) 8 . (3y 3 + 5 – 6y ) (y 2 + 2)
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS RABAJEMOS
Multiplicar:
1 . (m3 – m2 + m) (am + a)
2 . (3a2 – 5ab + 2b2) (4a + 5b)
3 . (5m4 – 3m2n2 + n4) (3m + n)
4 . (a2 + a + 1) (a + 1)
5 . ( x 3 + 2 x 2 – x ) ( x 2 + 2 x )
6 . ( x 2 + 1 + x ) ( x 2 + x )
7 . (m3 – 4m + m2) (m3 + 1)
8 . (n2 – 2n + 1) (n2 + 1)
9 . (2y 3 + y – 3y 2) (2y + 5)
10. (3 x 3 – a3 + 2ax 2) (2a2 + x 2)
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BAUTISTA ALGEBRA 6º GRADO
1 . Multiplica m m m an a6 2 3 2 .
2 . Multiplica y y y8 65 2 3 .
3 . Hallar A – B sabiendo que:
x x x3 5
A 6 12 20
5B 5 12 x
4 . Dados los polinomios:
x x x4 6 3
A 8 10 3 4
x x x6 4 3
B 2 10 13
x x3 6
C 5 8
Calcular A + B + C.
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