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8/16/2019 03 Weibull e Estimacao de Parametros Rev-E
1/45
Universidade Federal de Santa CatarinaCentro de Engenharias da Mobilidade – CEM
Campus Joinville
Prof. Luís Fernando Peres Calil
fernando.calil@ufsc.br
EMB 5107Manutenção e Confiabilidade
Distribuição WeibullAPRESENTA!"
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Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e Confiabilidade
Revisão de algumasdistribuições de probabilidade
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Revisão de algumas distribuições
#ERN"U$$%
&ari'veis aleat(rias dis)retas
F X =
{0 se x0
− p se 0≤ x se x≥
x p! x"
0 # p p
$otal
E X = p
V X =
p .−
p
%alor esperado&
%ari'n(ia&
X * +numero de )aras em , lan-amento.
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Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e Confiabilidade
Revisão de algumas distribuições
#%N"M%A$
&ari'veis aleat(rias dis)retas
E X =n . p
V X =
n . p .−
p
%alor esperado&
%ari'n(ia&
/ / /
X * +numero de )aras em 0n1 lan-amentos.
0n1 lan-amentos
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias dis)retas
#%N"M%A$
p x =
n
x
. p x .− pn− x x=0))*)... , n
n x =
n!n− x! x!
Coe2i)ientebinomial
Função de probabilidade da vari+vel X &
Fonte: Barbetta, Reis e Bornia (2009)
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias dis)retas
P"%SS"N
P X = x =n
x
. p
x
. − p
n− x
P X = x ≈ x . e−
x!
x=0))*)...
n → ∞ p → 0n . p , λ> 0
Fonte: Barbetta, Reis e Bornia (2009)
0n1 intervalos 3 4
X * +n5mero de o)orr6n)ias em 7t8 t 9 ,:.
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias dis)retas
P"%SS"N
p x=e− . x
x! x=0))*)...
E X =V X =
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias )ont;nuas
E
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias )ont;nuas
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias )ont;nuas
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias )ont;nuas
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias )ont;nuas
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Revisão de algumas distribuições&ari'veis aleat(rias )ont;nuas
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Distribuição Weibull
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15/45Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e Confiabilidade
Distribuição Weibull%ntrodu-o
Ernst Balmar Daloddi DeibullErnst Balmar Daloddi Deibull !2 de 3un4o de 225 6 * de 7utubro de 858"!2 de 3un4o de 225 6 * de 7utubro de 858"foi umfoi um engen4eiro e matem+ti(o sue(oengen4eiro e matem+ti(o sue(o. 9 re(on4e(ido pelo seu trabal4o na +rea da. 9 re(on4e(ido pelo seu trabal4o na +rea dafadiga de materiais e na estatísti(a pelos seus estudos sobre a distribuição defadiga de materiais e na estatísti(a pelos seus estudos sobre a distribuição deWeibull.Weibull.
:: distribui-o de Deibulldistribui-o de Deibull - uma- uma distribuição de probabilidade (ontínuadistribuição de probabilidade (ontínua) usada em) usada em
estudos de tempo de vida de e;uipamentos e estimativa de fal4as.estudos de tempo de vida de e;uipamentos e estimativa de fal4as.
Desenvolvida em 8 ! Journal of Applied Mechanics Journal of Applied Mechanics""n/mero *8@ma Função den/mero *8@ma Função de
Distribuição Astatísti(a de Larga :pli(ação> !Distribuição Astatísti(a de Larga :pli(ação> ! A Statistical A Statistical istribution Function of !ide Applicabilit" istribution Function of !ide Applicabilit"" Astudo sobre" Astudo sobreresistn(ia do aço.resistn(ia do aço.
: Força :-rea :meri(ana re(on4e(eu o m-rito de Weibull em: Força :-rea :meri(ana re(on4e(eu o m-rito de Weibull em85=.85=.
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Distribuição Weibull%ntrodu-o
os dias de 4oBe a an+lise de Weibull - o os dias de 4oBe a an+lise de Weibull - o m-todo líder no mundom-todo líder no mundo para en(ontrar e para en(ontrar een(aiar os dados de vida.en(aiar os dados de vida.
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Distribuição Weibull
Curva da ban4eiraE
Fonte: Dias et al. (2000)
Termoelétricas
idrelétricas
%ntrodu-o
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Distribuição Weibull
Curva da ban4eiraE
Fonte: Dias et al. (2000)
λ > apro?imadamenteuma )onstante
%ntrodu-o
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19/45Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e Confiabilidade
Distribuição Weibull
Curva da ban4eiraE
Fonte: Dias et al. (2000)
Fun-o λt :
%ntrodu-o
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20/45Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e Confiabilidade
Distribuição WeibullCara)teria-o da distribui-o
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Distribuição WeibullCara)teria-o da distribui-o
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22/45Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e Confiabilidade
Distribuição Weibull
Distribuição densidade de probabilidade&
Distribuição de probabilidade a(umulada&
f (t )=βα . ( t −θα )
β−
. e−( t −θα )
β
F (t )=−e− t α
β
Cara)teria-o da distribui-o
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23/45Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e Confiabilidade
Distribuição Weibull
Distribuição densidade de probabilidade !# , 0"
$ 0 G fator de es(ala);ue representa a taa defal4a
f (t )=βα . ( t −θα )
β−
.e−( t −θα )
β
Cara)teria-o da distribui-o
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Distribuição Weibull
Distribuição densidade de probabilidade !# , 0"
% & ' G fator de forma);ue representa o (ontrole
do pro(esso
f (t )=βα . ( t −θα )
β−
.e−( t −θα )
β
Cara)teria-o da distribui-o
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Distribuição Weibull
Distribuição densidade de probabilidade
f (t )=βα . ( t −θα )
β−
.e−( t −θα )
β
# G fator de posição
Cara)teria-o da distribui-o
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Distribuição Weibull
$aa instant'nea de o(orrn(ia ha(ard functionE !# , 0"
h(t )=
β
α . (t −θ
α )
β−
Cara)teria-o da distribui-o
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Distribuição Weibull
Distribuição de probabilidade a(umulada !# , 0"
F (t )=−e−( t
α )β
Cara)teria-o da distribui-o
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i ib i ib ll
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Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e ConfiabilidadeFonte: Montgomery & Runger (2009)
Distribuição Weibull
E (T )=∫−∞
∞
(t −0) . f (t ). dt
E (T )=∫−∞
0
(t −0) . f (t ).dt +∫0
∞
(t −0) . f (t ). dt
&alor esperado e variLn)ia para @ =
7 valor esperado !m-dia" - o primeiro momento em relação H origem e pode ser obtido pela epressão&
i ib i ib ll
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Centro de Engenharias da Mobilidade EMB 5107 – Manutenção e ConfiabilidadeFonte: Montgomery & Runger (2009)
Distribuição Weibull
E (T )=∫−∞
∞
(t −0) . f (t ). dt
f t : @ =8 para t =
E (T )=∫0
∞
t . βα . ( t α )
β−
. e−( t α )
β
.dt
E (T )=∫−∞
0
(t −0) . f (t ).dt +∫0
∞
(t −0) . f (t ). dt
&alor esperado e variLn)ia para @ =
7 valor esperado !m-dia" - o primeiro momento em relação H origem e pode ser obtido pela epressão&
Di ib i ã W ib ll
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E (T )=α . Γ +β V (T )=α
*. Γ (+ *β )−α* . [Γ (+ β ) ]
*
7nde Γ - a função Iamma) ;ue pode ser obtida por&
Γ(r )=∫0
∞
t r −
.e−t
. dt ) para r >0
Juando r for um n/mero real positivo) podeKse resolver) de maneirare(ursiva) pela seguinte epressão !e) eventualmente) pelo uso de tabelas&
Γ(r )=(r −).Γ(r −)Fonte: Montgomery & Runger (2009)
Distribuição Weibull&alor esperado e variLn)ia
: integral anterior pode ser resolvida utiliando uma função Γ ) (onformeapresentado a seguir&
Di ib i ã W ib ll
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Distribuição Weibull
Por e?emplo*
PodeKse (al(ular Γ (=* ) ) (om base na epressão anterior&
Γ (=* )=(=* −) . Γ (=* −)=
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Distribuição Weibull
NoteOse ue ) ;uando r for um n/mero inteiro positivo) Γ(r )simplifi(aKse para&
Γ(r )=(r −)M
Por e?emplo*
Γ(
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Distribuição Weibull
E (T )=α . Γ +β
Como = 8 entAo r ,/
:ssim) para&β> → < r
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Distribuição Weibull
Lineariação da distribuição de probabilidade a(umulada
P (T > t )=− F (t )=e−( t α
β
ln − F t =− t
ln −ln − F t = . ln t . ln Nendo a /ltima) a e;uação da reta ;ue pode ser rees(rita (omo&
+ = a . X l
"=ln (−.ln (− F (t )))
x=ln (t )
a=
l = . ln 7nde&
Qetermina-o dos parLmetros
Di t ib i ã W ib ll
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Distribuição Weibull
Astimativa da probabilidade a(umulada M>todo do rank mediano ou grau m>dio:
9 uma das maneiras de se (al(ular o per(entual de fal4a 1 S !
t " O para
os valores eperimentais) por meio da epressão a seguir&
-rau./dio=
j −[−ln (*)]−[*.ln (*)−]. j −
n−n
j nR de ordem da 2alha ue se desea )al)ular o grau m>dio
n quantidade de itens daamostra
Qetermina-o dos parLmetros
Di t ib i ã W ib ll
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Distribuição Weibull
Astimativa da probabilidade a(umulada M>todo do rank mediano ou grau m>dio:
7u aproimadamente&
S ( t )≈ graumédio≈ j =8J
n+ =8S
7nde& 0=n de ordem da fal4a ;ue se deseBa (al(ular o grau m-dio
n=;uantidade de itens da amostra
Qetermina-o dos parLmetros
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Di t ib i ã W ib ll
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Distribuição Weibull
"bten-o dos parLmetrospelo r'2i)o Deibull
Qetermina-o dos parLmetros
?ar(aKse os pontos 1t Q F !t "O no gr+fi(o etraçaKse uma reta) aproimadamente) por eles.
7 valor de $ pode ser obtido pelo tempo (orrespondente H) aproimadamente
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Distribuição Weibull
"bten-o dos parLmetros por M;nimos uadrados
a=n." ( xi . " i)−" xi ." " i
n ." xi*−(" xi )*
, l =" " i−, a." xi
n
β= a
α=
e( l β )
Qetermina-o dos parLmetros
@tiliando ?ínimos Juadrados) os (oefi(ientes linear e angular da reta podem ser obtidos pelas e;uações a seguir&
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Considerações finais
Considerações finais
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Considerações finais"bten-o da Poisson a partir da #inomial
Fonte& @FPA6CTn !*00"
Considerações finais
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Considerações finais
Curiosidade* Nimulação de 0.000 lançamento de moedas usando programação em CE.
era-o de n5meros pseudos aleat(rios
Simula-o usando a 2un-o 0rand:1 do NU
Simula-o usando a 2un-o0random1 da Mi)roso2t
Fonte& Watts !*00"
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Refern(ias
Refern(ias
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Refern(ias
U:RUA$$:) P. :.) RATN) ?. ?. V U7RT:) :. C. Estat;sti)a para Cursos de
Engenharia e %n2orm'ti)a/ * ed.) Aditora :tlas) Não Paulo) *008.
DT:N) :. et al. Qiagn(sti)o dos pro)edimentos de opera-o e de manuten-o dasempresas de gera-o de energia el>tri)a no #rasil/ 1N.l.O) *000. RelatXrio Ynal para aNuperintendn(ia de Fis(aliação dos Nerviços de Ieração da :gn(ia a(ional de AnergiaAl-tri(a !:AAL"
?7$I7?ARZ) D. C. V R@IAR) I. C. Estat;sti)a Apli)ada e Probabilidade paraEngenheiros/ [ ed. Rio de 3aneiro& L$C) *008.
@FPA !@niversidade Federal de Pernambu(o" 6CTn !Centro de Tnform+ti(a". Qistribui-VesQis)retas/ Disponível em\4ttp&66]]].(in.ufpe.br6^rm(rs6AN:P6ar;uivos6Distribui(oesDis(retas.pdf. :(esso em&0[606*00.
W:$$N) :. Response to Qr/ MeierWs ansXer YZ – )oin 2lips in the )onte?t o2 )limatemodeling/ *00.Disponível em& \4ttp&66]attsup]it4t4at.(om6*0060[606responseKtoKdrKmeiersKans]erK8Kt4eK(oinKflipKinKt4eK(ontetKofK(limateKmodeling6. Data de a(esso&0[606*00.
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