11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 1

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 1

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 2

Financial Engineering

ณฐวฒ ควฒนเธยรชย

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 3

Lecture 11

การจ าลองราคาหลกทรพย

(Stock Price Modeling)

ทบทวนความรเบองตน

ราคาสนทรพยมววฒนาการแบบสม

หมายความวา ราคาหน อตราดอกเบย อตราแลกเปลยน

เงนตราตางประเทศ และราคาสนคาโภคภณฑตางๆ ไม

สามารถพยากรณได

สวนมากแลวเราจะท าการวเคราะหผลตอบแทน

(การเปลยนแปลงของราคาสนทรพย) แทนการ

วเคราะหราคาสนทรพย เนองจากมความนง

(stationary) มากกวาราคาสนทรพย

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 4

ทบทวนความรเบองตน

เนองจากราคาสนทรพยมความสม (randomness)

เปนสวนประกอบ แบบจ าลองทางคณตศาสตรทใช

จ าลองราคาสนทรพยจงตองแสดงใหเหนถงความ

สมน และเราจะพยากรณราคาสนทรพยในอนาคต

ดวยการใชความนาจะเปน

การประเมนคาผลตอบแทนคาดหมาย (expected

returns) และความผนผวน (volatility) และ

ผลกระทบของมนตอราคาสนทรพยเปนสงส าคญใน

การตดสนใจทางการเงน

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 5

กระบวนการเฟนสม (stochastic

process) กระบวนการเฟนสม

การจดล าดบความตอเนองของคาสงเกต (sequence of

observations) ดวยการแจกแจงความนาจะเปน

ตวอยาง: การโยนเหรยญไปเรอยๆ ในชวงเวลา

เทาๆ กน

การแจกแจงจะเสถยรเนองจากผลลพธทเปนไปไดจะไม

เปลยนในการโยนแตละครง (การทเหรยญออกกอย 5

ครงตดตอกน ถงแมจะเปนไปไดนอย แตกไมไดท าให

ความนาจะเปนทเหรยญจะออกกอยอก 5 ครงถดไป

ตดตอกน เปลยนไป)

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 6

กระบวนการเฟนสม (stochastic

process) การสมเลอกไพจากกองออกมาโดยไมใสกลบเขา

ไป คอ ตวอยางของกระบวนการทมการ

เปลยนแปลงของการแจกแจง

การเคลอนทของราคาสนทรพยในความเปนจรง

เปนกระบวนการทมการเปลยนแปลงของการแจก

แจงความนาจะเปน ถงแมวาจะเปนการยากทจะระบ

เวลาทมการเปลยนแปลงการแจกแจงกตาม

การศกษาขอมลในอดตจะมประโยชนในประเดนน ไมใช

เพอการพยากรณอนาคต แตเพอดวาราคาสนทรพยใน

อนาคตควรมาจากการแจกแจงความนาจะเปนแบบใด

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 7

การเคลอนทแบบบราวน (Brownian

Motion) นยาม

เปนการเคลอนทแบบสมของอนภาคในของไหล

(ของเหลวหรอกาซ) คนพบโดยนกพฤกษศาสตร Robert

Brown เมอประมาณป ค.ศ.1827

กลไกของ Brownian Motion

ก าหนดให Zt เปนขอมลอนกรมเวลาซงตวเลขทกตวใน

อนกรมเวลานนถกสมมาจากการแจกแจงปกตมาตรฐาน

- N(0,1)

สมมตวา Wt เปนตวเลขหนง ณ ชวงเวลา t

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 8

การเคลอนทแบบบราวน (Brownian

Motion) กลไกของ Brownian Motion

Model 1: Wt+ dt = Wt + Zt+dt × dt

dt = ชวงเวลา (หนวยเปนป) ระหวาง t ถง t+dt

dt = 1/(60×24×365) ถาชวงเวลาระหวาง t ถง t+dt = 1 นาท

dt ปรากฏในแบบจ าลองเพอวดผลกระทบของการตระหนกทาง

สถต (statistical shocks) ถาขนาดความกวางของเวลาท

พจารณาตางกน (การตระหนกทางสถต ซงเปนตนเหตของ

ความสม นาจะมขนาดใหญเพมขนถามนถกกระจายไปใน

ชวงเวลาทยาวนานขน)

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 9

การเคลอนทแบบบราวน (Brownian

Motion) กลไกของ Brownian Motion

ถาตองการจ าลองการเคลอนทของราคาสนทรพยทมขน

ตลอดเวลา (continuously) dt จะตองมคาใกลเคยงศนย

Model 1 มปญหาเนองจากความแปรปรวนของ Wt+ dt (ค านวณ

ดวยการน า dt ไปยกก าลงสอง) จะมคาใกลเคยงศนยเชนกน

W จะไมใชตวแปรสมอกตอไป เนองจากมคาความแปรปรวน

นอยมาก

Model 2: Wt+ dt = Wt + Zt+dt × √dt

เวลาค านวณความแปรปรวนดวยการน า √dt ไปยกก าลงสอง

เราจะได dt

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 10

การเคลอนทแบบบราวน (Brownian

Motion) Wt จะเปน Brownian Motion ถา

W0 = 0

การเพมขนของ Wt เปนอสระจากกน

Wt - Ws เปนอสระจาก Wv - Wu ∀ s, t, u, v > 0 and u ≤ v ≤ s

≤ t

Wt - Ws ~ N(0,t - s) for s < t

⇒ Wt ~ N(0,t)

Brownian Motion ยงจ าลองการเคลอนทของราคา

หลกทรพยไดไมสมบรณแบบ เนองจากมนคาท

เปนไปไดอาจตดลบ

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 11

การเคลอนทแบบบราวน (Brownian

Motion)

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 12

Brownian Motion with W(0) = 0

Time-days

W

0 50 100 150 200 250

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

กระบวนการแบบวเนอร (Wiener

Process) กระบวนการแบบวนเนอร (Wiener Process) ตง

ใหเพอเปนเกยรตแก Norbert Wiener (1894-

1964)

dWt = Wt+ dt - Wt = Zt+dt × √dt as dt → 0

dWt ~ N(0,dt)

E(dWt ) = 0

E(dWt)2 = dt

ในการประเมนราคาตราสารอนพนธ เราจะสนใจ

กระบวนการของ dWt มากกวา Wt

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 13

การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ

การจ าลองราคาหน ความผนผวนของราคาหนมคณสมบตทส าคญดงน

ในระยะยาว ราคาหนจะเพม (รางวลจากการเสยง) ซง

เราเรยกวาราคาหน drift

ถงแมวา Wiener Process จะไม drift แตเราสามารถแปลง

กระบวนการนให drift ได

การเคลอนทของราคาหนเปนแบบสม

Wiener Process กเปนกระบวนการแบบสม แตเราตองแปลง

กระบวนการนใหแยกแยะถงความแตกตางของความผนผวน

ของหนแตละตว

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 14

การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ

การจ าลองราคาหน ความผนผวนของราคาหนมคณสมบตทส าคญดงน

การพยากรณราคาหนในอนาคตควรจะมความยาก

เพมขน

ความแปรปรวนของราคาหนในอนาคตอนแสนไกล ควรจะ

มากกวาความแปรปรวนของราคาหนในอนาคตอนใกล

ราคาหนไมมทางตดลบ

ผถอหนมความรบผดจ ากด (limited liability)

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 15

การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ

การจ าลองราคาหน ขนตอนการแปลงกระบวนการแบบวเนอร

คณสมบตของผลตอบแทนสามารถอธบายดวยคาเฉลย

(μ) และคาความแปรปรวน (σ2) ของมน ซงเราตองการ

ใหแบบจ าลองของเรามคาคาดหมายและความแปรปรวน

เทากบ μ และ σ2 ตามล าดบ

ก าหนด Rt = μ × dt + gt

Rt = ผลตอบแทนของหนตอชวงเวลา dt

μ × dt = ผลตอบแทนคาดหมายของหนในชวงเวลา dt =

คาคงท

gt = สวนประกอบทจ าลองการสมของผลตอบแทน (ขนอยกบ

ความแปรปรวนของผลตอบแทน)

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 16

การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ

การจ าลองราคาหน ขนตอนการแปลงกระบวนการแบบวเนอร

เราตองการใหแบบจ าลองของเรามคาคาดหมายเทากบ μ

ท าไดดวยการก าหนด E(gt) = 0

เราตองการใหแบบจ าลองของเรามความแปรปรวนตอป

เทากบ σ2 (ความแปรปรวนของผลตอบแทนตอชวงเวลา

dt = σ2 × dt)

ท าไดดวยการก าหนด var(gt) = σ2 × dt

เนองจากเราตองการให E(gt) = 0 และ var(gt) = σ2 dt

ดงนน gt = σ × dWt = σ × Zt × √dt

∴ Rt = μ × dt + σ × dWt

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 17

การแปลงกระบวนการแบบวเนอรเพอ

การจ าลองราคาหน ความแปรปรวนของราคาหนในอนาคต

St+dt = St(1 + Rt) = St(1 + μ × dt + σ × Zt × √dt )

ความแปรปรวนของ St+dt มากกวาความแปรปรวนของ St

เนองจาก dt จะมคาสงขนถาเราขามเวลาไปยงอนาคตไกลขน

แบบจ าลองทเราไดมา เรยกวา Geometric Brownian

Motion:

dSt = St+dt - St as dt → 0

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 18

tttt

t

t

tt

dWSdtSdS

dWdtS

dSR

Geometric Brownian Motion

คณสมบตเบองตน:

dSt/St = ผลตอบแทนของหนตอชวงเวลาสนๆ dt

μ × dt = ผลตอบแทนคาดหมาย

σ × dWt = สวนประกอบของผลตอบแทนทแสดงถง

ความสม

St ไมมทางตดลบ เนองจาก dSt = 0 เมอ St = 0

dSt/St ~ N(μ × dt , σ2 × dt)

dSt~ N(μ × St × dt , σ2 × S2t × dt)

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 19

Geometric Brownian Motion

ตวอยาง: พจารณาหนตวหนงทมความผนผวน (σ)

เทากบ 30% และใหผลตอบแทนคาดหมาย (μ)

15% ตอป จงหาการเพมขนของราคาหนหลงจาก

ผานไปหนงสปดาห ถาราคาหนตอนเรม (St) = 100

แบบจ าลองแบบชวงเวลาตอเนอง:

แบบจ าลองแบบชวงเวลาไมตอเนอง:

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 20

t

t

t dWdtS

dS

tZtS

S

t

t

Geometric Brownian Motion

ตวอยาง:

ถา X = μ + σZ แลว X ~ N(μ, σ2)

ดงนน การเพมขนของราคาหนตวนในหนงสปดาหจง

เปนตวแปรทสมมาจากการแจกแจงปกตทมคาเฉลย =

.288 และคาเบยงเบนมาตรฐาน = 4.16

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 21

ZS

ZS

t

t

16.4288.

1003.15.521

521

Geometric Brownian Motion

ตวอยาง: แสดงใหเหนวา ∆St/St ~ N(μ∆t , σ2∆t)

ถา X = μ + σZ แลว X ~ N(μ, σ2)

ดงนน ∆ St/St ~ N(μ ∆t , σ2 ∆t)

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 22

tZtS

S

t

t

Geometric Brownian Motion

เราสามารถใชเทคนคทางแคลคลสพสจนไดวา

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 23

tZtS

WtSS

ttSNS

WtSS

dWdtSd

tt

t

tt

tt

2

21

0

2

21

0

22

21

0

2

21

0

2

21

exp

exp

,ln~ln

lnln

ln

Geometric Brownian Motion

ตวอยาง: พจารณาหนตวหนงทมราคาตอนเรม =

40 คาคาดหมาย = 16% และคาความผนผวน =

20% จงหาการแจกแจงความนาจะเปนของลอการ

ทมของราคาหนตวน หรอ lnSt ในอก 6 เดอน

ขางหนา

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 24

02,.759.3~

5.)2(.,5.)2(.16.40ln~ln 22

21

5.0

N

NS

Simulating GBM evolution

การจ าลองการเคลอนทของราคาหนตาม GBM

แบบชวงเวลาไมตอเนอง สามารถท าได 2 วธ

ตวอยาง: จงจ าลอง (simulate) ราคาวนท 3 ของ

หนตวหนงทเคลอนทตามแบบ GBM หนตวนม

ราคาเรมตนท 100 มคาเฉลยของผลตอบแทน =

10% ตอป และมความผนผวน = 20% ตอป

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 25

tZtSS

StZtSS

2

21

01

001

exp)2(

)1(

Simulating GBM evolution

วธท 1:

∆t = 1/250

ราคาของหนตวนในวนแรก = 100

สมตวเลขจาก N(0,1) มา 3 ตว = .11656, -1.27768,

.244257 ตามล าดบ

ราคาของหนในวนถดไปเทากบ

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 26

99.98963.2442572.1.

99.986141.27768-2.1.

100.19100.116562.1.100

22501

2501

23

12501

2501

12

2501

2501

1

SSS

SSS

S

Simulating GBM evolution

วธท 2:

∆t = 3/250

ราคาของหนตวนในวนแรก = 100

สมตวเลขจาก N(0,1) มา 1 ตว = .11656

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 27

100.352

.116562.2.1.exp100

exp

2503

25032

21

2

21

03

tZtSS

Simulating GBM evolution

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 28

GBM daily price for 5 years

Time-days

Shar

e Pr

ice

0 200 400 600 800 1000 1200

7080

9010

011

012

013

0

S0 = 100, μ = .1, σ = .2

Estimating μ และ σ ของ GBM

ใชเทคนคทางคณตศาสตรทเรยกวา การประมาณ

คาความควรจะเปนสงสด (Maximum Likelihood

Estimation)

เรารวาการแจกแจงของผลตอบแทน (ถามองในแง

ของชวงเวลาไมตอเนอง) เปนแบบปกต

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 29

t

tNSSR tttt

2

21

2,~lnln

Estimating μ และ σ ของ GBM

ตวประมาณคา MLE ของ μ และ σ สามารถ

ค านวณไดดงน

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 30

2

1

22

1

ˆ2

1ˆˆ

ˆ1

ˆ

1ˆ

t

RtT

RT

T

t

t

T

t

t

Estimating μ และ σ ของ GBM

ตวประมาณคา MLE ของ α และ σ2 ไดแก คาเฉลย

ของผลตอบแทน และ 1/∆t × (คาเฉลยสวน

เบยงเบนก าลงสองของผลตอบแทน) ตามล าดบ

ตวอยาง: ใชขอมลผลตอบแทนรายวนของ Apple

∆t = 1/250

α^ = คาเฉลยของผลตอบแทน = 0.001208315

คาเฉลยสวนเบยงเบนก าลงสองของผลตอบแทน =

0.0005868717

σ2^ = 250 × 0.0005868717 = 0.1467179

μ^ = (0.001208315 × 250) + .5 × 0.1467179 =

0.3754376

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 31

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 3211/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 32

4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 32

11/16/2018 Nattawoot Koowattanatianchai 33

Email:

fbusnwk@ku.ac.th

Homepage:

http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm

Phone:

02-9428777 Ext. 1212

Mobile:

087- 5393525

Office:

ชน 9 ตกใหมคณะบรหารธรกจ ม.

เกษตรศาสตร บางเขน